Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

TES- Corrigé DS4
Exercice 1 :
1) lim;
x
–1+
2) lim;
x  –1+
(x + 1) = 0+ donc lim;
x  –1+
Error!
= +  et Error!
Error!
f(x) = –  donc la droite d’équation x = – 1 est une asymptote verticale à Cf (non proposé)
= +  donc Error! Error! = 0 et Error! donc la droite d’équation y = 2 est une asymptote
horizontale à Cf en + .
Réponse a
Error!(x + 1)
3) Pour tout réel x de l’intervalle ] –1 ; + [ , f(x) = 2 – Error! = Error! = Error! = Error!
Réponse b
4) La fonction f est dérivable sur ] –1 ; + [ et f ’(x) = 0 – Error! = Error!
Le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse 1 est égal à f’(1) = Error! = Error!
Réponse b
Exercice 2
On considère les fonctions f et g définies par : f(x) = (x² – 1)5 et g(x) = 1 – x²
1) La fonction f est définie sur I; R VRAI , c’est une fonction polynôme.
2) La fonction g est définie sur : I; R+ FAUX , la fonction x Error! Error! est définie sur Error!+, mais la
fonction
x Error! u(x) est définie lorsque u(x)  0. Ici, 1 – x² = – x² + 1 est polynôme du second degré admettant 2
racines – 1 et 1, et est du signe de – a = –( –1) > 0 à l’intérieur des racines donc u(x)  0 sur [ –1 ;1] et
Error!
3) La fonction dérivée de la fonction f est : f ’(x) = 5(x² – 1)4 FAUX , f(x) est de la forme u(x)5
où u(x) = x² – 1 et u’(x) = 2x. Or, f ’(x) = 5 u’(x)  u(x)4 donc f ’(x) = 5  2x (x² – 1)4
f ’(x) = 10x(x² – 1)4
4) La fonction dérivée de la fonction g est : g ’(x) = Error! Error!, g(x) est de la forme Error!
Où u(x) = 1 – x². g ’(x) = Error! = Error! = Error!
Exercice 3 :.
Partie A
1) a) La recette est égale au produit du prix unitaire et du nombre d’objets.
1
Le prix unitaire pour 5 objets vendus est égal à P = 12 –  5 = 12 – Error! = 9,5
2
Et R(5) = 9,5 5 = 47,5 Donc Error!
b) R(x) = x  P = x (12 –
1
x) = 12x – Error! x2
2
donc Error!
2) a) La limite en +  d’une fonction polynôme est égal à la limite du monôme de plus haut degré en + 
donc Error! f(x) = Error!– Error! x2 = –  car – Error! < 0 et Error! x2 = + 
Error!
b) f est une fonction polynôme définie et dérivable sur [0 ; +  [ et f ’(x) = – Error!  2x + 12
soit f ’(x) = – x + 12
f ’(x) est de la forme ax + b avec a = – 1 < 0 et – x + 12 = 0  x = 12
On en déduit le tableau de signes de f ’(x).
x
0
12
f ’(x)
+
0
–
c) Sur [0 ; 12[, f ’(x) > 0 donc f est croissante. Sur ] 12 ; +[, f ’(x) < 0 donc f est décroissante.
On en déduit le tableau de variations de f.
x
0
12
72
f (x)
0
+
+
–
f(0) = – Error!  0² + 120 = 0 et f(12) = – Error!  12² + 12  12 = – Error! + 144 = Error! = 72
3) a) D’après la question 2), la fonction f admet un maximum pour x = 12 et ce maximum vaut 72. Or, la
fonction f est la fonction R donc la recette est-elle maximale pour 12 objets vendus.
b) La recette maximale s’élève à 72 euros.
Partie B
1) Le bénéfice est égal à la différence entre la recette et les coûts de production
1
1
B(x) = R(x) – C(x) = – Error! x2 + 12x – ( x3 – 6x² + 36x – 50) = – Error! x2 + 12x – x3 + 6x² – 36x +
3
3
50
Soit Error!
2) a) La limite en +  d’une fonction polynôme est égal à la limite du monôme de plus haut degré en + 
donc Error! g(x) = Error!– Error! x3 = –  car – Error! < 0 et Error! x3 = +  donc Error!
b) g est une fonction polynôme de degré 3 définie et dérivable sur [0 ; +  [
et g’(x) = – Error!  3x2 + Error!  2x – 24 donc Error!.
g’(x) est un polynôme du second degré. Pour étudier son signe, on calcule le discriminant et on cherche
les éventuelles racines.  = 11² – 4( –1)(– 24) = 121 – 96 = 25 = 5²
donc g’(x) s’annule pour x = Error! = Error! = 8 et x = Error! = Error! = 3 et g’(x) est du signe de a = – 1
donc négatif à l’extérieur des racines. On en déduit le tableau de signes de g’(x).
x
0
3
8
+
g ’(x)
–
0
+
0
–
c) D’où les variations de la fonction g.
x
0
50
g (x)
3
18,5
8
 39,3
+
–
d) - Sur l’intervalle [0 ; 8], la fonction g admet un minimum égal à 18,5 donc l’équation g(x) = 0 n’admet
pas de solution dans cet intervalle.
- Sur l’intervalle [8 ; +[, la fonction g est continue et strictement décroissante. g(3) = 18,5 > 0 et
Error! g(x) = – . Donc 0  ]Error! g(x) ; g(8)[ donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
l’équation g(x) = 0 admet exactement une solution dans [8 ; + [
soit Error!
Comme g(11)  7,8 et g(12)  – 22 on peut en déduire que 11 <  < 12
3) a) La fonction B est la fonction g et la fonction g admet un maximum pour x = 8 puisque 2  x  14
donc le bénéfice maximal est réalisé pour 8 objets fabriqués et vendus .
b) On réalise un bénéfice lorsque B(x) > 0 et d’après l’étude précédente, g(x)  0 pour x  [0 ; ]
donc on réalise un bénéfice pour un nombre d’objets fabriqués et vendus compris entre 2 et 11
c) D’après la partie A, la recette est maximale pour 12 objets vendus, et dans ce cas,
l’entreprise ne réalise pas de bénéfice puisque la fonction g est négative sur l’intervalle [ ; + [