Questions du chapitre 3

Questions du chapitre 3
Deux processus AR(1). Soit les deux processus suivants:
yt = 0,8 yt-1 + e1t où e1t  N(0,1);
xt = 0,2 xt-1 + e2t où e2t  N(0,2).
Comme la variance de e2t est plus grande que celle de e1t, la variance de xt est nécessairement plus grande que celle de
yt. Discutez la validité de cette affirmation.
Les taux d'intérêt réels. Vous avez lu récemment un article qui porte sur les taux d'intérêt réels ex post et y avez
trouvé les estimations suivantes:
pt = 1.0 + 0,8 pt-1 + e1t
it = 6.4 + 0,2 it-1 + e2t
où pt correspond au taux d'inflation et it représente le taux d'intérêt nominal. Naturellement, le taux d'intérêt ex post
est défini comme eprrt = it - pt. A partir des représentations moyenne-mobile (commande IMPULSE) des modèles cidessus, l'auteur affirme que, sur la période d'estimation, le taux d'intérêt réel ex post n'est pas constant mais que sa
moyenne est positive. Comment l'auteur a-t-il procédé pour obtenir une telle conclusion? Expliquez sa démarche le
plus précisément possible. A partir de l'information disponible, est-il possible de calculer la moyenne des taux
d'intérêt réels ex post? Si oui, quelle est-elle?
Prévoir le passé ... Soit le processus
yt = 10 + 0,5 yt-1 + et
t = 1, ..., T
où y0 = 10 et yT = 10.
Calculez les prévisions pour t = T+1, T+2, T+3 et aussi pour t = -1, -2, -3. Représentez graphiquement vos résultats
en comparant explicitement les deux cas.
Prévoir une prévision. Soit le modèle suivant:
yt = a + b xet+1 + et
xt = c xt-1 + ut
où xet+1 est l'anticipation de la variable x pour la période t+1 (une variable non observable) et ut et et sont des bruits
blancs. xet+1 est non observable et c'est très embêtant pour l'estimation. En supposant que les agents ont des attentes
rationnelles (c'est-à-dire, pour prévoir une variable, les agents utilisent l'espérance mathématique de cette variable
conditionnellement à l'information disponible à l'instant de la prévision), calculez une expression pour x et+1 qui ne
ferait intervenir que de l'information disponible au temps t-1.
Les erreurs de prévision. Soit le modèle AR(1) suivant qui décrit l'évolution d'un indicateur économique québécois
sur une base semestrielle (il y a deux semestres dans une année):
yt = b yt-1 + et
où et est un bruit blanc de variance 2. On vous demande de prévoir l'évolution de cet indicateur pour la prochaine
année.
A. Calculez la formule pour la prévision de (yT+1+yT+2) i.e. la somme des indicateurs des deux prochaines périodes.
B. Donnez aussi la formule pour l'écart-type de cette prévision i.e. l'écart-type de la prévision de la somme
(yT+1+yT+2).
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
11
Les taux d'intérêt. Soit le modèle suivant:
yt = axt-1 + e1t
xt = bxt-1 + e2t
où E(e1t) = E(e2t) = E(e1t e2t) =0.
A. Trouvez l'expression de Eyt xt-1.
B. En vous servant des données sur les autocorrélations croisées de y et x, des statistiques et des auto-corrélations
de ci-dessous, est-il possible d'obtenir une estimation des coefficients a et b. Expliquez votre démarche.
CROSS Y X 2 100
-6: -0.2060547 -0.2302694 -0.1111624 -0.0804729 0.1606862 0.2207620
0: 0.1948981 0.5226078 0.3611133 0.2101504 0.1484293 0.0953081
6: -0.0773623 -0.0713064 -0.0410825 0.0448303 -0.1128737 -0.1077482
CORRELATE X 2 100
Autocorrelations
1: 0.5083274 0.3684966 0.1655397 0.0169922 -0.1115453 -0.1569825
7: -0.1173785 -0.2347681 -0.2114719 -0.1306746 -0.1419031 -0.1448747
STATISTICS Y 2 100
Sample Mean
0.24081222194
Standard Error 1.10974002575
t-Statistic
2.15911
Variance
1.231523
SE of Sample Mean
0.111533
Signif Level (Mean=0) 0.03328248
STATISTICS X 2 100
Sample Mean
0.15653806980
Standard Error 1.18542409939
t-Statistic
1.31390
Variance
1.405230
SE of Sample Mean
0.119140
Signif Level (Mean=0) 0.19194571
Un modèle périodique. Habituellement, il n'existe qu'un seul modèle AR défini pour toutes les observations. Par
exemple,
yt = 0,5 yt-1 + et
où t=1,2,3, ... , T.
Les modèles AR périodiques postulent qu'il peut exister plusieurs modèles AR pour une seule série et que ces modèles
dépendent de la période de l'année. Par exemple, supposons deux semestres. Un modèle AR semestriel périodique
est défini par:
yt = 0,5 yt-1 + e1t
si t= 1, 3, 5 ... (les périodes impaires, i.e. premier semestre de chaque année) et
yt = 0,2 yt-1 + e2t
si t= 2, 4, 6... (les périodes paires, i.e. deuxième semestre de chaque année).
À l'aide du modèle AR périodique, calculez l'effet sur yt d'un choc e1t =1 pour t=1 et =0 autrement. Ne calculez que
l'effet pour pour un horizon de quatre périodes, i.e. de la période t=1 à la période t=4.
Un voisin de palier des AR(1). Le modèle AR(1) suppose la relation linéaire bien connue où yt =  +  yt-1 + et
et où et suit une N(0,2). Dans la plupart des cas, le modèle AR(1) s'avère une bonne approximation de la réalité.
Vérifions si dans le cas de la série Y illustrée au graphique 1 ci-après , cette conjecture est acceptable.
A. Selon le graphique 1 ci-joint, la série Y vous semble-t-elle stationnaire? Expliquez brièvement en indiquant
les propriétés d'une série stationnaire.
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
12
B. L'output RATS ci-dessous présente les estimés d'un modèle AR(1). À l'aide de l'information donnée à cette
régression et cette régression seulement, calculez la moyenne, la variance et l'autocorrélation de délai 2 de cette
série.
C. Compte tenu des indicateurs fournis, le modèle AR(1) estimé vous semble-t-il acceptable? Expliquez votre
raisonnement en utilisant les statistiques disponibles ainsi que les valeurs prédites illustrées au graphique 1.
D. Selon les informations disponibles, un modèle AR(2) serait-il plus approprié? Expliquez brièvement en
utilisant un test pour appuyer votre réponse. Expliquez brièvement la nature du test utilisé.
E. Le graphique 2 montre la relation entre les valeurs de Y (ordonnée) et les valeurs de Y retardées d'une
période selon que Y{1} est positif ou négatif (abscisse). Quand Y{1} est négatif, la relation entre Y{1} et Y est
donnée par un losange. Quand Y{1} est positif, la relation entre Y{1} et Y est donnée par un carré. Le
graphique en nuage de point est-il en accord avec le modèle AR(1) discuté en B. et C. Expliquez brièvement.
F. La dernière régression estime un modèle AR(1) avec deux coefficients selon que les valeurs de Y{1} soient
positives ou négatives. Comparez formellement à l'aide d'un test de WALD le modèle AR(1) au modèle AR(1)
avec deux coefficients. Dans le calcul de votre test, prenez soin de bien identifier les modèles contraint et non
contraint. Compte tenu de vos résultats, le dernier modèle épouse-t-il mieux la série Y? Expliquez brièvement.
G. Dans le cas du modèle estimé en F., la moyenne implicite de la série est-elle statistiquement différente de
zéro? Expliquez brièvement votre réponse en la comparant à celle donnée en B. dans le cas du modèle AR(1)
simple.
H. En supposant T=181, calculez une prévision pour T+1 à l'aide des deux modèles estimés, i.e. AR(1) et AR(1)
à deux coefficients.
Output RATS
COMPUTE NBEG=2, NEND=200
LINREG Y NBEG NEND RES
# CONSTANT Y{1}
Usable Observations
199
Centered R**2
0.196353
Uncentered R**2
0.549710
Mean of Dependent Variable
Std Error of Dependent Variable
Standard Error of Estimate
Sum of Squared Residuals
Degrees of Freedom
197
R Bar **2
0.192274
T x R**2
109.392
1.1522413721
1.3039968658
1.1719487438
270.57238005
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
0.6568595283 0.1095459322
5.99620 0.00000001
2. Y{1}
0.4369368650 0.0629794819
6.93777 0.00000000
CORRELATE(NUMBER=36,QSTAT) RES NBEG NEND
Correlations of Series RES
Autocorrelations
1: -0.0328172 0.1248016 -0.0471347
7: -0.0606786 -0.0438611 0.1271146
13: -0.1013602 -0.0195967 -0.0369880
19: 0.0969878 0.1219914 0.0769735
25: 0.0540181 0.0855511 -0.1002960
31: 0.0961437 -0.0793996 -0.0863159
Ljung-Box Q-Statistics
Q(36) =
51.0226.
-0.0276479 0.0422752 0.0511944
-0.0177796 0.0785068 -0.0565664
-0.0899043 -0.0586921 -0.1367120
0.0294692 0.0060269 -0.1715900
0.1406834 0.0120843 0.0081030
-0.0126062 0.0542591 -0.0611272
Significance Level 0.04976754
PRJ FIT
LINREG RES NBEG+3 NEND
# CONSTANT Y{1} RES{1 TO 2}
Usable Observations
196
Centered R**2
0.019150
Uncentered R**2
0.019158
Degrees of Freedom
192
R Bar **2
0.003824
T x R**2
3.755
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
13
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
0.214070606 0.400159267
0.53496 0.59329410
2. Y{1}
-0.186290736 0.336841283
-0.55305 0.58087119
3. RES{1}
0.161493921 0.351276659
0.45973 0.64622711
4. RES{2}
0.210151590 0.164410555
1.27821 0.20271766
CDF CHISQUARED %TRSQ 2
Chi-Squared(2)=
3.754891 with Significance Level 0.15298042
SET DUM2 = %IF(Y{1}<0,1,0) ;* CRÉATION D'UNE VARIABLE MUETTE = 1 SI Y{1}<0
SET DUM1 = %IF(Y{1}.>=.0,1,0) ;* CRÉATION D'UNE VARIABLE MUETTE =1 SI Y{1}>OU = 0
SET DUM2Y1 = DUM2*Y{1}
SET DUM1Y1 = DUM1*Y{1}
PRINT 180 184 Y DUM1 DUM2 DUM1Y1 DUM2Y1
ENTRY
180
181
182
183
184
Y
0.080650665514
-2.334310814756
-0.483815184551
-0.389173518487
1.058307305055
ENTRY
180
181
182
183
184
DUM2Y1
-1.800964365599
0.000000000000
-2.334310814756
-0.483815184551
-0.389173518487
DUM1
0.0000000000000
1.0000000000000
0.0000000000000
0.0000000000000
0.0000000000000
DUM2
1.0000000000000
0.0000000000000
1.0000000000000
1.0000000000000
1.0000000000000
DUM1Y1
0.0000000000000
0.0806506655140
0.0000000000000
0.0000000000000
0.0000000000000
LINREG Y NBEG NEND
# CONSTANT DUM1Y1 DUM2Y1
Usable Observations
199
Centered R**2
0.299069
Uncentered R**2
0.607263
Std Error of Dependent Variable
Standard Error of Estimate
Sum of Squared Residuals
Degrees of Freedom
196
R Bar **2
0.291917
T x R**2
120.845
1.3039968658
1.0972832162
235.98996950
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
0.146180729 0.139999145
1.04415 0.29770003
2. DUM1Y1
0.721784938 0.079385432
9.09216 0.00000000
3. DUM2Y1
-0.516515321 0.187423508
-2.75587 0.00640578
Une question de R2
Soit le modèle AR(1) suivant
yt =  + yt-1 + et
où et suit une N(0,2).
A. Dérivez des expressions pour la moyenne et la variance de ce processus AR(1)?
B. On peut montrer que si =0, le R2 théorique est donné par 1 
Var( et )
. Trouvez une expression pour le R2
Var( yt )
en remplaçant Var(et) et Var(yt) par des expressions mettant en présence les paramètres fondamentaux du modèle
AR(1). Expliquez brièvement votre réponse.
C. On a simulé deux séries AR(1): la première avec =0,8 et la deuxième avec =0,2. Dans les deux cas, =0.
On a ensuite estimé un modèle AR(1) pour chacune des deux séries dont les résultats sont présentés ci-dessous.
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
14
Ces résultats sont-ils en accord avec le résultat dérivé en B. Expliquez brièvement en commentant sur l'utilité du
R2 pour juger de la pertinence empirique des modèles autorégressifs estimés.
LINREG(DEFINE=1) Y NBEG+1 NEND RES
Dependent Variable Y - Estimation by Least Squares
Usable Observations
298
Degrees of Freedom
296
Centered R**2
0.578795
R Bar **2
0.577372
Uncentered R**2
0.593077
T x R**2
176.737
Mean of Dependent Variable
0.3090761993
Std Error of Dependent Variable 1.6525437482
Standard Error of Estimate
1.0743164396
Sum of Squared Residuals
341.63012045
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
0.0667177909 0.0633830804
1.05261 0.29337737
2. Y{1}
0.7618771729 0.0377766725
20.16793 0.00000000
Dependent Variable Y - Estimation by Least Squares
Usable Observations
298
Degrees of Freedom
296
Centered R**2
0.014145
R Bar **2
0.010814
Uncentered R**2
0.018279
T x R**2
5.447
Mean of Dependent Variable
0.0698651062
Std Error of Dependent Variable 1.0784224615
Standard Error of Estimate
1.0725755356
Sum of Squared Residuals
340.52381078
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
0.0607914662 0.0622884433
0.97597 0.32987774
2. Y{1}
0.1188080688 0.0576514410
2.06080 0.04019561
Données quotidiennes ou hebdomadaires?
Dans l’analyse empirique, les chercheurs ont souvent à se compromettre sur la fréquence des séries qu’ils devront
utiliser. Par exemple, un chercheur peut utiliser des données quotidiennes ou des données hebdomadaires (les
données du vendredi par exemple). Cette décision n’est pas anodine et pourrait avoir des conséquences.
Supposons qu’un phénomène d’intérêt que nous associerons au vrai modèle est généré de façon quotidienne selon
l’équation
(1) yt = 2 + 0,5yt-1 + et t=2,3, …, 500.
Pour des raisons pratiques, un chercheur décide d’estimer le même modèle à l’aide de données hebdomadaires
(des données espacées par un intervalle de 7 jours, des données du vendredi par exemple).
(2) yt =  + yt-1 + et t=9,16, 23, … ,500
L’output RATS ci-dessous donne les résultats d’une simulation qui reproduit le phénomène à l’étude. Notons que
Y correspond à la série quotidienne (499 observations) et YH à la série hebdomadaire (71 observations soit à peu
près 4997). Notons que pour simplifier l’analyse, la série hebdomadaire YH va de la période 2 à la période 73
mais il est entendu que ces observations proviennent des données quotidiennes selon l’intervalle donné à
l’équation (2).
A. À l’aide des informations disponibles, calculez la moyenne et la variance des données quotidiennes et
hebdomadaires. Comparez les résultats obtenus.
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
15
B. On se rappelle que le vrai paramètre  qui a servi à la simulation a été fixé à 0,5 (équation 2). Comment
expliquer que le  estimé à l’aide des données quotidiennes (0,4) est relativement proche du vrai paramètre mais
que celui estimé à l’aide des données hebdomadaires (0,11) semble s’en éloigné passablement. Expliquez
brièvement.
C. Vous trouverez ci-dessous les résultats d’une analyse comparative des performances prévisionnelles du
modèle quotidien (Y) pour un horizon de 7 périodes (i.e. 7 jours ou une semaine à l’avance) et du modèle
hebdomadaire (YH) pour un horizon de 1 période (i.e. 1 semaine). Que peut-on conclure sur la performance
prévisionnelle des deux modèles pour un horizon hebdomadaire? Expliquez votre réponse en prenant soin de
spécifier le critère de performance prévisionnelle que vous avez retenu pour votre analyse.
LINREG(DEFINE=1) Y
# CONSTANT Y{1}
Dependent Variable Y - Estimation by Least Squares
Usable Observations
499
Degrees of Freedom
497
Centered R**2
0.165310
R Bar **2
0.163630
Uncentered R**2
0.941505
T x R**2
469.811
Standard Error of Estimate
1.0251144330
Sum of Squared Residuals
522.27722156
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
2.4451060203 0.1709714857
14.30125 0.00000000
2. Y{1}
0.4013211931 0.0404508369
9.92121 0.00000000
LINREG(DEFINE=2) YH
# CONSTANT YH{1}
Dependent Variable YH - Estimation by Least Squares
Usable Observations
71
Degrees of Freedom
Centered R**2
0.012802
R Bar **2 -0.001505
Uncentered R**2
0.933496
T x R**2
66.278
Standard Error of Estimate
1.1195827525
Sum of Squared Residuals
86.489122234
69
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
3.6691710336 0.5081785917
7.22024 0.00000000
2. YH{1}
0.1128015595 0.1192474467
0.94595 0.34747743
*
THEIL(SETUP) 1 7 500
# 1
DO DATE=400,500,7
THEIL DATE
END DO
THEIL(DUMP)
Forecast Statistics for Series Y
Step Mean Error Mean Abs Error RMS Error
1 0.138504252 0.828357947 1.092450397
2 0.129585809 0.755302998 0.910333228
3 0.117851704 0.713503555 0.889312154
4 0.040833309 1.084844633 1.325039463
5 0.086375329 0.853299284 1.012038715
6 -0.296435425 0.878347613 1.133110583
7 0.067602094 0.659239871 0.776604022
Theil U N.Obs
0.7684294
15
0.6539631
15
0.6845131
15
0.8918149
14
0.7086222
14
0.8131274
14
0.6596034
14
*
THEIL(SETUP) 1 1 73
# 2
DO DATE=60,73
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
16
THEIL DATE
END DO
THEIL(DUMP)
Forecast Statistics for Series YH
Step Mean Error Mean Abs Error RMS Error
1 0.012783112 0.679091829 0.817737121
Theil U N.Obs
0.6826334
14
Pourquoi remettre à plus tard …!
Dans le programme TRIMES.PRG, on traite du PIB réel US et en particulier du taux de croissance du PIB réel
américain (RGDP_D= lnRGDP-lnRGDP-1). En utilisant cette variable et la période d’estimation 1954 :32000 :3 :
A. Estimez un modèle AR(1). Commentez les résultats obtenus et indiquez s’ils vous semblent appropriés aux
données.
B. Faites une prévision du taux de croissance du PIB réel US pour les périodes 2000:4, 2001:1, 2001:2, 2001:3
et 2001:4. Illustrez graphiquement votre réponse en insérant les intervalles de confiance (75%) appropriés.
Commentez les résultats obtenus.
C. Comparez les résultats du dernier trimestre de 2001 qui seront publiés prochainement. Note : voir le Forum
pour l’insertion de graphiques RATS dans un fichier Word.
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
17
13. AR(1)+AR(1)=? Nous connaissons tous le modèle AR(1). Il arrive bien souvent qu'il faille analyser la somme
de deux processus AR(1). Par exemple, on sait que l'agrégat monétaire M2 est égal à l'agrégat M1 (les dépôts à vue)
plus les dépôts non à vue (DPNV). En supposant que M1 et DPNV suivent chacun un processus AR(1), quel sera le
type de processus suivit par la variable M2? Nous explorons cette question dans cet exercice.
A. Supposons les deux processus suivants:
(1)
(2)
y1t = 0 + 1 y1t-1 + e1t
y2t = 2 + 3 y2t-1 + e2t
où e1t et e2t sont des bruits blancs qui suivent une
distribution N(0,1) et
(3)
yt = y1t + y2t.
En supposant que 0 et 2 = 2,0 et 1 et 3 = 0,5, trouvez par des dérivations théoriques:
.
.
.
.
la moyenne et la variance de yt
les autocovariances et les autocorrélations de yt
la représentation moyenne mobile  de yt
les prévisions y*T+
Indices: 1. Pour additionner les processus, il faut se servir de la représentation moyenne mobile. 2. Si e 1t et e2t sont
deux processus bruit blanc avec variance unitaire, la somme e1t+e2t est aussi un bruit blanc avec variance égale à la
somme des variances.
B. Illustrez ensuite vos calculs théoriques à l'aide d'un programme RATS qui reprendra toutes les instructions du
programme AR1.RAT. Vous devez préalablement construire la variable yt comme étant la somme de yt1 et yt2.
Comme nous l'avons fait en classe, je voudrais que chaque résultat RATS soit commenté et relié, s'il y a lieu, à une
des formules théoriques que vous avez dérivées ci-avant. N'oubliez pas de faire les quatre graphiques et de les
commenter brièvement (les graphiques traitent évidemment de yt et non de yt1 et yt2).
C. En supposant que 0 et 2 = 2,0 et 1 = 0,9 et 3 = -0,4, reprenez les calculs RATS faits en B. Ces nouveaux
résultats RATS sont-ils en accord avec les dérivations théoriques que vous avez faites en A.? Expliquez.
Indices: 1. Examinez attentivement les autocorrélations de yt. 2. Examinez aussi les autocorrélations des résidus de
votre modèle AR(1) pour vérifier s'ils suivent effectivement un processus bruit blanc. Si cette hypothèse n'est pas
vérifiée, vous devrez alors estimer un modèle AR avec plus de retards.
14. Un modèle périodique AR(1). Le modèle AR(1) stipule une relation de récurrence simple tel que
(0)
yt =  +  yt-1 + et
pour t = 1, 2, 3, 4, ... ,T.
A.
À l'aide de la méthode des moindres-carrés, estimez un tel modèle pour la série GNP disponible de 48:1 à
85:4 dans la banque de données BARS_MIR.RAT (voir GRAPH.PRG). Il s'agit ici de modéliser le taux de
croissance trimestriel de cette variable. Les résidus estimés sont-ils bruit blanc ? Quel est l'impact d'un choc
unitaire (IMPULSE)? Calculez les prévisions pour l'année 1986. Vous répondez évidemment à toutes ces questions à
l'aide du logiciel RATS.
Le modèle AR(1) périodique généralise le modèle AR(1) ordinaire au cas saisonnier puisqu'il y aura quatre modèles
AR(1), un pour chaque trimestre d'une année. Ainsi:
(1)
yt = 1 + 1 yt-1 + e1t
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
pour t = 1, 5, 9, etc.,
18
(2)
yt = 2 + 2 yt-1 + e2t
pour t = 2, 6, 10, etc.,
(3)
yt = 3 + 3 yt-1 + e3t
pour t = 3, 7, 11, etc.,
(4)
yt = 4 + 4 yt-1 + e4t
pour t = 4, 8, 12, etc.
et Var(eit) = 2i.
Autrement dit, quand l'observation de gauche correspondra au premier trimestre, il faudra estimer le modèle (1).
Notons que yt-1 sera en l'occurence le dernier trimestre de l'année précédente. Quand l'observation de gauche
correspondra au deuxième trimestre, il faudra estimer le modèle (2). Il faudra donc estimer 8 paramètres
correspondant à quatre modèles AR(1) différents mais estimés à l'aide des mêmes données. Ceci tente de capter
l'intuition que le comportement des agents varie selon la période de l'année. La dynamique de l'hiver n'est pas la
même que celle observée au printemps.
B. En supposant tous les s égaux à zéro (pour simplifier les calculs), donnez l'expression théorique des
autocovariances  ,  = 1,4. Notez que  = E yt yt-. Votre point de départ t correspondra toujours au premier
trimestre d'une année. Indice: questionnez-vous sur le sens véritable des équations (1) à (4). Un modèle AR(1)
ordinaire est stationnaire quand ||<1 puisque sous cette condition les autocovariances tendent graduellement vers
zéro. Par analogie, sous quelle condition un modèle AR(1) prériodique serait-il stationnaire? Expliquez.
C. À l'aide d'une seule régression, estimez un modèle AR(1) périodique en utilisant la méthode des MC. [Indice: il
faut bien maîtriser l'utilisation des variables dichotomiques aussi appelées variables binaires ou dummy]. Testez H0:
un modèle AR(1) ordinaire vs H1: un modèle AR(1) périodique. Expliquez votre démarche et vos résultats.
D. Estimez maintenant chacun des quatre modèles (1) à (4) séparément. Il vous faudra préalablement créer quatre
séries de GNP (toujours en taux de croissance) séparées à partir de la série GNP originale. Par exemple, la première
série correspondrait au GNP du premier trimestre pour toutes les années; la deuxième correspondrait à toutes les
observations du deuxième trimestre, etc. Utilisez la commande SAMPLE. Parce que RATS ne peut simultanément
traiter deux fréquences (trimestrielles et annuelles), je vous recommande de faire référence à vos nouvelles données
de façon numérique, par exemple 1 à 37 car il y a 37 années. Vous aurez donc la commande suivante: LINREG
GNP_? 1 37. Vos estimés correspondent-ils à ceux obtenus en 3. ?
E. Sans le logiciel RATS, calculez numériquement l'impact d'un choc e1t = 1 pour la période t=1 et zéro autrement,
i.e. un choc de premier trimestre. Ne calculez les effets que pour un horizon de 4 périodes ( = 1, ..., 4). Reprenez
maintenant l'exercice pour un choc e2t = 1 pour la période t=2 et zéro autrement, i.e. un choc de deuxième trimestre.
Obtenez-vous le même résultat? Expliquez.
F. À l'aide de votre modèle AR(1) périodique, calculez sans l'aide du logiciel RATS des prévisions pour l'année 1986.
Comparez vos prévisions à celles obtenues avec le modèle AR(1) ordinaire. Expliquez brièvement.
G. À l'aide du logiciel RATS, effectuez maintenant les calculs demandés aux questions 5. et 6. Indices: il s'agit
d'une question difficile. Dans le cas du AR(1) ordinaire, il faut estimer un modèle, créer une équation qui sera utilisée
dans les commandes IMPULSE et FORECAST. Dans le cas du modèle périodique, il faut estimer quatre AR(1),
créer quatre équations qui seront toutes les quatre utilisées dans les commandes IMPULSE et FORECAST. Il faut
garder un ordre chronologique: la première équation devrait correspondre au premier trimestre, la deuxième équation
au deuxième trimestre, etc. Dans ce cas, l'option INPUT de IMPULSE permet un choc à l'un ou l'autre des quatre
équations ou trimestres puisqu'il peut y avoir quatre chocs. Il faudra examiner attentivement les résultats obtenus à
l'aide de la commande IMPULSE et aller chercher l'information pertinente qui ne suivra pas l'ordre linéaire habituel.
Je vous recommande d'utiliser une boucle DO pour finaliser la présentation.
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
19
8. Un modèle AR(1) prospectif: le prix des actifs. Une condition d'arbitrage fondamentale en finance stipule que
(1)
pt = a E[pt+1|t] + dt
où pt représente le prix d'un actif à la période t, E[p t+1|t] correspond à l'espérance du même prix à la période t+1
conditionnellement à l'information disponible à la période t, d t représente les dividendes versés à la période t et
a est un coefficient d'escompte égal à 1/(1+r) où r est un taux d'intérêt approprié supposé constant.
L'équation (1) suppose que le prix à la période t est déterminé de telle façon qu'il tient compte des anticipations du
marché et des dividendes qui ont été versés.
A. De façon naturelle et en supposant un ensemble d'information disponible à la période t, on peut avancer l'équation
(1) d'une période et obtenir
(2)
pt+1 = a E[pt+2|t] + dt+1.
En prenant l'espérance conditionnellement à l'information disponible à la période t, on obtient
(3)
E[pt+1|t] = a E[pt+2|t] + E[dt+1|t]
et après substitution, l'équation (1) devient
(4)
pt = dt + a E[dt+1|t] + a2 E[pt+2|t].
En vous inspirant des transformations faites ci-dessus, trouvez une expression pour pt qui ne fasse intervenir que les
dividendes (ou leur espérance s'il-y-a-lieu) présent et futurs.
B. Le graphique ci-joint montre une évolution de pt qui respecte l'équation (1). En supposant que dt soit une variable
stationnaire, donnez un intervalle des valeurs admissibles du paramètre a qui auraient pu générer un tel graphique?
Expliquez brièvement votre réponse en vous appuyant sur la dérivation trouvée en A.
C. Nous examinons maintenant plus précisément la variable dividendes. L'output RATS ci-joint donne un certain
nombre de résultats sur la dynamique des dividendes. Le modèle dt = 2,48 + 0,0415 dt-2 + et estimé vous semble-t-il
approprié? Critiquez cette estimation à l'aide de deux tests de Lagrange, un test de Wald et un test de rapport de
vraisemblance? Expliquez votre démarche.
D. En supposant l'équation théorique dt =  +  dt-1 + et, est-il possible de réécrire l'équation que vous avez dérivée en
A. de façon à ne faire intervenir que des variables connues à la période t (i.e. d t). Expliquez brièvement votre
approche.
E. Supposons toujours que les dividendes obéissent à un modèle AR(1) dont vous trouverez les estimés ci-dessous.
En supposant d300 = 1,49, calculez une prévision et un intervalle de confiance à 95% pour les périodes 301 et 302.
Expliquez votre approche.
Output RATS
Question C.
LINREG D NBEG+2 NEND RES2
# CONSTANT D{2}
Dependent Variable D - Estimation by Least Squares
Usable Observations
297
Degrees of Freedom
295
Centered R**2
0.001726
R Bar **2 -0.001658
Uncentered R**2
0.744135
T x R**2
221.008
Mean of Dependent Variable
2.5976060379
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
20
Std Error of Dependent Variable 1.5275293530
Standard Error of Estimate
1.5287953965
Sum of Squared Residuals
689.47853252
Regression F(1,295)
0.5099
Significance Level of F
0.47572547
Durbin-Watson Statistic
1.766677
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
2.4892516286 0.1757630306
14.16254 0.00000000
2. D{2}
0.0415483567 0.0581822346
0.71411 0.47572547
LINREG RES2 NBEG+4 NEND
# CONSTANT D{1 TO 2}
Dependent Variable RES2 - Estimation by Least Squares
Usable Observations
295
Degrees of Freedom
292
Centered R**2
0.013498
R Bar **2
0.006741
Uncentered R**2
0.013498
T x R**2
3.982
Mean of Dependent Variable
-0.000242141
Std Error of Dependent Variable 1.528736589
Standard Error of Estimate
1.523575227
Sum of Squared Residuals
677.81418960
Regression F(2,292)
1.9977
Significance Level of F
0.13750194
Durbin-Watson Statistic
1.994712
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
-0.264301630 0.220628179
-1.19795 0.23190775
2. D{1}
0.116892883 0.058485595
1.99866 0.04657188
3. D{2}
-0.015193539 0.058441961
-0.25998 0.79506508
CORRELATE(NUMBER=NLAG, QSTATS) RES2 NBEG+2 NEND
Correlations of Series RES2
Autocorrelations
1: 0.1148670 0.0005673 -0.0438010 -0.0515363
7: -0.0155314 -0.0132013 0.0711034 -0.0747272
Ljung-Box Q-Statistics
Q(12) =
11.3451.
0.0597850 0.0466754
0.0347716 -0.0384492
Significance Level 0.49960080
LINREG D NBEG+2 NEND
# CONSTANT D{1} D{2}
Dependent Variable D - Estimation by Least Squares
Usable Observations
297
Degrees of Freedom
294
Centered R**2
0.014756
R Bar **2
0.008053
Uncentered R**2
0.747474
T x R**2
222.000
Mean of Dependent Variable
2.5976060379
Std Error of Dependent Variable 1.5275293530
Standard Error of Estimate
1.5213662002
Sum of Squared Residuals
680.47920383
Regression F(2,294)
2.2015
Significance Level of F
0.11245288
Durbin-Watson Statistic
1.994309
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
2.2251797954 0.2202910216
10.10109 0.00000000
2. D{1}
0.1150447115 0.0583438878
1.97184 0.04956530
3. D{2}
0.0280178198 0.0583046939
0.48054 0.63119983
EXCLUDE
# D{2}
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
21
Null Hypothesis : The Following Coefficients Are Zero
D
Lag(s) 2
F(1,294)=
0.23092 with Significance Level 0.63119983
EXCLUDE
# D{1}
Null Hypothesis : The Following Coefficients Are Zero
D
Lag(s) 1
F(1,294)=
3.88815 with Significance Level 0.04956530
Question E.
LINREG(DEFINE=1) D NBEG+2 NEND
# CONSTANT D{1}
Dependent Variable D - Estimation by Least Squares
Usable Observations
297
Degrees of Freedom
295
Centered R**2
0.013982
R Bar **2
0.010639
Uncentered R**2
0.747276
T x R**2
221.941
Mean of Dependent Variable
2.5976060379
Std Error of Dependent Variable 1.5275293530
Standard Error of Estimate
1.5193817666
Sum of Squared Residuals
681.01368100
Regression F(1,295)
4.1831
Significance Level of F
0.04171656
Durbin-Watson Statistic
2.003454
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************************
1. Constant
2.2896617689 0.1744782338
13.12291 0.00000000
2. D{1}
0.1183443503 0.0578628455
2.04526 0.04171656
9. Le modèle prospectif: suite. Nous avons vu le modèle AR(1) prospectif où
pt = a E [pt+1|t] + dt.
Nous sommes présentement au début de la période T. Toute la communauté des affaires a été informée de façon
certaine que dT sera égal à zéro et que dT+1 et dT+2 seront égaux à 1. Par la suite, les dt redeviendront égaux à zéro
pour plusieurs années.
À l'aide de ces informations, calculez la valeur de p pour les périodes T, T+1, T+2 et T+3.
QUESTIONS - CHAPITRE 3 : LE MODÈLE AR(1)
22