geometrie en vrac - ecole d`echecs de bagneux

Pour ceux qui ont des difficultés je mets la solution ci-dessous,
mais cherchez un peu avant d’aller voir !!!!!
GEOMETRIE EN VRAC
Exercice 1 :
A
B
C
[AC] est un arbre dont on veut mesurer la hauteur, BCA est un triangle rectangle en C.
Son ombre [BC] mesure 3 mètres. L’angle CBA mesure 60°.
Quel est la hauteur de l’arbre ?
Exercice 2 :
Soit ABC un triangle équilatéral de 21 m de côté. On suppose que ce triangle représente un abreuvoir au milieu
d’un champ. Une chèvre est attachée en A par une corde de 30 mètres.
Calculer l’aire de la surface qu’elle peut brouter.
Exercice 3 :
Les aires des faces d’un parallélépipède rectangle sont 20 cm², 12 cm², 15 cm². Quel est son volume ?
Exercice 4 :
a, b et h étant trois nombres positifs avec a > b, on considère le trapèze ABCD rectangle en A et B tel que :
AB = h BC = b AD = a
On appelle E le point d’intersection de (DC) et (AB).
Calculer l’aire du triangle BEC.
Exercice 5 :
On dispose d’une feuille de papier de 21 x 30 cm. (C’est presque une feuille normale !)
On veut construire un cylindre (non fermé) en la roulant…
de manière à obtenir le volume le plus grand (si on fermait le cylindre aux deux extrémités).
Essayez de faire une estimation a vue : quel est le plus grand ? de beaucoup ?
Calculez les deux volumes possibles.
Exercice 6 :
Soit ABC un triangle quelconque et D un point du segment [AB]. La parallèle à (CB) issue de D coupe la
parallèle à (AB) issue de C en un point H la droite (DH) coupe (CA) en E et la droite (BH) coupe (CA) en M.
1) montrer que les triangles MBC et MEH sont semblables
2) montrer que les triangles MAB et MCH sont semblables
3) déduire des questions précédentes que: MC ² = ME x MA
Exercice 7 :
Un exercice moins facile qu’il n’y semble…
Construire (règle et compas) un trapèze dont les bases mesurent 3 et 10 cm, et les autres côtés 5 et 6 cm.
Justifiez soigneusement.
Exercice 8 :
Soit un cercle C de centre O et de rayon 4 cm.
Les enfants de CM2 savent placer, à l'aide du compas seul, les sommets d'un hexagone régulier ABCDEF inscrit
dans ce cercle.
1. Donnez le programme d'une telle construction et réalisez-la.
L'objet du problème qui suit est de démontrer quelques propriétés géométriques liées à cette configuration.
2. Démontrer que la droite (AC) est la médiatrice du segment [BO] et que la droite (BO) est la médiatrice du
segment [AC].
3. Démontrer que les points A et D sont diamétralement opposés.
4. Quelle est la nature du quadrilatère ACDF ? Justifier la réponse.
5. Calculez l'aire de ce quadrilatère.
Les droites (AC) et (BF) se coupent en I.
6. Démontrez que A et B sont symétriques par rapport à la droite (OI).
7. Démontrez que C et F sont symétriques par rapport à la droite (OI).
8. En déduire que (OI) est un axe de symétrie du quadrilatère ABCF. Quelle est sa nature ?
Exercice 9 :
Soit ABC le triangle tel que en cm: AB = 8,5 BC = 5 AC = 10,5
Soit h la longueur de la hauteur [BH]. On posera x = HC.
1. Calculer x
2. Calculer h
3. En déduire l’aire du triangle ABC
Exercice 10 :
Soit ABCD un parallélogramme tel que en cm : AB = DC = 10
sépare les droites (AB) et (DC) soit égale à 4 cm.
Calculer la distance qui sépare les droites (AD) et (BC).
AD = BC = 8
Exercice 11 :
Construire un triangle dont les angles sont proportionnels à 3, 4 et 5.
et tel que la distance qui
Exercice 1 :
L’angle BAC (complémentaire de l’angle ABC) vaut 30°.
ABC est un demi triangle équilatéral de côté 6 mètres, et de hauteur AC (il suffit de construire B’ symétrique de
B par rapport à C, pour avoir un triangle qui possède trois angles de 60° et donc est équilatéral).
On sait que dans un triangle équilatéral h = c
Ici AC = 6 x
3 /2
3 / 2 = 3 3 mètres
Exercice 2 :
S’il n’y avait pas d’abreuvoir la Chèvre pourrait brouter toute l’herbe du disque de centre A et de rayon 30 :
 R² soit ici : 900 
L’angle d’un triangle équilatéral étant de 60°, elle ne peut en fait en brouter que les 300/360 : 750 
Ensuite sa laisse longe le côté [AB], et peut pivoter autour de B !
Elle peut alors brouter l’herbe des 120/360 d’un disque de centre B et de rayon 30-21=9 soit 27 
Elle peut faire la même chose autour de C.
Il faut toutefois vérifier que ces deux derniers cercles ne se coupent pas (une partie de l’herbe serait comptée
deux fois !) : c’est le cas puisque la distance des centres BC (21) est supérieure à la somme des rayons (9+9).
Elle pourra brouter 804  m².
Exercice 3 :
Si on appelle a, b et c les longueurs de ses arêtes : ab = 20 bc = 12 ac = 15
Des 2 premières équations on déduit : a = 20 / b et c = 12 / b en reportant dans la troisième : 20/b x 12/b = 15
D’où b² = 16 ====> b = 4 a = 5 c = 3
Le volume de ce parallélépipède est : 3 x 4 x 5 = 60 cm3
Exercice 4 :
Soit x la mesure BE. ABCD étant un trapèze, (BC) est parallèle à (AD).
Les triangles AED et BCE sont homothétiques, d’où : EB / EA = BC / AD (Thalès)
x / x+h = b / a ===> a x = b x + b h ===> x = b h / (a – b)
L’aire du triangle rectangle BEC est donc: b² h / 2( a – b)
Exercice 5 :
1er cas : le disque de base fait 21 cm de périmètre, soit r son rayon
2  r = 21 ===> r = 21 / 2  ===> aire =  ( 21 / 2  )²
d’où le volume en cm3 : V =  ( 21 / 2  )² x 30 = 6615 / 2   1053 cm3
2èm cas : le disque de base fait 30 cm de périmètre, soit r son rayon
2  r = 30 ===> r = 15 /  ===> aire =  ( 15 /  )²
d’où le volume en cm3 : V =  ( 15 /  )² x 21 = 4725 /   1504 cm3
près de 50% de plus !!!
Exercice 6 :
1) les angles BMC et EMH (je vous laisse mettre les chapeaux !) sont égaux (opposés par le sommet)
les angles EHM et MBC sont égaux (alternes-internes)
donc les triangles MBC et MEH ayant une paire d’angles deux à deux égaux sont semblables
2) les angles AMB et CMH sont égaux (opposés par le sommet)
les angles BAM et MCH sont égaux (alternes-internes)
donc les triangles MAB et MCH ayant une paire d’angles deux à deux égaux sont semblables
3) MBC et MEH semblables ===> MB/MH = MC/ME
MAB et MCH semblables ===> MA/MC = MB/MH
on en déduit : MC/ME = MA/MC d’où : MC² = ME x MA
Exercice 7 :
Analyse : comme toujours (voir cours) il faut penser à tracer une parallèle pour décomposer le trapèze en un
triangle et un parallélogramme, deux figures que l’on sait construire ! par exemple (DK) // (CB)
D’où la construction : soit [AB] tel que AB =10, et un point K sur [AB] tel que AK= 7 KB = 3
les cercles C(A,5) et C(K,6) se coupent car 6-5<7<5+6 soit D l’un des points d’intersection
les cercles C(D, KB) et C(B,KD) se coupent car |KB-KD|<BD<KB+KD (inégalité triangulaire dans BKD)
soit C leur point d’intersection situé dans le demi plan délimité par (BD) qui ne contient pas K
et le « petit joint qui termine toute soirée branchée » ( ;-)) : tracer le quadrilatère ABCD.
Justification : par construction des cercles BC = KD = 6 et DC = KB = 3
le quadrilatère KBCD convexe ayant des côtés isométriques 2 à 2 est un parallélogramme
ce qui entraîne (DC)//(AB) et donc que ABCD est un trapèze. Il ne reste qu’à vérifier les mesures des côtés.
Exercice 8 :
1) Voir cours, on l’a fait plusieurs fois (on reporte le rayon du cercle sur le cercle).
2) par construction 4 = AB = BC = OA = OC le quadrilatère ABCO ayant 4 côtés isométriques est un losange,
ces diagonales sont médiatrices l’une de l’autre : (AC) médiatrice de [OB], et (OB) médiatrice de [ A C]
3) les triangles OAB, OBC, etc sont équilatéraux les angles AOB, BOC, … (mettre les chapeaux !) valent 60°
l’angle AOD = 3 x 60 = 180 ° [AD] est un diamètre
4) d’après ce qui précède [AD] et de même [FC] sont des diamètres
un angle inscrit qui intercepte un diamètre est droit
les quatre angles du quadrilatère ACDF sont droits, c’est un rectangle (3 angles droits suffisaient)
5) Pythagore dans le triangle ACD rectangle en C donne : 8 ² = 4 ² + AC ² d’où AC = 4
aire du rectangle : 4 x 4
3
3 = 16 3 cm ²
6) d’après la question 2 : (AC) est médiatrice de [OB], de même (BF) est médiatrice de [OA]
on en déduit que I est l’intersection de deux médiatrices du triangle AOB
(OI) est la troisième médiatrice de ce triangle c’est à dire la médiatrice de [AB]
A et B sont bien symétriques par rapport à (OI)
7) d’après la question 2 : ABCO est un losange, ce qui fait que (AB) et (OC) sont parallèles.
(OI) médiatrice de [AB] est perpendiculaire à (AB), et donc à (OC) (quand 2 droites sont // tte perp à l’une…)
(OI) est perpendiculaire à [FC] en son milieu O, c’est la médiatrice de [FC]
C et F sont bien symétriques par rapport à (OI)
8) dans la symétrie par rapport à (OI) :
A => B B => A C => F F => C donc ABCF => BAFC BAFC et ABCF étant confondus
(OI) est axe de symétrie de cette figue
on a démontré (AB) // (FC) et AF=BC=4, ABCF est un trapèze isocèle
Exercice 9 :
1) BHC rectangle en H, Pythagore : x² + h² = 25
BHA rectangle en H, Pythagore : (10,5 – x)² + h² = 8,5²
soit : 110,25 – 21 x + x² + h² = 72,25
en remplaçant x² + h² par 25 on trouve x = 3 cm
2) en reportant dans la première équation 3² + h² = 25 h = 4 cm
3) A = 1/2 4 x 10,5 = 21 cm²
Exercice 10:
Il suffit de calculer l’aire du parallélogramme de eux façons différentes.
Soit d la distance cherchée :
A = 10 x 4 = 8 x d
on en déduit d = 40 / 8 = 5 cm
Exercice 11 :
Soient a b c les valeurs des trois angles du triangle.
On sait que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.
a / 3 = b / 4 = c / 5 = a + b + c / 3 + 4 + 5 = 180 / 12 = 15
(On peut aussi faire un tableau de proportionnalité).
Le triangle doit donc avoir des angles de 60°, 45°, et 75°.
Sans autre contrainte il y en a une infinité.
Pour la construction ce des angles à la règle et au compas voir cours !