Bac Blanc - Mathématiques

Bac Blanc - Mathématiques
Terminale S
Calculatrice autorisée, durée 4 heures
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les
épreuves écrites de mathématiques et entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Exercice 1 (5 points)
pour les élèves n'ayant pas choisi spécialité Mathématiques
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;Error!,Error!) .
1. Résoudre dans I;C l'équation (1) : Error! = z .
On donnera le module et un argument de chaque solution.
2. Résoudre dans I;C l'équation (2) : Error! = i .
On donnera la solution sous forme algébrique.
3. Soit M, A et B les points d'affixes respectives z , 1 et 2.
On suppose que M est distinct des points A et B.
a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Error! .
b. Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
4. a. Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution dans I;C de l'équation
n
Error! = i , où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle Error! .
2
b. Résoudre alors dans I;C l'équation (3) : Error! = i .
On cherchera les solutions sous forme algébrique.
Exercice 1 (5 points)
pour les élèves ayant choisi spécialité Mathématiques
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,Error!,Error!)
Soit f la similitude directe de centre  de coordonnées Error! , de rapport 3 et d'angle Error! .
Soit s la symétrie d'axe Ox et soit g = f o s.
1°) Justifier que g est une similitude dont on donnera le rapport.
2°) Soit M un point de coordonnées (x ; y) dans le repère (O,Error!,Error!).
Donner les coordonnées (x' ; y') du point M' image de M par g.
Partie B : On considère x et y deux entiers naturels tels que : 1  x  8 et 1  y  8 .
On pose :
x' = 3 y + 2 ; y' = 3 x – 1 et m = x' 2 – y' 2
On se propose de déterminer tous les couples (x' ; y') pour lesquels m est un multiple non nul de 60.
1°) Montrer que la somme et la différence de deux entiers  et  quelconques ont même parité.
2°) On appelle G l'ensemble des valeurs prises par x' et H l'ensemble des valeurs prises par y'.
Ecrire la liste des éléments de G et la liste des éléments de H.
3°) Montrer que x' – y' est un multiple de 3.
4°) On suppose dans cette question que m est un multiple non nul de 60.
a) Montrer que x' – y' est un multiple de 6.
b) Le nombre x' – y' peut-il être multiple de 30 ?
c) En déduire que x' + y' est un multiple de 10.
5°) Déterminer l'ensemble E de tous les couples (x' ; y') de G x H pour lesquels m est un multiple non nul de
60.
Exercice 2 (5 points)
pour tous les élèves
Un jeu consiste à extraire, au hasard et simultanément, 3 boules d'une urne contenant 5 boules rouges et 5
boules vertes. Si le joueur obtient 3 boules rouges, événement que l'on note R3 , il gagne 75 euros.
S'il obtient 2 boules rouges et 1 boule verte, événement que l'on note R2 , il gagne 45 euros.
Enfin, s'il obtient moins de 2 boules rouges, événement que l'on note E, il ne gagne rien.
1. Montrer que les probabilités des événements R2 et R3 sont : P(R2) = Error! et P(R3) = Error! .
2. On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
3. Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante :
– Si le joueur réalise les événements R3 ou R2 il ne gagne plus d'argent immédiatement mais est qualifié pour
la suite du jeu que l'on appelle "Banco".
– Si l'événement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n'est pas qualifié pour le "Banco".
Le "Banco" consiste à extraire une boule parmi les sept restées dans l'urne ; si celle-ci est verte le joueur
empoche les 150 euros du "Banco" et si elle est rouge le joueur a perdu mais repart avec une prime de
"consolation" de 30 euros.
a. Quelle est la probabilité d'empocher les 150 euros du "Banco" sachant que R3 est réalisé ?
b. Quelle est la probabilité d'empocher les 150 euros du "Banco" sachant que R2 est réalisé ?
c. En déduire la probabilité d'empocher les 150 euros du "Banco".
On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu.
Y peut donc prendre les valeurs 0, 30 ou 150.
d. Etablir la loi de probabilité de Y.
e. Calculer l'espérance mathématique de Y et comparer avec celle de X.
Problème (10 points)
pour tous les élèves
La partie I est l'étude d'une fonction auxiliaire g nécessaire à l'étude de la fonction f définie sur ]0 ; [
par : f(x) = Error! + Error! .
L'étude de la fonction f fait l'objet de la partie II.
La partie III est l'étude de deux suites numériques associées.
Partie I
On considère la fonction numérique g définie sur ]0 ; [ par :
g(x) = x2 - 2 ln x
1°) Étudier le sens de variation de g.
2°) En déduire le signe de g(x) sur ]0 ; [.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ; [ par : f(x) = Error! + Error!
On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; Error!; Error!) (unité graphique
2cm).
1°) Déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
2°) a) Déterminer la limite de f en .
b) Montrer que la droite () d'équation y = Error! est asymptote à la courbe (C).
c) Déterminer la position de (C) par rapport à () sur ]0 ; [.
Montrer en particulier que () coupe (C) en un point A que l'on déterminera.
3°) Étudier le sens de variation de f.
Dresser le tableau de variation de f.
4°) Montrer qu'il existe un point B, et un seul, de la courbe (C) où la tangente (T) à (C) est parallèle à ().
Préciser les coordonnées de B.
5°) Montrer que l'équation f(x) = 0 a une solution unique .
Justifier l'encadrement : 0,34 <  < 0,35
6°) Tracer la courbe (C) et les droites () et (T).
Partie III
On considère la suite numérique (xn) définie par xn = e Error! pour tout nombre entier naturel n.
1°) a) Montrer que (xn) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
b) Montrer que (xn) est une suite croissante.
an = 4 ; ;
xn
a) Donner une interprétation géométrique de an.
2°) Pour tout entier naturel n, on pose :
xn+1
Error!
b) Montrer que an = Error! pour tout nombre entier naturel n.
En déduire que (an) est une suite arithmétique.
dx.
Exercice 1 (5 points)
pour les élèves n'ayant pas choisi spécialité Mathématiques
1°) L'équation (1) : Error! = z est définie pour z  CI - {1} et pour z  1, on peut écrire :
Error! = z  z - 2 = z(z - 1)  z - 2 = z2 - z  z2 - 2z + 2 = 0
L'équation z2 - 2z + 2 = 0 est une équation du second degré à coefficients réels.
On peut calculer son discriminant :  = (-2)2 - 4 x 2 = 4 - 8 = - 4 = (2i)2
L'équation z2 - 2z + 2 = 0 a donc deux solutions qui sont :
z1 = Error! = 1 - i et z2 = Error! = 1 + i . Comme on a z1  1 et z2  1 , on peut en déduire que :
L'équation (1) a pour solutions z1 = 1 - i et z2 = 1 + i .
On peut écrire z1 = 1 - i = 2 Error! = Error!Error!
On a donc Error!.
On a z2 = Error! , donc |z2| = |z1| et arg z2 = - arg z1
2°) L'équation (2) : Error!
Error! = i  z - 2 = i(z - 1)

Error!
Error! .
 z - 2 = iz - i
CI  z - iz = 2 - i
z = Error!  z = Error!  z = Error!  z = Error!
+ Error! i étant différent de 1, on peut conclure que :
Error!.
 z(1 - i) = 2 - i
 z = Error! + Error! i
3°) a) Les points M, A et B ont pour affixes respectives z, 1 et 2 , avec z
Error! = Error! = Error! donc Error!
arg Error! = arg (z - 2) - arg(z - 1) = arg (z - zB) - arg(z - zA) donc Error!
b) On peut écrire :
 Error! = | i | et arg Error! = arg i
Error! = 1 et (Error!,Error!) = Error!
(2)


BM = AM
et
(Error!,Error!)
= Error!
L'ensemble des points M du plan vérifiant BM = AM est la médiatrice du segment [AB].
L'ensemble des points M du plan vérifiant (Error!,Error!) = Error! [2
[AB].
On en déduit que l'équation (2) a pour solution l'affixe du point d'intersection du demi-cercle tel que (
Error! ,Error!) = Error!
Exercice (5 points) pour les élèves ayant choisi spécialité Mathématiques
Partie A
1°) On sait que f est une similitude de rapport 3.
D'autre part s est une symétrie axiale, donc s est une isométrie, c'est-à-dire une similitude de rapport 1.
La composée de deux similitudes de rapports k et k' est une similitude de rapport kk'.
Donc : g = f o s est une similitude de rapport 3 .
2°) On sait que la symétrie s d'axe Ox a pour écriture complexe z' = Error! .
D'autre part la similitude directe f de centre
Error! , de rapport 3 et d'angle Error! est la composée
de la rotation de centre  et d'angle Error! et de l'homothétie de centre  et de rapport 3, donc son écriture
complexe est donnée par : z' - z = 3 e Error! (z - z c'est-à-dire z' - z = 3i (z - z
L'application g = f o s a donc pour écriture complexe z' - z = 3i (Error! - z
Donc z' = 3i Error! + Error! + Error! i .
Si M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère (O;Error!,Error!), son image M' par g a pour coordonnées (x' ;
y') avec x' + iy' = 3i Error! + Error! + Error! i
donc x' + iy' = 3ix + 3y - Error! i + Error! + Error! + Error! i
donc x' + iy' = 3ix + 3y + 2 - i
Deux nombres complexes égaux ont même partie réelle et même partie imaginaire.
x', y', x et y étant des nombres réels, on en déduit :
x' = 3y + 2 et y' = 3x - 1
Partie B
1°)  et  étant deux entiers quelconques, on peut écrire ( + ) - ( - ) = 2  .
Comme  est un entier, on en déduit : ( + ) - ( - ) º 0 (modulo 2)
Donc ( + ) º ( - )
(modulo 2) c'est-à-dire que
 +  et  –  ont la même parité .
2°) On sait que x et y sont des entiers compris entre 1 et 8.
En prenant pour x et y les valeurs successives de 1 à 8, on obtient :
Error!
et Error!
3°) On sait que x' = 3y + 2 et y' = 3x - 1 , donc x' - y' = 3y + 2 - 3x + 1 = 3y - 3x + 3
Donc x' - y' = 3(y - x + 1)
x et y étant des entiers naturels, y - x + 1 est un entier relatif, donc x' - y' est un multiple de 3 .
4°) a) On a m = x'2 - y'2 = (x' - y')(x' + y')
Puisque m est un multiple de 60, m est un nombre pair, donc (x' - y') ou (x' + y') est un nombre pair.
Mais d'après le 1°) (x' - y') et (x' + y') ont la même parité, donc (x' - y') et (x' + y') sont pairs.
x' - y' est donc multiple de 2. Or d'après le 3°) x' - y- est aussi multiple de 3.
2 et 3 étant premiers entre eux, le théorème de Gauss permet de conclure :
x' - y' est un multiple de 6
b) On sait que x'
On en déduit 5 - 23 £ x' - y' £ 26 - 2 c'est-à-dire
Comme m est supposé non nul, on a x' x' - y' n'est pas multiple de 30 .
- 18 £ x' - y' £ 24
c) Justifions que x' - y' ne peut pas être multiple de 5.
En effet si x' - y' était multiple de 5, comme on sait qu'il est multiple de 6, on pourrait appliquer le
théorème de Gauss (5 et 6 sont premiers entre eux) et x' - y' serait multiple de 30, ce qui est faux d'après
la question précédente.
Donc x' - y' n'est pas multiple de 5.
Donc x' - y' est premier avec 5 puisque 5 est un nombre premier.
Mais on sait que m = (x' - y')(x' + y') est multiple de 60, donc mutiple de 5.
x' - y' étant premier avec 5, on en déduit que x' + y' est multiple de 5.
On a vu d'autre part que x' + y' est pair,
donc x' + y' est multiple de 10 (2 et 5 sont premiers entre eux).
5°) On sait que G = { 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; 23 ; 26 }
et
H = { 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; 23 }
On en déduit par étude des différents cas que les couples (x' ; y') pour lesquels x' + y' est multiple de 10 sont
les couples (5 ; 5) ; (8 ; 2) ; (17 ; 23) ; (20 ; 20) ; (23 ; 17) ; (26 ; 14)
Pour (x' ; y') = (8 ; 2), on a m = x'2 - y'2 = 64 - 4 = 60 = 6 x 10
Pour (x' ; y') = (17 ; 23), on a m = x'2 - y'2 = 289 - 529 = -240 = -24 x 10
Pour (x' ; y') = (23 ; 17), on a m = x'2 - y'2 = 529 - 289 = 240 = 24 x 10
Pour (x' ; y') = (26 ; 14), on a m = x'2 - y'2 = 676 - 196 = 480 = 48 x 10
L'ensemble des couples (x' ; y') de G x H pour lesquels m est un multiple non nul de 60 est :
Error!
Exercice 2 (5 points)
pour tous les élèves
1°) L'ensemble des éventualités  est l'ensemble des tirages simultanés de trois boules parmi dix.
On suppose les éventualités équiprobables.
On a card  =  3 ;10 = 120, et pour tout événement A, p(A) = Error! .


R2 est l'événement «obtenir deux boules rouges et une boule verte».
Il y a, dans l'urne, cinq boules rouges et cinq boules vertes, donc card R2 =  2 ;5 x  1 ;5 = 10 x 5 = 50.

 

Donc p(R2) = Error! , soit
Error!.
R3 est l'événement «obtenir trois boules rouges», on a : card R3 =  3 ;5 = 10,


donc p(R3) = Error! , soit
Error!.
2°) X est la variable aléatoire donnant le gain du joueur. On a X() = { 0 ; 45 ; 75 }
On a p(X = 45) = p(R2) = Error! et p(X = 75) = p(R3) = Error!
Comme on sait que p(X = 0) + p(X = 45) + p(X = 75) = 1, on en déduit p(X = 0) = 1 - Error! - Error! =
Error!
La loi de probabilité de X est donnée par :
Error! .
L'espérance mathématique de X est alors : E(X) = 0 x p(X = 0)  45 x p(X = 45)  75 x p(X = 75)
c'est-à-dire E(X) = 45 x Error!  75 x Error! = Error! . Donc Error!.
3°) a) La probabilité d'obtenir le Banco est la probabilité de tirer une boule verte parmi les 7 boules restantes.
Sachant que R3 est réalisé, il reste dans l'urne 2 boules rouges et 5 vertes.
La probabilité d'obtenir une boule verte est alors Error! (on suppose les tirages équiprobables).
Si on note B l'événement obtenir le "Banco", on a alors : Error!.
b) Sachant que R2 est réalisé, il reste dans l'urne 3 boules rouges et 4 vertes.
La probabilité d'obtenir une boule verte est alors Error! .
Donc
Error!.
c) Pour être qualifié pour le banco, il faut avoir réalisé R3 ou R2. Donc B = (BR3
R2)
Les événements (BR3) et (BR2) étant disjoints, on en déduit que p(B) = p(B  R3)  p(B  R2) .
En utilisant alors les probabilités conditionnelles, on obtient :
p(B) = pR (B) x p(R3)  pR (B) x p(R2) = Error! x Error!  Error! x Error! . Donc Error!.
3
2
d) Y est la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. Y() = { 0 ; 30 ; 150 }
Y prend la valeur 0 lorsque E est réalisé. Donc p(Y = 0) = p(E) = Error! .
Y prend la valeur 150 lorsque B est réalisé, donc p(Y = 150) = p(B) = Error! .
On sait que p(Y = 0) + p(Y = 30) + p(Y = 150) = 1, on en déduit donc p(Y = 30) = 1 - Error! - Error! =
Error!
Error!
e) On a E(Y) = 0 x Error!  30 x Error!  150 x Error! = Error! .
Error! .
Donc Error!.
Problème (10 points)
Partie I
pour tous les élèves
g est la fonction numérique g définie sur ]0 ; [ par :
g(x) = x2 - 2 ln x
1°) g est dérivable sur ]0 ; [, et on a g'(x) = 2x - 2 x Error! = 2 Error! = Error! = Error!
; [, on a x > 0 et x + 1 > 0, donc g'(x) est du signe de (x - 1).
[
Donc : Error!.
2°) On a g(1) = 12 - 2 ln 1 = 1. D'après le sens de variation de g on a alors g(x) ³ 1 pour tout x > 0. Donc
Error!.
Partie II f est la fonction numérique définie sur ]0 ; [ par : f(x) = Error! + Error!
(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;Error!,Error!) (unité graphique 2cm).
1°) On peut écrire f(x) = Error! + Error! = Error! + Error! x (1 + ln x)
On sait que Error! ln x = - donc Error! 1 + ln x = -
d'autre part Error! Error! =  donc Error! Error! x (1 + ln x) = -
De plus Error! Error! = 0 et par conséquent Error! Error! + Error! x (1 + ln x) = -
On peut en déduire que : Error!
donc
Error!.
2°) a) On peut écrire f(x) = Error! + Error! + Error!
On sait que Error! Error! = 0 ; Error! Error! = 0
et Error! Error! = 
Donc Error! Error! + Error! + Error! =  c'est-à-dire Error!.
b) On a Error! f(x) - Error! = Error! Error! + Error! = 0
Donc : Error!.
c) On a f(x) - Error! = Error! .
Donc :
f(x) = Error!  1 + ln x = 0  ln x = -1  x = e-1
Donc : Error!
; [, donc f(x) - Error! est du signe de 1 + ln x . La fonction ln étant strictement croissante,
on a alors : 1 + ln x > 0
 ln x > -1  x > e-1
et
1 + ln x < 0
 ln x < -1  x < e-1
On en déduit que f(x) > Error! pour x > e-1 et
f(x) < Error! pour x < e-1
Error! .
:
3°) Pour tout x
; [ on a f(x) = Error! + Error!
f est donc la somme et le quotient de fonctions dérivables sur ]0 ; [, donc f est dérivable sur ]0 ; [
et on a : f'(x) = Error! + Error! = Error! + Error! = Error! - Error! = Error!
Donc f'(x) = Error! . D'après la partie I, on sait que g(x) > 0 pour tout x
; [,
; [.
x
0

On en déduit que f est strictement

croissante sur ]0 ; [.
f'(x)
+
On peut donner le tableau de variation de f :

f

- coefficient directeur f'(b).
4°) La tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse b a pour
f'(b) = Error!
Error! .
Error! .

Error!
= Error!
 b2 - 2ln b = b2
 ln b = 0
 b=1
5°) f est une fonction continue et strictement croissante sur ]0 ; [.
Donc pour tout réel k dans l'intervalle Error!, l'équation f(x) = k a une solution unique.
Comme 0 Error!= IR, on en déduit que Error!.
.
6°)
(T)
(C
)
()
3
2
e-1
2
e-1
Partie III La suite numérique (xn) est définie par xn = e Error! pour tout nombre entier naturel n.
1°) a)
IN : xn+1 = e Error! = e Error! = e Error! x e Error! = xn x e Error!
On en déduit que : Error!.
Son premier terme est
x0 = e Error!
donc Error!.
b) (xn) est une suite géométrique de premier terme positif et de raison positive, donc (xn) est une suite à
termes positifs.
On a e Error! ³ 1 donc xn x e Error! ³ xn c'est-à-dire xn+1 ³ xn
IN .
Donc : la suite (xn) est une suite croissante .
2°) Pour tout entier naturel n, on a : an = 4 ; ;
xn
xn+1
Error!
dx.
a) D'après la partie II, on sait que Error! ³ 0 pour x ³ e-1
Comme la suite (xn) est croissante on a e-1 £ xn £ xn+1 .
xn+1
Donc ; ;
Error! dx est l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe (C), la
xn
n et x = xn+1 .
L'unité du repère étant 2cm, l'unité d'aire est 4cm2 .
xn+1
an = 4 ; ;
Error! dx est l'aire, en cm2, de la partie du plan limitée par la courbe (C)
xn
et les droites d'équation x = xn et x = xn+1 .
xn+1
b) an = 4 ; ;
Error! dx = 4 Error!Error! Error! dx = 4 Error!Error! Error! dx
xn
x Error!
D'autre part Error! x ln x est de la forme u'(x) x u(x) , donc Error! x ln x a pour primitive Error! u(x)2
= Error! (ln x)2.
xn+1
On a donc : an = ; 4ln x + 2 (ln x)2 ;
; = 4 ln xn+1 + 2 (ln xn+1)2 - 4ln xn - 2 (ln xn)2


xn
2
2
Donc
an = 4ln e Error! + 2Error! - 4ln e Error! - 2 Error!
2
2
an = 4 x Error! + 2 Error! - 4 x Error! - 2 Error!
an = 2n - 2 + Error! - 2n + 4 - Error! = 2 + Error!
an = 2 + Error! = Error!
donc Error!.
On en déduit que : an = n + Error! pour tout n IN.
Donc an+1 = n + 1 + Error! = n + Error! + 1 = an
On en déduit que : (an) est une suite arithmétique de raison 1 .
IN.