Les nombres relatifs

Notion de nombres relatifs
QCM p 62 et Activités 1 et 2 p63
1)
Nombres relatifs
Définition :
Un nombre relatif est un nombre précédé d’un signe + ou -.
 S’il est précédé d’un signe -, on dit que c’est un nombre relatif négatif.
 S’il est précédé d’un signe +, on dit que c’est un nombre relatif positif.
Remarque :
Il existe un seul nombre relatif à la fois positif et négatif : 0
Exemples :
Il fait –25° C dans le congélateur : -25 est un nombre relatif négatif
Il fait +20° C dans la classe : + 20 est un nombre relatif positif
Remarque :
Pour les nombres relatifs positifs, le signe + n’est pas obligatoire.
Définition :
On appelle partie numérique d’un nombre relatif le nombre sans son signe, c’est aussi la distance à 0.
Exemple :
25 est la partie numérique de –25 et 20 est la partie numérique de +20
Définition :
Deux nombres qui ont la même partie numérique mais qui sont de signes différents sont des opposés.
Activité 3p63
2)
Droite graduée
Définition :
Sur une droite graduée, tout point est repéré par un nombre relatif appelé abscisse.
L’abscisse du point A est noté xA.
Exemple :
Le mot « abscisse » vient du latin « abscissa » (ligne coupée) dû à l’allemand Gottfried Wilhelm von Leibniz en 1692.
Remarques :
 Tous les nombres qui sont à gauche de 0, sur la droite graduée, sont les nombres négatifs.
 Tous les nombres qui sont à droite de 0, sur la droite graduée, sont les nombres positifs.
3)
Comparaison des nombres relatifs
Propriétés :
 Si deux nombres sont positifs, le plus petit est celui qui a la partie numérique la plus petite (celui
qui est le plus proche de 0)
 Si deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui a la partie numérique la plus grande
(celui qui est le plus éloigné de 0)
 Si deux nombre sont de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif.
Exemple :
Méthode pour ranger dans l’ordre croissant (ou décroissant) des nombres relatifs :
1. On repère les nombres négatifs et on les range par ordre croissant
2. On repère les nombres positifs et on les range par ordre croissant
3. On regroupe les deux classements en oubliant pas que les nombres négatifs sont
plus petit que les nombres positifs.
Exemple :
Ex 9 au 12 p70, ex 16, ex 21 au 24 p 71
4)
Repérage dans la plan
On dit que René Descartes (1596-1650) eut l’idée d’un repère du plan en géométrie, un
jour où il vit une mouche se promener sur les carreaux des fenêtres de sa cuisine.
Le nom de repère cartésien est resté aujourd’hui.
Descartes nous laisse l’adjectif « cartésien » ; on dit d’un esprit cartésien, qui présente
des qualités intellectuelles, claires, logiques et méthodiques.
Descartes est aussi l’auteur de la célèbre citation : « Je pense donc je suis. »
Définition d’un repère orthogonal :
 Un repère orthogonal est formé de deux droites perpendiculaires de même origine.
 L’origine est notée par la lettre O.
 L’axe horizontal est l’axe des abscisses.
 L’axe vertical est l’axe des ordonnées.
Axe des
ordonnées
3
A
2
1
-3
3
-2
-1
0
origine
-1
-2
-3
1
2
Axe des
abscisses
Coordonnées d’un point :
 Chaque point du plan est repéré par un couple de nombres relatifs appelés coordonnées du point dans le
repère.
 Les coordonnées du point dans ce repère sont notées de la manière suivante : (Abscisse ; Ordonnée)
Remarque :
Attention ! Les coordonnées (-2,4) et (4,-2) ne représentent pas les même points.
5)
Additionner des nombres relatifs
C’est plus souvent au mathématicien indien Brahmagupta (598 ; 660) que l’on attribue la découverte des
« nombres » négatifs. Sans justification, il donne des règles de calcul permettant d’expliquer des débits dans les
comptes pour le besoin du commerce (vente, dettes, …) :
« Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette. »
L’introduction des quantités négatives en occident est cependant difficile.
Au XVIIe siècle encore, Lazare Carnot (ingénieur et mathématicien français) niait l’existence des nombres
négatifs : « Pour obtenir un nombre négatif, il faudrait ôter quelque chose à rien. »
Règle :
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
On garde le signe commun et on additionne les parties numériques.
Remarque :
« + » : puis
Exemples :
(-5) + (-2) = -7
(+3) + (+2,7) = + 5,7
Règle :
Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents :
On repère celui qui a la plus grande partie numérique et on garde son signe
Puis on soustrait : (plus grande partie numérique) – (plus petite partie numérique)
Exemples :
On veut calculer (-7,5) + (5,2)
7,5 > 5,2 donc on choisit le signe de 7,5 soit le signe Ensuite 7,5-5,2 = 2,3
Finalement, (-7,5) + (5,2) = - 2,3
On veut calculer (+11,9) + (-11,9)
Les parties numériques sont égales, on choisit alors
n’importe quel signe et on obtient :
(+11,9) + (-11,9) = + 0 = - 0 = 0
Remarque :
Dans une addition, on peut changer l’ordre des termes sans changer la somme. Cela peut permettre de rendre le
calcul plus facile. On peut regrouper les nombres de même signe ou les nombres opposés.
Exemple :
(-7,1) + (+10,8) + (-4) = (-7,1) + (-4) + (+10,8) = (-11,1) + (10,8) = (-0,3)
(+5,3) + (-87,2) + (-5,13) = (+5,3) + (-5,13) + (-87,2) = 0 + (-87,2) = -87,2
6)
Soustraire des nombres relatifs
Règle :
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
Remarque :
« - » : puis l’opposé de
Exemple :
(-8) – (-13) = (-8) + (+13) = +5
2,3 – 6,7 = 2,3 + (-6,7) = - 4,4
Remarque :
 Dans une soustraction, on ne peut pas changer l’ordre des terme sans changer le résultat.
Par exemple : 6,7 – 2,3 = 4,4, mais 2,3 – 6,7 = -4,4
7)
Distance de deux points d’une droite graduée
Définition :
La distance entre deux points A et B situés sur une droite graduée est égale à :
AB = (plus grande abscisse) – (plus petite abscisse)
Remarque :
Une distance est toujours positive !
Exemple :
Distance AB = ?
L’abscisse de A est –4,5
L’abscisse de B est 3
-4,5 < 3
Donc AB = 3 – (-4,5)
AB = 7,5
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autres distances