Séance de remédiation du 3 Février 2007 – Les complexes – Bilan I

Séance de remédiation du 3 Février 2007 – Les complexes – Bilan
I) LES PRINCIPAUX RESULTATS A CONNAITRE SUR LES NOMBRES COMPLEXES.
Forme algébrique d’un nombre complexe : z = a + ib avec e(z) = a et m(z) = b
Conjugué d'un nombre complexe: ;z = a – ib
Module d'un nombre complexe : | z | = ;a² + b²
Argument d'un nombre complexe : Arg (z) = ( ;u ; ;OM) [2] ( = arctan (
Error!
) si
a0 )
Forme trigonométrique d’un nombre complexe z = r (cos θ + i sin θ)
Forme exponentielle d'un nombre complexe: z = r ei θ avec r = | z | et  = Arg ( z )
Méthode : Relations entre forme algébrique et forme trigonométrique
Soit z = a + ib , de module r et d’argument θ .
 Si on connaît r et θ alors a = r× cos θ et b = r × sin θ
 Si on connaît a et b alors
r = ;a² + b² et θ vérifie : Error!
FORMULE DE MOIVRE
Pour tout entier n et tout réel θ : ( cos θ + i sin θ ) n = cos (n θ ) + i sin (n θ)
FORMULES D’EULER : Pour tout nombre réel θ :
cos θ = Error!
sin θ = Error!
METHODE :
Les points A,B,C,D sont alignés si et seulement si Arg Error! = 0 [π ]
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si Arg
Error!
=
Error!
[π ]
Si t est la translation de vecteur ;u d’affixe b : z’ = z + b
Si h est l’homothétie de centre Ω d’affixe w , de rapport k : z’ – w = k×( z – w )
Si R est la rotation de centre Ω d’affixe w , d’angle α : z’ – w = e i α ×( z – w )
II) Exercices
Exercice 1 : Différentes formes d'écriture
1. Compléter le tableau suivant : (Détailler les calculs)
Forme algébrique
Forme trigonométrique
Forme exponentielle
ZA
3 e Error!
ZB
4 ( cos Error! + i sin Error! )
ZC
2 ;3 - 4i
Exercice 2 : QCM
A chaque question , il peut y avoir une ou plusieurs réponses. Aucune justification n’est demandée.
Questions
Réponse(s)
1) Un argument du nombre complexe - ;6 + i ;2 est :
a) –
Error!
b) –
Error!
c)
Error!
d)
Error!
2) Un argument de - 2 e Error! est :
a)
Error!
b) –
Error!
c)
Error!
d) -
Error!
3) L’ensemble des points M d’affixe z tels que | z – i | = |z| est :
a) une droite b) Un point c) vide d) Un cercle
4) Soit Z le nombre complexe défini par : Z = cos α – i sin α , α є IR. Z a pour argument , a 2kπ près :
a) α + π b) – α c)
Error!
- α d)
Error!
+ α
5) Soit Z = - Error! e Error! . Alors , on a :
a) |Z| = 1 b) Z = - (1 – i) e
Error!
c) Arg Z =
Error!
d) Arg Z =
Error!
Exercice 3
1. On considère le polynôme P défini par : P(z) = z3 − 6z2 + 12z − 16
Trouver trois réels a , b et c tels que pour tout complexe z, P(z) = (z − 4)( az2 + bz + c ).
Résoudre dans C l'équation P(z) = 0.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; ;u , ;v ).
Soient A, B et C les points d'affixes respectives : a = 4 b = 1 + i ;3 c = ;b .
(a) Placer les points A, B et C sur une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
(b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
3. Soit K le point d'affixe k = − ;3 + i.
On appelle G l'image de K par la translation de vecteur ;OB.
On appelle F l'image de K par la rotation de centre O et d'angle
Error!
(a) Calculer l'affixe g du point G sous forme algébrique.
(b) Donner les écritures exponentielles de k et de l'affixe f de F.
(c) Prouver que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires.
4. On note H le point tel que le quadrilatère COFH soit un parallélogramme.
(a) Montrer que COFH est un carré.
(b) Calculer l'affixe du point H.
(c) Démontrer que le triangle AGH est équilatéral direct.
5. Pour tout entier naturel n, on note Bn le point d'affixe bn.
Déterminer les entiers naturels n pour lesquels le point Bn appartient à la droite (OC).
Exercice 4
Pour tout nombre complexe z , on pose : P(z) = z3 + 2( ;2 – 1)z² + 4(1 - ;2)z – 8.
1) Calculer P(2). Déterminer une factorisation de P(z) par (z – 2).
2) Résoudre l’équation P(z) = 0. On appellera z1 et z2 les solutions de l’équation autre que 2 ,z1 ayant une partie imaginaire
positive. Vérifier que z1 + z2 = - 2 ;2. Déterminer le module et un argument de z1 et de z2.
3) a. Placer dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,;u, ;v) les points A d’affixe 2 , B et C d’affixe z1 et z2 et
I le milieu de [AB] .
b. Démontrer que le triangle OAB est isocèle .En déduire une mesure de l’angle (;u , ;OI ) .
c. Calculer l’affixe de I puis le module de zI .
d. Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos
Error!
et de sin
Error!
.
Exercice 3 : QCM
1. La forme algébrique de
Error!
est : ٱ
Error!
ٱ
Error!
-
Error!
i ٱ
Error!
ٱ
Error!
2. On pose z = - ;2 + ;2 + i ;2 - ;2. La forme algébrique de z² est :
ٱ 2 ;2 ٱ 2 ;2 – 2i ;2 ٱ 2 + ;2 + i(2 - ;2) ٱ 2 ;2 + 2i ;2
3. Soit z   vérifiant : ;z + | z | ² = 6 + 2i. Alors :
ٱ z = -1 - 2i ٱ z = - 2 - 2i ٱ z = ─
Error!
+ 2i ٱ z = - 2 + 2i
4. Soit l’équation (E) : z =
Error!
, z  . Une solution de (E) est :
ٱ ─ 2 – i ;2 ٱ 2 + i ;2 ٱ 1 − i ٱ 1 − i

5. Le conjugué de Z =
Error!
est : ٱ
Error!
ٱ
Error!
[ 1 + x – y + i ( 1 + x + y)] ٱ
Error!
ٱ –
Error!
6. L’ensemble des solutions dans  de l’équation : z² - 2z + 2 = 0 est :
ٱ S = {1 + i ; 1 – i } ٱ S =  ٱ S = { - 1 } ٱ S = {1 – 2i ; 1 + 2i}
7. L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant : | z – 1 | = | z + i | est la droite d’équation
ٱ y = x − 1 ٱ y = −x ٱ y = −x + 1 ٱ y = x
8. Soit le complexe z = 1 + i. Alors :
ٱ
Error!
=
Error!
z4. ٱ
Error!
 . ٱ
Error!
est imaginaire pur. ٱ Il existe n 
/ zn est un réel strictement négatif.
9. Soit n un entier naturel. Le nombre
13
n
i
est réel si, et seulement si, n s’écrit sous la forme :
□ 3k + 1 □ 3k + 2 □ 3k □ 6k (avec k entier naturel)
10. Soit deux points A et B d’affixes respectives zA = i et zB = ;3 dans un repère orthonormal (O ; ;u ; ;v ).
L’affixe zC du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral avec ( ;AB , ;AC ) =
Error!
[2π ] est :
□ −i □ 2i □
3i
□
32i
11. L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant la relation Arg
Error!
=
Error!
est inclus dans :
□ La droite d’équation y = −x □ Le cercle de centre I (1 + i ) et de rayon R =
2
□ La droite d’équation y = x □ Le cercle de diamètre [AB], A et B étant d’affixes respectives zA = −2 et zB =
2i