Correction DS Elec RC-RL-RLC

Exercice 1: Quelques usages des condensateurs
I. Génération d’impulsions: le stimulateur cardiaque
I.1. Charge du condensateur
I.1.a. Le condensateur est chargé à 99,9% au bout d'une durée égale à 5.
Dans cette partie du circuit  = r.C.
C est faible puisque C = 470 nF soit 4,7010–7 F.
et la valeur de la résistance est très faible,
donc  est proche de 0 s.
Le condensateur se charge presque instantanément.
I.1.b. Branchements de l'interface d'acquisition:
vers YA
pile spéciale
r
E
C
1
i
K
A
B
uC
R
uR
vers le circuit de déclenchement
SCHÉMA 1
I.1.c.
En rouge, la tension uc lors de la charge du condensateur.
(uC est croissante et cela très rapidement)
=
I.1.d. Lorsque le condensateur est complètement chargé, il n'y a plus de courant qui circule. i = 0 A.
On lit sur la courbe 1: uC maximale = 5,7 V = E
2
I.2. Décharge du condensateur
I.2.a.
 signe de l'intensité i du courant lors de la décharge: i négative
 D'après la loi d'Ohm: uR = R.i
 q = C.uC
dq
 i=
dt
 lors de la décharge d'après la loi d'additivité des tensions: uC + uR = 0
I.2.b. uC + R.i = 0
dq
uC + R
=0
dt
du
uC + R.C. C = 0
dt
duC
1
du
1
+
.uC = 0
avec  = R.C, on obtient finalement C + .uC = 0
dt
RC
dt

I.2.c.  = R.C
u
[U]
D'après la loi d'Ohm: u = R.i
R=
donc [R] =
i
[I]
du
dt
[T]
Comme expliqué dans la question précédente: i = C. C soit C = i.
donc [C] = [I].
duC
dt
[U]
[U]
[T]
[R.C] = [R][C] =
 [I].
[I]
[U]
[R.C] = [T] la constante de temps est bien homogène à une durée.
I.2.d. Détermination graphique de .
Méthode 1: Pour t = , la tension aux bornes du condensateur est égale à 37% de sa valeur maximale
uC = 0,37E
uC = 2,1 V). On trouve  = 0,8 s.
0,8

I.2.e. R =
=
= 1,7 M
C
470.10 9
I.3. Lien entre la décharge du condensateur et les battements du cœur
E
I.3.a. L'énoncé indique que l'impulsion est créée quand uC(t1) = ulimite= .
e
donc E = uCe
E = 2,1e = 5,7 V
On vérifie que la valeur de E est en accord avec celle trouvée à la question I.1.d.
I.3.b. uC(t) = E.e–t/
E
uC(t1) = ulimite= = E.e–1 = E. et1 / 
e
par analogie, on a t1/ = 1
donc t1 = 
I.3.c. La durée t qui sépare deux impulsions consécutives doit être proche  ( durée nécessaire pour que
uC atteigne ulimite + t0 durée très faible pour recharger le condensateur).
I.3.d. Nombre de battements du cœur par minute:
Toutes les =0,8 s  1 battement
60
toutes les 60 s  N battement N =
= 75 battements par minute, ce qui semble réaliste.
0 ,8
II. Stockage d'énergie: le flash électronique
II.1. Les piles permettent d'obtenir 100 éclairs de durée et d'intensité lumineuse maximales.
L'énergie totale des piles vaut E = 18kJ
La moitié de cette énergie est utilisée pour fournir 100 éclairs.
E
Donc pour 1 éclair: E1 =
= 90 J
2  100
1
2  90
2E
II.2. E1 = .C.U 2
donc C = 21 =
= 5 F grande capacité par rapport aux valeurs rencontrées au
2
36
U
cours de l'année scolaire (de l'ordre de 10–6 ou 10–9 F).
II.3. La recharge dure 11 s.
Donc 5 = 11
 = 2,2 s environ
II.4.  = R.C
 2 ,2
R= =
= 0,44 
C
5
Exercice II. Circuits RL et RLC
1. Étude expérimentale d'un circuit RL
1.1. La courbe représentative de la tension montre que la tension est positive. Il faut mesurer u AB, pour cela
on relie la borne « V » au point A et la borne « COM » au point B.
u
1.2. D'après la loi d'Ohm: uAB = uR = R.i. Donc i = R .
R
L’intensité du courant est proportionnelle à la tension uR. La courbe i = f(t) a donc la même allure que
uR = f(t) : il s’agit donc de la courbe c.
1.3. Toute bobine s’oppose aux variations de l’intensité du courant qui la traverse. Ici elle retarde
l’établissement du courant qui ne passe pas instantanément de 0 à sa valeur maximale.
2. Modélisation et équation différentielle
2.1. D’après la loi d’additivité des tensions dans le circuit : E = uR(t) + uL(t)
(1)
La tension aux bornes de la bobine de résistance interne négligeable a pour expression :uL(t) = L.
or i =
uR(t)
R
 L  du (t)
d’où uL(t) =  . R
 R  dt
 L  duR(t)
En remplaçant dans l’équation (1), on trouve : E = uR(t) +  
 R  dt
2.2. Analyse dimensionnelle:
La loi d’ohm permet décrire : [U] = [R]×[I]
La tension aux bornes d’une bobine permet d’écrire : [U] = [L]×[I]/[T] = [L]×[I]×[T] -1
On en déduit [U] = [R]× [I] = [L]×[I]×[T] -1 soit [L]/[R] = [T]
Le rapport L/R a donc les dimensions d’un temps.
2.3. (uR)max = 10 V.
uR() = 0,6310 = 6,3 V
Par lecture graphique, on trouve  = 1,0 ms.
2.4. On a  =
L
, soit L = .R
R
6,3
L = 1,0.10 -3  1,0.103 = 1,0 H
valeur compatible avec celle du fabricant.

di
dt
3. Résolution numérique de l'équation différentielle par la méthode d'Euler
3.1. E = uR +
soit
L duR
.
R dt
donc
L duR
.
= E – uR
R dt
duR R
1,0.103
= .(E – uR) =
 (10  uR)
1,0
L
dt
duR
= 1,0.103(10 – uR)
dt
duR
 du 
3.2. *
à la date t = 0s on a uR = 0 donc  R  = 1,0.103 10 = 1,0.104 V.s–1
dt
 dt t0
* (uR)t à la date t = t:
(uR)t  (uR)t0  (uR)t0
 du 
(uR)t  (uR)t0   R  .t
 dt t0
(uR)t  0 + 1,0.104  1,0.10–4
(uR)t  1,0 V
*
duR
à la date t = t:
dt
* (uR)2t à la date 2t:
(uR)2t
 duR 

 = 1,0.103(10–1,0) = 9,0.103 V.s–1
dt

 t
 (uR)t  (uR)t
 du 
(uR)2t  (uR)t   R  .t
 dt t
(uR)2t  1,0 + 9,0.103  1,0.10–4 = 1,9 V
 du 
date
Valeur de (uR)t en V
Valeur de  R 
 dt t
t0 = 0 s
(uR)t0  0
 duR 

  1,0.104
dt

t0
t=t
(uR)t  1,0
 duR 

  9,0.103
dt

t
t = 2 t
(uR)2t  1,9
3.3. Une augmentation du pas augmenterait l’écart entre le nuage de point obtenu par la méthode d’Euler et
la courbe expérimentale.
4. Étude du circuit oscillant
4.1. La diminution d’amplitude est due à la résistance interne de la bobine. Il y a dissipation d'énergie sous
forme de chaleur en raison de l'effet Joule).
4.2. La pseudo-période vaut T = 20 ms.
4.3. La pseudo-période ayant même valeur
que la période propre, on a :
T = T0 = 2 L.C
T² = 4².L.C
T²
C=
4².L
400.106
(20.103)²
C=
=
= 10.10-6 F
40
4  10  1,0
C = 10 µF Valeur égale à celle du fabricant.
5 T = 100 ms
5. Energies
Initialement le condensateur est chargé et aucun courant ne circule donc :
ET(0) = Ee(0) et Em(0) = 0 J
On en déduit alors que:
- la courbe 2 est associée à Em
- la courbe 3 est associée à Ee
- la courbe 1 est associée à ET
La décroissance de la courbe 1 est due à la perte d'énergie sous forme de chaleur, par effet Joule, dans la
résistance R.
EXERCICE N°3 : DIAPASON ELECTRONIQUE
1. Charge du condensateur
Voie 1
1.1. et 1.2. Voir schéma.
dq A
relation (1)
dt
q
1.4. u = A relation (2)
C
1.5. D’après l’additivité des tensions:
E = u + uR
d'après la loi d'Ohm uR = R.i
soit
E = u + R×i
dq
d’après la relation (1) E = u + R× A
dt
1.3. i 
Voie 2
u
d’après la relation (2) : qA = C.u
du
Il vient E = u + R×C×
: équation différentielle du premier ordre.
dt
1.6. L'équation différentielle est E = u + R×C×
du
dt
t
du

R
Calculons u + R×C×
.en utilisant la solution proposée u  E  (1  e .C ) :
dt
t
t
d[E  (1  e R.C )]
du
u + R×C×
= E  (1  e R.C ) + RC
dt
dt
t
d[E  Ee R.C )]
= E  (1  e   ) + R×C×
dt
t
1   t

= E – E× e   + R×C×(–E)  
 . e R.C
R.
C


t
t
t
= E – E× e   + E × e R.C
t
du
= E on retrouve l'équation différentielle, donc u  E  (1  e R.C ) est bien solution de
dt
l’équation différentielle.
1.7.1.  = R×C
du
du
1.7.2. L'équation différentielle peut s'écrire u +  .
= E, ou encore  .
=E–u
dt
dt
soit en analyse dimensionnelle
[].[U].[T]–1 = [U]
en divisant par [U]:
[].[T]–1 = 1
[] = [T]
u + R×C×
t
t
Autre méthode, en utilisant la solution du 1.6. : u  E  (1  e R.C ) , soit u  E  (1  e )
t
Pour que cette solution soit homogène, il faut que
soit un nombre sans dimension, donc  est homogène

à un temps.
1.7.3. Pour t =  alors u() = 0,63.E
u() = 0,63  12 = 7,6 V.
 = 1 ms (voir figure ci-après)
0,63×E

1.7.4. On considère le condensateur comme totalement chargé au bout d’une durée égale à 5×
2. Réalisation d'oscillations électriques
2.1.1. Le dipôle responsable de l’amortissement des oscillations est la résistance R. En raison de l'effet
Joule, une partie de l'énergie est dissipée sous forme de chaleur.
2.1.2. C’est un régime pseudo-périodique. L'amplitude des oscillations diminue au cours du temps.
2.2. La durée écoulée entre ces deux points est la pseudo-période. T = 2 ms
2.3. D'après la figure 5, on voit qu'au bout d'une durée de 10 ms l'amplitude des oscillations est devenue
très faible. Le son émis sera amorti trop rapidement et donc audible pendant une durée extrêmement brève.
Ce circuit électronique relier à un haut-parleur émettrait un BIP très bref.
3. Entretien des oscillations
3.1. Au cours des oscillations les pertes d'énergie sous forme de chaleur (effet Joule) sont, à chaque instant,
compensées par un apport d’énergie fournie par le dispositif d'entretien des oscillations.
3.2. Les paramètres du circuit étant inchangés,
la période des oscillations est toujours de 2 ms
et l’amplitude est de 12 V
3.3. T0  2 LC
T0 = 2 0,100  1,0.10 6 = 2,0 ms
3.4. f0 =
1
= 5,0.102 Hz
T0
3.5.1. f0 > 494 Hz, ce n’est pas un son de l’octave 3 de la gamme.
3.5.2. Pour changer la fréquence du son émis, il suffit de faire varier un des paramètres de la période
propre, à savoir la capacité du condensateur ou l’inductance de la bobine.
3.5.3. On veut une fréquence de 440 Hz, et seule l’inductance de la bobine peut varier :
4²×L×C = T0² =
3.5.4. f0 =
1
f 02
Soit L =
1
1

= 0,13 H
2
2
4  C  f0
4  1,0.10 6  4402
2
1
1
1

=
= 3,3.102 Hz. Le diapason émet la note « mi »
T0
2 LC 2 1,0.10 6  0,232