Séance de remédiation du 3 Février 2007 – Les complexes – Bilan I

a) une droite
b) Un point
c) vide
d) Un cercle
4) Soit Z le nombre complexe défini par : Z = cos α – i sin α , α є IR. Z a pour argument , a 2kπ près :
Séance de remédiation du 3 Février 2007 – Les complexes – Bilan
I) LES PRINCIPAUX RESULTATS A CONNAITRE SUR LES NOMBRES COMPLEXES.
Forme algébrique d’un nombre complexe :
Conjugué d'un nombre complexe:
z = a + ib
;z = a – ib
Module d'un nombre complexe :
|z|=
a) α + π
5) Soit Z = -
avec e(z) = a et m(z) = b
a) |Z| = 1
;a² + b²
Argument d'un nombre complexe :
a0 )
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Arg (z) = ( ;u ; ;OM)
Forme exponentielle d'un nombre complexe:
z = r ei θ
[2]
( = arctan (
Error!
) si
z = r (cos θ + i sin θ)
avec r = | z | et  = Arg ( z )
;a² + b²
et
θ
vérifie :
( cos θ + i sin θ ) n = cos (n θ ) + i sin (n θ)
sin θ =
Error!
Error!
METHODE :
Error! = 0 [π ]
si et seulement si Arg Error! = Error!
Si t est la translation de vecteur ;u d’affixe b :
Error!
Exercice 3
1. On considère le polynôme P défini par : P(z) = z3 − 6z2 + 12z − 16
Trouver trois réels a , b et c tels que pour tout complexe z, P(z) = (z − 4)( az 2 + bz + c ).
Résoudre dans C l'équation P(z) = 0.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; ;u , ;v ).
Pour tout nombre complexe z , on pose : P(z) = z3 + 2( ;2 – 1)z² + 4(1 - ;2)z – 8.
1) Calculer P(2). Déterminer une factorisation de P(z) par (z – 2).
2) Résoudre l’équation P(z) = 0. On appellera z1 et z2 les solutions de l’équation autre que 2 ,z1 ayant une partie imaginaire
[π ]
positive. Vérifier que z1 + z2 = - 2 ;2. Déterminer le module et un argument de z1 et de z2.
3)
a. Placer dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,;u, ;v) les points A d’affixe 2 , B et C d’affixe z1 et z2 et
I le milieu de [AB] .
b. Démontrer que le triangle OAB est isocèle .En déduire une mesure de l’angle (;u , ;OI ) .
c. Calculer l’affixe de I puis le module de zI .
z’ = z + b
Si h est l’homothétie de centre Ω d’affixe w , de rapport k : z’ – w = k×( z – w )
Si R est la rotation de centre Ω d’affixe w , d’angle α :
d) Arg Z =
Exercice 4
Les points A,B,C,D sont alignés si et seulement si Arg
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires
Error!
On appelle F l'image de K par la rotation de centre O et d'angle Error!
(a) Calculer l'affixe g du point G sous forme algébrique.
(b) Donner les écritures exponentielles de k et de l'affixe f de F.
(c) Prouver que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires.
4. On note H le point tel que le quadrilatère COFH soit un parallélogramme.
(a) Montrer que COFH est un carré.
(b) Calculer l'affixe du point H.
(c) Démontrer que le triangle AGH est équilatéral direct.
5. Pour tout entier naturel n, on note B n le point d'affixe bn.
Déterminer les entiers naturels n pour lesquels le point B n appartient à la droite (OC).
Error!
FORMULES D’EULER : Pour tout nombre réel θ :
cos θ =
c) Arg Z =
Error! + α
3. Soit K le point d'affixe k = − ;3 + i.
On appelle G l'image de K par la translation de vecteur ;OB.
FORMULE DE MOIVRE
Pour tout entier n et tout réel θ :
d)
Soient A, B et C les points d'affixes respectives : a = 4
b = 1 + i ;3
c = ;b .
(a) Placer les points A, B et C sur une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
(b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
Méthode : Relations entre forme algébrique et forme trigonométrique
Soit z = a + ib , de module r et d’argument θ .

Si on connaît r et θ alors
a = r× cos θ
et b = r × sin θ

Si on connaît a et b alors
r=
b) – α
c) Error! - α
Error! e Error! . Alors , on a :
b) Z = - (1 – i) e Error!
z’ – w = e i α ×( z – w )
d. Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos
Error! et de sin Error!.
II) Exercices
Exercice 1 : Différentes formes d'écriture
1. Compléter le tableau suivant : (Détailler les calculs)
Forme algébrique
Forme trigonométrique
3e
ZB
ZC
4 ( cos
1. La forme algébrique de
Error!
2 ;3 - 4i
1) Un argument du nombre complexe -
Error!
2) Un argument de - 2 e
b) – Error!
Error! est :
b) – Error!
2. On pose z = ‫ ٱ‬2 ;2
Réponse(s)
;2 +
;2 + i
Error!
a) Error!
c) Error!
3) L’ensemble des points M d’affixe z tels que | z – i | = |z| est :
d)
Error!
d) -
Error!
;2 -
‫ٱ‬
Error! - Error!i
‫ٱ‬
Error!
;2. La forme algébrique de z² est :
‫ ٱ‬2 ;2 – 2i ;2
‫ ٱ‬2+
;2 + i(2 -
;2)
‫ ٱ‬2 ;2 + 2i ;2
3. Soit z   vérifiant : ;z + | z | ² = 6 + 2i. Alors :
‫ ٱ‬z = -1 - 2i
;6 + i ;2 est :
c)
Error! est : ‫ ٱ‬Error!
Error!
Error! + i sin Error! )
Exercice 2 : QCM
A chaque question , il peut y avoir une ou plusieurs réponses. Aucune justification n’est demandée.
Questions
a) –
Exercice 3 : QCM
Forme exponentielle
ZA
4. Soit l’équation (E) : z =
‫─ ٱ‬2–i
;2
‫ ٱ‬z = - 2 - 2i
‫ ٱ‬z=─
Error! + 2i
‫ ٱ‬z = - 2 + 2i
Error! , z  . Une solution de (E) est :
‫ ٱ‬2 + i ;2
‫ ٱ‬1−i
‫ ٱ‬1−i
‫ٱ‬
5. Le conjugué de Z =
Error!
‫– ٱ‬
Error!
Error!
est : ‫ٱ‬
Error!
Error! [ 1 + x – y + i ( 1 + x + y)]
‫ٱ‬
6. L’ensemble des solutions dans  de l’équation : z² - 2z + 2 = 0 est :
‫ ٱ‬S = {1 + i ; 1 – i }
‫ ٱ‬S=
‫ ٱ‬S={-1}
‫ٱ‬
‫ ٱ‬S = {1 – 2i ; 1 + 2i}
7. L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant : | z – 1 | = | z + i | est la droite d’équation
‫ ٱ‬y=x−1
‫ ٱ‬y = −x
‫ ٱ‬y = −x + 1
‫ ٱ‬y=x
8. Soit le complexe z = 1 + i. Alors :
‫ ٱ‬Error! = Error!z4.
/ zn est un réel strictement négatif.
9. Soit n un entier naturel. Le nombre
□ 3k + 1
□ 3k + 2
‫ٱ‬
Error!  .
 1 i 3 
n
‫ٱ‬
Error! est imaginaire pur.
est réel si, et seulement si, n s’écrit sous la forme :
□ 3k
10. Soit deux points A et B d’affixes respectives zA = i et zB =
□ 6k (avec k entier naturel)
;3 dans un repère orthonormal (O ; ;u ; ;v ).
L’affixe zC du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral avec ( ;AB , ;AC ) =
□ −i
□ 2i
□
‫ ٱ‬Il existe n 
3 i
□
Error! [2π ]
est :
3  2i
11. L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant la relation Arg
Error! = Error!
est inclus dans :
□ La droite d’équation y = −x
□ Le cercle de centre I (1 + i ) et de rayon R =
□ La droite d’équation y = x
2i
□ Le cercle de diamètre [AB], A et B étant d’affixes respectives zA = −2 et zB =
2