Mouvement d`un solide

Mouvement d'un solide
Un solide de centre de gravité G est lancé du bas d'un plan incliné (point A) vers le haut (point B).
A sa sortie en B du plan incliné, ce solide effectue un mouvement parabolique.
Pour l'enregistrement des graphiques, le solide est ramené à son centre de gravité G et le repère utilisé a pour
origine O, pour axe des abscisses (OA) et pour axe des ordonnées (OB).
Le document 1 donne le schéma du plan incliné ; le document 2 représente la trajectoire du point G ; le
document 3 donne les relevés de l'abscisse de G en fonction du temps ; le document 4 fournit, en fonction du
temps, les mesures de la « vitesse verticale » vy.
A partir de ces relevés expérimentaux, on peut tracer sur chacun des documents 2, 3 et 4 une courbe obtenue en
lissant le tracé.
On considérera, dans les questions suivantes, que les points obtenus sur les documents 3 et 4 sont alignés.
G
A
B
O
Document 1
1° Déterminer, à l'aide des documents, les coordonnées du point B correspondant à t = 0.
2° Quel document permet de vérifier que le mouvement suivant l'axe horizontal se fait sans accélération, c'està-dire que la vitesse horizontale vx est constante ?
A l'aide de ce document, exprimer x en fonction de t.
3° a) Quel document permet de savoir à quel instant t l'altitude atteinte par le solide est maximale ?
Quel est cet instant ?
b) Calculer la valeur de x à cet instant.
c) A l'aide du document 4, exprimer vy en fonction de t.
4° a) A partir de la formule obtenue à la question 3° c) et de la valeur de y pour t = 0, on peut écrire que :
y (t) = – 5 t2 + t + 1.
En utilisant la formule obtenue à la question 2°, exprimer alors y en fonction de x.
b) Déterminer, par le calcul, pour quelle valeur de x l'altitude est maximale. Trouver cette altitude maximale.
5° Par lecture, donner une valeur approchée de l'instant où le solide percute le sol matérialisé par la droite (OA).
En utilisant la formule donnée dans la question 4°, calculer la valeur exacte de cet instant t.
Mouvement d'un solide Un solide de centre de gravité G est lancé du bas d'un plan incliné (point A) vers le haut (point B).
A sa sortie en B du plan incliné, ce solide effectue un mouvement parabolique. Pour l'enregistrement des graphiques, le solide
est ramené à son centre de gravité G et le repère utilisé a pour origine O, pour axe des abscisses (OA) et pour axe des
ordonnées (OB). Le document 1 donne le schéma du plan incliné ; le document 2 représente la trajectoire du point G ; le
document 3 donne les relevés de l'abscisse de G en fonction du temps ; le document 4 fournit, en fonction du temps, les
mesures de la « vitesse verticale » vy. A partir de ces relevés expérimentaux, on peut tracer sur chacun des documents 2, 3 et 4
une courbe obtenue en lissant le tracé. On considérera, dans les questions suivantes, que les points obtenus sur les documents
3 et 4 sont alignés.
G
A
B
O
Document 1
1° Déterminer, à l'aide des documents, les coordonnées du point B correspondant à t = 0.
D'après le document 3 x (0) = 0 et y (0) = 1 donc B (1, 0)
2° Quel document permet de vérifier que le mouvement suivant l'axe horizontal se fait sans accélération, c'est-à-dire que la
vitesse horizontale vx est constante ? A l'aide de ce document, exprimer x en fonction de t.
D'après le document 3 les points obtenus sont alignés et donc l'abscisse de G, x (t) est fonction affine de t.
{ x (0) = 0;x (0,5) = 1 donc x (t) = Error! et donc x '(t) = Error!
3° a) Quel document permet de savoir à quel instant t l'altitude atteinte par le solide est maximale ? Quel est cet instant ?
D'après le document 4 y (t) est maximum quand vy (t) = 0 c'est à dire quand y (t) = 0,1.
b) Calculer la valeur de x à cet instant.
D'après le document 2 quand y (t) = 0,1 alors x (t) = 0,2.
c) A l'aide du document 4, exprimer vy en fonction de t.
Les points obtenus sont alignés et donc vy est fonction affine de t et vy (0) = 1 et vy (0,1) = 0
 a  0 + b = 1;a  0

 { b = 1;a = – 10 et donc vy (t) = – 10 t + 1
1+b=0
4° a) A partir de la formule obtenue à la question 3° c) et de la valeur de y pour t = 0, on peut écrire que :
y (t) = – 5 t2 + t + 1. En utilisant la formule obtenue à la question 2°, exprimer alors y en fonction de x.
y '(t) = – 10 t + 1 = vy (t) donc y (t) = – 10  Error! + t + k = – 5 t2 + t + k où k est une constante
y(0) = 1  – 5  02 + 0 + k = 1  k = 1. On a donc bien y (t) = – 5 t2 + t + 1.
{ y (t) = – 5 t2 + t + 1;x (t) = 2 t  Error!  y = – Error! + Error! + 1.
b) Déterminer, par le calcul, pour quelle valeur de x l'altitude est maximale. Trouver cette altitude maximale.
y est maximum si et seulement si – 20  2 x + 2 = 0  x = 0,1.
5° Par lecture, donner une valeur approchée de
l'instant où le solide percute le sol matérialisé par la
droite (OA).
En utilisant la formule donnée dans la question 4°,
calculer la valeur exacte de cet instant t.
y = 0  – Error! + Error! + 1 = 0
 x = Error!
car x > 0.
x = Error!  1,1
t = Error! = Error!  0,55
Graphiquement : x (t)  1,1
Graphiquement t  0,6.