scientifique , puis d`arrondir le nombre décimal « d » à l`entier le plus

FICHE METHODE sur les
PUISSANCES
I) A quoi sert une puissance ?
a) Exemples :
. Ce carré a un coté de 5cm ! que vaut son aire ? : 5² = 25 cm².
. Ce cercle a un rayon de 10 cm ! que vaut sa surface ? : 10²  314 cm².
. Ce cube a une arête de 5cm ! que vaut son volume ? : 53 = 125 cm3.
. La distance Terre-Soleil est de l’ordre de grandeur de 150 000 000 = 1,5 10 8 km !
. La taille d ’un virus est de l’ordre de grandeur de 0,000 004 = 4 10 –6 cm !
.Il y en a 10 maintenant, mais le nombre double chaque jour ! dans 7 jours ? : 10 27= 1280.
.1000 maintenant ! mais divisé par 2 chaque jour ! dans 7 jours ? : Error!= 1000 2 –7 7,8 .
. Il vaut 20 euros mais augmente de 5% par jours ! dans 15 jours ? : 20 ( 1 + Error!) 15  41,57.
. Il vaut 200 euros mais diminue de 5% par jours ! dans 15 jours ? : 200 ( 1 – Error!) 15  92,65.
. Quelle est la solution de l’équation x² = 16 ? :
4 et -4 .
b) Remarques :
Les puissances servent beaucoup dans la vie, elles permettent d’exprimer des aires, des
volumes, des évolutions en pourcentages… Elles permettent de trouver la valeur exacte de la
solution de certains problèmes, de certaines équations . Elles permettent d’écrire certains nombres
en écriture scientifique ( de très grands ou très petits nombres ). Les puissances permettent
d’exprimer des valeurs exactes de longueurs, durées, mesures en tout genres.
Il faut bien sur, apprendre à calculer avec ces nombres.
II) Qu’est ce qu’une puissance ?
a) Définition 1: ( une puissance )
Une puissance est un nombre que l’on peut écrire sous la forme an ( « a puissance n » ou
« a exposant n » où a est un nombre quelconque et n est un nombre entier relatif.
n est appelé l’exposant de la puissance. ( a et n ne doivent pas être tous les deux nuls )
Pour n positif strict ( n > 0 ) on a :
an = a  a …  a
et
Error!
avec n facteurs tous égaux à « a ».
Si n est nul alors a0 = 1 quel que soit le nombre a  0. ( 00 n’existe pas ! ).
Exemples :
 25 = 2  2  2  2  2 = 32
 2–5 =
Error!
= Error! = 0,03125.
 20 = 1
III) Comment calculer avec les puissances ?
Propriété1 : ( SOMME, DIFFERENCE de 2 PUISSANCES, PRODUITS REMARQUABLES )
Il n’y a aucune règle générale simplificatrice pour additionner ou soustraire 2 puissances .
Par contre, il y a les PRODUITS REMARQUABLES :Quels que soient a et b on a :
( a + b )² = a² + 2ab + b²
( a – b )² = a² – 2ab + b²
( a + b)(a – b) = a² – b²
( a + b )3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3
( a – b )3 = a3 – 3a²b + 3ab² – b3
( a – b)(a² + ab + b²) = a3 – b3
Preuve : ( il suffit de développer )
1) ( a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² .
2) ( a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b² .
3) (a + b)(a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b².
4) ( a + b)3 = (a + b)(a + b)² = ( a + b)(a² + 2ab + b² ) = a3 + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b3
= a3 + 3a²b + 3ab² + b3.
5) ( a – b)3 = (a – b)(a – b)² = ( a – b)(a² – 2ab + b² ) = a3 – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b3
= a3 – 3a²b + 3ab² – b3.
6) ( a – b)(a² + ab + b² ) = a3 + a²b + ab² – a²b – ab² – b3 = a3 – b3.
C.Q.F.D.
Exemples :  65² + 26535 + 35² = ( 65 + 35 )² = 100² = 10 000.
 150² – 2150120 + 120² = ( 150 – 120 )² = 30² = 900.
 77² – 23² = ( 77 – 23)( 77 + 23) = 54  100 = 5400.
Attention :
 3² + 7² = 9 + 49 = 58
ce qui n’est pas égal à (3 + 7)² = 10² = 100.
 7² – 3² = 49 – 9 = 40
ce qui n’est pas égal à (7 – 3)² = 4² = 16.
Propriété 2 : ( PRODUIT de PUISSANCES )
Le produit de deux puissances d’un même nombre est simplifiable.
Soit a un nombre quelconque, n et p deux entiers relatifs ( a et n + p non tous 2 nuls )
On a : an  a p = a n + p ( on additionne les deux exposants n et p )
Preuve :
.Si n et p sont positifs stricts : anap = aa…a  aa…a = aa…a = an+p .
n facteurs
p facteurs
.Si n et p sont négatifs stricts : anap = Error! 
-n facteurs
n + p facteurs
Error!
-p facteurs
=
Error!
= a-(-n + (-p)) = an+p .
-n + (-p) facteurs
.Si n >0 et p < 0 : On procède de même en considérant 2 cas : n > -p
.Si n = 0 :
et n < -p
anap = a0ap = 1 ap = ap = ap + 0 = an + p.
Exemples :  23  27 = 2 ( 3 + 7 ) = 210 = 1024  2-3  2-7 = 2 -3 + (- 7 ) = 2-10  2-3 27 = 2 -3 + 7 = 24.
Propriété 3 : ( PRODUIT de PUISSANCES )
Le produit de deux nombres élevés à une même puissance est simplifiable.
Soient a et b 2 nombres quelconques, n un entier relatif ( ab et n non tous 2 nuls )
On a : an  b n = (a b) n
Preuve :
( on multiplie les deux nombres a et b )
Si n = 0 : a0b0 = 11 = 1 = (ab)0 ( ab  0 )
Si n > 0 : anbn = anbn = aa…a  bb…b = abab…ab = (ab)n .
n facteurs
Si n < 0: anbn = Error! 
-n facteurs
Exemples :
Error!
n facteurs
=
=
Error!
-n facteurs
n facteurs
Error!
= (ab)n .
-n facteurs
 0,57 87 = (0,5 8)7 = 47 = 16384
 2-4  5-4 = (2 5)- 4 = 10-4.
Propriété 4 : ( QUOTIENT de DEUX PUISSANCES )
Le QUOTIENT de deux puissances d’un même nombre est simplifiable.
Soit a un nombre quelconque non nul , n et p deux entiers relatifs ( avec n – p non nul )
On a : Error! ( on fait la différence entre n et p )
Preuve : ( uniquement dans le cas n > 0 , p > 0 et n > p, les autres cas sont
laissés au lecteur )
Si n > 0 et p > 0 et n > p : Error! = Error! ( Error! , on simplifie le quotient ) = an-p .
Exemples :

Error!

= 2 ( 7 - 3 ) = 2 4 = 16
Error!
= 2(3-7) = 2 -4
Propriété 5 : ( QUOTIENT de DEUX PUISSANCES )
La puissance d’un QUOTIENT de 2 nombres est égal au quotient des puissances des 2
nombres. ( le quotient de 2 nombres élevés à une même puissance est simplifiable )
Soient a et b 0, 2 nombres quelconques, n un entier relatif ( a et n non tous 2 nuls )
On a : Error! ( on divise a par b ou an par bn selon le sens de lecture )
Preuve : ( uniquement dans le cas n > 0, autres cas laissés au lecteur )
Si n > 0: ( Error! )n = Error!Error!…Error! ( n facteurs ) = Error! = Error! .
Exemples :

Error!
= ( Error! )7 = 37 = 2187.
 Error! = ( Error! )-7 = 3-7
Propriété 6 : ( PUISSANCE de PUISSANCE )
Pour élever la puissance d’un nombre à une certaine puissance, on multiplie les
exposants. Soit a un nombre quelconque, n et p deux entiers relatifs
( a et n  p non tous les deux nuls ) on a :
( a n )p = a n  p
Preuve : ( uniquement dans le cas n > 0, autres cas laissés au lecteur )
Si n > 0: (an)p = (aa…a)(aa…a)…(aa…a) (p fois n facteurs ) = an  p .
Exemples :  (23 ) 4 = 2 3  4 = 212 = 4096.
 (5-2)–3 = 5-2  (-3) = 56 = 15625.
Définition 2 : ( ECRITURE SCIENTIFIQUE )
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme « scientifique », il suffit de l’écrire sous la
forme d 10 n où d est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule
( un seul des chiffres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 avant la virgule ) et n est un entier relatif.
Exemples :  123456,321 = 1,23456321100000 = 1,23456321105 ( écriture scientifique )
 0,00000009876 =
9
9
–8
=
( écriture scientifique
8 = 9,876 10
876 ; 100000000 876 ; 10
)
Définition 3 : ( ORDRE DE GRANDEUR D’UN NOMBRE )
Tout nombre décimal a au moins un ordre de grandeur.
Pour trouver un ordre de grandeur d’un nombre décimal, il suffit de l’écrire sous forme
scientifique d 10 n , puis d’arrondir le nombre décimal « d » à l’entier le plus proche
( ou à un des deux entiers le plus proche s’il y a 2 candidats ) et de l’ écrire sous la forme
p10 n où p est un nombre entier non nul compris entre 1 et 9 et n un nombre entier relatif .
Exemples :  1234,321 = 1,234321103 (écriture scientifique)  1105 ( ordre de grandeur )
 0,0009876 = 9,876 10 –4 ( écriture scientifique )  1010 –4  10 –3 ( ordre de grandeur )
Définition 4 : ( VALEUR ARRONDIE A 10n PRES )
Tout nombre ( décimal ou non ) admet au moins une valeur arrondie à 10n près où
n est un nombre entier relatif. Pour trouver cette valeur arrondie, on ne garde que les
décimales d’ordre supérieur ou égal à 10n , les autre étant annulées.
Remarque : ( ordre d’une décimale )
Pour le nombre 987,654 : la décimale d’ordre 10 -3 est 4 ; la décimale d’ordre 100 est 7
la décimale d’ordre 10 -2 est 5 ; la décimale d’ordre 101 est 8
la décimale d’ordre 10 -1 est 6 ; la décimale d’ordre 102 est 9
Attention : Pour n >0 : La décimale d’ordre 10-n est la nième après la virgule.
Pour n  0 : La décimale d’ordre 10n est la ( n + 1)ième avant la virgule.
Exemples :  123,456789  123,45 arrondi à 10 -2 près
 0,987541  0,9 à 10 -1 près.
 123,456789  120 à 101 près  1546987,65  1500000 à 105 près.