choc entre wagons (capes 1974)

PROBLEMES DE CHOCS (D’après une ancienne épreuve au
CAPES)
CHOC DIRECT ET ELASTIQUE ENTRE DEUX WAGONS
Les deux wagons W1 et W2 ont pour masses respectives m1 et m2 et leurs
centres de masse sont G1 et G2. Ils se déplacent sur des rails rectilignes
horizontaux. On suppose qu’ils glissent sans frottements sur les rails. Le
référentiel terrestre est supposé galiléen. Les vitesses et les déplacements
sont des grandeurs algébriques mesurées à l’aide d’un axe Ox parallèle aux
rails. Chaque wagon possède des tampons qui sont assimilables à des
ressorts. On désigne par d la distance G1G2 lorsque les tampons sont en
contact sans que les ressorts ne soient comprimés. Mais si les wagons sont
plus rapprochés G1G2=d-tout se passe comme si on avait entre les deux
wagons un ressort unique de raideur k soumis à la force de compression
F=k
Le wagon W1 a la vitesse V>0 et le wagon W2 est immobile. Déterminer après
le choc supposé parfaitement élastique les vitesses v1 du wagon W1 et v2 du
wagon W2. Discuter en supposant en supposant m1 et V donnés et en
faisant varier m2.
A.N. m1=10 tonnes, V=4m/s. Valeur minimale de m2=2 tonnes. Quelle doit
être la valeur de m2 pour que v1 et v2 soient égaux en valeur absolue ?
On se propose à présent d’étudier le choc ci-dessus. A la date t=0 les
tampons arrivent au contact. L’abscisse à t=0 de G1 est 0 et celle de G2 est d.
La vitesse de G1 est V et celle de G2 nulle. A une date ultérieure x2-x1=d-
Ecrire pour chaque wagon la deuxième loi de Newton et en déduire l’équation
différentielle relative au paramètre 
(On doit introduire la masse réduite
21
21 mm mm
et on doit établir
k
dt
d
²
²
)
Donner les expressions en fonction du temps de x1 et x2. Vérifier que l’on
retrouve les valeurs des vitesses après le choc.
A.N. k=1,25.106N/m
Choc de deux particules (mécanique classique)
Une particule P1 de masse m1 a un mouvement rectiligne uniforme de
vitesse V. La particule P2 de masse m2 est immobile en un point de la droite
décrite par P1. Le choc est élastique. Après le choc les vitesses sont v1 pour
P1 et v2 pour P2. Après le choc la direction de la vitesse de P1 fait l’angle 

avec la direction des x, et la direction de la vitesse de P2 après le choc fait
l’angle  avec l’axe des x.
1) Ecrire les équations que doivent vérifier les vitesses.
2) Est-ce ces équations suffisent pour déterminer les vecteurs vitesses ?
Quelles conditions imposent-elles ?
3) On considère le cas où m1=m2=m. Montrer que les vitesses v1 et v2
sont orthogonales. Connaît-on des vérifications expérimentales de
cette propriété ? Est-elle vraie quelle que soit la vitesse V ?
4) Soit G le barycentre de P1 et P2. Déterminer la vitesse vG de G.
5) On se place dans le référentiel barycentrique. Quels sont les
mouvements de P1 et P2 avant le choc ? Montrer que le choc modifie
la direction et non les modules des vitesses. On désignera dans ce
référentiel les vitesses par w1 et w2 avant le choc et par w’1 et w’2
après le choc.
6) Les deux particules ont même masse m. Dans le référentiel
barycentrique le choc fait tourner de l’angle (w1,w’1).
Dans le référentiel du laboratoire les vitesses après le choc font les
angles (V,v1) et =(V,v2). Calculer en fonction de V et de  les
grandeurs v1,v2, et  n doit obtenir :
2
cos1
cossin
)cos1(
2²
)cos1(
2²
2
2
2
1
V
v
V
v
7) Calculer l’énergie cinétique E1 de la particule P1 après le choc en
fonction de  et de l’énergie cinétique Eo avant le choc.
8) On considère un grand nombre de chocs analogues : seul  varie d’un
choc à l’autre. On veut calculer l’énergie cinétique moyenne E1m et le
rapport E1m/Eo. Pour cela on rappelle que dans le référentiel
barycentrique la probabilité d’observer la déviation  est d où 
est l’angle solide défini par le cône de révolution de demi-angle au
sommet 
9) Un neutron d’énergie cinétique initiale 6MeV est ralenti par des chocs
contre des protons jusqu’à devenir un « neutron thermique » d’énergie
cinétique (3/2)kT (T=300K). Combien faut-il en moyenne de chocs ?
On admettra que les masses du proton et du neutron sont égales.