quelques commentaires à propos des exemples proposes lors de l

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QUELQUES COMMENTAIRES À PROPOS DES EXEMPLES PRÉSENTÉS LORS
DE L’EXPOSÉ : « DE L’EXPÉRIMENTATION À LA DÉMONSTRATION ».
PRÉSENTATION
Les nouveaux programmes de collège privilégient, pour les disciplines
scientifiques, une démarche d’investigation qui va se traduire, en mathématiques,
par l’émission d’une conjecture. C’est par la démonstration que celle-ci sera validée.
L’expérimentation s’est imposée à nouveau dans l’enseignement des
mathématiques ces dernières années par l’intermédiaire des calculatrices, certes, et
surtout de l’informatique : tableur-grapheur et logiciels de géométrie sont des outils
puissants qui favorisent l’émergence d’une conjecture. Ils permettent de multiplier les
exemples, sans coût.
MODALITÉS D’UTILISATION
Utilisation d’un vidéo projecteur, en classe entière.
Possibilité de traiter certains exemples en salle informatique à condition de
prévoir une fiche élève qui guidera celui-ci dans son travail.
FICHIERS UTILISANT LE TABLEUR
OBJECTIFS COMMUNS À TOUS LES FICHIERS :
 Amener les élèves à conjecturer et motiver ainsi la démonstration que
l’enseignant pourra, à sa guise, présenter ou non. Il distinguera clairement
propriétés admises et propriétés démontrées. Le calcul littéral permettra de
généraliser des observations faites sur des exemples, aussi nombreux soient-
ils.
 Développer des compétences qui pourront être validées dans le cadre du B2I.
1) SOMME DE DEUX NOMBRES ENTIERS IMPAIRS. :
Intérêt spécifique : Aspect structural des écritures littérales ; ici, désignation d’un
nombre entier impair (ou pair, mais aussi désignation du nombre entier suivant, d’un
multiple d’un nombre entier …)
Niveau : 5ème(à propos de la divisibilité).
Commentaires : À l’ouverture du fichier « somme entiers impairs », les deux
premières colonnes sont remplies par défaut (p = 0 et q = 0 puisque les cases sont
vides) ; d’où la liste des premiers entiers impairs. En entrant en F5 une valeur
quelconque pour p et en G5 une valeur quelconque pour q, les valeurs des entiers
impairs qui s’affichent varient. Faire plusieurs essais. Retrouver les formules qui ont
permis d’obtenir les deux premières colonnes. Il peut être intéressant pour
l’enseignant de vider le fichier avant de l’ouvrir en classe et de le créer
directement en présence des élèves. Entrer en C5 la formule qui va permettre
d’obtenir la somme de deux entiers impairs. Recopier vers le bas. Faire varier p et q.
Observer et conjecturer.
Autre exemple possible : la somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de 3 …

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2) DISTRIBUTIVITÉ DE LA MULTIPLICATION PAR RAPPORT À L’ ADDITION :
Intérêt spécifique : Faire admettre aux élèves la nécessité d’utiliser un langage précis
(passage du « faire » au « faire faire ») en établissant l’égalité de deux expressions
littérales.
Niveau : 5ème ou 4ème (à propos de la distributivité avec k positif en 5ème, négatif en
4ème).
Commentaires : Vider le fichier « distributivité » avant de l’ouvrir devant les élèves.
Ne laisser que l’énoncé et le tableau prêt à être complété. Remplir l’en-tête des
colonnes avec les élèves. Entrer un nombre x «à la main ». Établir les formules qui
vont permettre de compléter la ligne. Entrer d’autres nombres x. Recopier vers le
bas. Observer les deux colonnes en rouge. Recommencer en remplaçant les
nombres 3 et 4 par d’autres valeurs. Conjecturer.
Remarque : on pourra utiliser la fonction ALEA.ENTRE.BORNES qui permet
d’obtenir des nombres au hasard, sous réserve que la macro soit installée.
Taper dans la barre de formule :
=ALEA.ENTRE.BORNES(-500 ;500) (choisir son intervalle).
En recopiant vers le bas, on obtient des nombres de manière aléatoire.
Dans le cas où x est positif, la démonstration pourra se faire géométriquement à
l’aide d’aires de rectangles. Cet exemple pourra aussi être utilisé au cours de l’année
pour faire revivre la formule de distributivité et pour vérifier qu’elle a bien fonctionné.
Autres exemples possibles en 4ème : Suppression des parenthèses dans une somme
algébrique. Exemple proposé : « l’opposé de la somme de deux nombres relatifs est
égal à la somme des opposés de ces nombres. » Fichier : « somme des opposés ».
La démonstration de cette formule pourra certes se faire à l’aide de la formule de
distributivité (avec k = -1) mais elle peut aussi être le moyen de redonner du sens à
ce que l’on appelle « opposé d’un nombre » (l’opposé de a est le nombre défini par :
a + opp(a) = 0 ; on le note -a).
3) DIVISIBILITÉ PAR 11 :
Intérêt spécifique : Faire émerger une conjecture qui se révèlera fausse de manière à
habituer l’élève à douter des apparences et à prendre conscience que conjecturer
n’est pas suffisant.
Le contre-exemple va amener l’élève à comprendre le statut
universel de l’égalité.
Niveau : 5ème. (à propos du travail sur la divisibilité).
Commentaires : Ouvrir le fichier « divisibilité par 11 » Dans la première colonne, on
a inscrit la suite des entiers supérieurs ou égaux à 11. L’enseignant peut aussi ne
garder que les premiers termes de cette colonne (de 11 à 17 par exemple) et
demander aux élèves de proposer ensuite des nombres au hasard. En B6, entrer la
formule qui va permettre d’obtenir le produit de x par 11. Recopier vers le bas.
Observer.
Conjecture : le chiffre des dizaines est égal à la somme des chiffres des unités et des
centaines. Cela « fonctionne » pour les premières valeurs de x ; le premier contre-
exemple apparaît en B14.

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4) ORDRE ET MULTIPLICATION :
Intérêt spécifique : Introduire un raisonnement par disjonction de cas.
Utilisation de la touche $ pour bloquer une cellule du tableur.
Niveau : 4ème.
Commentaires : Vider le fichier « ordre et multiplication » avant de l’ouvrir devant
les élèves. Ne laisser que l’énoncé et le tableau prêt à être complété. Entrer « à la
main » une valeur pour a, une valeur pour b (en respectant la contrainte a < b) et
une valeur pour c. L’enseignant peut demander aux élèves de proposer eux-mêmes
les différentes valeurs. L’objectif est de comparer ac et bc. Trouver les formules qui
vont permettre de compléter les deux colonnes ac et bc (utilisation de la touche $).
Recopier vers le bas. Observer. Changer la valeur de c … Viendra (en étant un peu
patient !) « c » négatif … Observer … Viendra aussi (on l’espère !) « c » = 0. Établir
la propriété.
FICHIERS UTILISANT UN LOGICIEL DE GÉOMÉTRIE DYNAMIQUE
REMARQUES PRÉLIMINAIRES :
 Les fichiers présentés ici utilisent le logiciel « cabri-geometre II » ou la
dernière version (sous la forme d’un seul CD) du logiciel « Geoplan-
Geospace ». Ces logiciels vont permettre d’animer les figures et de présenter
ainsi, très vite, des cas aussi variés qu’on le désire.
A noter : les fichiers créés sur le nouveau logiciel Geoplan-Geospace ne
s’ouvrent pas tous avec l’ancienne version…
 Comme pour le tableur, les fichiers peuvent être présentés en classe entière
au vidéo projecteur ou être prévus en travail autonome en salle informatique.
Dans les deux cas, l’enseignant devra prévoir le scénario qui accompagnera
le fichier avec une fiche-élève qui sera complétée au fur et à mesure de la
séance.
1) CARACTÉRISATION ANGULAIRE DU PARALLÉLISME : (avec « cabri »)
Objectif : Acquérir l’image mentale de deux angles alternes-internes (ou
correspondants).
Faciliter la distinction entre propriété directe et propriété réciproque.
Niveau : 5ème.
Commentaires : Ouvrir le fichier : « angles et parallélisme ». Les élèves découvrent
ce que l’on appelle angles alternes-internes. Les 3 droites d, d’ et D sont mobiles.
Première étape : Une fois définis ce que sont deux angles alternes-internes, ouvrir
un fichier nouveau ; construire deux droites d et d’ parallèles (menu 5) et une
sécante D (menu 3) à ces deux droites. Marquer (menu 10) et mesurer (menu 9)
deux angles alternes-internes. En mesurer deux autres. Animer la figure à l’aide du
pointeur (menu 1), en déplaçant les droites. Conjecturer … et démontrer.
Deuxième étape : Reprendre le fichier « angles et parallélisme ». Déplacer la droite
d’ de sorte que les deux angles alternes-internes soient égaux. Observer.
Recommencer en variant la position des droites d et D. Conjecturer à propos des
droites d et d’.
Remarque : Démarche analogue avec des angles correspondants.

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2) BISSECTRICES D’UN TRIANGLE : (avec « cabri »)
Objectifs : Caractériser les points de la bissectrice d’un angle donné.
Mettre en évidence la propriété de concours des trois bissectrices dans un
triangle.
Justifier la construction du cercle inscrit dans un triangle.
Niveau : 4ème.
Commentaires :
Première étape : Ouvrir le fichier « cercle inscrit dans un triangle » et poser le
problème : étant donné un triangle, comment construire un cercle à l’intérieur du
triangle et tangent à chacun des côtés de ce triangle (cercle rose). Bouger en même
temps les sommets du triangle. On va « remonter » le problème.
Deuxième étape : Construire un cercle tangent à un seul côté. Pour cela, ouvrir le
fichier « cercle tangent 1 ». Ce fichier est construit de la façon suivante :
 Sont visibles à l’écran la droite d et le point M.
 Sont cachés, pour des raisons pratiques, la perpendiculaire à d passant par
M, le point I intersection de cette perpendiculaire et de la droite d et le
segment [IM].
Construire un cercle de centre M (menu 4) ; faire varier son rayon de sorte qu’il n’ait
qu’un seul point de contact avec la droite d ; Faire apparaître, à l’aide du dernier
menu, le point I et le segment [IM]. Que dire de d et (IM) ? On peut, soit marquer
l’angle (il s’affichera droit et restera droit pendant l’animation), soit interroger
l’ordinateur à l’aide du menu 8. Établir la propriété.
Troisième étape : Construire un cercle tangent à deux côtés. Pour cela, ouvrir le
fichier : « cercle tangent 2 ». Créer un point M et le placer à l’intérieur de l’angle.
D’après l’étape 2, construire les perpendiculaires passant par M à chacune des
demi-droites (menu 5). Créer, à l’aide du menu 2, les deux points d’intersection entre
les perpendiculaires et ces demi-droites et mesurer les distances de M à chacun de
ces points (menu 9). Ces deux distances doivent être égales. Déplacer M pour que
cela soit réalisé. Le cercle de centre M passant par ces points d’intersection est
tangent aux deux demi-droites. Le tracer et cacher ce qui est gênant. On recherche à
présent tous les points M qui conviennent c’est-à-dire qui sont équidistants des deux
demi-droites. Construire un point sur chacune des demi-droites de sorte qu’ils soient
équidistants de O ; construire la perpendiculaire à chacune des demi-droites passant
par ces points. Créer leur point d’intersection. En activant l’outil Trace dans le menu
10, on fait apparaître la bissectrice de l’angle formé par les deux demi-droites. D’où
la propriété identifiant les points équidistants de deux demi-droites de même origine.
Vérifier la propriété « dans l’autre sens », d’où la propriété caractéristique de la
bissectrice.
Quatrième étape : Retour à la situation de départ : construction d’un cercle tangent
aux trois côtés d’un triangle. On réitère ce qui a été fait pour deux côtés. On met
ainsi en évidence la propriété de concours des trois bissectrices d’un triangle et on
justifie la construction du cercle inscrit.

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3) HAUTEURS D’UN TRIANGLE : (avec « geoplan »)
Objectif : Alléger les tâches de l’élève pour l’enchaînement de pas déductifs au cours
d’une démonstration en extrayant des sous-figures d’une figure complexe.
Démontrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en
utilisant le fait que les médiatrices le sont (propriété qui a pu être déjà démontrée en
5ème )
Niveau : 4ème (Les élèves de 5ème auront dorénavant à savoir que les hauteurs d’un
triangle sont concourantes mais la démonstration n’est envisageable qu’en 4ème.)
Commentaires :
On pourra demander aux élèves d’avoir construit la figure souhaitée (un triangle, ses
trois hauteurs, et les droites passant par chacun de ses sommets parallèles au coté
opposé du triangle) au préalable. Le fichier suivant guidera les élèves pour
démontrer que les 3 hauteurs du « petit » triangle sont aussi les 3 médiatrices du
« grand » triangle.
A l’aide de commandes en blocs ou de commandes par étapes, l’enseignant peut à
l’aide d’une simple touche construire ou effacer certaines parties de la figure
complexe pour en extraire des sous figures en fonction du pas de déduction
correspondant.
Ouvrir le fichier « concours hauteurs ». Un triangle ABC s’affiche à l’écran. Les trois
sommets sont libres : on peut déformer le triangle.
Appuyer sur la touche A, à plusieurs reprises… jusqu’à apparition du point K. La
figure se construit et se code pas à pas, ce qui peut permettre à certains élèves de
corriger ou terminer leur propre figure.
Appuyer sur la touche B : elle permet d’isoler certains éléments de la figure dans le
but de démontrer que D1 et d1 sont perpendiculaires.
Ré appuyer sur la touche B pour réinitialiser la figure.
Appuyer sur la touche C : le but est de démontrer que le quadrilatère AIBS est un
parallélogramme.
Ré appuyer sur la touche C pour réinitialiser la figure.
Appuyer sur la touche D : le but est de démontrer que le quadrilatère ABCK est un
parallélogramme.
Ré appuyer sur la touche D pour réinitialiser la figure.
On pourra aider les élèves à déduire que AK = IK, puis on codera les nouvelles
propriétés.
Appuyer sur la touche E : le but est de démontrer que D1 est la médiatrice de [IK].
Ré appuyer sur la touche E pour réinitialiser la figure.
Appuyer sur la touche F (plusieurs fois) : elle permet d’effacer ou de faire
réapparaître le triangle ABC
Appuyer sur la touche G (plusieurs fois) : elle permet de faire afficher ou de faire
disparaître les codages permettant de justifier, de la même façon, que D2 est la
médiatrice de [IJ] et que D3 est la médiatrice de [JK].