La boule

Sphères et boules
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De tout temps, la sphère de par ses nombreuses symétries a passionné les hommes. On en rencontre de
nombreux exemples dans la vie courante : les astres, les boules de pétanque…
Quel est le vocabulaire lié aux sphères et aux boules ? Quelle est la section plane d’une sphère ?
Comment calcule-t-on l’aire d’une sphère et le volume d’une boule ?
1. Vocabulaire
Partie 1 en vidéo
a. Sphères et boules
• Sphère
Soit O un point de l’espace et R un nombre positif.
La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM = R.
Une sphère est une surface.
• Boule
Soit O un point de l’espace et R un nombre positif.
La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM ≤ R.
Une boule est un solide.
Exemple
La sphère ci-contre a pour centre O et
pour
rayon R = OM. O, A et Cn’appartiennent
pas à cette sphère. Met B appartiennent
à la sphère. Les
points M, C, O, B appartiennent à la
boule. A n’appartient pas à la boule
car OA > R.
b. Grand cercle
Soit une sphère de centre O et de rayon R.
Un grand cercle de la sphère est un cercle de centre O et de rayon R.
Remarque : Si le milieu du segment formé par deux points de la sphère est le centre de la sphère, alors
on dit que ces deux points sontdiamétralement opposés.
Exemple
On considère la sphère de centre O ci-contre.
Les points A et B sont diamétralement
opposés. On dit aussi que [AB] est un
diamètre de la sphère. Deux grands cercles de
la sphère ont été représentés en orange et en
vert.
2. Section plane d'une sphère
Partie 2 en vidéo
Quand elle existe, la section plane d’une sphère par un plan est un cercle ou un point.
Exemple
Soit une sphère de centre O et de rayon R. On considère un plan P et un point H de ce plan tel que la
droite (OH) soit perpendiculaire à ce plan. On appelle la distance OH la distance du centre O au plan P.
1er cas
Si OH > R, alors le plan P ne
coupe pas la sphère ; il n’y a donc
pas de point commun.
2eme cas
Si OH = R, alors le plan P coupe
la sphère en un unique
point H. La section plane se
réduit alors au pointH. On dit que
le plan P est tangent à la sphère.
3eme cas
Si 0 < OH < R, alors la section
plane de la sphère par le
plan P est un cercle de rayon
[MH]. Le triangleOHM est
rectangle en H. Par application du
théorème de Pythagore
dans OHM, il vient :
.
On dit que la sphère est séparée
en deux calottes sphériques.
Remarque : Si OH = 0, alors la section de la sphère par un plan est un grand cercle de la sphère et la
sphère est ainsi séparée en deuxhémisphères.
3. Aire et volume
Partie 3 en vidéo
a. Aire d'une sphère
Soit une sphère de centre O et de rayon R.
L’aire de cette sphère est donnée par :
A = 4πR2.
Exemple
On souhaite peindre un ballon de 30 cm de diamètre. Pour cela, on a besoin de la surface du ballon.
Autrement dit, calculer l’aire de la sphère.
A = 4πR2 = 4π × 152 = 900π ≈ 2 826.
La valeur exacte de l’aire est 900π cm2. Une valeur approchée est 2 826 cm 2.
b. Volume d'une boule
Soit une boule de centre O et de rayon R.
Le volume de cette boule est donnée par :
.
Exemple 1
Trouver le volume d’une boule de 6 mètres de rayon.
.
La valeur exacte du volume est 288π m3. Une valeur approchée à l’unité du volume est de 904 m3.
Exemple 2
La Terre est un solide assimilable à une boule de rayon 6370 km.
En donner un volume approché en écriture scientifique.
.
Une valeur approchée du volume terrestre est 1,1 × 1012 km3.