Exercice N°1 : Laser à 4 niveaux

Institut d'Optique, 2° année et M1 Examen de laser 16/12/2010
François BALEMBOIS
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Examen de laser
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Exercice N°1: Détermination des pertes passives d’un oscillateur laser
On considère un laser à saphir dopé au titane pompé à p=532 nm et émettant à
=800 nm. La puissance de pompe absorbée est Pabs = 10 W. La puissance de sortie mesurée
après le miroir de sortie est Pout=3W. La transmission du miroir de sortie est T=10% (cavité à deux
miroirs). En utilisant une photodiode placée à proximité du milieu amplificateur et
perpendiculairement à l’axe de la cavité, on enregistre les variations d’émission spontanée avec et
sans effet laser. On observe que l’émission spontanée est divisée par un facteur deux lorsque la
puissance de sortie du laser vaut 3W.
1) La puissance émise de façon spontanée par le cristal de saphir dopé au titane est notée
Pspont sans effet laser. On suppose que toute l’émission spontanée apparaît à 800 nm. Sans effet
laser, on suppose qu’un photon de pompe donne un photon spontané. Donner la relation entre
Pabs et Pspont.
2) Lorsque le laser fonctionne, la puissance totale émise par émission stimulée est notée
Pstim. P’spont représente la nouvelle puissance émise spontanément. Donner la relation entre Pstim,
Pabs et P’spont.
3) Les pertes passives de la cavité sont notées . Donner la relation entre la puissance de
sortie Pout et la puissance émise par émission stimulée Pstim.
4) Déduire de ce qui précède la valeur numérique des pertes passives .

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François BALEMBOIS
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Exercice N°2 : Optique pour un amplificateur à double passage
On considère un milieu à gain (cristal de Nd:YAG) dans lequel un faisceau gaussien signal
à 1064 nm passe deux fois afin d’être amplifié. Le schéma expérimental est représenté sur la
figure 1. Le milieu à gain est très mince de telle sorte qu’il n’affecte pas la propagation du faisceau.
Le faiceau est focalisé dans le Nd:YAG par une lentille (non décrite ici). Le plan du waist au
premier passage est localisé sur le cristal. Le rayon du faisceau dans ce plan est w0=250 µm. Le
deuxième passage est effectué après réflection sur un miroir concave ayant un rayon de courbure
R et placé à une distance d du cristal. Le faisceau d’entrée et le faisceau de sortie sont différenciés
par un cube séparateur de polarisation et par une lame quart d’onde qui fait tourner la polarisation
de 90° après un double passage. La lame quart d’onde ne modifie pas la propagation du faisceau.
L’objectif de l’exercice est de trouver d et R dans différentes conditions.
Figure 1 : schéma expérimental pour l’amplificateur à double passage.
1) On débute l’expérience avec un miroir concave de rayon de courbure R=500 mm. On
souhaite que le plan du waist au deuxième passage soit dans le cristal et de même taille qu’au
premier passage. Calculer les distances d possibles (donner les valeurs numériques).
2) Cette fois, on souhaite modifier la taille du faisceau au deuxième passage mais on
souhaite également que le plan du waist reste dans le plan du cristal lors de ce deuxième
passage.
2.1) Expliquer sans calcul pourquoi la distance d=R/2 convient pour cela.
2.2) Calculer la taille du faisceau dans le plan du waist w0r après réflection sur le
miroir concave (utiliser les formules données en cours). Donner une valeur numérique (prendre
R = 500 mm).
2.3) Dans cette question, w0 est fixé (w0=250 µm), d est fixé à R/2 mais R peut
varier. g est le grandissement au niveau du plan des waists : g= w0r/ w0. On veut un
grandissement g>1. Donner une relation entre R et la distance de Rayleigh (avant réflection).
Donner une application numérique.
3) Le cristal est le siège d’effets thermiques: il est maintenant équivalent à une lentille
thermique positive de distance focale f’c=50 mm. Le faisceau incident sur le cristal reste inchangé
(w0=250 µm), avec un plan de waist situé juste avant le cristal.
3.1) Dans cette question et la question 3.2), on s’intéresse au premier passage.
Donner la position du waist après le cristal (utiliser les formules du cours). Donner une application
numérique.
3.2) Donner le rayon du faisceau dans ce plan w’0 (formule et résultat numérique).
3.3) On souhaite la même taille dans le cristal après réflection. Faire un schéma du
montage en montrant l’évolution du rayon du faisceau le long de l’axe optique.
3.4) Calculer les nouvelles distances d qui permettront de conserver la même taille
dans le cristal après réflection. Donner des valeurs numériques pour R=500 mm.
3.5) Déduire de cette partie une méthode pour évaluer la distance focale de la
lentille thermique du cristal.

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Exercice N°3 : Amplification d’impulsion dans un cristal de Nd:YAG
On considère un milieu amplificateur (cristal de Nd:YAG) dans lequel une impulsion laser à
1064 nm va être amplifiée en un seul passage. Le cristal de Nd:YAG est très fin de telle sorte
qu’on peut négliger les variations spatiales le long de l’axe optique des différentes grandeurs
considérées dans la suite. Sur cet axe, la longueur du cristal est d = 1 mm.
Le cristal de Nd:YAG est pompé à 808 nm et émet à 1064 nm. C’est un milieu à quatre
niveaux, comme décrit sur la figure 2.
Figure 2 : niveaux d’énergie et débits pour l’amplificateur Nd:YAG
 est le débit non radiatif du niveau 3 au niveau 2 : il est très grand par rapport à tous les
autres débits.
 est la section efficace à 1064 nm: = 2,8 10-19 cm2.
 est l’intensité laser (en nombre de photons par seconde et par cm2). Elle est supposée
constante durant l’impulsion laser.
A est le coefficient d’Einstein pour l’émission spontanée : 1/A = 230µs.
n0, n1, n2, and n3 sont les densités de population des différents niveaux.
’ est le débit non radiatif du niveau 1 au niveau 0: 1/’=1ps.
1) L’impulsion laser arrive sur le milieu amplificateur à t=0. Le processus de pompage a lieu
avant l’arrivée de l’impulsion sur le cristal, pour t<0. Il est arrêté juste avant que l’impulsion n’arrive
dans le milieu amplificateur. Le pompage permet à la densité de population dans le niveau du haut
d’être égale à n2i at t=0. On considère les équations de débits pour les densités de population
lorsque l’impulsion laser éclaire le cristal de Nd:YAG avec une intensité I. Donner les équations
différentielles dn0/dt, dn1/dt, dn2/dt et dn3/dt pour t>0.
2) En utilisant le fait que  est très grand par rapport aux autres débits, que pouvez-vous
dire de la densité de population n3 pour t>0?
3) L’impulsion laser incidente a une énergie de Ein=10 µJ à =1064 nm. Elle est focalisée
dans le cristal de Nd:YAG sur un faisceau de rayon w=30 µm. Le profil transverse du faisceau est
supposé plat, de forme rectangulaire sur tout le rayon du faisceau. La durée de l’impulsion est
t=1 ns. Les densités de population sont constantes sur toute la section transverse du faisceau.
3.1) Calculer l’intensité laser de l’impulsion I (supposée constante durant l’impulsion
laser) en photons.s-1cm-2. (h=6.62 10-34 Js).
3.2) Comparer le produit  I avec les grandeurs A et ’.

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4) Si on suppose que la densité de population n1 atteint son état stationnaire très
rapidement (plus rapidement que 1 ns), que pouvez-vous dire de n1 par rapport à n2? Justifier
votre réponse.
5) Le but de cette question est de trouver l’énergie Eout de l’impulsion laser en sortie du
milieu amplificateur.
5.1) En utilisant les questions précédentes, donner l’équation différentielle
concernant la densité d’inversion de population, n= n2 – n1, en fonction du temps.
5.2) Comme le milieu est mince, tous les ions néodymes sont éclairés avec la
même intensité I durant l’impulsion laser. Donner la relation entre :
Ein l’énergie incidente,
ni, la densité d’inversion de population avant le passage de l’impulsion et
nf, la densité d’inversion de population après le passage de l’impulsion.
5.3) En supposant que la collecte d’un photon stimulé dans le faisceau est reliée à
la baisse de la densité d’inversion de population de la valeur 1 exactement, donner
l’expression de l’énergie Eout en sortie du milieu amplificateur.
5.4) Donner une valeur numérique pour Eout.
n2i = 1020cm-3 , d = 1mm.
6) On change maintenant de milieu amplificateur (on ne donne pas plus de détails à
ce sujet dans le problème). Le milieu a maintenant un débit non radiatif ’ du niveau 1 au niveau 0
tel que 1/’=1 µs. Toutes les autres données restent les mêmes que précédemment.
6.1) Quelle est la nouvelle équation de débit dn1/dt?
6.2) Donner la nouvelle équation différentielle concernant n par rapport au
temps. 6.3) Donner la nouvelle relation entre nf, ni, Ein.
6.4) En supposant que la collecte d’un photon stimulé dans le faisceau est
reliée à la baisse de la densité d’inversion de population de la valeur 2 exactement, donner
l’expression de l’énergie Eout en sortie du milieu amplificateur.
6.5) Donner la valeur numérique de Eout.
6.6) Faire des commentaires sur les différences entre les résultats obtenus
au 6.5) et au 5.4).