choc entre wagons (capes 1974)
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PROBLEMES DE CHOCS (D’après une ancienne épreuve au CAPES) CHOC DIRECT ET ELASTIQUE ENTRE DEUX WAGONS Les deux wagons W1 et W2 ont pour masses respectives m1 et m2 et leurs centres de masse sont G1 et G2. Ils se déplacent sur des rails rectilignes horizontaux. On suppose qu’ils glissent sans frottements sur les rails. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Les vitesses et les déplacements sont des grandeurs algébriques mesurées à l’aide d’un axe Ox parallèle aux rails. Chaque wagon possède des tampons qui sont assimilables à des ressorts. On désigne par d la distance G1G2 lorsque les tampons sont en contact sans que les ressorts ne soient comprimés. Mais si les wagons sont plus rapprochés G1G2=d-tout se passe comme si on avait entre les deux wagons un ressort unique de raideur k soumis à la force de compression F=k Le wagon W1 a la vitesse V>0 et le wagon W2 est immobile. Déterminer après le choc supposé parfaitement élastique les vitesses v1 du wagon W1 et v2 du wagon W2. Discuter en supposant en supposant m1 et V donnés et en faisant varier m2. A.N. m1=10 tonnes, V=4m/s. Valeur minimale de m2=2 tonnes. Quelle doit être la valeur de m2 pour que v1 et v2 soient égaux en valeur absolue ? On se propose à présent d’étudier le choc ci-dessus. A la date t=0 les tampons arrivent au contact. L’abscisse à t=0 de G1 est 0 et celle de G2 est d. La vitesse de G1 est V et celle de G2 nulle. A une date ultérieure x2-x1=d- Ecrire pour chaque wagon la deuxième loi de Newton et en déduire l’équation différentielle relative au paramètre (On doit introduire la masse réduite m1m2 d ² k ) et on doit établir m1 m2 dt ² Donner les expressions en fonction du temps de x1 et x2. Vérifier que l’on retrouve les valeurs des vitesses après le choc. A.N. k=1,25.106N/m Choc de deux particules (mécanique classique) Une particule P1 de masse m1 a un mouvement rectiligne uniforme de vitesse V. La particule P2 de masse m2 est immobile en un point de la droite décrite par P1. Le choc est élastique. Après le choc les vitesses sont v1 pour P1 et v2 pour P2. Après le choc la direction de la vitesse de P1 fait l’angle avec la direction des x, et la direction de la vitesse de P2 après le choc fait l’angle avec l’axe des x. 1) Ecrire les équations que doivent vérifier les vitesses. 2) Est-ce ces équations suffisent pour déterminer les vecteurs vitesses ? Quelles conditions imposent-elles ? 3) On considère le cas où m1=m2=m. Montrer que les vitesses v1 et v2 sont orthogonales. Connaît-on des vérifications expérimentales de cette propriété ? Est-elle vraie quelle que soit la vitesse V ? 4) Soit G le barycentre de P1 et P2. Déterminer la vitesse vG de G. 5) On se place dans le référentiel barycentrique. Quels sont les mouvements de P1 et P2 avant le choc ? Montrer que le choc modifie la direction et non les modules des vitesses. On désignera dans ce référentiel les vitesses par w1 et w2 avant le choc et par w’1 et w’2 après le choc. 6) Les deux particules ont même masse m. Dans le référentiel barycentrique le choc fait tourner de l’angle (w1,w’1). Dans le référentiel du laboratoire les vitesses après le choc font les angles (V,v1) et =(V,v2). Calculer en fonction de V et de les grandeurs v1,v2, et n doit obtenir : V² v12 (1 cos ) 2 V ² v 22 (1 cos ) 2 1 cos sin cos 2 7) Calculer l’énergie cinétique E1 de la particule P1 après le choc en fonction de et de l’énergie cinétique Eo avant le choc. 8) On considère un grand nombre de chocs analogues : seul varie d’un choc à l’autre. On veut calculer l’énergie cinétique moyenne E1m et le rapport E1m/Eo. Pour cela on rappelle que dans le référentiel barycentrique la probabilité d’observer la déviation est d où est l’angle solide défini par le cône de révolution de demi-angle au sommet 9) Un neutron d’énergie cinétique initiale 6MeV est ralenti par des chocs contre des protons jusqu’à devenir un « neutron thermique » d’énergie cinétique (3/2)kT (T=300K). Combien faut-il en moyenne de chocs ? On admettra que les masses du proton et du neutron sont égales.
