Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

TES- Corrigé DS4
Exercice 1 :
1) lim;x  –1+ (x + 1) = 0+ donc lim;x  –1+
Error!
= + et
Error!
Error!
2) lim;x  –1+ f(x) = – donc la droite d’équation x = – 1 est une asymptote verticale à Cf (non proposé)
Error!
(x + 1) = + donc
Error!
Error!
= 0 et
Error!
donc la droite d’équation y = 2 est une asymptote
horizontale à Cf en + . Réponse a
3) Pour tout réel x de l’intervalle ] –1 ; + [ , f(x) = 2 –
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
Réponse b
4) La fonction f est dérivable sur ] –1 ; + [ et f ’(x) = 0 –
Error!
=
Error!
Le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse 1 est égal à f’(1) =
Error!
=
Error!
Réponse b
Exercice 2
On considère les fonctions f et g définies par : f(x) = (x² – 1)5 et g(x) = 1 – x²
1) La fonction f est définie sur I; R VRAI , c’est une fonction polynôme.
2) La fonction g est définie sur : I; R+ FAUX , la fonction x
Error!
Error!
est définie sur
Error!
+, mais la
fonction
x
Error!
u(x) est définie lorsque u(x) 0. Ici, 1 – x² = – x² + 1 est polynôme du second degré admettant 2
racines – 1 et 1, et est du signe de – a = –( –1) > 0 à l’intérieur des racines donc u(x) 0 sur [ –1 ;1] et
Error!
3) La fonction dérivée de la fonction f est : f ’(x) = 5(x² – 1)4 FAUX , f(x) est de la forme u(x)5
où u(x) = x² – 1 et u’(x) = 2x. Or, f ’(x) = 5 u’(x) u(x)4 donc f ’(x) = 5 2x (x² – 1)4
f ’(x) = 10x(x² – 1)4
4) La fonction dérivée de la fonction g est : g ’(x) =
Error!
Error!
, g(x) est de la forme
Error!
Où u(x) = 1 – x². g ’(x) =
Error!
=
Error!
=
Error!
Exercice 3 :.
Partie A
1) a) La recette est égale au produit du prix unitaire et du nombre d’objets.
Le prix unitaire pour 5 objets vendus est égal à P = 12 –
2
1
5 = 12 –
Error!
= 9,5
Et R(5) = 9,5 5 = 47,5 Donc
Error!

b) R(x) = x P = x (12 –
2
1
x) = 12x –
Error!
x2
donc
Error!
2) a) La limite en + d’une fonction polynôme est égal à la limite du monôme de plus haut degré en +
donc
Error!
f(x) =
Error!
–
Error!
x2 = – car –
Error!
< 0 et
Error!
x2 = +
Error!
b) f est une fonction polynôme définie et dérivable sur [0 ; +  [ et f ’(x) = –
Error!
2x + 12
soit f ’(x) = – x + 12 f ’(x) est de la forme ax + b avec a = – 1 < 0 et – x + 12 = 0 x = 12
On en déduit le tableau de signes de f ’(x).
x
0 12 + 
f ’(x)
+ 0 –
c) Sur [0 ; 12[, f ’(x) > 0 donc f est croissante. Sur ] 12 ; + [, f ’(x) < 0 donc f est décroissante.
On en déduit le tableau de variations de f.
x
0 12 + 
f (x)
72
0 – 
f(0) = –
Error!
0² + 12 0 = 0 et f(12) = –
Error!
12² + 12 12 = –
Error!
+ 144 =
Error!
= 72
3) a) D’après la question 2), la fonction f admet un maximum pour x = 12 et ce maximum vaut 72. Or, la
fonction f est la fonction R donc la recette est-elle maximale pour 12 objets vendus.
b) La recette maximale s’élève à 72 euros.
Partie B
1) Le bénéfice est égal à la différence entre la recette et les coûts de production
B(x) = R(x) – C(x) = –
Error!
x2 + 12x – (
3
1
x3 – 6x² + 36x – 50) = –
Error!
x2 + 12x –
3
1
x3 + 6x² – 36x +
50
Soit
Error!
2) a) La limite en + d’une fonction polynôme est égal à la limite du monôme de plus haut degré en +
donc
Error!
g(x) =
Error!
–
Error!
x3 = – car –
Error!
< 0 et
Error!
x3 = + donc
Error!
b) g est une fonction polynôme de degré 3 définie et dérivable sur [0 ; +  [
et g’(x) = –
Error!
3x2 +
Error!
2x – 24 donc
Error!
.
g’(x) est un polynôme du second degré. Pour étudier son signe, on calcule le discriminant et on cherche
les éventuelles racines.  = 11² – 4 ( –1) (– 24) = 121 – 96 = 25 = 5²
donc g’(x) s’annule pour x =
Error!
=
Error!
= 8 et x =
Error!
=
Error!
= 3 et g’(x) est du signe de a = – 1
donc négatif à l’extérieur des racines. On en déduit le tableau de signes de g’(x).
x
0 3 8 + 
g ’(x)
– 0 + 0 –
c) D’où les variations de la fonction g.
x
0 3 8 + 
g (x)
50  39,3
18,5 –

d) - Sur l’intervalle [0 ; 8], la fonction g admet un minimum égal à 18,5 donc l’équation g(x) = 0 n’admet
pas de solution dans cet intervalle.
- Sur l’intervalle [8 ; + [, la fonction g est continue et strictement décroissante. g(3) = 18,5 > 0 et
Error!
g(x) = – . Donc 0 ]
Error!
g(x) ; g(8)[ donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
l’équation g(x) = 0 admet exactement une solution dans [8 ; + [
soit
Error!
Comme g(11) 7,8 et g(12) – 22 on peut en déduire que 11 < < 12
3) a) La fonction B est la fonction g et la fonction g admet un maximum pour x = 8 puisque 2  x  14
donc le bénéfice maximal est réalisé pour 8 objets fabriqués et vendus .
b) On réalise un bénéfice lorsque B(x) > 0 et d’après l’étude précédente, g(x) 0 pour x [0 ; ]
donc on réalise un bénéfice pour un nombre d’objets fabriqués et vendus compris entre 2 et 11
c) D’après la partie A, la recette est maximale pour 12 objets vendus, et dans ce cas,
l’entreprise ne réalise pas de bénéfice puisque la fonction g est négative sur l’intervalle [ ; + [