b ) cosinus et sinus d`un angle oriente de vecteurs

1
ANGLES ORIENTES DE VECTEURS
1 ) ORIENTATION DU PLAN
Orienter un cercle, c'est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens
direct ( ou positif ) .
L'autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde)
Orienter le plan, c'est orienter tous les cercles du plan dans le même sens.
L'usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d'une montre.
( appelé aussi sens trigonométrique )
Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1.
Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.
2) MESURES DE L’ANGLE ORIENTE D’UN COUPLE DE VECTEURS NON NULS
Sauf avis contraire, les
angles sont mesurés en
radian.
A ) ENSEMBLE DES MESURES
Soient Error! et Error! deux vecteurs non nuls du plan orienté, O un point
+
quelconque et C le cercle trigonométrique de centre O.
On considère A’ et B’ les points définis par Error!’ = Error! et Error!’ = Error! .
Les demi-droites [ OA’ ) et [ OB’ ) coupent le cercle trigonométrique C
respectivement en A et en B .
Les vecteurs Error!= Error! Error! et Error! = Error! Error! sont unitaires,
respectivement colinéaires à Error! et Error! et de même sens qu’eux .
A’
B’
B
A
O
C
Error!
Error!
Vous avez vu en seconde comment on définit les mesures en radian de
l’angle orienté de vecteurs unitaires (Error!,Error! ) à partir de celles de
l’arc orienté AB …
Les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs ( Error! , Error! ) sont celles
de l’angle
orienté de vecteurs unitaires (Error!,Error! ) c'est à dire , celles de l’angle
orienté de vecteurs unitaires (Error! Error! , Error! Error! ) .
On définit de même l’angle
orienté d’un couple de demidroites [ Ox ) et [ Oy ) que l’on
note ( Ox , Oy ) .
Il en résulte que si x est une mesure de ( Error! , Error! ) , alors les autres mesures
sont de la forme x + 2 k  , k  .
On dit que les angles orientés de
vecteurs sont définis modulo 2 
.
Notation :
 La notation usuelle est Error! , mais s’il n'y a aucun risque de confusion , on notera seulement ( Error! , Error! ) cet angle
orienté

Par abus, on confond un angle et ses mesures. ( pratique n’est ce pas et … comme les angles géométriques )
On écrit, par exemple, ( Error! , Error! ) = Error! signifiant qu’une mesure de ( Error! , Error! ) est Error! ; les autres
mesures sont alors de la
forme  + 2 k  , k 
2
On écrit aussi ( Error! , Error! ) = Error! + 2 k  , k  Error!
2
On note aussi ( Error! , Error! ) = Error! ( modulo 2  ) ou ( Error! , Error! ) = Error! [ 2  ] ( congruence … avec
trois traits ! ! ! )
ou encore ( Error! , Error! ) = Error! , 5 Error! , 9 Error! , …
Rem : Dans la résolution des exercices, vous pouvez choisir la notation que vous préférez ;
Avec un peu d’entraînement, vous prendrez l’habitude d’utiliser la notation la plus judicieuse.
Un petit conseil : Dès qu’il y a des calculs, utilisez la deuxième notation.
B ) MESURE PRINCIPALE
Une seule des mesures de l’angle orienté de vecteurs ( Error! , Error! ) appartient à l'intervalle ] - ;  ] ; On
l'appelle mesure principale de l’angle orienté de vecteurs ( Error! , Error! ) .
Rem :
La valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté de vecteurs ( Error! , Error! ) est la mesure de l’angle géométrique
formé
par ces deux vecteurs.
Ex :
La mesure principale de ( Error! , Error! ) est Error! .
La mesure principale de ( Error! , Error! ) est – Error! et Error! = Error!
La mesure principale de ( Error! , Error! ) est – Error! et Error! = Error!
+
C
ABC = 
3
C ) ANGLE NUL, ANGLE PLAT, ANGLES DROITS
B
A
Soient Error! et Error! deux vecteurs non nuls du plan orienté.

Dire que Error! et Error! sont colinéaires revient à dire que :
Error!
Error!
Angle nul : la mesure principale de ( Error! , Error! ) est égale à 0 ( Error! et Error!
sont de même sens )
ou
Angle plat : la mesure principale de ( Error! , Error! ) est égale à  (Error! et Error!
sont de sens contraire )
Error!
Error!
( Error! , Error! ) = k  ( k  Error! )

Error!
Dire que Error! et Error! sont orthogonaux revient à dire que :
Angle droit direct : la mesure principale de ( Error! , Error! ) est égale à Error!
ou
Angle droit indirect : la mesure principale de ( Error! , Error! ) est égale à – Error!
( Error! , Error! ) = Error! + k  ( k  Error! )
Error!
Error!
Error!
Rem : Pour tout vecteur non nul Error! , ( Error! , Error! ) = 0 et ( Error! , – Error! ) = 
3 ) PROPRIETES DES MESURES DES ANGLES ORIENTES DE VECTEURS
On ne parle pas d’addition, d’égalité d’angle ( dans mon discours ) mais d’addition et d’égalité de mesures …
A ) RELATION DE CHASLES ( admis …prise de tête )
3
Soient Error! , Error! et Error! trois vecteurs non nuls du plan orienté . On a :
( Error! , Error! ) + ( Error! , Error! ) = ( Error!
, Error! )
En additionnant n’importe quelle mesure de ( Error! , Error! ) à n’importe quelle mesure de ( Error! , Error! ) , on obtient une
mesure de ( Error! , Error! ) .
Réciproquement, n’importe quelle mesure de ( Error! , Error! ) est la somme d’une mesure de ( Error! , Error! ) et d’une
mesure de ( Error! , Error! ) .
Ex :
Soient Error! , Error! et Error! trois vecteurs non nuls du plan orienté tels que
+
Error!
( Error! , Error! ) = Error! et ( Error! , Error! ) = – Error!
D’après la relation de Chasles ( Error! , Error! ) + ( Error! , Error! ) = ( Error! , Error! )
On en déduit donc que ( Error! , Error! ) = Error! – Error! = … = Error!
Les vecteurs Error! et Error! sont donc orthogonaux.
Error!
Error!
B ) CONSEQUENCES DE LA RELATION DE CHASLES
Soient Error! et Error! deux vecteurs non nuls du plan orienté.
Angles opposés , angles supplémentaires … à éviter dans la mesure ou je ne parle pas d’angles égaux .
+
+
Error!
Error!
( Error! , Error! ) = – ( Error! , Error!)
Error!
( Error! , – Error! ) = ( Error! , Error! ) + 
+
Error!
( – Error! , Error! ) = ( Error! , Error! ) + 
( – Error! , – Error! ) = ( Error! , Error! )


si k et k’ sont de signes contraires, alors :
( k Error! , k’ Error! ) = ( Error! , Error! )
+
Error!
+
Error!
–
Error!
Error!
–
Error!
+
Error!
2
Error!
Error!
Error!
–
2
Error!
3
2
Error!
Preuve :
1)
Error!
–
Error!
si k et k’ sont de même signe, alors :
( k Error! , k’ Error! ) = ( Error! , Error! )
+
Error!
–
+ Error!
Soient k et k’ deux réels non nuls :
Error!
D’après la relation de Chasles ( Error! , Error! ) + ( Error! , Error! ) = ( Error! , Error! )
Or ( Error! , Error! ) = 0 ; donc ( Error! , Error! ) = – ( Error! , Error! )
Error!
3 Error!
2
4
2)
D’après la relation de Chasles ( Error! , Error! ) + ( Error! , –Error! ) = ( Error! , – Error! )
Or ( Error! , –Error! ) =  ; donc ( Error! , – Error! ) = ( Error! , Error! ) +  …
3)
D’après la relation de Chasles
Error! )
( Error! , Error! ) = ( Error! , – Error! ) + ( – Error! , – Error! ) + ( - Error! ,
=  + ( – Error! , – Error! ) + 
= 2  + ( – Error! , – Error! )
Les mesures sont définis modulo 2  , donc ( – Error! , – Error! ) = ( Error! , Error! )
4)


Si k et k’ sont de même signe , le résultat découle de la définition …
Si k et k’ sont de signes contraires :
D’après la relation de Chasles , on peut écrire : ( k Error! , k’ Error! ) = ( k Error! , k Error! ) + ( k Error! , k’
Error! )
( k Error! , k Error! ) = ( Error! , Error! ) d’après le résultat précédent .
k Error! et k’ Error! sont colinéaires et de sens contraire, donc ( k Error! , k’ Error! ) = 
On en déduit le résultat.
4 ) REPERE ORTHONORMAL
Ex : Repère orthonormal direct
Un repère orthonormal (O ; Error!, Error!) est :
• direct , si l'une des mesures de ( Error! , Error! ) est + Error!
• indirect , si l'une des mesures de ( Error! , Error! ) est –

2
Repère orthonormal indirect
Rem :
 On définit de la même façon une base orthonormale directe …
 Etant donné un vecteur unitaire Error!, il existe un unique vecteur unitaire Error! tel que ( Error! , Error! ) soit une base
orthonormale directe.
+
Error!
5 ) COSINUS ET SINUS D’UN ANGLE ORIENTE DE VECTEURS
Sauf contre indication, l’unité utilisée est le radian.
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormal direct ( O ;Error!, Error! ) ; on considère le cercle trigonométrique C de
centre O .
A ) RAPPEL : Cosinus et sinus d’un réel x
+
J
Soit M le point du cercle trigonométrique tel qu’une mesure de (Error! , Error! ) est x.
• l'abscisse du point M est le cosinus de x ( noté cos x )
• l'ordonnée du point M est le sinus de x ( noté sin x )
I
De plus :
cos x = OH
et
sin x = OP
5
B ) COSINUS ET SINUS D’UN ANGLE ORIENTE DE VECTEURS
Soient Error! et Error! deux vecteurs du plan orienté.
Si x est une mesure en radian de l’angle orienté ( Error! , Error! ) , alors les autres mesures sont de la forme x + 2 k  ( k  Erro
Or cos ( x + 2 k  ) = cos x et sin ( x + 2 k  ) = sin x .
On en déduit la définition suivante :
Le cosinus ( resp. le sinus ) de l’angle orienté de vecteurs ( Error! , Error! ) est le cosinus ( resp. le sinus ) de l’une
quelconque de ses mesures.
On note cos ( Error! , Error! )
et
sin ( Error! , Error! ) .
C ) LIEN ENTRE cos ( Error! , Error! ) et cos ( Error! ) lorsque Error! et Error! = Error!
Notons  la mesure en radians de l’angle géométrique AOB formé par Error! et Error! , et notons x la mesure principale de (
Error! , Error! ) .
On a  =  x  . Deux cas se présentent :
 Si x 0 ,  x  = x et par suite cos  = cos x .
B
Error!
 Si x 0 ,  x  = – x , et cos  = cos ( – x ) = cos x
On a donc cos ( Error! , Error! ) = cos ( Error! )
A
Ce n’est pas vrai pour le sinus :
O
sin ( AOB ) =  sin ( Error!,
Error!) 
Error!
D ) COORDONNEES D’UN VECTEUR Error!
On considère le vecteur Error! de coordonnées ( a ; b ) .
On pose ( Error!, Error! ) =  .


On a alors : a = u cos  et b = u sin 
Preuve :
+
M
On considère le point M définit par Error! = Error! et le point M’ intersection
de [ OM ) et du cercle .
Les coordonnées de Error!’ sont ( cos  ; sin  ) .

Or Error! = u Error!’ …
M’
Error!

O
Error!