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Une pièce de monnaie en cuivre est posée sur le disque. Elle est assimilée à un point matériel M, de masse
m. Elle est placée sur le disque avant sa mise en mouvement en A (a, 0, 0) avec 0 < a < R. Le contact
entre M et D est caractérisé par un coefficient de frottement solide statique s > 0 et un coefficient de
frottement solide dynamique d (0 < d < s).
On note :
la force de contact exercée par le disque sur le point M.
sa composante normale au disque.
sa composante dans le plan du disque. On pourra aussi écrire :
où
est un
vecteur unitaire défini par la vitesse de M dans
soit
le vecteur position du point M.
A. Equilibre de la pièce dans R.
On suppose dans un premier temps la pièce en équilibre dans le référentiel
du disque.
1. Donner l'expression des forces d'inertie dans
. Les exprimer en fonction de m, a, et
.
2. Rappeler les lois de Coulomb sur le frottement entre deux solides.
3. Ecrire les équations d'équilibre de M dans sa position initiale A.
4. Donner la condition que doit vérifier
pour que M soit à l’équilibre dans
. Faire
l’application numérique. On note
cette valeur particulière.
B. Mouvement sur le disque.
La vitesse de rotation du disque est réglée sur la valeur
. Le point M se met alors en mouvement.
5. Etablir les équations différentielles exactes du mouvement de M vérifiées par x, y et z en
fonction de
.
A partir de maintenant et pour toute la suite du mouvement sur le disque, la pièce est contrainte à se
déplacer suivant
.
6. Etablir l’équation horaire du mouvement de M. On exprimera x, y et z en fonction de a,
, t et
=
d /
s.
7. Déterminer alors, en fonction de
, r = R/a et
, l'instant
où la pièce arrive au bord du disque.
Faire l’application numérique.
8. Dans les conditions du mouvement guidé, exprimer
vitesse de M dans
. Quelle est sa
valeur à la date
. Faire l’application numérique.
9. Soit
la vitesse de M par rapport à
. Exprimer cette vitesse. Quelle est sa valeur à
la date
. Faire l’application numérique.
10. Donner l'expression de l'évolution temporelle de la force de contact
en fonction de
.