I / PGCD de deux nombres entiers

PGCD
I / PGCD de deux nombres entiers
1) Diviseur : soit a et b deux entiers naturels ( par exemple a < b )
On dit que a est un diviseur de b si b est un multiple de a.
Exemples :
3 est un diviseur de 12 car 12 = 3  4 ; 7 est un diviseur de 63 car 63 = 7  9 ….
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
2) Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers ( PGCD )
Exemple : PGCD de 12 et 18 :
-
les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.
les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18
Leur plus grand diviseur commun est 6 ; on écrit alors : PGCD(12 ; 18) = 6.
3) L’algorithme d’Euclide, exemple
Recherche du PGCD(532 ; 108)
Dividende
532
108
100
8
Diviseur
108
100
8
4
PGCD
Reste
100
8
4
0
Fin de l’algorithme
PGCD(532 ; 108) = 4
4) Un exemple d’utilisation : exercice
1.Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.
2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que :



tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.
a) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
b) Combien y aura-t- il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
1.
Dividende
Diviseur
Reste
135
108
23
108
23
0
L’algorithme d’Euclide nous permet de trouover que le PGCD de 108 et 135 est
27.
2. a) 108 = 27 x 4 ; 135 = 27 x 5. Le nombre maximal de paquets est 27, le PGCD
des deux nombres 108 et 136
b) Dans chaque paquet il y aura 4 billes rouges et 5 billes noires.
II / Les nombres premiers
1) On dit que deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si PGCD(a ;b) = 1.
Exemples : 15 et 29 ; 101 et 32 ; ……
2) Un nombre est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemples :19 ; 47 ; 113 ; ….
III / Fraction irréductible
1) Définition
Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont
premiers entre eux .C’est à dire si le PGCD du numérateur et du dénominateur est 1.
2) Simplification de fraction
Pour simplifier une fraction Error! , il suffit de diviser numérateur et dénominateur
par PGCD(a ;b).
Exemples : Error! = Error!= Error! car PGCD(24 ;36) = 12
Error! = Error! = Error! car PGCD(630 ;924) = 42
IV / Les ensembles de nombres

l'ensemble des entiers naturels (0 ; 1 ; 2 ; 5 ; ….) : il se note I; N ;

l'ensemble des entiers relatifs (-3 ; -15 ; 0 ; 2 ; ……) ; il se note Error! ;

l'ensemble des nombres décimaux (2,4 ; 0,0256 ; -6,1 ; ….) ; il se note I; D ;

l'ensemble des nombres rationnels ( Error! ; Error! ; 2 ; …) ; il se note Error! ;

l'ensemble des nombres irrationnels :  ; 2 ; Error!; Error! ; ….

I;Q contient I; D qui contient Error! qui contient Error!.
Les irrationnels sont tous les nombres qui ne sont pas rationnels (dans I;Q)