CONFIGURATIONS ET TRANSFORMATIONS DU PLAN I Triangles

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CONFIGURATIONS ET TRANSFORMATIONS DU PLAN
I Triangles
Triangle isocèle
Deux côtés de la même longueur
Deux angles égaux ou un axe de symétrie
Triangle équilatéral
Triangle rectangle
Trois côtés de la même longueur
Un angle droit
Trois angles égaux à 60° ou trois axes de symétrie
Somme de deux angles égale à 90°
Un côté est un diamètre du cercle circonscrit
II Quadrilatères
Parallélogramme
Côtés opposés parallèles
Rectangle
Quatre angles droits
en réalité, 3 suffisent
Les côtés de la même longueur
Losange
Carré
Quatre angles droits et côtés de
la même longueur
Un centre de symétrie
Côtés opposés égaux
2 côtés parallèles et de même longueur
Les diagonales se coupent en leur milieu
Les diagonales se coupent en leur milieu et sont de
même longueur
Les diagonales se coupent en leur milieu et sont
perpendiculaires
Les diagonales se coupent en leur milieu, sont
perpendiculaires et de même longueur
III Cercle
Le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M tels que OM=r
(T)
La droite (T) est tangente au cercle C au point M ssi (d)
C=M
M
On a (OM) (T)
Rmq : une droite est tangente quand elle a un unique point d’intersection
avec le cerle
O
N° 2 p222
En utilisant la somme des angles d’un triangle est égale à 180° et le fait qu’un angle plat est égal à 180°.
, donc les points D,A et E sont alignés.
N°4
C’est en faisant une figure qu’on peut résoudre
facilement cet exercice. Le tracé des diagonales fait
apparaître le point d’intersection aux trois diagonales.
On en déduit que [FE] et [DB] ont même milieu.
F
A
B
D
C
E
N°6
N°8 (AB)//(CM) et (AC)//(BM) donc ABMC est un parallélogramme
donc AB=MC et AC=MB
ABC est isocèle en A, donc AB=AC et on a 4 côtés égaux.
ABMC est un losange, ses diagonales sont orthogonales et (AM) (BC)
N°9 Les diagonales ont le même milieu et la même mesure
N°10
(AB) est la perpendiculaire à [DA] (rayon)
passant par le point A ( C)
(AB) est tangente au cercle C
D
A
C
B
N°11 les angles
angles à la bases sont égaux.
sont opposés par le sommet, donc égaux. Les triangles OBA et O’B’A sont isocèles donc leurs
On a
Les angles
sont égaux et alterne-interne, donc les droites (OB) et (O’B’) sont parallèles. Soit T, la tangente à C en B
et T’, la tangente à C ’ en B’.
DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
I Médiatrices :
Définition : la médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire au segment
qui passe par son milieu.
Propriété : Un point appartient à la médiatrice d’un segment ssi il est
équidistant des extrémités de ce segment.
Les trois médiatrices du triangle sont concourantes et leur point d’intersection
est le centre du cercle circonscrit au triangle.
A
C
B
II Hauteurs :
Définition : Dans le triangle ABC, la hauteur issue de A est la droite
perpendiculaire à (BC) passant par le point A. On l’appelle aussi parfois la
hauteur relative au côté [BC]
Les trois hauteurs sont concourantes et leur point d’intersection s’appelle
l’orthocentre.
B
A
C
III Médianes
Définition : Dans le triangle ABC, la médiane issue de A est la droite passant
par A et par le milieu du segment opposé [BC].
Propriété : Les trois médianes du triangle sont concourantes et leur point
d’intersection s’appelle le centre de gravité du triangle.
A
C'
B'
B
AG = AA’ , BG = BB’ , CG = CC’
C
IV Bissectrices
Définitions : La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe cet angle en deux
angles égaux.
Propriétés : La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie des deux côtés.
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes et leur point d’intersection
est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
NB : pour trouver un point du cercle, il faut tracer la perpendiculaire à uncôté
passant par le centre du cercle.
G
A'
A
C
B
Dans un triangle équilatéral, la médiane, la hauteur, la médiatrice et la bissectrice sont confondues.
N° 12 Les droites (AM) et (BM) sont deux hauteurs du triangle OBA, donc M est l’orthocentre du triangle OBA, (OM), la
troisième hauteur, est perpendiculaire à (AB).
B est l’orthocentre du triangle OAM.
N° 15 BC=CF, donc C est le milieu de [BF].
AEFB est un rectangle, ses diagonales se coupent en leur milieu, donc (BE) passe par le milieu de [AF], (BE) est la médiane issue
de B.
ABCD et CDEF sont deux carrés avec un côté commun, donc BC = CF, C est le milieu de [BF] et (AC) est la médiane issue de A.
I est l’intersections des médianes issues de A et B, c’est le centre de gravité.
N°17 I est le centre du cercle inscrit du triangle ABC, donc la bissectrice de  passe par I et A. K est le centre du cercle inscrit du
triangle ADE, donc la bissectrice de  passe par K et A. Les points A, I et K sont sur la bissectrice de Â.
N° 19 D’après le thm des milieux dans le triangle ABC, (A’C’)//(AC)
et A’C’ = ½ AC = AB’
Le quadrilatère A’C’AB’ est non croisé, avec 2 côtés parallèles et de même longueurs
donc c’est un parallélogramme.
donc [AA’] et [B’C’] ont le même milieu.
La médiane issue de A dans le triangle ABC passe par le point A’ et par le milieu de [B’C’], c’est aussi la médiane issue de A’
dans le triangle A’B’C’.
Soit I le milieu de [B’C’] et de [AA’] et G le centre de gravité du triangle ABC.
AG = AA’ donc A’G = AA’
A’G = ×2 IA’
A’G = IA’ et G est le centre de gravité du triangle A’B’C’
NB : On pouvait aussi refaire le premier raisonnement pour montrer que BB’ est une médiane du triangle A’B’C’, en disant « de
même, (BB’) est la médiane issue de B dans le triangle ABC et la médiane issue de B’ dans le triangle A’B’C’.
N°21
En utilisant le fait que (IM) est la bissectrice de l’angle
on arrive à
Le triangle IMK est rectangle.
N° 22 I est le milieu de [AB] donc AI = a
AI = a et AD = a, donc AID est un triangle isocèle et
(AI) et (DC) sont parallèles, les angles
donc
sont alternes-internes et égaux,
et (ID) est la bissectrice de l’angle
De même (IC) est la bissectrice de l’angle
= 90°
et que (KM) est la bissectrice de l’angle
III Théorèmes : Pythagore, Thalès et les milieux
Rappels : on utilise le théorème de Pythagore ou de Thalès pour calculer une longueur. On utilise leurs réciproques pour
démontrer un angle droit ou un parallélisme.
Rédiger avec la réciproque du thm de Pythagore :
Ex 1 :
ABC est un triangle avec AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Quelle est la nature du triangle ABC ?
Il ne faut pas commencer par écrire BC2=AB2+AC2. On ne sait pas si c’est vrai !
Je calcule BC2=25, AB2+AC2=25
Maintenant je peux écrire :
BC2=AB2+AC2 d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Ex2
ABC est un triangle avec AB = 3, AC = 4 et BC = 6. Quelle est la nature du triangle ABC ?
BC2=36, AB2+AC2=25
BC2 ≠ AB2+AC2 d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est rectangle en A.
Ici, c’est la contraposée du théorème, et non pas la réciproque, qui permet de conclure.
N° 27 A l’aide du théorème de Pythagore, on calcule AB 2 = 13 et AC2=29,25
On vérifie AB2+AC2=BC2 et on conclue avec la réciproque du théorème de Pythagore.
N°28
a) Grâce au théorème de Pythagore, on a
OB et OC sont deux rayons, donc OB = OC et AB = AC
b) Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
on en déduit que (OA) est la médiatrice de [BC].
Pour la bissectrice, on utilise soit (OA) comme axe de symétrie, soit « dans un triangle isocèle, la médiatrice et la bissectrice
issues du sommet principal sont confondues »
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