Ch 2 Triangles : construction et inégalité triangulaire Droites

Ch 2 Triangles : construction et inégalité triangulaire
Droites remarquables
I/ Construction de triangles
1) Avec 3 longueurs
Propriété : Pour qu’un triangle existe, il faut que la somme des longueurs des deux plus petits côtés
soit plus grande que la longueur du plus grand côté.
Méthode :
- On trace d’abord le plus grand côté.
Au compas, on trace un arc de cercle dont le centre est une extrémité du segment et dont le
rayon correspond à la
longueur du côté désiré.
- On répète le procédé à l’autre extrémité du segment.
- Le dernier sommet du triangle est à l’intersection de ces deux arcs de cercle.
Ex : Construire le triangle 𝐷𝐸𝐹 tel que :
- 𝐷𝐸 = 4,2cm
- 𝐸𝐹 = 6,1cm
- 𝐷𝐹 = 3,4cm
Rq : Grâce à cette méthode, on peut aussi reporter un angle à la règle et au compas.
Pour cela, il suffit de considérer que cet angle fait partie d’un triangle.
2) Avec 2 longueurs et un angle
Propriété : Pour construire un triangle dont on connaît deux longueurs et un angle, il faut que ces
longueurs soient celles des côtés qui forment l’angle.
Méthode :
- On trace le plus grand côté.
- On trace la demi-droite qui forme l’angle.
- On place le dernier sommet sur cette demi-droite grâce à la deuxième longueur.
̂ = 36°
Ex : Construire un triangle 𝐺𝐻𝐼 tel que 𝐺𝐻 = 4,1cm; 𝐺𝐼 = 3,2cm et 𝐻𝐺𝐼
3) Avec une longueur et 2 angles
Méthode :
- On trace le côté dont on connaît la longueur.
- A chaque extrémité, on trace l’angle correspondant.
- Le dernier sommet est le point d’intersection des deux demi-droites.
Rq : Pour appliquer cette méthode, il faut connaître les mesures des angles aux extrémités du segment.
Ex : Construire le triangle 𝐴𝐵𝐶 tel que :
- 𝐴𝐵 = 4,5cm
̂ = 70°
- 𝐴𝐵𝐶
̂ = 50°
- 𝐵𝐴𝐶
II/ Triangles particuliers
1) Triangle rectangle
Pour construire un triangle rectangle, il faut que l’on connaisse soit les longueurs de deux côtés, soit la
longueur d’un des côtés à l’angle droit et la mesure de l’angle qui lui est associé.
Ex : Construire un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴 tel que :
- 𝐴𝐵 = 4cm
- 𝐴𝐶 = 2,5cm
2) Triangle isocèle
Pour condtruire un triangle isocèle, il faut connaître soit la base et un des côtés, soit la base et un des
angles à la base, soit l’angle au sommet principal et la longueur d’un des côtés qui touchent cet angle.
Ex : Construire le triangle 𝑅𝑆𝑇 isocèle en 𝑅 tel que :
- 𝑅𝑆 = 4,2cm
- 𝑆𝑇 = 5,1cm
3) Triangle équilatéral
Pour construire un triangle équilatéral, on doit connaître la longueur d’un des côtés.
Ex : Construire le triangle équilatéral 𝑀𝑁𝑃 tel que 𝑀𝑁 = 6cm
III/ Droites remarquables dans un triangle
1) Médiatrices
Définition : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce
segment.
Propriété : La médiatrice d’un segment est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu.
Rq : La médiatrice d’un segment est un de ses axes de symétrie.
Propriété : Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un point 𝑂 appelé centre du cercle
circonscrit au triangle.
Rq : Pour tracer le cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux médiatrices.
2) Médianes
Définition : Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet (ou relative à un côté) est la
droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Propriété : Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point 𝐺 appelé centre de
gravité du triangle.
Rq : Pour construire le centre de gravité d’un triangle, il suffit de tracer deux médianes.
2
Propriété : Dans un triangle, le centre de gravité est situé aux 3 de chaque médiane.
3) Hauteurs
Définition : Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et
perpendiculaire au côté opposé.
Propriété : Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes en un point 𝐻 appelé orthocentre.
Rq : Si le triangle possède un angle obtus, l’orthocentre est situé en-dehors du triangle.
Il faudra alors prolonger certains côtés pour pouvoir tracer les hauteurs.
Rq : Pour construire l’orthocentre d’un triangle, il suffit de tracer deux hauteurs.
IV/ Triangles particuliers
1) Triangle rectangle
Propriétés : Dans un triangle rectangle,
- le sommet à l’angle droit est l’orthocentre.
- le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
- La médiane issue du sommet à l’angle droit a pour longueur la moitié de l’hypoténuse.
2) Triangle isocèle
Propriété : Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la médiane et la hauteur issue du
sommet principal.
Rq : Un triangle isocèle rectangle cumule les propriétés du triangle rectangle et du triangle isocèle.
3) Triangle équilatéral
Propriété : Dans un triangle équilatéral, toute médiatrice est à la fois hauteur et médiane. Par
conséquent, le centre du cercle circonscrit est aussi centre de gravité et orthocentre.