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Les Hauts Thébaudières
BAP – Géogami
Fiches d’activités de pliages géométriques
Construction d’un tétraèdre régulier
Niveau de pliage *****
Niveau scolaire Cycle central du collège
Dernière mise à jour le 22/02/2012
Création: Pascal AYMARD, d’après « Mathémagie des pliages » (D. BOURSIN
et V. LAROSE – Les Éditions du Kangourou)
Cette activité permet de réaliser une pyramide particulière en trois dimensions, à
partir d’une feuille au format A4.
Elle comporte 5 étapes dont une étape d’assemblage. Dans les premières étapes,
on construit des triangles équilatéraux qui deviendront les faces de la pyramide.
Un pli difficile consiste à amener un sommet sur un pli de préparation en faisant
passer le nouveau pli par un second sommet. Cette technique est abordée dans
l’activité de construction d’un triangle équilatéral, qui peut donc être
judicieusement menée dans un premier temps. L’assemblage peut également être
délicat à réaliser la première fois mais s’apprend facilement.
Plusieurs notions mathématiques sont abordées : mesure des angles,
comparaison des longueurs, droite des milieux, solides de l’espace, théorème de
Pythagore ou théorème de Thalès dans les recherches. L’objectif essentiel est de
manipuler et comprendre le vocabulaire de la géométrie spatiale.
Des calculs de volume sont proposés ainsi qu’un supplément reliant des
connaissances historiques (et architecturales) aux mathématiques.
Connaissances et compétences de géométrie :
- Comparer des longueurs
- Déterminer une mesure d’angle
- Reconnaître et représenter des figures planes
- Reconnaître et utiliser le parallélisme
- Reconnaître et représenter des objets de géométrie spatiale
- Utiliser des propriétés et théorèmes de géométrie plane (droite des milieux,
réduction, calcul de volume…)
- Calculer un volume
Compétences en démarche scientifique :
- Observer et recenser les informations
- Suivre un programme de construction
- Effectuer des essais selon les indications de l’énoncé
- Contrôler, exploiter ses résultats
- Exprimer correctement sa solution

- Utiliser des données issues de problème
- Calculer en utilisant une formule
- Formuler une conjecture ou une hypothèse
- Mettre en œuvre une propriété ou un théorème
- Utiliser les unités de mesures dans la démarche
- Présenter une conclusion
Objectifs de pliage :
- Effectuer un pli médian
- Plier en amenant un sommet sur un pli
- Glisser un volet
- Construire un triangle équilatéral
- Développer la précision du geste et l’application du vocabulaire lié au
pliage
- Assembler un modèle en trois dimensions
Vocabulaire : Repérage et positionnement. Plis vallée, montagne, médian. Volet,
épaisseurs multiples, intérieur, extérieur.
Manipulations : Plier, déplier et replier, rabattre, glisser, amener, bord à bord,
suivre un pli, tourner, retourner.
Matériel utilisé : Feuille rectangulaire en format A4 (papier de 100 à 210 g/m²).
Prolongements :
• Calcul de la longueur du segment de la hauteur intérieure (utilisation du
théorème de Pythagore ou trigonométrie)
• Illustration de l’utilisation du théorème de Thalès pour le calcul de la
hauteur de la pyramide de Gizeh
• Extension à la construction d’autres polyèdres
• Histoire
Activité :
Étape 1 :
R : S’assurer que les bords de la table sont droits
Position : C : Placer la longueur du rectangle représenté par la feuille contre le
bord de la table.
Pli n°1 : C : Plier bord à bord la longueur supérieure sur la longueur inférieure.
Tourner d’un demi-tour le modèle.
Constat : C : Le rectangle obtenu comporte deux épaisseurs, deux volets
identiques. Les deux volets sont pliables séparément.

Pli n°2 : C : Plier bord à bord le côté supérieur du volet du dessus sur le côté
inférieur du modèle.
O : On amène ainsi les deux longueurs l’une sur l’autre.
Position : C : Retourner le modèle.
O: Le rectangle comporte :
- trois épaisseurs dans sa partie inférieure, jusqu’à la médiane
- une épaisseur dans sa partie supérieure.
Pli n°3 : C : Recommencer le pli précédent, c’est-à-dire, plier bord à bord le côté
supérieur sur le côté inférieur du modèle.
Constat : C : On a obtenu un rectangle contenant 4 épaisseurs de papier, dont la
longueur est identique à celle de la feuille initiale.
Question 1:
Q1. Quelle fraction de la largeur initiale représente la largeur du modèle ainsi
obtenu ?
Position : C : Repousser le modèle d’une longueur de main.
Rabattre les deux épaisseurs formant le volet du dessus sur la table.
Constat et position : C : On obtient alors un rectangle dont la largeur est la
moitié de celle de la feuille initiale, comportant un pli vallée médian dans la
longueur. Retourner le modèle.
Étape 2 :
O : Le modèle est un rectangle en double épaisseur.
Deux volets libres identiques d’un quart du rectangle initial sont présents sur la
face du dessus, l’un est dans la partie supérieure et l’autre dans la partie
inférieure. Un pli médian montagne sépare les deux volets.
Pli n°4 : C : Amener le sommet supérieur droit sur le pli vallée médian, de telle
sorte que le pli passe par le sommet inférieur droit de la feuille. On obtient un pli
vallée oblique sur la droite. Bien marquer ce pli.
Tourner d’un demi-tour le modèle.
Constat : C : Le pli oblique qui vient d’être effectué est alors sur la gauche du
modèle.
Pli n°5 : C : Amener bord à bord le pli oblique de gauche sur le bord inférieur du
modèle.
Questions 2 :
Q2.A. Un triangle est ainsi formé. Quelles sont ses propriétés de mesures
d’angles et de longueurs de côtés ?
Q2.B. Quelle est la nature de ce triangle ?
Q2.C. La trace d’un pli précédent est perceptible sur la partie inférieure gauche
de ce triangle.

Ce pli est-il parallèle à un côté du triangle ? Comment peut-on justifier la
réponse ?
Étape 3 :
Position et constat : C : Tourner le modèle d’un demi-tour. Le triangle est sur la
partie droite du modèle.
Pli n°6 : C : Amener bord à bord le pli oblique de droite sur le bord inférieur du
modèle.
Constat : C : On obtient à nouveau un triangle sur la droite.
Question 3:
Q3. Est-ce le même type de triangle que celui obtenu dans l’étape précédente ?
Position : C : Tourner à nouveau le modèle d’un demi-tour.
Pli n°7 : C : Amener bord à bord le pli oblique de gauche sur le bord inférieur
du modèle.
Constat : C : On obtient à nouveau un triangle équilatéral. Sur la droite, du
modèle, un triangle rectangle en épaisseur double dépasse du triangle équilatéral
fait de nombreuses épaisseurs.
Étape 4 :
Question 4 :
Q4 : Combien de triangles équilatéraux y a-t-il dans les différentes épaisseurs du
modèle ?
Pli n°8 : C : Amener le triangle rectangle de droite au-dessus du modèle en
suivant le côté oblique de droite du triangle équilatéral.
Bien marquer ce pli.
Pli n°9 : C : Déplier le triangle rectangle de droite sur la table et le volet en
forme de triangle équilatéral du dessus sur la gauche de la table.
Pli n°10 : C : Rabattre le triangle rectangle de droite en double épaisseurs sur le
modèle. Bien marquer ce pli.
Étape 5 :
R : L’étape qui suit, constituant l’assemblage final, est assez compliquée à
décrire. Il peut être nécessaire de s’appuyer sur les illustrations de la fiche élève
et montrer le geste ou guider les mains.
Position : C : Déplier les triangles équilatéraux et le triangle rectangle de
gauche.

Constat : C : On retrouve trois triangles équilatéraux, un triangle rectangle sur la
gauche et un quadrilatère quelconque sur la partie droite.
O : Il ne reste plus qu’à assembler la pyramide.
Assemblage : C : On numérote les triangles en partant de la gauche :
- Le triangle rectangle de gauche est le numéro 1,
- Le triangle équilatéral qui le suit à droite est le numéro 2,
- Le triangle équilatéral qui suit est le numéro 3,
- Le triangle équilatéral suivant est le numéro 4 et
- Le quadrilatère sur la partie droite est le numéro 5.
Glisser le quadrilatère 5 entre les deux volets du triangle rectangle 1.
Laisser le triangle 3 à plat sur la table.
Les côtés supérieurs des triangles 2 et 4 sont amenés l’un contre l’autre.
Questions 5 :
Q5.A. Quel autre nom peut désigner la pyramide obtenue ?
Q5.B. Combien de faces possède le modèle ?
Q5.C. Ces faces sont-elles toutes identiques ?
Q5.D. Quelle est la nature de chacune des faces ?
Q5.E. Combien de sommets possède le modèle ?
Q5.F. Y a-t-il autant de sommets que de faces ?
Q5.G. Combien d’arêtes possède le modèle ?
Q5.H. Ces arêtes sont-elles toutes de la même longueur ?
Q5.I. Y a-t-il autant de sommets que d’arêtes ?
Q5.J. Mesurer les longueurs des arêtes.
COURS :
- On appelle « polyèdre » un solide de l’espace constitué de plusieurs polygones
du plan appelés « faces » qui sont réunis par des côtés communs. Les segments
communs aux faces sont appelés « arêtes » du « polyèdre ».
- On appelle « base » la face posée contre la table. La « hauteur » associée à
cette base est la droite perpendiculaire à la base passant par le sommet opposé à
cette base.
- On appelle « pyramide », un polyèdre possédant une base en forme de
polygone et des faces en forme de triangles possédant un sommet commun
qu’on appelle « sommet de la pyramide ».
- Une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier et que la hauteur
issue du sommet de la pyramide passe par le centre de la base.
- Il existe des pyramides à base triangulaire qui ne sont pas régulières. Il existe
également plusieurs autres types de pyramides régulières (une infinité en fait).
On peut citer : les pyramides régulières à base carrée, à base pentagonale,