Physique. Concours Blanc 1. Devoir surveillé N°6.

PCSI. 05/06. 4heures. Calculatrice autorisée. Physique. Concours Blanc 1.
Devoir surveillé N°6.
Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs raisonnements avec clarté et précision, rédiger avec soin dans
un français correct, et reporter les numéros des paragraphes et sous-paragraphes dans la marge pour
chaque question.
Il est demandé de justifier clairement les relations utilisées et les réponses. Toute réponse non justifiée ne
sera pas prise en considération.
Tous les résultats littéraux ou numériques devront être encadrés.
Toutes les grandeurs physiques seront exprimées en fonction des paramètres du problème (ou des
paramètres spécifiés) et simplifiées à l'extrême.
Cette épreuve est constituée de quatre exercices.
Exercice 1. Mouvement d'une pièce de monnaie sur un disque en rotation.
Pour les applications numériques, on prendra :
- g = 10 N kg-l
- R = l m
- h = l m
- a = 0,1 m
- m = 0,01 kg
- s = 0,53
- d = 0,36
On donne :
11
e e ; e e
22
x x x x
chx shx
Soit un référentiel terrestre galiléen
o
=
, , ,
xo yo z
o
O e e e
, où
z
e
représente la verticale ascendante. Par
rapport à ce référentiel, on considère un disque horizontal en acier, D, de rayon R et de centre O. Le
disque peut tourner autour de l'axe vertical
z
e
passant par son centre O et se situe à une hauteur h du sol
horizontal. On considère le référentiel =
, , ,
x y z
O e e e
lié au disque. Le mouvement de rotation du
disque par rapport à
o
est repéré par l’angle
,
xo x
ee
, orienté de
xo
e
vers
x
e
(cf. figure). Les axes
xo
e
et
xo
e
sont confondus à l'instant de la mise en mouvement du disque qui sera pris comme origine des
temps. Le mouvement donné au disque (à t = 0) est un mouvement de rotation uniforme caractérisé
par
/oz
e
. Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme
z
g ge
.

Une pièce de monnaie en cuivre est posée sur le disque. Elle est assimilée à un point matériel M, de masse
m. Elle est placée sur le disque avant sa mise en mouvement en A (a, 0, 0) avec 0 < a < R. Le contact
entre M et D est caractérisé par un coefficient de frottement solide statique s > 0 et un coefficient de
frottement solide dynamique d (0 < d < s).
On note :
R N T
la force de contact exercée par le disque sur le point M.
z
N Ne
sa composante normale au disque.
xy
xy
T T e T e
sa composante dans le plan du disque. On pourra aussi écrire :
T Tu
où
u
est un
vecteur unitaire défini par la vitesse de M dans soit
/
/
M
M
vv
T T T v
v
x y z
OM xe ye ze  
le vecteur position du point M.
A. Equilibre de la pièce dans R.
On suppose dans un premier temps la pièce en équilibre dans le référentiel du disque.
1. Donner l'expression des forces d'inertie dans . Les exprimer en fonction de m, a, et .
2. Rappeler les lois de Coulomb sur le frottement entre deux solides.
3. Ecrire les équations d'équilibre de M dans sa position initiale A.
4. Donner la condition que doit vérifier pour que M soit à l’équilibre dans . Faire
l’application numérique. On note
l
cette valeur particulière.
B. Mouvement sur le disque.
La vitesse de rotation du disque est réglée sur la valeur
l
. Le point M se met alors en mouvement.
5. Etablir les équations différentielles exactes du mouvement de M vérifiées par x, y et z en
fonction de
, , , , , ,
dg x y x y
.
A partir de maintenant et pour toute la suite du mouvement sur le disque, la pièce est contrainte à se
déplacer suivant
x
e
.
6. Etablir l’équation horaire du mouvement de M. On exprimera x, y et z en fonction de a, , t et
=
d / s.
7. Déterminer alors, en fonction de , r = R/a et , l'instant
s
t
où la pièce arrive au bord du disque.
Faire l’application numérique.
8. Dans les conditions du mouvement guidé, exprimer
/M
v
vitesse de M dans . Quelle est sa
valeur à la date
s
t
. Faire l’application numérique.
9. Soit
/o M o
vv
la vitesse de M par rapport à
o
. Exprimer cette vitesse. Quelle est sa valeur à
la date
s
t
. Faire l’application numérique.
10. Donner l'expression de l'évolution temporelle de la force de contact
R
en fonction de
, , , , ,
d
m g a
.

Exercice 2. Etude d’un filtre sélectif.
On étudie le montage ci-dessous:
-
+
R2
2R1
R1
C
C
e(t)
s(t)
A
B
L’amplificateur opérationnel est idéal (i+ = 0 et i- = 0) et fonctionne en régime linéaire (V+ - V- = 0)
On impose à l’entrée une tension e(t) sinusoïdale de pulsation .
1. Montrer que la fonction de transfert
() S HE
du montage peut se mettre sous la forme :
1
1
() 1
1
e
Hj
j RC RC
. Déterminer l’expression de
e
R
.
3. Mettre
()Hj
sous la forme canonique
()H
Q
0
0
1
1j
.
Identifier Q et
0
en fonction de R1, R2 et C.
4. Montrer que
( ) ( )HH
passe par un maximum pour une valeur de que l'on exprimera.
5. Définir, puis calculer les pulsations de coupure à - 3 dB en fonction de
0 et Q.
En déduire la bande passante .
6. On pose
o
x
. Tracer l’allure de
20log ( )
dB
G H x
en fonction de
logXx
. Effectuer une
discussion en fonction du facteur de Q. Conclusion.
On met à l’entrée de ce circuit le signal e(t) représenté ci-dessous :
avec f =1/T= 3,0 kHz et E = 10 V.
On montre que l’on peut décomposer le signal e(t) en une combinaison linéaire de sinusoïdes sous la
forme :
2 2 2
sin 2 . . sin 2 .3 . sin 2 .5 . ...
2 3 5
E E E E
e(t) f t f t f t
7. Comment s’appellent les diverses fréquences qui apparaissent dans l’expression de e(t) ?
8. Déterminer les caractéristiques du signal de sortie s(t) si le circuit est réglé pour f0 = 3,0 kHz et
Q = 20.
t
T
E

Exercice 3. Mouvement de comètes.
Dans ce problème on étudie le mouvement de la Terre ou de comètes attirées par le Soleil, supposé avoir
une masse très grande par rapport à celle des objets étudiés. Le repère associé au Soleil est supposé
galiléen. L’énergie potentielle est prise égale à zéro quand la distance entre les objets cosmiques
concernés tend vers l’infini.
On donne:
G = 6, 67.1011 S.I constante de la gravitation universelle
Mo = 2,0.10.30 kg masse du Soleil
Ro = 150.106 km rayon de l’orbite terrestre supposée circulaire
To = 1 an période de rotation de la terre autour du Soleil
1. Exprimer la vitesse Vo de la Terre par rapport au repère galiléen associé au Soleil en fonction de
G, Mo et Ro.
2. Exprimer en fonction de G, Mo, Ro et m (masse de la Terre) l’énergie cinétique, l’énergie totale,
le moment cinétique de la terre par rapport au Soleil, et la période To. A quoi correspond la
dernière de ces relations?
Une comète dont la trajectoire est coplanaire à l’orbite terrestre a une masse mC. Son périhélie (point de
passage le plus proche du Soleil) se trouve à la distance
2o
R
du centre du soleil, la vitesse en ce point étant
2Vo.
3. Calculer l’énergie totale de la comète et en déduire la nature de la conique qu’elle décrit.
4. Exprimer la vitesse de la comète en fonction de sa distance au centre du Soleil.
5. Déterminer l’équation polaire de la trajectoire de la comète : l’axe polaire sera choisi confondu
avec l’axe focal, et orienté de façon qu’au cours du mouvement soit une fonction croissante.
Faire un schéma.
6. L’orbite de la Terre coupe celle de la comète en deux points A et B. Montrer que AB est un
diamètre de l’orbite terrestre.
On étudie maintenant la comète de Halley dont l’orbite n’est pas dans le plan de l’orbite terrestre Le
périhélie de la comète de Halley se trouve à la distance 0,6 Ro du centre du Soleil ; sa période est T = 76
années terrestres.
7. Quelle est la nature de la conique décrite par la comète de Halley? Donner l’expression de son
équation polaire, l’axe polaire étant confondu avec l’axe focal Faire un schéma.
8. Calculer l’excentricité e et le paramètre p de la comète.

Exercice 4. Etude d’un microscope.
L’objectif et l’oculaire d’un microscope peuvent être assimilés à deux lentilles minces
convergentes
12
et LL
. Le foyer
'
11
de l'objectif et FL
le foyer objet
22
de l'oculaire FL
sont séparés par
une distance
'
12
FF 
. On désigne respectivement par
''
12
et ff
les distances focales de
12
et LL
. Un
observateur dont l’œil est normal et accommode à l’infini, regarde un objet
oo
AB
à travers l’instrument.
1. Calculer, dans ces conditions d’observation, la distance
1oo
p O A
de l’objet au centre optique
11
de OL
pour qu’une image nette se forme sur la rétine.
2. Calculer le grandissement transversal
ob
de l’objectif.
3. On désigne par
m
d
la distance minimale de vision distincte d’un œil normal. On définit le
grossissement commercial G d’un instrument d’optique par le rapport
i
o
G
où
i
est l’angle
sous lequel un œil normal accommodant à l’infini voit l’objet à travers l’instrument et
o
l’angle sous lequel l’objet est vu à l’œil nu lorsqu’il est placé à la distance minimale de vision
distincte
m
d
. Déterminer le grossissement commercial
oc
G
de l’oculaire en fonction de
m
d
et
'
2
f
.
4. Exprimer le grossissement commercial
m
G
du microscope en fonction de
'
1
, et .
oc
Gf
5. On définit la puissance P du microscope par le rapport
i
oo
PAB
de la dimension
angulaire
i
de l’objet vu à travers l’instrument par un œil normal accommodant à l’infini sur la
dimension réelle
oo
AB
de cet objet. Calculer P.
6. On appelle cercle oculaire l’image que donne le microscope de la monture de l’objectif. En
considérant un objet placé dans le plan de front passant par
1
O
, exprimer à quelle distance
1
d
de
2
O
se trouve ce cercle oculaire. 13. La monture de l’objectif est constituée d’un diaphragme de
diamètre D. Exprimer le diamètre d du cercle oculaire.