Régime sinusoïdal

Bac Pro
date :
LES RÉGIMES SINUSOÏDAUX
u (V)
La plus grande partie de l’énergie électrique est
Û
u
produite sous la forme d’une tension alternative
sinusoïdale.
 Valeur instantanée d'une tension


u(t) = Û sin( t + )

/2

3/2

t (rad)
(rad)
T
 u(t)
: valeur instantanée de la tension.
 Û
: valeur maximale de la tension, en
volts.
  : pulsation de la tension, en radians par secondes.
 
: phase de la tension à l'instant initial, en radians.
 t +: phase de la tension à l'instant t, en radians.
Relations importantes :
 = 2 f
avec
 T = Error!
f : fréquence du signal en hertz.
avec
T : période du signal en secondes.
 Valeur moyenne
La valeur moyenne Error!, d’une grandeur périodique x, se calcule à partir de la relation :
Error! = Error!
Error! dt
La valeur moyenne d'une tension alternative sinusoïdale est nulle :
Error! = 0
Remarque : La valeur moyenne d'une tension se mesure à l'aide d'un voltmètre numérique en position continue,
ou d’un voltmètre magnétoélectrique en position continue (la fréquence doit être comprise entre 10 et 5 kHz).
 Valeur efficace
La valeur efficace Y, d'une grandeur périodique y se calcule à partir de la relation : Y 2 = Error! Error! dt
La valeur efficace U d'une tension sinusoïdale, et seulement dans ce cas, se déduit de la relation : U = Error! .
Remarque : La valeur efficace de n’importe quelle tension se mesure à l'aide d'un voltmètre numérique en
position TRMS (True Root Mean Square) en position AC + DC.
Ph. Georges
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1/8
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Détail du calcul de la valeur efficace U d'une tension sinusoïdale
On considère la tension sinusoïdale u(t) = Û sin( t)
avec  = Error!
U 2 = Error! Error! dt 
Avec la relation
U 2 = Error! Error! dt
sin 2  = (sin ) 2 = Error!

U 2 = Error! Error! dt

U 2 = Error! Error!

U 2 = Error! Error!

U 2 = Error! Error!

U 2 = Error! Error!
avec  = Error! on écrit
Ph. Georges
sin ( t) = sin (Error! t)

U 2 = Error! Error!

U 2 = Error! Error!

U 2 = Error! [T – 0]

U 2 = Error!

U = Error!
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 Représentation des grandeurs sinusoïdales
La représentation cartésienne utilise des fonctions sinusoïdales du temps :
i = Î sin (t + i
u = Û sin (t + u
i
)
u
Le déphasage entre u et i est la différence 
e les phases initiales de u et de i :
 = u – i
Si  > 0, la tension u est en avance sur l'intensité i.
Si  < 0, la tension u est en retard sur l'intensité i.
Le déphasage se déduit du décalage horaire d, à l'aide de la relation :
|| = Error!
Nous pouvons choisir l'une des phases initiales nulle :
Si i = 0 :
i = Î sin ( t)
Avec :
 = déphasage de u par rapport à i.
et
u = Û sin (t – )
 Représentation de Fresnel
 i = Î sin(t)
i est choisie comme origine des phases.
 u1 = Û sin(t – 1)
u1 est en avance de 1 sur i.
 u2 = Û sin(t – 2)
u2 est en retard de 2 sur i.
U1
+

I
2
U2
Ph. Georges
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date :
U
 Étude des dipôles élémentaires
Résistor : résistance R
I
Impédance :
ZR = R
i
Déphasage de u par rapport à i.
=0
u
u est en phase avec i.
Comportement en régime continu
U=RI
Comportement en régime sinusoïdal
u=Ri
Résistor en régime sinusoïdal
Condensateur : capacité C
U
Tout condensateur est caractérisé par sa capacité C mesurée en farad (F).
ZC = Error!
Impédance :
en ohm ()
I
  L'impédance d'un condensateur dépend de la fréquence de la tension et du courant.
Déphasage de u par rapport à i :
 = – Error! rad
Error!
 
 = ( I, U )
–
Error!Error!
u est en quadrature arrière sur i
Vecteurs de Fresnel
Comportement en régime continu :
ZC est infinie. Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
Comportement en régime sinusoïdal : U = Error! I
i = C Error!
u
i
Condensateur en régime sinusoïdal
Bobine parfaite : Inductance L
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U
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I
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Une bobine est considérée parfaite si sa résistance est négligeable
devant son impédance.
Toute bobine est caractérisée par son inductance L mesurée en henry (H).
Impédance :
ZL = L
en ohm ()
  L'impédance d'une bobine dépend de la fréquence de la tension et du courant.
 
 = Error! rad
Déphasage de u par rapport à i :
 = ( I, U )
u est en quadrature avance sur i.
Error!
Error!
Vecteurs de Fresnel
Error!
Comportement en régime continu :
ZL est nulle. La bobine se comporte comme un court-circuit.
Comportement en régime sinusoïdal :
U = L I
i = L Error!
Error!
Error!
u
i
Bobine parfaite en régime sinusoïdal
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 Puissance en régime sinusoïdal monophasé
Soit le dipôle D, traversé par un courant d’intensité i, soumis à une tension u.
U
I
Les deux grandeurs u et i sont sinusoïdales, elles sont déphasées d’un angle .
 Puissance instantanée :
p=ui
 Puissance active :
P = UI cos 
en watt (W)
 Puissance réactive :
Q = UI sin 
en var (var)
 Puissance apparente :
S = UI
en voltampère (VA)
 Facteur de puissance :
 Théorème de Boucherot :
cos  = Error!
P = Σ Pi
Q = Σ Qi
S = P2 + Q2
P (W)
Q (var)
S (VA)
cos 
R I2
0
R I2
1
Condensateur C
0
– C  U2
C  U2
0
Bobine parfaite L
0
L  I2
L  I2
0
Dipôle
Résistor R
 Si Q est positif :
le dipôle est inductif
 Si Q est négatif : le dipôle est capacitif
 Si Q est nulle :
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le dipôle est purement résistif.
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 Utilisation des nombres complexes
La notation complexe remplace avec profit la représentation de Fresnel. Elle permet d’effectuer des opérations
(somme, produit,…) en utilisant les règles calculatoires ordinaires de l’algèbre.
En physique, l’écriture de l’imaginaire pur « i » est remplacée par la lettre « j » pour éviter la confusion avec
l’intensité i du courant électrique.
L’impédance complexe Z a une impédance Z en ohms () et un déphasage  provoqué par le dipôle entre la
tension aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse exprimé en radians (rad).
Les impédances des trois dipôles élémentaires sont exprimées, en utilisant les nombres complexes, par les
relations suivantes :
Dipôle
Impédance complexe
Résistor R
ZR = R
Condensateur C
ZC = Error!
Bobine parfaite L
ZL = jL
 j2 = – 1
 Écriture algébrique
Z = a + jb
Le module Z de Z est :
Z = a2 + b2
L’argument  de Z est :
 = tan – 1 Error!
 Écriture trigonométrique
Z = Z (cos  + j sin )
Partie réelle :
a = Z cos 
Partie imaginaire :
b = Z sin 
 Écriture exponentielle
Z=Ze
j
Quelques rappels sur l’utilisation des nombres complexes :
Soient
z = a + jb
et
z’ = c + jd
z + z’ = a + c + j (b + d)
z  z’ = ac – bd + j (ad + bc)

Error! = Error!
Error! = Error!

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Error! = Error!  Error!

Error! = Error!
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 Circuit RLC série
Impédance complexe de l’association :





Module Z de l’impédance :
Argument  de l’impédance :
Z = R + jL + Error!
Z = R + jL + Error!  Error!
Z = R + jL + Error!
Z = R + jL + Error!
Z = R + jL – Error!
Z = R + j Error!
Z = R 2 + Error!Error!
 = arctan Error!
Z = Error!
Récapitulatif pour les dipôles R, L et C.
Résistance
Inductance
Capacité
Impédance ()
ZR = R
ZL = L
ZC = Error!
Déphasage (rad)
R = 0
L = Error!
C = – Error!
Impédance
ZR = R
ZL = jL
ZC = Error! = – Error!
complexe ()
réel pur
imaginaire pur
imaginaire pur
YR = Error!
YL = Error! = – Error!
YC = jC
réel pur
imaginaire pur
imaginaire pur
Admittance
complexe
(S : siemens)
Remarque : l’admittance Y est l’inverse de l’impédance Z.
Ph. Georges
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