Lesson - Colliding Planets

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Leçon – Collision planétaire
L’applet Collision de planètes illustre le mouvement de deux planètes se dirigeant
l’une vers l’autre. Il montre les forces gravitationnelles que les planètes exercent
l’une sur l’autre et la façon dont la vitesse, la quantité de mouvement et l’énergie
cinétique de chaque planète, ainsi que l’énergie potentielle et l’énergie
mécanique totale du système varient durant le mouvement.
Préalables
L’élève devrait avoir une connaissance élémentaire des vecteurs et connaître les
concepts de vitesse, de vitesse vectorielle et de masse, ainsi que la deuxième loi du
mouvement de Newton.
Résultats d’apprentissage
L’élève pourra donner la définition de la quantité de mouvement et énoncer la loi de la
conservation de la quantité de mouvement pour des systèmes isolés, ainsi que les
troisième et deuxième lois de Newton. Il pourra expliquer comment la loi de
conservation de la quantité de mouvement d’un système isolé est une conséquence
des troisième et deuxième lois du mouvement de Newton. Enfin, il pourra énoncer la loi
de la gravitation universelle de Newton et expliquer comment cette loi, combinée à la
deuxième loi du mouvement de Newton, permet d’expliquer certains aspects du
mouvement d’objets qui exercent l’un sur l’autre une force gravitationnelle.
Directives
L’élève devrait connaître les fonctions de l’applet, telles que décrites dans l’option Aide.
L’applet devrait être ouvert. Les directives présentées point par point dans le texte qui
suit doivent être exécutées dans l’applet. Il pourrait être nécessaire d’alterner entre les
directives et l’applet si l’espace écran est limité.
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Contenu
Quantité de mouvement, conservation de la quantité de mouvement,
deuxième et troisième lois de Newton, loi de la gravitation universelle de
Newton
Force gravitationnelle d’interaction entre deux planètes et troisième loi de
Newton
Mouvement et variations de la vitesse vectorielle et de la quantité de
mouvement du système
Quantité de mouvement, conservation de la quantité de mouvement, deuxième et
troisième lois du mouvement de Newton, loi de la gravitation universelle de
Newton
Définition de la quantité de mouvement
La quantité de mouvement d’une particule de masse m et de vitesse
vectorielle est définie comme étant le produit
=m
.
(1)
Comme le sous-entend la définition, la quantité de mouvement est une
quantité vectorielle. On la représente par le symbole . Le vecteur
quantité de mouvement pointe dans la même direction que le vecteur
vitesse.
La quantité totale de mouvement d’un système de particules, représentée
par un ptotale surmonté d’une flèche, est définie comme étant la somme
vectorielle des quantités de mouvement des particules individuelles,



p totale  p1  p 2 .
(2)
Loi de la conservation de la quantité de mouvement
Version A. La quantité de mouvement totale d’un système isolé de
particules est conservée.
Version B. La quantité de mouvement totale d’un système de particules
est conservée si la force externe totale s’exerçant sur le système est nulle.
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Commentaires. La version A est un cas particulier de la version B. Un
système isolé, c’est-à-dire qui n’interagit avec rien d’extérieur à ce
système, ne subit absolument aucune force externe, si bien que la somme
des forces de ce genre est évidemment nulle.
Dans la version B, le système ne doit pas être isolé, et peut interagir avec
son environnement. Dans ces conditions, la quantité totale de mouvement
du système continue d’être conservée, à condition que la somme des
forces externes qui s’exercent sur ce système soit nulle.
La loi de conservation de la quantité de mouvement est une conséquence des
deuxième et troisième lois de Newton.
Troisième loi de Newton
Si un objet 1 exerce une force sur un objet 2, alors l’objet 2 exerce
également une force sur l’objet 1. Les deux forces sont de même
grandeur, mais de direction opposée.
Figure 1
La figure 1 illustre la troisième loi de Newton dans le cas de deux objets exerçant l’un
sur l’autre une force gravitationnelle. 1 est la force exercée sur l’objet 1 par l’objet 2.
2 est la force exercée sur l’objet 2 par l’objet 1.
Commentaires. Même si les objets sont de masse différente, les forces qu’ils exercent
l’un sur l’autre ont la même grandeur, comme l’illustrent les vecteurs force verts.
Les forces gravitationnelles sont des forces de longue portée qui sont « ressenties » par
les objets qui interagissent même s’ils sont très éloignés l’un de l’autre. Voir la loi de la
gravitation universelle de Newton ci-après. La troisième loi de Newton s’applique aussi
bien aux forces de longue portée que celles de courte portée (forces de contact).
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Loi de la gravitation universelle de Newton
Deux particules, quelles qu’elles soient, exercent une force
gravitationnelle l’une sur l’autre. La particule 1 exerce une force sur la
particule 2, et la particule 2 exerce une force sur la particule 1. Ces forces
sont des forces d’attraction dirigées d’une particule à l’autre. Si les
particules sont de masse m1 et m2, respectivement, et qu’elles sont
séparées par une distance r, la grandeur F de chaque force est donnée
par
F
Gm1m 2
r2
(3)
où G est la constante de gravitation universelle. En unités SI, G a la valeur
G = 6,67×10-11 N m2 kg-2.
(4)
Commentaires. Dans l’énoncé précèdent, le terme « particule » signifie « particule
ponctuelle », c’est-à-dire une particule dont l’étendue est négligeable. Les objets réels
sont des objets étendus. Leur interaction gravitationnelle est le résultat des interactions
de toutes les particules qui les constituent. La force gravitationnelle totale exercée par
un objet étendu sur un autre est la somme vectorielle des forces qu’exercent toutes les
particules du premier sur toutes les particules du second.
On peut prouver qu’un objet étendu de forme sphérique et de masse volumique
uniforme agit gravitationnellement comme si sa masse était concentrée en son centre.
Par conséquent, un tel objet peut être représenté par une particule ponctuelle située au
centre de l’objet, où la particule ponctuelle porte toute la masse de l’objet étendu.
Ici, nous traiterons les objets étendus, tels que la terre et la lune, comme s’il s’agissait
de particules ponctuelles situées au centre de ces objets.
Deuxième loi du mouvement de Newton
Les forces qui s’exercent sur une particule déterminent le mouvement de cette dernière
conformément à la deuxième loi du mouvement de Newton. Telle qu’énoncée par
Newton, cette loi stipule que
la somme vectorielle de toutes les forces qui s’exercent sur une particule
est égale à la variation de la quantité de mouvement de la particule en
fonction du temps.
Si net représente la somme de toutes les forces (force nette) s’exerçant sur la
particule, la deuxième loi de Newton se résume à l’équation
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(5)
où Δ /Δt est la variation de la quantité de mouvement de la particule en fonction du
temps. On peut se représenter Δ /Δt comme étant le rapport entre une très petite
variation de la quantité de mouvement Δ et un intervalle de temps très court Δt.
Si la masse m est constante, en se servant de la définition (1) de la quantité de
mouvement, on peut récrire l’équation comme suit :
(6)

v
où la variation de la vitesse vectorielle en fonction du temps,
, a été remplacée par
t

l’accélération a .
Sous cette forme, la deuxième loi de Newton stipule que
la somme de toutes les forces qui s’exercent sur une particule est égale
au produit de la masse de la particule par l’accélération de cette dernière.
Force gravitationnelle d’interaction entre deux planètes et troisième loi du
mouvement de Newton
Clique sur Réinitialiser
.
Règle la masse de la planète 1 (planète située à gauche) à 7 000. La masse de la
planète 2 sera automatiquement réglée à 3 000. La masse combinée des deux planètes
est toujours égale à 10 000. Au moyen des boutons Mise en marche et Pause, déplace
les planètes jusqu’à ce qu’elles soient à une distance d’environ r = 3,39E2 l’une de
l’autre. Tu peux essayer de t’approcher de cette valeur en arrêtant le mouvement au
moyen du bouton Pause avant que r n’atteigne cette valeur, puis en avançant vers cette
valeur en utilisant le bouton Intervalle.
Calcule les grandeurs F1 et F2 des forces gravitationnelles que les planètes exercent
l’une sur l’autre. Ici, le calcul se fera pour r = 3,39E2, mais tu devrais aussi le faire pour
la valeur de r à laquelle tu as arrêté le mouvement. La boîte Données fournira la
réponse qui correspond à ta valeur de r.
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Clique sur le bouton Recommencer
. Ajuste les masses des deux
planètes de sorte que F1 = F2 = F ait la grandeur maximale. Essaie d’expliquer ton
observation.
Mouvement du système et variations de la vitesse vectorielle et de la quantité de
mouvement
Laisse les valeurs des masses à m1 = 7 000 et m2 = 3 000, et démarre au
point où tu as arrêté le mouvement antérieurement. Ici, nous supposerons que cet arrêt
a eu lieu à r = 3,39E2 au temps t = 5,22E1. À ce point, la boîte Données affiche les
valeurs suivantes :
Figure 2
Clique une fois sur Intervalle pour faire avancer le mouvement de 0,1 dans le temps
jusqu’à t = 5,23E1. À cet instant-là, la boîte Données affiche les valeurs suivantes :
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Figure 3
Calcule les grandeurs de la vitesse vectorielle et de la quantité de mouvement des
planètes et la distance qui les sépare au temps t = 5,22E1 d’après les données au
temps t = 5,23E1.
Indice : Tu peux considérer que les forces sont constantes durant ce bref intervalle de
temps. En comparant les valeurs des forces affichées aux figures 2 et 3, tu constateras
qu’il ne s’agit pas d’une mauvaise hypothèse. Vois aussi le commentaire 1 de la
réponse suivante.
Quantités de mouvement. La deuxième loi du mouvement de Newton (5) appliquée à la
planète 1 donne l’équation
(9)

En isolant la variation de quantité de mouvement p1 , nous obtenons
(10)
En appliquant cette équation à l’intervalle de temps bref, mais fini, entre t = 5,22E1 et
t = 5,23E1, et en travaillant uniquement avec les grandeurs des vecteurs, nous
obtenons

p1  1,22 103  0,01  1,22 102  0,01104 Ns
(11)
Si nous ajoutons cette valeur à p1 = 2,81×104 au temps t = 5,22E1, comme la force a la
même direction que la quantité de mouvement et que, par conséquent, la quantité de
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mouvement augmente, nous obtenons pour la grandeur de la quantité de mouvement
au temps t = 5,23E1 la valeur
p1 = 2,81×104 + 0,01×104 = 2,82×104.
(12)
Commentaire 1. À la précision de trois chiffres significatifs utilisée dans ce calcul,
l’hypothèse de la constance de la force durant l’intervalle de temps donné dans les
équations (11) est parfaitement valide. Comme le montre le calcul, le troisième chiffre
significatif de la force, qui est celui qui change durant l’intervalle de temps, n’a aucun
effet sur le résultat du calcul, parce que la multiplication par le facteur temps de 0,1
dans les équations (11) supprime ce chiffre et même celui qui le précède.
La quantité de mouvement de la planète 2 au temps t = 5,23E1 peut être calculée de la
même façon. Puisque la force qui s’exerce sur la planète 2 a la même grandeur que
celle qui s’exerce sur la planète 1, d’après la troisième loi de Newton, la grandeur Δp2
de la variation de la quantité de mouvement de la planète 2 est la même que pour la
planète 1 et est donnée par le résultat (11).
Puisque la force qui s’exerce sur la planète 2 a la direction de la quantité de
mouvement de la planète (selon la troisième loi de Newton, cette force est opposée à
celle qui s’exerce sur la planète 1; la quantité de mouvement de la planète 2 est
également opposée à celle de la planète 1), la grandeur de la quantité de mouvement
de la planète 2, comme celle de la planète 1, augmente de la même valeur (12) que la
quantité de mouvement de la planète 1.
Puisque les quantités de mouvement des deux planètes et les variations de la quantité
de mouvement 1 et Δ 2 sont de sens opposé, la somme de ces variations est nulle,
Δ
1
+Δ
2=
0.
(13)
Cela signifie que la quantité de mouvement totale du système formé par les deux
planètes ne varie pas. Nous avons prouvé la loi de la conservation de la quantité de
mouvement pour le système. Nous pouvons appliquer le même argument à tout autre
intervalle de temps. Tu remarqueras que les deuxième et troisième lois de Newton
interviennent toutes deux dans l’argument.
Commentaire 2. Au temps t = 5,23E1, les quantités de mouvement des deux planètes
n’ont pas les mêmes grandeurs qu’au temps t = 5,22E1. Cependant, à chaque instant,
les quantités de mouvement sont de même grandeur et de sens directement opposé, si
bien qu’aux deux points dans le temps, la quantité de mouvement totale est nulle et, par
conséquent, conservée.
Vitesses et vitesses vectorielles. La vitesse de la planète 1 à t = 5,23E1 s’obtient en
divisant la grandeur de la quantité de mouvement par la masse de la planète. Donc,
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p
v1  1
m1
v1 
2,81  10 4 Ns
7000 kg
v1  4,01 m/s
(14)
La vitesse de la particule 2 à t = 5.23E1 se calcule de la même façon :
v2 
p2
m2
v2 
2,82  10 4 Ns
3000 kg
v 2  9,40 m/s
(15)
Les vitesses vectorielles des planètes au temps t = 5,23E1 sont de sens directement
opposé et ont les grandeurs données par les résultats (14) et (15).
Distance entre les planètes. La distance r entre les planètes varie, parce que les deux
planètes se déplacent. Puisqu’une planète se déplace vers la droite et l’autre vers la
gauche, r varie à une vitesse égale à l’opposé de la somme des vitesses des deux
planètes. Nous devons prendre l’opposé (valeur négative) de la somme, parce que r
diminue et que sa vitesse de variation est par conséquent négative.
En émettant une hypothèse semblable à celle utilisée pour calculer la variation de la
quantité de mouvement antérieurement, nous supposons que les vitesses sont
constantes durant le bref intervalle de temps de 0,1. Cette erreur sera négligeable pour
la précision des calculs utilisés ici. (Voir le commentaire 4 plus loin.) Donc, partant de
l’équation de la vitesse de variation de la distance de séparation r en fonction du temps,
r
 (v1  v 2 )
t
(16)
nous obtenons
r  (v1  v 2 )t
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r  (4,01 m/s  9,36 m/s)(0,1 s)
r  1,33 m
(17)
Si nous ajoutons cette variation à la valeur de r au temps t = 5,23E1, nous obtenons
pour t = 5,23E1 la valeur
r = 3,39E2 - 1,33 = 3,38E2 m
(18)
Commentaire 4. Dans le calcul (17), nous utilisons les valeurs de v1 et de v2 au temps
t = 5,22E1. Nous pourrions aussi utiliser les valeurs au temps t = 5,23E1 sans que cela
ait d’effet sur le résultat pour le nombre de chiffres significatifs considérés. Ceci justifie
l’hypothèse que les vitesses sont constantes.
Commentaire final. Le genre de calcul numérique approximatif utilisé ici pour calculer
les valeurs de quantités physiques au temps t = 5,23E1 à partir de celles au temps
t = 5,22E1, en se servant des forces comme données d’entrée physiques, montre
comment les forces déterminent le mouvement d’un système. Cette méthode de calcul
comporte certaines inexactitudes, que l’on peut toutefois réduire en choisissant de plus
petits intervalles de temps. Théoriquement, en rendant les intervalles de temps
infiniment petits, le calcul deviendra parfaitement exact. Ce processus de limite
sous-tend l’opération du calcul infinitésimal appelée « intégration ». Ce que nous avons
fait ici est une « intégration numérique ». Pour simuler des mouvements au moyen d’un
ordinateur, on doit faire des intégrations numériques, qui comportent toujours un certain
degré d’approximation.
Clique sur le bouton Pause avant collision et laisse le mouvement se
poursuivre jusqu’à ce que les planètes se touchent, juste avant la collision. Observe le
temps total écoulé depuis le début du mouvement. Répète le mouvement en utilisant
des masses de planète différentes et observe de nouveau le temps total écoulé
jusqu’au moment du contact. Répète cet exercice une troisième fois, en utilisant encore
un autre ensemble de masses de planète.
Que constates-tu au sujet du temps écoulé? Explique ton observation.
La même quantité de temps, 6,47E1, s’écoule quelles que soient les masses utilisées.
Ce résultat peut s’expliquer comme suit.
Note que l’applet est conçu de façon à ce que les distances de séparation au début et
au moment du contact soient indépendantes des masses des planètes. Vérifie-le si tu
ne l’as pas déjà observé toi-même.
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Les grandeurs a1 et a2 des accélérations des planètes lorsque celles-ci sont éloignées
d’une distance r, de centre à centre, sont déterminées en combinant la deuxième loi du
mouvement de Newton et la loi de la gravitation universelle de Newton. Donc, pour la
planète 1,
(18)
L’élimination du facteur m1 dans les deux membres de l’équation donne une équation
pour a1,
(19)
De la même façon, établis l’équation suivante pour a2 :
(20)
La variation de la distance r est le résultat du mouvement des deux planètes. Comme
dans le calcul antérieur de la variation de r, l’accélération avec laquelle r varie est
l’opposé de la somme des grandeurs des accélérations des deux planètes,
(21)
À une distance donnée r, cette accélération dépend uniquement de la somme des
masses des deux planètes, et non des masses individuelles. Puisque la somme des
masses des planètes est constante dans nos conditions de simulation, l’accélération
dans la variation de la distance de séparation r est indépendante des masses des
planètes. C’est pour cette raison qu’il faut la même quantité de temps pour que la
distance qui sépare les planètes soit réduite d’une quantité fixe.
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