III- Nombres quantiques
Ch.4 : L’atome en mécanique ondulatoire - Structure électronique des atomes O .SELAIMIA-FERDJANI
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1
Chapitre 4 L’ATOME EN MECANIQUE ONDULATOIRE
STRUCTURE ELECTRONIQUE DES ATOMES
I- Notion de la mécanique quantique (ondulatoire)
I-1 Dualité onde - corpuscule : Postulat de De Broglie
A toute particule (corpuscule) de masse m et de vitesse v est associée une onde de longueur d'onde λ.
On applique ainsi à la matière (exemple : un électron) le caractère combiné d'onde et de particule.
Pour la lumière : E = hhc/
E = mc2 (2)
(1) et (2) ==>
mc
h
(pour la lumière)
Pour tout corpuscule se déplaçant avec une vitesse v :
p
h
p : quantité de mouvement = m.v
Donc La relation de De Broglie s'écrit :
mv
h
λ : longueur d'onde
h : constante de Planck
Chaque corpuscule possède deux aspects d’après la mécanique ondulatoire :
Aspect corpusculaire (m) : est prédominant lorsqu’il s’agit de décrire les propriétés des objets
macroscopiques
Aspect ondulatoire () : devient prédominant lorsqu’il s’agit de décrire les propriétés d’une
grande collection d’objets extrêmement petits (microscopiques). Exemple : e-, p, n.
I-2 Principe d'incertitude d'Heisenberg
L’une des conséquences les plus importantes de la nature dualistique de la matière est le principe de
Heisenberg. Ce principe affirme :
« qu’il est impossible de déterminer simultanément la quantité de mouvement et la position exacte d’un
corpuscule. »
Px.x ≥ h/2 Δx : incertitude sur la position
Δpx = mΔvx : incertitude sur la quantité de mouvement
m vx .x ≥ h/2
Et cette relation signifie que si on peut mesurer théoriquement x avec toute la précision voulue x→0),
alors vx deviendra grand puisque vx = h/ (2 m x)
II- Equation de Schrödinger
III-1 Fonction d’onde associée
L’onde associée à un électron est une onde stationnaire et son amplitude en chaque point de l’espace est
indépendante du temps. C’est une fonction mathématique appelée fonction d’onde représentée par
psi).
est une fonction purement mathématique :
- elle n’a pas de signification physique,
- elle est fonction des coordonnées de l’électron.
II-2 Probabilité et densité de probabilité de présence
L’électron est caractérisé par :
son état énergétique,
sa probabilité de présence à un endroit donné.
- Probabilité de présence: Est la probabilité de trouver l’électron dans un volume dV au point M(x, y, z)
s’écrit :
dVtzyxdP 2
,,,
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2
noyau
- La notion classique de position est remplacée par la notion de densité de probabilité de présence.
Le rapport
2
dV
dP
est appelé densité de probabilité de l’électron au point considéré.
- Condition de normalisation :
Probabilité de trouver l’e- dans tout l’espace = 1
P = tout l’espace II2 II dV = 1 ; dV = dxdydz
On dit que la fonction d'onde est normée.
II-3 Equation de Schrödinger
- Equation fondamentale de la mécanique ondulatoire
- Elle permet de calculer . ĤE
:
ˆ
H
Opérateur Hamiltonien ;
V
m
h
H
.
82
2
m : masse de l'e-
V : Opérateur énergie potentiel
E : énergie totale de l'électron, appelée valeur propre
Ψ : fonction d'onde appelée fonction propre
2
22
2
2
Z
Y
X
; est le Laplacien
2
2
X
: La dérivée seconde partielle par rapport à la variable X
EV
m
h.
82
2
0)
82
2 VE
hm
Avec
2
22
2
2
Z
Y
X
Dans un puits de potentiel nul l’équation devient :
0
82
2
2
22
2
2
E
hm
Z
Y
X
Equation différentielle du second ordre.
Si on prend les coordonnées de l’électron M(X,Y,Z) ; l’équation ne peut avoir de solution sauf si on prend
en considération deux points :
1)
ZYX
ZYX ..,,
:produit de 3 fonctions d’onde unidimensionnelles
2) ET de l’électron dans un espace tridimensionnel est telle que : E(X,Y,Z)= E(X) + E(Y) + E(Z)
0
,,,,
2
2
,,
2
,,
2
2
,,
2
ZYXZYX
ZYXZYXZYX E
Z
Y
X
avec
2
2
28hm
0..... ,,
2
2
22
2
2
zyXZYX
Z
YX
Y
ZX
X
ZY E
Z
Y
X
On divise les membres de l’égalité par
ZYX ..
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3
0
111 2
2
22
2
2
ZYX
Z
Z
Y
Y
X
X
EEE
Z
Y
X
0
111 2
2
2
2
2
2
2
2
Z
Z
Z
Y
Y
Y
X
X
X
E
Z
E
Y
E
X
Cette équation différentielle tridimensionnelle est nulle si et seulement si les trois équations différentielles
unidimensionnelles sont nulles :
0
12
2
2
X
X
X
E
X
0
2 xxX E
(1)
0
2 YYY E
(2)
0
2 ZZZ E
(3)
La résolution de ces trois équations donne :
X
a
n
aX
X
sin
2
Y
b
n
bY
Y
sin
2
Z
c
n
cZ
Z
sin
2
La résolution de cette équation conduit aux différentes valeurs de E et Ψ :
L’énergie totale de l’électron :
En prenant le modèle de Bohr :
22
422 12 nh mek
En
En mécanique ondulatoire :
2222
422 1112
ZYX
nnnn
hmek
E
nx, ny, nz : nous indiquent la dégénérescence des niveaux énergétiques. (Les orbitales atomiques
dégénérées sont les orbitales caractérisées par la même énergie).
La résolution de l’équation de Schrödinger conduit à l’apparition de trois nombres appelés les nombres
quantiques qui déterminent les valeurs propres de l’énergie et des fonctions d’onde et qui sont : n, l, m.
III- Nombres quantiques
III-1 Nombre quantique principal n : entier positif non nul, il détermine le niveau énergétique c.-à-d. la
couche symbolisée par une majuscule avec la correspondance suivante :
n
1
2
3
4
5
6
7
couche
K
L
M
N
O
P
Q
On appelle couche l'ensemble des orbitales qui possèdent la même valeur de n.
III-2 Nombre quantique secondaire (ou azimutal) : nombre entier avec 0 n - 1 .
définit la notion de sous-couche et détermine la géométrie des orbitales atomiques.
La sous-couche est aussi symbolisée par une lettre minuscule avec la correspondance suivante :
0
1
2
3
4
5
.Sous-couche
s
P
d
f
g
h
Exemple : n = 3 0 c.-à-d. = 0, 1, 2 (s, p, d.) on a les sous-couches 3s, 3p,3d.
A toute valeur de n et est associée une valeur propre de l'énergie.
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4
III-3 Nombre quantique magnétique m : Nombre entier avec - m + caractérise la "case quantique"
occupée par l'électron peut être aussi symbolisée graphiquement par une case rectangulaire. Il définit
l’orientation de l’orbitale :
Il y a 2+1 valeurs de m (2+1 orbitales).
Exemple:
= 0 m = 0 1 seule orientation 1 orbitale s 1 case quantique
= 1m = -1, 0, +1 3 orientations 3 orbitales p de même énergie
3 cases quantiques
Chaque orbitale atomique est donc caractérisée par une combinaison des trois nombres quantiques n, l
et m.
III-4 introduction du nombre quantique de spin s
Pour décrire totalement l'électron d'un atome, il faut lui attribuer un quatrième nombre quantique (noté s
ou ms).
s est lié au sens de rotation de l’électron sur lui-même, il définit l’état de l’électron dans une orbitale:
+
2
1
() ou
2
1
().
D'une façon générale, pour une couche n donnée, on aura n sous-couches , n2 orbitales et 2 n2 électrons
au maximum.
IV- Représentation des Orbitale Atomique (OA)
Le terme orbitale vient du mot « orbite », mais nous savons qu’en mécanique quantique il n’est pas
possible de parler d’orbite, c.-à-d. de trajectoire.
L’ensemble des trois nombres quantiques (n, l, m) définit une fonction d’onde précise appelée orbitale.
Chaque orbitale représente à la fois la fonction d'onde Ψ et la distribution électronique qui en découle
(probabilité de présence).
Exemple : l’orbitale 2s est représentée par la fonction d’onde : 2,0,0
V-1- Géométrie des orbitales s
Les orbitales s sont caractérisées par l = 0 et m = 0 (une seule par couche : 1 case quantique).
Toutes les orbitales s (ns) ; sont de symétrie sphérique car la probabilité de présence de l'électron varie
de la même façon dans toutes les directions autour du noyau.
L’orbitale1s
V-1- Géométrie des orbitales p
Pour l = 1 ==> m = -1 , 0 ou 1 ==> 3 orbitales p (trois par couche : 3 cases quantiques): px, py et pz
ayant la même forme, mais chacune est allongée sur une des trois axes perpendiculaires.
Une orbitale p possède un "plan nodal", dans lequel la probabilité de trouver l'électron est nulle. Ce plan
passe par le noyau.
Plan nodal :c’est une région de l’espace où la fonction d’onde est nulle.
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V-3- Géométrie des orbitales d et f
- Orbitales d :
Si l = 2 ==> m = -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ==> 5 orbitales d
- Orbitales f :
Si l = 3 ==> m = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ==> 7 orbitales
Orbitales 3d
VI- Structure électronique des atomes
VI-1 Diagrammes d'énergie
- Hydrogène et hydrogénoïdes
Exemple : 2He+E ne dépend que de n :
2
2
6,13)( n
Z
eVE
Il y a dégénérescence d'énergie pour les
souscouches s, p, d, f d'une même couche
électronique.
- Atomes polyélectroniques
E dépend de n et de l : il y a levée de la
dégénérescence des sous-couches s,
p, d, f d’une même couche électronique.
Chacune des couches et sous-couches représente
en fait un niveau d'énergie. Ces niveaux d'énergies
augmentent en partant du centre vers l'extérieur de
l'atome.
6
7
8
1
/
8
100%
