Bac Blanc - Mathématiques

Bac Blanc - Mathématiques
Terminale S
Calculatrice autorisée, durée 4 heures
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les
épreuves écrites de mathématiques et entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Exercice 1 (5 points) pour les élèves n'ayant pas choisi spécialité Mathématiques
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;
Error!
,
Error!
) .
1. Résoudre dans I;C l'équation (1) :
Error!
= z .
On donnera le module et un argument de chaque solution.
2. Résoudre dans I;C l'équation (2) :
Error!
= i .
On donnera la solution sous forme algébrique.
3. Soit M, A et B les points d'affixes respectives z , 1 et 2.
On suppose que M est distinct des points A et B.
a. Interpréter géométriquement le module et un argument de
Error!
.
b. Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
4. a. Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution dans I;C de l'équation
Error!
n = i , où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle
Error!
.
b. Résoudre alors dans I;C l'équation (3) :
Error!
2 = i .
On cherchera les solutions sous forme algébrique.
Exercice 1 (5 points) pour les élèves ayant choisi spécialité Mathématiques
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,
Error!
,
Error!
)
Soit f la similitude directe de centre  de coordonnées
Error!
, de rapport 3 et d'angle
Error!
.
Soit s la symétrie d'axe Ox et soit g = f o s.
1°) Justifier que g est une similitude dont on donnera le rapport.
2°) Soit M un point de coordonnées (x ; y) dans le repère (O,
Error!
,
Error!
).
Donner les coordonnées (x' ; y') du point M' image de M par g.
Partie B : On considère x et y deux entiers naturels tels que : 1 x 8 et 1 y 8 .
On pose : x' = 3 y + 2 ; y' = 3 x – 1 et m = x' 2 – y' 2
On se propose de déterminer tous les couples (x' ; y') pour lesquels m est un multiple non nul de 60.
1°) Montrer que la somme et la différence de deux entiers  et  quelconques ont même parité.
2°) On appelle G l'ensemble des valeurs prises par x' et H l'ensemble des valeurs prises par y'.
Ecrire la liste des éléments de G et la liste des éléments de H.
3°) Montrer que x' – y' est un multiple de 3.
4°) On suppose dans cette question que m est un multiple non nul de 60.
a) Montrer que x' – y' est un multiple de 6.
b) Le nombre x' – y' peut-il être multiple de 30 ?
c) En déduire que x' + y' est un multiple de 10.
5°) Déterminer l'ensemble E de tous les couples (x' ; y') de G x H pour lesquels m est un multiple non nul de
60.

Exercice 2 (5 points) pour tous les élèves
Un jeu consiste à extraire, au hasard et simultanément, 3 boules d'une urne contenant 5 boules rouges et 5
boules vertes. Si le joueur obtient 3 boules rouges, événement que l'on note R3 , il gagne 75 euros.
S'il obtient 2 boules rouges et 1 boule verte, événement que l'on note R2 , il gagne 45 euros.
Enfin, s'il obtient moins de 2 boules rouges, événement que l'on note E, il ne gagne rien.
1. Montrer que les probabilités des événements R2 et R3 sont : P(R2) =
Error!
et P(R3) =
Error!
.
2. On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
3. Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante :
– Si le joueur réalise les événements R3 ou R2 il ne gagne plus d'argent immédiatement mais est qualifié pour
la suite du jeu que l'on appelle "Banco".
– Si l'événement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n'est pas qualifié pour le "Banco".
Le "Banco" consiste à extraire une boule parmi les sept restées dans l'urne ; si celle-ci est verte le joueur
empoche les 150 euros du "Banco" et si elle est rouge le joueur a perdu mais repart avec une prime de
"consolation" de 30 euros.
a. Quelle est la probabilité d'empocher les 150 euros du "Banco" sachant que R3 est réalisé ?
b. Quelle est la probabilité d'empocher les 150 euros du "Banco" sachant que R2 est réalisé ?
c. En déduire la probabilité d'empocher les 150 euros du "Banco".
On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu.
Y peut donc prendre les valeurs 0, 30 ou 150.
d. Etablir la loi de probabilité de Y.
e. Calculer l'espérance mathématique de Y et comparer avec celle de X.

Problème (10 points) pour tous les élèves
La partie I est l'étude d'une fonction auxiliaire g nécessaire à l'étude de la fonction f définie sur ]0 ; [
par : f(x) =
Error!
+
Error!
.
L'étude de la fonction f fait l'objet de la partie II.
La partie III est l'étude de deux suites numériques associées.
Partie I
On considère la fonction numérique g définie sur ]0 ; [ par : g(x) = x2 - 2 ln x
1°) Étudier le sens de variation de g.
2°) En déduire le signe de g(x) sur ]0 ; [.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ; [ par : f(x) =
Error!
+
Error!
On appelle (
C
) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;
Error!
;
Error!
) (unité graphique
2cm).
1°) Déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
2°) a) Déterminer la limite de f en .
b) Montrer que la droite () d'équation y =
Error!
est asymptote à la courbe (
C
).
c) Déterminer la position de (
C
) par rapport à () sur ]0 ; [.
Montrer en particulier que () coupe (
C
) en un point A que l'on déterminera.
3°) Étudier le sens de variation de f.
Dresser le tableau de variation de f.
4°) Montrer qu'il existe un point B, et un seul, de la courbe (
C
) où la tangente (T) à (
C
) est parallèle à ().
Préciser les coordonnées de B.
5°) Montrer que l'équation f(x) = 0 a une solution unique .
Justifier l'encadrement : 0,34 <  < 0,35
6°) Tracer la courbe (
C
) et les droites () et (T).
Partie III
On considère la suite numérique (xn) définie par xn = e
Error!
pour tout nombre entier naturel n.
1°) a) Montrer que (xn) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
b) Montrer que (xn) est une suite croissante.
2°) Pour tout entier naturel n, on pose : an = 4 ;
xn;xn+1
Error!
dx.
a) Donner une interprétation géométrique de an.
b) Montrer que an =
Error!
pour tout nombre entier naturel n.
En déduire que (an) est une suite arithmétique.

Exercice 1 (5 points) pour les élèves n'ayant pas choisi spécialité Mathématiques
1°) L'équation (1) :
Error!
= z est définie pour z CI - {1} et pour z 1, on peut écrire :
Error!
= z  z - 2 = z(z - 1)  z - 2 = z2 - z  z2 - 2z + 2 = 0
L'équation z2 - 2z + 2 = 0 est une équation du second degré à coefficients réels.
On peut calculer son discriminant :  = (-2)2 - 4 x 2 = 4 - 8 = - 4 = (2i)2
L'équation z2 - 2z + 2 = 0 a donc deux solutions qui sont :
z1 =
Error!
= 1 - i et z2 =
Error!
= 1 + i . Comme on a z1
1 et z2 1 , on peut en déduire que :
L'équation (1) a pour solutions z1 = 1 - i et z2 = 1 + i .
On peut écrire z1 = 1 - i = 2
Error!
=
Error!Error!
On a donc
Error!
.
On a z2 =
Error!
, donc |z2| = |z1| et arg z2 = - arg z1
Error!
.
2°) L'équation (2) :
Error!
CI -
Error!
= i  z - 2 = i(z - 1)  z - 2 = iz - i  z - iz = 2 - i  z(1 - i) = 2 - i
 z =
Error!
 z =
Error!
 z =
Error!
 z =
Error!
 z =
Error!
+
Error!
i
Error!
+
Error!
i étant différent de 1, on peut conclure que :
Error!
.
3°) a) Les points M, A et B ont pour affixes respectives z, 1 et 2 , avec z
Error!
=
Error!
=
Error!
donc
Error!
arg
Error!
= arg (z - 2) - arg(z - 1) = arg (z - zB) - arg(z - zA) donc
Error!
b) On peut écrire : (2) 
Error!
= | i | et arg
Error!
= arg i
Error!
= 1 et (
Error!
,
Error!
) =
Error!
 BM = AM et (
Error!
,
Error!
)
=
Error!
L'ensemble des points M du plan vérifiant BM = AM est la médiatrice du segment [AB].
L'ensemble des points M du plan vérifiant (
Error!
,
Error!
) =
Error!
[2
[AB].
On en déduit que l'équation (2) a pour solution l'affixe du point d'intersection du demi-cercle tel que (
Error!
,
Error!
) =
Error!

Exercice (5 points) pour les élèves ayant choisi spécialité Mathématiques
Partie A
1°) On sait que f est une similitude de rapport 3.
D'autre part s est une symétrie axiale, donc s est une isométrie, c'est-à-dire une similitude de rapport 1.
La composée de deux similitudes de rapports k et k' est une similitude de rapport kk'.
Donc : g = f o s est une similitude de rapport 3 .
2°) On sait que la symétrie s d'axe Ox a pour écriture complexe z' =
Error!
.
D'autre part la similitude directe f de centre
Error!
, de rapport 3 et d'angle
Error!
est la composée
de la rotation de centre  et d'angle
Error!
et de l'homothétie de centre  et de rapport 3, donc son écriture
complexe est donnée par : z' - z = 3 e
Error!
(z - z c'est-à-dire z' - z = 3i (z - z
L'application g = f o s a donc pour écriture complexe z' - z = 3i (
Error!
- z
Donc z' = 3i
Error!
+
Error!
+
Error!
i .
Si M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère (O;
Error!
,
Error!
), son image M' par g a pour coordonnées (x' ;
y') avec x' + iy' = 3i
Error!
+
Error!
+
Error!
i
donc x' + iy' = 3ix + 3y -
Error!
i +
Error!
+
Error!
+
Error!
i
donc x' + iy' = 3ix + 3y + 2 - i
Deux nombres complexes égaux ont même partie réelle et même partie imaginaire.
x', y', x et y étant des nombres réels, on en déduit : x' = 3y + 2 et y' = 3x - 1
Partie B
1°)  et  étant deux entiers quelconques, on peut écrire ( + ) - ( - ) = 2  .
Comme  est un entier, on en déduit : ( + ) - ( - ) º 0 (modulo 2)
Donc ( + ) º ( - ) (modulo 2) c'est-à-dire que  +  et  –  ont la même parité .
2°) On sait que x et y sont des entiers compris entre 1 et 8.
En prenant pour x et y les valeurs successives de 1 à 8, on obtient :
Error!
et
Error!
3°) On sait que x' = 3y + 2 et y' = 3x - 1 , donc x' - y' = 3y + 2 - 3x + 1 = 3y - 3x + 3
Donc x' - y' = 3(y - x + 1)
x et y étant des entiers naturels, y - x + 1 est un entier relatif, donc x' - y' est un multiple de 3 .