Nombre de comptages

Terminale S
TP de Physique
13. Étude de la désintégration du
Césium 137
Objectif
Montrer le caractère aléatoire d'une désintégration et savoir traiter à l'aide d'un tableur une série de comptages.
Montrer l'influence du nombre de comptages sur la dispersion des mesures et caractériser cette dispersion en
déterminant l'écart-type et traçant l'histogramme.
I Introduction :
1) Rappeler ce qu’est la radioactivité.
2) Equation de désintégration du césium.
Lors de cette étude on va utiliser une source de césium 137 qui est un émetteur - et .
Écrire l’équation de la désintégration (utiliser une classification périodique).
Remarque : l’émission de particules - s’accompagne de l’émission de rayonnement 
II Le C.R.A.B :
1) Principe :
C’est un appareil qui compte un nombre d’impulsions proportionnel au nombre de désintégrations de noyaux de césium 137.
2) Paramètres influençant le comptage :
D’après le matériel disponible, CRAB et accessoires, quels sont les paramètres qui vont influer sur le comptage ?
Proposer un protocole.
III Manipulation :
1- Mesures :
Fixer une durée de comptage égale à 2 s, effectuer 10 comptages et rassembler les résultats dans un tableau d'Excel.
2- Interprétation et conclusion :
Que déduire de ces mesures ?
Quel protocole faut-il alors mettre en œuvre pour caractériser le phénomène ?
IV- Traitement statistique de séries de comptages:
1- Mesures:
Vous disposez d’un fichier Excel nommé mesuresCesium.xls situé dans le répertoire c:\TS contenant 7 feuilles de calcul :
- feuille 1 : contient le résultat des 10 premières mesures feuille 2 : contient le résultat des 50 premières mesures
- feuille 3 : contient le résultat des 100 premières mesures feuille 4 : contient le résultat des 250 premières mesures
- feuille 5 : contient le résultat des 500 premières mesures feuille 6 : contient le résultat des 750 premières mesures
- feuille 7 : contient le résultat des 1 000 premières mesures
Pour le traitement statistique de chaque feuille, voir la fiche d’utilisation d’Excel.
Tracer la courbe de la fréquence en fonction des désintégrations existantes (classes), dans chaque cas.
Comparer et conclure. Quelle courbe se rapproche le plus d’une distribution gaussienne ?
2- Compléter le tableau suivant :
moyenne
variance
écart-type
Nombre de comptages
10
50
100
250
500
750
1 000
Calculer l'intervalle de confiance pour 1000 comptages. En déduire le niveau de confiance. (voir définitions page suivante)
Conclure.
Fiche d’utilisation d’EXCEL
2000

COMPTAGES CLASSES :
Sélectionner la colonne des résultats des comptages effectués.
Cliquer sur “ tri croissant ” (bouton barre d’outil).
Ceci sert à “ visualiser ” plus facilement les valeurs différentes des comptages et donc de déterminer les classes de comptages.

FREQUENCE :
Pour EXCEL la fréquence est le nombre de fois qu'une valeur de classe est rencontrée. (en maths, cette grandeur est appelée
effectif partiel).
C’est une fonction matricielle qui permet de déterminer dans une série de mesures le nombre de fois où apparaît une valeur
donnée (donc rien à voir avec une quelconque périodicité!). Cette fonction admet la syntaxe suivante :
= FREQUENCE(tableau_données ;matrice_intervalles)
Pour utiliser la fonction FREQUENCE, procéder ainsi :
1. Sélectionner la plage entière où vous désirez que le résultat apparaisse. Cette plage doit être une colonne comportant
autant de cellules qu'il y a de valeurs de classes: la fonction FREQUENCE ne peut pas utiliser une plage en ligne ou sur
plusieurs colonnes.
2. Saisir la formule, en indiquant la plage d’entrée comme premier argument(“colonne comportant tous les comptages” )et la
plage des classes comme second argument.
3.
Valider la formule matricielle en appuyant sur CTRL+Shift+ENTREE

MOYENNE : Cette fonction calcule la moyenne arithmétique d’une série de nombres , en divisant leur somme par leur
nombre. Sa syntaxe est : =MOYENNE (nombre1; nombre2…) ou = MOYENNE (cellule i : cellule j) la cellule i étant la
première cellule de la colonne traitée (comportant une valeur numérique!) et la cellule j la dernière

VARIANCE : cette fonction admet les syntaxes suivantes : =VAR(nombre1 ;nombre2 ;…) ou = VAR(cellule i : cellule j) la
cellule i étant la première cellule de la colonne traitée (comportant une valeur numérique!) et la cellule j la dernière.

ECART-TYPE: cette fonction admet les syntaxes suivantes : =ECARTYPE(nombre1 ;nombre2 ;…) ou = ECARTYPE
(cellule i : cellule j) la cellule i étant la première cellule de la colonne traitée (comportant une valeur numérique!) et la cellule j
la dernière.
Définitions :
La variance et l'écart type sont des indicateurs de dispersion. L'écart type indique comment en moyenne les valeurs de la variable
sont groupées autour de la tendance centrale x (moyenne arithmétique). Un faible écart type signifie que les valeurs sont peu
dispersées autour de la moyenne (série homogène), et inversement (série hétérogène). Statistiquement, on observe que 75 % au
minimum des observations sont comprises entre (x - 2s) et ( x + 2s).
L'intervalle de confiance : on peut le définir comme étant égal à la valeur moyenne + ou - 2 fois l'écart type.
Le niveau de confiance : c'est le nombre de désintégrations compris dans l'intervalle de confiance exprimé en pourcentage.
Terminale S
TP de Physique
13. Étude de la désintégration du
Césium 137
Corrigé
Objectif
Montrer le caractère aléatoire d'une désintégration et savoir traiter à l'aide d'un tableur une série de comptages.
Montrer l'influence du nombre de comptages sur la dispersion des mesures et caractériser cette dispersion en
déterminant l'écart type et traçant l'histogramme.
Montrer, pour un grand nombre de comptages, que la désintégration radioactive est un phénomène aléatoire qui
suit une loi de probabilité appelée loi de Poisson et vérifier que l'écart type est égal à la racine carrée de la valeur
moyenne (propriété d'une distribution de Poisson).
Montrer que cette distribution est assimilable à une distribution de Gauss ( en fait ceci n'est vrai que si la valeur
moyenne est supérieure à 10).
I - Introduction :
Equation de désintégration du césium :
137 Cs137 Ba  β   γ  ν
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56
II - Le C.R.A.B
1 - Voir la notice du CRAB et faire une présentation très succincte.
2 - Fixer les paramètres suivants :
- distance entre la source radioactive et le compteur : la source est placée à 5 cm du compteur ;
- nombre d’écrans de plomb : 2 écrans de plomb sont placés entre la source et le compteur ;
- durée de comptage : 2 s.
III - Manipulation :
2 – En déduire que le phénomène est aléatoire et qu’il faut faire un très grand nombre de mesures.
IV- Traitement statistique de séries de comptages :
Le classeur d'Excel contenant les 7 feuilles doit être préparé à l'avance (voir mesuresCesium.xls et résultats Cesium 137.xls)
Prévoir si nécessaire, une fiche méthode pour la construction de la courbe.
Manuellement il est impossible d'effectuer un grand nombre de comptages pendant la séance ! De toute façon si on choisit 2s pour
la durée du comptage il faut 2000 s pour effectuer 1000 comptages quel que soit le dispositif utilisé; il vaut mieux donc disposer
des mesures effectuées avec le matériel du lycée avant la séance.
Dans le tableau ci-après nous avons reporté les résultats trouvés :
nombre de comptages
écart type
valeur moyenne
(moyenne)1/2
10
1,813529401
7,2
2,68328157
50
2,267426843
7,04
2,65329983
100
2,306665791
7,05
2,65518361
250
2,443662404
7,02
2,64952826
500
2,682576454
7,22
2,68774999
750
2,613875833
7,30
2,70234466
1000
2,610963065
7,37
2,7142218
1) Comparaison des courbes : plus le nombre de comptages est grand, plus on se rapproche d'une courbe de Gauss d'où l'intérêt de
faire un grand nombre de comptages.
2) Pour 1000 comptages, l'intervalle de confiance est entre 2,2 et 12,6. Le niveau de confiance de 95 % (la courbe n'est pas
exactement une courbe de Gauss)
Conclusion : Lorsque le nombre de comptages est grand, on vérifie que la loi de désintégration est un phénomène aléatoire qui suit
une loi de Poisson; l'écart type est proche de la racine carré de la moyenne et la valeur la plus probable est égale à la valeur
moyenne..
On a 95 % (dans cet exemple) de chance que le nombre de désintégrations mesuré soit compris dans l'intervalle de confiance.
V - REMARQUES:
1- Vocabulaire:
Les mathématiciens appellent effectifs partiels les "fréquences" déterminées avec EXCEL et ils nomment fréquences les quotients
des effectifs partiels par l'effectif total ( nombre total de comptages).
Il sera impératif d'harmoniser les notations!
Dans le fichier résultats Cesium 137.xls nous avons noté fe les "fréquences" déterminées avec EXCEL et f la fréquence
mathématiques qui équivaut à une probabilité expérimentale.
2- Utilitaires d' analyse d'EXCEL:
Pour traiter les mesures il est beaucoup plus rapide d'utiliser l'UTILITAIRE D'ANALYSE D'EXCEL
a) Pour caractériser la distribution: Dans le menu OUTILS sélectionner UTILITAIRE D'ANALYSE puis cocher
STATISTIQUES DESCRIPTIVES. Valider. Apparaît une fenêtre où il faut indiquer dans la plage d'entrée la colonne des mesures
( repère 1ère cellule: repère dernière cellule) puis cocher plage de sortie, rapport détaillé et niveau de confiance pour la moyenne
95%. Valider. On obtient un tableau avec un grand nombre de renseignements sur la distribution dont la moyenne et l'écart-type.
b) Pour l'histogramme: Sélectionner OUTILS > UTILITAIRE D'ANALYSE > HISTOGRAMME puis valider. Indiquer la
plage d'entrée (colonne mesures) et la plage de classe; indiquer la 1 ère cellule de la plage de sortie puis cocher les autres cases. On
obtient l'histogramme et un tableau avec les pourcentages. Voir fichier Mesures ptpts04
2 Distribution de POISSON
EXCEL permet également de tracer les distributions de POISSON, donnant la probabilité pour que la variable aléatoire X ait une
valeur x, en fonction de x .
Prob(X = x)= e-x / x! où  est une constante réelle positive appelée paramètre de la loi (ne pas confondre avec la constante
radioactive!).  est égale à la valeur moyenne de x ( propriété).
En prenant pour  la valeur moyenne correspondant au plus grand nombre de comptages effectués et pour x les valeurs différentes
trouvées lors du comptage on peut représenter la courbe théorique.
Expérimentalement la probabilité pour que le résultat d'un comptage soit x lorsqu'on a effectué N comptages est égale au quotient
de la fréquence (déterminée avec EXCEL), correspondant à x, par N.
On peut représenter la courbe théorique et la courbe expérimentale sur le même graphique.
On constate que les courbes sont très différentes si le nombre de comptages est faible, par contre pour le nombre de comptages le
plus grand les courbes se superposent pratiquement.
3-Loi de Poisson, loi binomiale de probabilité et désintégration radioactive ou de l'intérêt de l'étude statistique
pour la modélisation du phénomène physique:
La loi de Poisson n'est pas au programme (!) mais peut-être n'est-il pas inintéressant d'en parler s'il reste du temps lors de la séance
de TP.
En effet la loi de Poisson est la limite d'une loi binomiale de probabilité sous certaines conditions ( voir notice du CRAB et livre de
mathématiques sur les probabilités) qui sont remplies pour 500 ou 1000 comptages.
On peut donc dire que la désintégration radioactive est régie par une loi binomiale.
Or une loi binomiale est une loi de probabilité d'une série répétées d'épreuves possédant les propriétés suivantes:
-chaque épreuve donne lieu à deux éventualités exclusives ( et deux seulement) de probabilités constantes p et 1-p. Ces
deux éventualités sont appelées souvent l'une succès, l'autre échec. Pour le physicien ces deux éventualités correspondent à la
désintégration ou à la non désintégration d'un noyau: l'étude statistique montre que la probabilité de désintégration d'un noyau est
constante.
-les épreuves répétées sont indépendantes les unes des autres: l'étude statistique montre que la désintégration ou la non
désintégration d'un noyau est indépendante des autres noyaux.
-la variable aléatoire a pour valeur le nombre de succès dans une suite de n épreuves ce qui correspond bien aux
comptages effectués.
L'étude statistique permet bien de caractériser les propriétés de la désintégration radioactive.