sujet 5

Attention : dipôle magnétique actuellement hors programme en MPSI.
Expérience de Stern et Gerlach
1) Dipôle magnétique dans un champ inhomogène
Un dipôle magnétique de moment magnétique
M
= Mx
x
e
+ My
y
e
+ Mz
z
e
est placé dans un champ
magnétique extérieur
B
, de direction Oz, qui ne dépend que de la cote z, (on a
z
ze)z(BB  
).
1.1) Exprimer l'énergie potentielle d'interaction entre le champ extérieur et le dipôle.
1.2) Exprimer la force
F
exercée par le champ extérieur sur le dipôle, en fonction de
dB
dzz
.
2) Expérience de Stern et Gerlach
Un four contient des atomes de lithium. Chacun de ces atomes, de masse m, constitue un dipôle
magnétique. Un jet de ces atomes sort du four par un petit trou pratiqué dans sa paroi.
On suppose que tous les atomes sortent du four avec la même vitesse initiale
0
v
, telle que
0
v
= v0
x
e
. On note Ec l'énergie cinétique initiale d'un atome (Ec =
mv0
2
2
).
Les atomes de lithium pénètrent ensuite dans une région de l'espace de largeur , entre les pôle d'un
électro-aimant, où règne un champ magnétique
 z
eBB
dont l'intensité B ne dépend que de la cote z et
varie linéairement avec celle-ci.
z
P
B
h
four
z
Li
0
v
x
h
D
2.1) Expliquer qualitativement ce qu'on peut déduire du fait que les atomes de lithium sont déviés, puis ce
qu'on peut déduire du fait que l'on n'observe que deux impacts sur l'écran, symétriques l'un de l'autre par
rapport à l'axe Ox.

2.2) Exprimer avec Mz, cote du moment magnétique d'un atome de lithium, m masse de cet atome, , v0
et
dB
dz
, la déviation z subie par un atome de lithium pendant sa traversée du champ.
Exprimer à nouveau z avec Mz, , Ec et
dB
dz
.
2.3) Montrer, (en utilisant une propriété des paraboles), que l'angle de déflexion du faisceau d'atomes de
lithium à la sortie du champ est  =
Arc z tan 2
.
Le jet atomique est reçu sur un écran situé à la distance D du centre de la région où règne le champ
B
Donner l'expression de la cote Z à laquelle un ion lithium frappe l'écran, en fonction de D, , Mz, Ec et
dB
dz
.
2.4) On observe sur l'écran deux impacts aux cotes Z =
h
.
Calculer numériquement les deux valeurs que peut prendre Mz, avec :
h = 1,45 mm Ec = 0,10 eV e = 1,60.10-19 C = 20 cm D = 1,25 m
dB
dz
= 20 T.m-1
(La valeur absolue de Mz, appelée "magnéton de Bohr", du fait de la quantification du moment
cinétique de l'électron est
he
me 4
, me représentant la masse de l'électron et h la constante de Planck).