chap-4-energie

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Chap. 4
Travail – Energie cinétique – Energie potentielle
I. Introduction : ........................................................................................................................... 2
I.1. Généralités : ..................................................................................................................... 2
I.2. Energie totale – Loi de conservation : ............................................................................. 3
II. Travail d'une force – Energie cinétique : ............................................................................... 4
II.1. Travail d'une force : ........................................................................................................ 4
II.2. Energie cinétique : .......................................................................................................... 4
II.3. Théorème de l'énergie cinétique : ................................................................................... 5
II.3.1. Enoncé : ................................................................................................................... 5
II.3.2. Exemple – chute d'un corps sans frottement : ......................................................... 6
II.3.3. Exemple – chute d'un corps avec frottement : ......................................................... 7
III. Energie potentielle – Energie mécanique: ............................................................................ 7
III.1. Force conservative -Energie potentielle – Energie mécanique : ................................... 7
III.2. Force et énergie potentielle : ......................................................................................... 8
III.3. Théorème de l'énergie mécanique : ............................................................................... 9
2
Chap. 4
Travail – Energie cinétique – Energie potentielle
I. Introduction :
I.1. Généralités :
Le concept d'énergie est loin d'être évident, alors que les formes d'énergie sont
nombreuses et bien connues. Nous comprenons bien en fait ce qu'est l'énergie par les effets
qu'elle induit. Lorsque nous faisons par exemple une chute, nous ressentons les effets de cette
chute lorsque nous touchons le sol, car il y a eu conversion de l'énergie de chute en énergie
calorifique.
Comme toutes les quantités physiques, l’énergie est impossible à définir. Par contre, ses
caractéristiques sont connues. Par exemple, c’est une quantité qui se transmet intégralement et
qui, en se transmettant, peut changer de forme. L’énergie est une quantité mesurable, qui a un
rapport avec un déplacement :
 Energie électrique : déplacement d’électrons dans la matière.
 Energie électromagnétique : déplacement d’une onde E , B , dans le vide ou dans un
milieu matériel.
 Energie acoustique : déplacement d’une onde longitudinale dans l’air.
 Energie calorifique : déplacement de chaleur (énergie cinétique de particules)
 Energie mécanique : déplacement d’objets divers
 Energie nucléaire : déplacement de fragments de fission ou de fusion.
Les figures 1 à 4 montrent quelques exemples de conversion d'énergie.
3
Figure 1 : Conversion d'une énergie chimique
Figure
en énergie calorifique
2
:
Conversion
d'une
énergie
hydraulique en électricité
Figure
3
:
Conversion
d'une
électrique en énergie lumineuse
énergie Figure 4 : Conversion d'une énergie solaire
en énergie mécanique
I.2. Energie totale – Loi de conservation :
Il existe un principe simple concernant les systèmes isolés. Pour un système isolé, c'est-àdire sans contact avec aucun autre système, l’énergie se conserve. Donc la variation d’énergie
est nulle. Autrement dit, s’il reçoit de l’énergie, c’est qu’il en a reçu sous une autre forme. Il
n’y a ni création, ni destruction d’énergie. Il ne peut y avoir que transformation.
L’univers étant supposé isolé, son énergie est constante dans le temps. Attention, derrière
ce principe simple se cache une question à laquelle personne n’a de réponse. D’où vient cette
énergie dans l’univers ? Vient-elle de quelque chose ? a-t-elle été toujours présente ?
C’est un bon principe que de savoir que l’énergie de l’univers se conserve. Mais la
grande majorité des problèmes à résoudre concerne des systèmes non isolés, en interaction
avec d’autres systèmes. Cependant, par souci évident de simplification, nous allons isoler par
la pensée les objets dont nous décrirons le mouvement.
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II. Travail d'une force – Energie cinétique :
II.1. Travail d'une force :
Soit un point M de masse m décrivant une trajectoire quelconque (Figure 5). Ce point est
soumis à une force F en chaque point de la trajectoire. A chaque intervalle de temps dt, M
parcourt une distance d.
Figure 5
La quantité F  d est notée dW et
est appelée travail de F au point M.
Pour comprendre ce que signifie le
produit scalaire, prenons deux exemples.
Un mobile sur un plan horizontal roule
sans glisser (Figure 6). Ce mobile est
soumis uniquement à son poids P et à
Figure 6
la réaction R du sol.
P  d  0 , ce qui veut dire que le poids ne travaille pas, donc qu'il ne contribue pas au
mouvement. Par contre, dans le cas de la chute d'un corps, le produit scalaire est maximum, et
égal au produit des normes, car le poids contribue totalement au mouvement.
II.2. Energie cinétique :
Transformons l'expression du travail :
dW  F  d  F 
d
dt  F  v dt
dt
5
or F  ma  m
donc dW  m
dv
dt
 dv 
dv
 v dt  mdt
 v 
dt
dt


 
d v v
dv
dv
dv

v  v.
2
v
dt
dt
dt
dt
de plus
   
d v v
d v2

dt
dt
dW  m
 
 
dv
1 d v v
1
d v2
 v dt  mdt
 mdt
dt
2 dt
2
dt
1

d  mv 2 
2
  d  1 mv 2 
 dt 


dt
2

1

dW  d  mv 2 
2

ce qui s'écrit encore, sur un intervalle de temps quelconque
W  Ec
avec Ec 
1
mv 2
2
Cette quantité est l'énergie cinétique du point matériel M.
II.3. Théorème de l'énergie cinétique :
II.3.1. Enoncé :
Le travail effectué entre deux instants est égal à la variation d'énergie cinétique entre ces
deux instants.
Le théorème de l'énergie cinétique donne un accès direct à la norme de la vitesse, mais
pas au vecteur vitesse.
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II.3.2. Exemple – chute d'un corps sans frottement :
Un point matériel M de masse m est
lâché d’un point O sans vitesse initiale, et
touche le sol situé à une hauteur h de O
(Figure 7). Soit OH = h. Prenons un repère
défini par O et un vecteur unitaire u x .
L’énergie de mouvement est appelée énergie
cinétique et est définie par Ec 
1
mv 2 , où v
2
est la vitesse de M à un instant t quelconque.
A t = 0, Ec = 0. En H, Ec 
1
mv 2f  0 . S’il
2
n’y avait donc que l’énergie de mouvement,
Figure 7
il n’y aurait pas conservation de l’énergie. Il manque donc une quantité pour caractériser ce
qui se passe. Au point H, il n’y a que la seule énergie cinétique comme énergie totale. En O, il
manque donc
1
mv 2f . Cette énergie est sous forme d’énergie potentielle.
2
Précisons la variation d’énergie cinétique entre l’état final et l’état initial :
Ec 
1
mv 2f
2
La chute est libre, donc x 
1 2
gt et v  gt .
2
2
2
1 2 1 vf vf
A t = tf, h  gt f  g 2 
2
2 g
2g
1
donc v 2f  2 gh et Ec  2 gh m  mgh  Ph
2
Par le théorème de l’énergie cinétique, nous pouvons trouver facilement la vitesse :
Le travail du poids sur la hauteur h est W 
Ec 
1
1
mv 2  0  mv 2
2
2
1
mv 2  mgh
2
d'où v  2 gh

F  d 

m g  d  m g 

d  mgh
7
II.3.3. Exemple – chute d'un corps avec frottement :
Reprenons le même exemple que précédemment, avec une force de frottement F   v .
Le travail des forces le long de la trajectoire est
W




F  P  d 

F  d 


P  d

m g  d  v  d  mgh   v  v dt
La deuxième intégrale est impossible à calculer, car la vitesse n'est justement pas connue.
Nous voyons ici les limites du théorème de l'énergie cinétique.
III. Energie potentielle – Energie mécanique:
III.1. Force conservative -Energie potentielle – Energie mécanique :
Une force est conservative si le travail de cette force entre deux points A et B ne dépend
pas du chemin suivi, mais dépend uniquement des points A et B. Analysons ceci sur un
exemple simple. Soit un point matériel de masse m sur une pente AB (Figure 8). Calculons le
travail du poids le long de AB.
Figure 8
dWAB  P. d  mgd sin 
W A B 

B
P. d 
A

B
mgd sin   mg sin 
A

B
d  mg sin AB  mgAH
A
Regardons ce qui se passe si l’on prend H comme point intermédiaire :
WA B  WA H  WH B  mgAH  0  mgAH
Le poids est une force conservative.
8
Dans le cas d’une force conservative, puisque le travail ne dépend que des points A et B,
il existe une fonction Ep, telle que WA B  E p  A  E p B 

B
WA B  E p  A  E p B    dE p , ce que l’on peut écrire encore :
A
dW = – dEp
La fonction Ep est appelée énergie potentielle. La relation ci-dessus nous dit que le travail
lors d’un déplacement infinitésimal est égal à l’opposé de la variation d’énergie potentielle
lors de ce déplacement.
D’après le théorème de l’énergie cinétique, dW = dEc. Donc – dEp = – dEc, ce qui s’écrit


encore d Ec  E p  0 . La somme de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique est
constante dans le cas de forces conservatives. Cette quantité est appelée énergie mécanique et
notée Em.
Em  Ec  E p
Attention, nous ne pouvons pas écrire WAB  W  A  W B  , car W n’est pas une
fonction, elle n’est pas définie en un point. C’est une quantité proportionnelle à une longueur.
III.2. Force et énergie potentielle :
Reprenons l'expression du travail élémentaire dW  F  d . Soient
Fx , Fy , Fz 
les
coordonnées de F et dx, dy, dz  celles de d . Dans ce cas dW  Fx dx  Fy dy  Fz dz . Or dW
peut aussi s'écrire dW  dE p  
Nous trouvons :
E p

F


x

x

E p

dy ou encore
 Fy  

y


E p
 Fz  
z

E p
x
dx 
E p
y
dy 
E p
z
dz
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F   grad E p
On dit que la force F dérive d'une énergie potentielle. Toute force de ce type est une
force conservative.
III.3. Théorème de l'énergie mécanique :
Lorsque nous écrivons W  Ec , il s'agit, concernant le travail, de toutes les forces
agissant sur l'objet, donc aussi bien des forces conservatives que des forces non conservatives.
Entre deux instants to et tf, dans la réalité, l’énergie mécanique ne se conserve pas. Une partie
de l’énergie est donnée à l’extérieur sous forme de chaleur, à cause des frottements.
Autrement dit l’énergie mécanique finale est inférieure à l’énergie mécanique initiale.
A t = ti, Emi  E ip  Eci
A t = tf, Emf  E pf  Ecf
La variation d’énergie mécanique est :




Em  Ec  E p  
WFC 
WFNC   E p

Ec
où WFC et WFN C représentent respectivement les travaux des forces conservatives et non
conservatives.
Em  Ec  E p 

WFC  E p 


WFNC
0
Em 

WFNC
La variation d’énergie mécanique est égale à la somme des travaux de toutes les forces
non conservatives.
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IV. Equilibre – Stabilité :
IV.1. Equilibre dans un référentiel galiléen :
Un objet est en équilibre si la résultante
des forces extérieures appliquées à cet objet
est nul.
si

F  0 , à l'équilibre, alors
dW  F  d  0  dEP
donc l'énergie potentielle est extremum
(minimum ou maximum (Figure 9)
Figure 9
IV.2. Equilibre dans un référentiel non galiléen :
Prenons l'exemple d'un véhicule qui accélère constamment et uniformément, avec une
accélération a (Figure 10). Un objet de masse m est accroché à un fil lui-même attaché au
plafond du véhicule.
L'objet est soumis à la tension du fil et à
son poids. S'il n'y avait que ces deux forces,
il n'y aurait pas d'équilibre. L'équilibre est du
aux forces d'entraînement et complémentaire.
P  T  Fe  Fc  mar
ar = 0 à l'équilibre
Figure 10
IV.3. Stabilité d'un équilibre :
Un objet est en équilibre stable lorsque, s'il est soumis à une force qui le pousse hors
équilibre, l'objet y revient spontanément.
Dans le cas contraire, l'équilibre est instable.
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Regardons les conséquences de ceci pour l'énergie potentielle. Reprenons la Figure 9.
Près d'un extremum, Ep peut être décrite par un polynôme du second degré, comme le montre
la Figure 11 :
EP  ax 2
dEP
 2ax
dx
d 2 EP
dx 2
 2a
Dans le cas de la figure, a > 0, et
l'équilibre est stable. Finalement, si la dérivée
seconde de l'énergie potentielle est positive
(resp. négative), l'équilibre est stable (resp.
instable).
Figure 11