MPSI CHAPITRE 22
EXERCICES
22-1 Expérience de Jean Perrin
Pour déterminer la constante d'Avogadro, Jean Perrin a eu l'idée de réaliser une "atmosphère" isotherme à l'aide d'une
suspension de petites sphères de gomme-gutte, toutes de même rayon r = 0,212 µm, de masse volumique = 1,194 g.cm–3, dans de
l 'eau de masse volumique 0 = 1,003 g.cm–3 à T0 = 293 K .
1) Montrer que la répartition des grains en altitude se fait suivant la loi
où dN est le nombre de grains
compris dans une colonne verticale, entre les plans d'altitudes z et z + dz, et A une constante. Donner l'expression de H en fonction
de la constante R des gaz parfaits, de la constante d'Avogadro N , du rayon r des grains, de et de 0, de T0 et de g = 9.8 m.s–2,
intensité du champ de pesanteur.
2) À un niveau pris comme origine, dans une tranche de petite épaisseur donnée, Jean Perrin a compte 100 grains; à l'altitude
h = 90 µm au dessus de ce niveau, il a compte en moyenne 17 grains.
Déduire de ces mesures une valeur approximative de la constante d'Avogadro; on prendra R,= 8,32 J.mol–1.K–1.
3) Afin de montrer le rôle joué par la petitesse des grains, calculer littéralement puis numériquement le rayon r0 des grains
pour lequel r0 = H. Interpréter ce résultat.
Résultats : 1)
2) N = 6,4.1023 mol–1 3) r0 = 0,85 µm
22-2 Distribution des vitesses d'un gaz parfait monoatomique
1) Calcul de l'intégrale Ip =
.Montrer en intégrant par parties que
.
Calculer I1, puis I0. Pour le calcul de I0, on montrera que
2
0 0r
r
0x 0y
yx
2
0dSedydxeeI 222
.
2) Exprimer, en utilisant directement le facteur de Boltzman, la fonction de distribution de la norme v de la vitesse d'une
molécule de gaz parfait monoatomique en équilibre thermique, en utilisant les paramètres T et µ (masse d'une molécule), et la
constante de Boltzman k..
3) Tracer les graphes des fonctions de distribution D(v) et D(vx) pour l'argon, de masse molaire M = 39,95 g.mol–1 à 298 K.
4) Exprimer la valeur moyenne <v> de la norme de la vitesse, la vitesse quadratique moyenne u et la norme la plus probable
v0 de la vitesse.
5) Exprimer de même, pour une coordonnée de la vitesse : <vx.>,ux et vx0.
Résultats : 1) I1 =
et I0 =
2) D(v) =
kT2
µv
2
2
32
ev
kT2µ
4
3)
v0 =
<vx> = 0 ux =
ux0 = 0.
22-3 Calcul d'une fuite
On rappelle que la fonction de distribution d'une coordonnée cartésienne de la vitesse d'une molécule d'un gaz parfait
monoatomique est : D (vx) =
avec
, µ étant la masse d'une molécule.
Un récipient de volume V = 1 L, maintenu à la température de 298 K, sous la pression initiale de 1 torr (1mm de
mercure), est percé d'un trou de section s = 1 µm2. De l'autre côté règne le vide absolu.
Au bout de quel temps t la pression dans le récipient aura-t-elle été divisée par deux ?
Application numérique à l'hélium (MHe = 4,0 g.mol-1).
22-4 Mouvement de translation accéléré
Un cylindre horizontal, de section S et de volume invariable, est séparé en deux compartiments par un piston de masse m
pouvant coulisser sans aucun frottement. Les deux compartiments contiennent les mêmes quantités de gaz parfait en équilibre
thermique avec l'extérieur à la température T.
On notera respectivement P0 et V0 la pression et le volume de chaque compartiment quand le cylindre est immobile.
Le cylindre est maintenant en mouvement de translation, dans la direction de son axe de révolution, avec un vecteur
accélération
, de norme a, orienté vers la droite.
Lorsque l'équilibre mécanique est réalisé dans le cylindre, ainsi que l'équilibre thermique avec l'extérieur, le compartiment
de gauche a le volume V1 et la pression P1, celui de droite a le volume V2 et la pression P2.
1) Donner la relation entre P1, P2, a, m, et S.