Modèle mathématique.

2nde
Chapitre 1
CALCUL NUMERIQUE ET ALGEBRIQUE
I
Calculs numériques
1)
Les puissances
Définition:
A est un nombre réel et n un entier strictement positif
An = A x A x …x A
n facteurs
A-n = Error!= Error! x Error! x …Error! = ( Error! )n
n facteurs
Par convention: A0 = 1 et 00 = 0
Propriétés:
A et B sont des réels non nuls et m et n sont des entiers positifs
An x Am = An +m
An x Bn = ( AB)n
(An)m = An x m
Error! = An – m
Error! = ( Error! )n
Exemple: simplifier 24 x 23 , 24/23 , (2y)3 , (22)-3
2)
Les fractions ( rappels)
Règles de calculs: a, b, c et d sont des nombres réels et b et d sont non nuls.
Error! x Error! = Error!
Error! = Error!
c x Error! = Error! car c = Error!
Error! = Error! x Error! ( ici c  0)
3)
Les racines carrées
Définition: La racine carrée d'un nombre réel positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a
Propriétés:
Si a et b sont des réels positifs non nuls, et si n est un entier relatif alors:
a.b = a . b
Error! = Error!
Error! = Error! n
Remarque:
est FAUX
II
Développements et factorisations
1)
Reconnaître une Somme et un produit
Stepec
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a+b= a+ b
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2nde
Chapitre 1
Un calcul est appelé somme si la dernière opération à effectuer est une addition. Chacun des nombres
qui composent cette addition est appelé terme de la somme.
Un calcul est appelé produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication. Chacun des
nombres qui composent cette multiplication est appelé facteur du produit.
Exemples :
(x – 5)(2t + 3) est un produit. Les facteurs sont (x – 5) et (2t + 3).
2a + 5(b + 1) – 3 est une somme. Les termes sont 2a ; 5(b + 1) et – 3.
2)
Développer et réduire
Développer un calcul contenant des produits c’est écrire ce calcul en transformant les produits en
somme.
Réduire une expression développée c’est l’écrire sous forme de somme contenant le moins de termes
possible.
Pour développer une expression, on utilise les méthodes suivantes :
Distributivité
Quels que soient a, b, c et d : a(b + c) = ab + ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Identités remarquables
Quels que soient a et b :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b²
Développer, réduire : A = 3a – 5(2 + a) + (3a – 2)²
3)
B = (5x + 2)(–x – 3) – x + (2x + 1)(2x – 1)
Factorisations
Factoriser un calcul c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Pour factoriser une expression, on utilise aussi la distributivité et les identités remarquables mais dans
l’autre sens :
On reconnaît un facteur commun :
ab + ac + ad = a(b + c + d)
On reconnaît une identité remarquable :
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – b² = (a + b)(a – b)
Attention:
A = -( 2-3x) =
-
x
( 2 – 3x) donc lorsque l'on factorise B = 4x ( 2 – 3x) – ( 2 -3x)
On obtient: B=
(4x- 3)(2x +5) = (-4x +3)(2x +5) = (3-4x)(2x +5)
Factoriser les expressions suivantes:
2x + x(x – y) =
Stepec
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2nde
Chapitre 1
(a – 1)a + (a – 1) – (a – 1)(2a – 2) =
(2t – 5)² – 36 =
III
Les ensembles de nombres
1)
Les entiers naturels IN:
Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0.
Par exemple, 0, 1, 2 et 5676 sont des entiers naturels. Par contre – 45 n'en est pas un.
Cet ensemble est noté IN comme naturel. Il existe une infinité d'entiers naturels.
On dit que ces entiers sont naturels car ce sont ceux que l'on utilise naturellement dans la vie de tous les jours.
2)
Les entiers relatifs Error! : Tous les entiers qu'ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont des
entiers relatifs.
Par exemple, – 45, – 1, 0 et 56 sont des entiers relatifs.
L'ensemble des entiers relatifs est noté Error!. Ce symbole vient du mot allemand "die Zahl" qui signifie le nombre.
Remarque: Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit alors que l'ensemble IN est inclus dans l'ensemble Error!
:
on écrit IN  Error!
3)
Les nombres décimaux : Ts les nombres pouvant s'écrirent ss la forme Error! avec aError! et
nIN
( autrement dit avec un nombre fini de chiffres après la virgule)
Par exemple, -3,89 et 5,2 sont des décimaux. Ils peuvent être négatifs ou positifs.
Cet ensemble est noté D
Remarque: Les entiers relatifs sont aussi des décimaux. En effet : 2 = 2,0 , 0 = 0,0 et – 4 = – 4,000
On dit alors que l'ensemble Error! est inclus dans l'ensemble : on écrit : Error!  Error!  .
4)
Les nombre rationnels I;Q: Les nombres rationnels sont les fractions de la forme Error! où p et q
sont
des entiers (non nul pour q).
Par exemple, Error! et – Error!sont des rationnels.
Cet ensemble des rationnels est noté I;Q comme quotient.
Remarque: Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels : prenons par exemple 1,59. C'est en fait le quotient des
entiers 159 et 100 car Error! = 1,59.
L'ensemble des décimaux (et par conséquent celui des entiers naturels et celui des entiers relatifs) est donc inclus dans I;Q.
On résume cela par :      I;Q.
5)
I;R
Les nombres réels I;R : Tous les nombres utilisés en 2nde sont des réels. Cet ensemble est noté
On représente cet ensemble I;R par une droite graduée.
Une telle droite est appelée droite des réels.
Sur ce dessin, le point A a pour abscisse – 3 alors que les nombres
réels positifs 2 et  sont les abscisses des points B et C.
Tous les rationnels sont des réels. L'ensemble des rationnels I;Q est donc inclus dans l'ensemble I;R.
D’où : IN  Error!   Error!  Error!
6) Représentation de tous les ensembles :
R
D
Stepec
Q

Error!
N
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1
– 16
15
0
10 574
13/2
1,07
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1+ 3

2nde
Chapitre 1
Exercices : 1, 2, 5, 10, 11 p 28
IV
Les nombres premiers
1)
Définition
Définition : Un nombre premier est entier naturel n'ayant que deux diviseurs distinct : 1 et lui-même.
Remarque : 0 et1 ne sont pas premiers car ils n'admettent pas 2 diviseurs distincts.
Exemples : 3, 5, 13, 71 sont des nombres premiers.
14 n’est pas un nombre premier : il est divisible par 1, 2, 7 et 14
2)
Crible d'Eratosthène
Pour trouver les nombres premiers, on utilise le "crible d’Eratosthène":
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
3)
A chaque nombre premier
rencontré on élimine tous ses
multiples, jusqu'à ce que le
carré du dernier nombre
premier soit plus grand que
la dernière valeur du tableau
Méthode pour reconnaître un nombre premier
Tout d'abord on applique les critères de divisibilité pour trouver d'éventuels diviseurs.
Rappels:




Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est multiple de 3
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9
S'il ne possède pas de diviseurs connus alors on le divise successivement par les nombres
premiers jusqu’à ce que le diviseur au carré soit supérieur au nombre.
Exemple : 157 est-il premier ?
 157 n’est pas divisible par 2 et 157/2 = 75,5
 157 n’est pas divisible par 3 et 157/3 = 52,3..
 157 n’est pas divisible par 5 et 157/5 = 31,4
 157 n’est pas divisible par 7 et 157/7 = 22,4..
 157 n’est pas divisible par 11 et 157/11 = 14,3..
 157 n’est pas divisible par 13 et 157/13 = 12,0..comme 132= 169 et que 169 >157 on peut arrêter
Conclusion : 157 est un nombre premier
4)
Décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers
Décomposer un nombre en produits de facteurs premiers signifie trouver tous les diviseurs
premiers d’un nombre
Stepec
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2nde
Chapitre 1
Méthode: On divise le nombre par ses diviseurs premiers : 2, 3, 5, 7, etc… jusqu'à ce que le résultat de la
division soit1 , décomposons
1050 2
525 3
175 5
35
5
7
7
1
donc, 1050 = 2  3  52  7
Exercices: 12, 14, 19 p 28
V
Résolution d'équations
1)
Définition
Définition:
Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure une lettre représentant une
valeur inconnue que l’on cherche à déterminer.
Exemples :
(E1) : 2x + 1 = 0 est une équation d’inconnue x
(E2) : 2t² + 1 = t + 1 est une équation d’inconnue t
(E3) : y3 – 3y2 = 6y – 8 est une équation d’inconnue y.
Résoudre une équation c’est déterminer l’ensemble de toutes les solutions de l’équation.
Exemples
L’ensemble des solutions de (E1) est S1 = Error!
L’ensemble des solutions de (E2) est S2 = {0 ; 2}
L’ensemble des solutions de (E3) est S3 = {–2 ; 1 ; 4}
2)
Equation du type ax +b = 0
3)
Equation du type (A) x (B) = 0
résoudre l'équation: (2x +3).(-4x -2) = 0
4)
Techniques de résolution d'équations:
1. On place tous les termes d'un même côté du signe égal:
Exemple: 5x3 – 3 = 9x2 +4 devient
5x3 – 3 – 9x2 – 4 = 0
Stepec
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2nde
Chapitre 1
2. Puis on cherche un facteur commun:
Exemple:
(3x-1) (x +1) – 2x (x + 1) = 0
(x +1) [ (3x-1) – 2x] = 0
ici (x + 1) est facteur commun
on factorise par (x + 1)
3. S'il n'y a pas de facteur commun alors on développe et on réduit l'expression.
Exemple:
(x -1)(x + 4)-(x – 2)(x+3) = 0
x2+3x – 4 – (x2+ x -6) =0
on développe
2x + 2 = 0
on réduit l'expression
4. Lorsque l'on a factorisé en produits de facteurs du premier degré on résout l'équation
Exemple:
2x(4-3x)(5x+3) = 0
 2x = 0
ou 4 – 3x = 0 ou 5x + 3 = 0
Erreur à éviter:
Il ne faut pas faire: (3x + 1)(x + 2) = (5x -3)(x + 2)
 3x + 1 = 5x - 3
 3x-5x +1+3 = 0
 -2x + 4 = 0
x=2
S = {2}
dans ce cas on a une seule solution
Il faut faire: (3x + 1)(x + 2) = (5x -3)(x + 2)
 (3x + 1)(x + 2) – (5x – 3)(x +2) = 0
 (x + 2) [(3x +1-(5x – 3)] = 0
 (x + 2) (-2x + 4) = 0
 x + 2 = 0 ou
-2x + 4 = 0
 x = -2
ou
x=2
S =  2;2
ainsi on obtient toutes les solutions
Applications:
1)Les expressions suivantes contiennent le signe " = ". Dans quels cas s’agit-il d’une équation ?
a) « Résoudre t² + 1 = 2t. »
b) « Démontrer que (a – 2)(a + 1) = a² – a – 2. »
c) « Soit f la fonction définie par f(x) = 2x + 1. »
d) « Déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 5. »
e) « f est la fonction qui vérifie : pour tout x, f(x) = 5. »
f) « 1 + 3 – 5 = –1. »
g) « Pour b = 1, b + 3 – 5 = –b. »
h) « L’égalité (y – 5)² = y² – 25 est-elle vraie ? »
2) Résoudre, en choisissant la méthode appropriée, les équations suivantes :
(E1) : 4(x – 5) = 3(2x + 3)
(E2) : 4(x – 5)(2x + 3) = 0
(E3) : (x – 5)(2x + 3) + 4(x – 5) = 0 (E4) : (x – 5)(2x + 3) – 2x(x + 1) = 0
(E5) : x² + 3x = 5x
(E6) : x² + 3x = –3x – 9
(E7) : x² + 3x = x² + 6
(E8) : x²(2x + 1) = 4(2x + 1)
(E9) : Error! + Error! = Error!
(E10) : x² + 4x + 4 = (x + 2)(x – 1)
Stepec
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