I / PGCD de deux nombres entiers

PGCD
I / PGCD de deux nombres entiers
1) Diviseur : soit a et b deux entiers naturels ( par exemple a < b )
On dit que a est un diviseur de b si b est un multiple de a.
Exemples :
3 est un diviseur de 12 car 12 = 3 4 ; 7 est un diviseur de 63 car 63 = 7 9 ….
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
2) Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers ( PGCD )
Exemple : PGCD de 12 et 18 :
- les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18
Leur plus grand diviseur commun est 6 ; on écrit alors : PGCD(12 ; 18) = 6.
3) L’algorithme d’Euclide, exemple
Recherche du PGCD(532 ; 108)
Dividende
Diviseur
Reste
532
108
100
108
100
8
100
8
4
8
4
0
PGCD Fin de l’algorithme
PGCD(532 ; 108) = 4
4) Un exemple d’utilisation : exercice
1.Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.
2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que :
 tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
 tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
 toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.
a) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
b) Combien y aura-t- il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
1.
Dividende
Diviseur
Reste
135
108
23
108
23
0

L’algorithme d’Euclide nous permet de trouover que le PGCD de 108 et 135 est
27.
2. a) 108 = 27 x 4 ; 135 = 27 x 5. Le nombre maximal de paquets est 27, le PGCD
des deux nombres 108 et 136
b) Dans chaque paquet il y aura 4 billes rouges et 5 billes noires.
II / Les nombres premiers
1) On dit que deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si PGCD(a ;b) = 1.
Exemples : 15 et 29 ; 101 et 32 ; ……
2) Un nombre est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemples :19 ; 47 ; 113 ; ….
III / Fraction irréductible
1) Définition
Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont
premiers entre eux .C’est à dire si le PGCD du numérateur et du dénominateur est 1.
2) Simplification de fraction
Pour simplifier une fraction
Error!
, il suffit de diviser numérateur et dénominateur
par PGCD(a ;b).
Exemples :
Error!
=
Error!
=
Error!
car PGCD(24 ;36) = 12
Error!
=
Error!
=
Error!
car PGCD(630 ;924) = 42
IV / Les ensembles de nombres
 l'ensemble des entiers naturels (0 ; 1 ; 2 ; 5 ; ….) : il se note I;N ;
 l'ensemble des entiers relatifs (-3 ; -15 ; 0 ; 2 ; ……) ; il se note
Error!
;
 l'ensemble des nombres décimaux (2,4 ; 0,0256 ; -6,1 ; ….) ; il se note I;D ;
 l'ensemble des nombres rationnels (
Error!
;
Error!
; 2 ; …) ; il se note
Error!
;
 l'ensemble des nombres irrationnels : ; 2 ;
Error!
;
Error!
; ….
 I;Q contient I;D qui contient
Error!
qui contient
Error!
.
Les irrationnels sont tous les nombres qui ne sont pas rationnels (dans I;Q)