Rappels Mécanique Quantique-Pre

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Rappels Mécanique Quantique
Mécanique Quantique I
Nous traitons de façon exhaustive l’atome d’hydrogène, sans et avec perturbations
extérieures : champ électrique statique, champ magnétique statique, champ
électromagnétique. L’accent est mis sur l’interaction avec le rayonnement, avec diverses
applications en spectroscopie optique et en résonance magnétique.
Chapitre 1 : Rappels et extension du formalisme de la mécanique quantique ; traitement
quantique de l’atome d’hydrogène, harmoniques sphériques.
Rappels
 Dualité Onde-corpuscule
La dualité onde-corpuscule énoncé par De Broglie pour la matière stipule qu’à une
particule de quantité de mouvement
p
et d’énergie E on associe une onde
monochromatique de pulsation 
E
et de vecteur d’onde
k
p
. En présence
d’interaction entre un système quantique et son environnement, la longueur d’onde de
de Broglie associée à la particule sera fonction de ces interactions (électriques,
magnétiques, nucléaires..). Ces dernières dérivent de fonctions énergie potentielle (
,....,.),(BMEDrqU 
) et le caractère ondulatoire d’un système quantique doit se
manifester lorsque le potentiel varie de façon appréciable sur des distances de l’ordre de
la longueur d’onde.
 Fonction d’onde d’une particule libre
Dans le cas d’une particule libre, l’énergie est E=
m
k
m
p22
222 
et la fonction d’onde qui
décrit le mouvement de la particule est l’onde plane de de Broglie :
( , ) ( . ) (.) r t Ae Ae
i k r t ip r Et
Cependant ceci est une idéalisation au même titre qu’on idéalise l’onde
électromagnétique plane monochromatique. Seule l’onde quasi-monochromatique est a
une réalité physique.
 Cas général
Postulat 1 : L’état quantique d’un système en évolution dans l’espace sous l’action de
contraintes extérieurs (champs de forces électriques, magnétiques, nucléaire) est déterminé
par une fonction d’onde
( , ) r t
complexe, définie en tout point de l’espace où la particule
évolue. La fonction d’onde est continue, dérivable et de carré sommable ; elle appartient à
un espace de Hilbert appelé espace des états du système.
Propriétés de la fonction d’onde
La probabilité de trouver la particule dans un volume élémentaire dv autour d’un
point M repéré par rapport à une origine O par le vecteur
r0
est :
dP r t dv ( , )
0
2

2
On définit la densité de probabilité de présence en
r0
par :
2
0),( tr
dv
dP 
La fonction d’onde doit être de carré sommable car la probabilité de trouver la particule
dans tout l’espace est une grandeur définie :
P r t dv
espace
12 ( , )
Cette relation traduit le fait que la fonction d’onde est normée
 Valeur moyenne d’une grandeur physique
La connaissance de la fonction d’onde d’une particule permet de déterminer la valeur
moyenne d’une grandeur physique (position, impulsion, énergie..) :
Soit G la grandeur physique et
G
l’opérateur associée, la valeur moyenne de G
lorsque le système est décrit par
( , ) r t
est définie par:
G r t G r t dv
espace
*( , ) ( , )
Ceci suppose que la fonction d’onde est normée.
Equation de Schrodinger
Un système quantique, soumis à un champ de force qui dérive de l’énergie V(
r
,t), est
caractérisé par une fonction d’onde
),( tr
qui obéit à l’équation de Schrödinger (équation
du mouvement) :
ttr
itrH   ),( ),(
ˆ
(2)
L’équation de Schrödinger est une équation différentielle du premier ordre en t. Cette
propriété permet de déterminer la fonction d’onde à un instant t1 si la fonction d’onde est
connue à un instant t0.
Le postulat 1 introduite ci-dessus s’énonce dans le cadre du formalisme général :
L’état quantique d’un système physique est caractérisé à un instant donné par un
vecteur d’état appartenant à un espace de Hilbert (E) qui est l’espace des états du
système.
Notation de Dirac
)()(  r
(Espace des fonctions d’onde)
E
(Espace des états)
ketvecteur:
Représentation matricielle

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On considère l’espace des états muni d’une base orthonormée
Ni
i
u,..1
Un vecteur ket
E
est développé sur la base
Ni
i
u,..1
:
i
iiuc
*
i
iicu
Les coefficients sont définis par :
 ii uc
La représentation matricielle du ket
E
est une matrice uni colonne, celle du bra
associé est une matrice uniligne :
N
c
c
c
.
.2
1
**
2
*
1... N
ccc
Le produit scalaire entre deux vecteurs
 et
est :
i
ii
N
Ncb
c
c
c
bb   *
2
1
*
*),.........(
Les règles du calcul matriciel sont appliquées.
 Base à indice continue
Soit une base
continue
u
, la représentation d’un vecteur ket sur cette base est :
duu
Sur un axe horizontal en , on représente le ket par :
u
o0

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Opérateur linéaire
Soit
A
ˆ
un opérateur linéaire, on le représente dans une base à indices discrets par
une matrice carrée :
NN
jjjij
iNijiii
Ni
i
Nji
A
AAu
AAAu
AAAA
u
uuuuu
....
111211
21
Le nombre Aij est défini par le produit scalaire du ket
i
u
par le ket
j
uA
ˆ
.
CouIRuAuA jiij  ˆ
Si la base est à indice continue, la représentation d’un opérateur est effectuée avec
deux axes orthogonaux indicés par et
'
.
Equation aux valeurs propres d’un opérateur
On fait le choix d’une représentation (base) discrète définie par :
Un ensemble de vecteurs kets
Ni
i
u,..1
est une base orthonormée de l’espace des
états si :
ijji uu
: Relation d’orthonormalisation
1
i
iiuu
: Relation de fermeture
Dans cette base un opérateur A est représenté par une matrice carrée de dimension N.
L’équation aux valeurs propres s’écrit :
A
ˆ
Le vecteur propre est représentée sur la base par :
i
iiuc
L’équation aux valeurs propres se ramène à :

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i
iii iiucuAc  
ˆ
Recherche des valeurs propres
Le produit scalaire par
j
u
permet d’avoir :
0)( 
iij
iji cA
On obtient un système de N équations à N inconnues dont les solutions non triviales existent
si :
0)(  IADet
Cette condition permet de déterminer les valeurs propres
i
de l’opérateur.
Oscillateur Harmonique
C’est un système de masse (m) en mouvement selon un axe Ox et soumis à un
potentiel
2
2
1
)( kxxV 
=
2
2
1xm
(classiquement c’est le problème d’une masse
accroché à un ressort de constante de raideur k, la vibration se fait avec une
pulsation propre
m
k
).
Hamiltonien – Opérateurs Création – Annihilation
Hmd
dx kX  
2 2
22
21 2
)(
2
)(
2
mXiP
m
i
A
mXiP
m
i
A
L’expression du Hamiltonien est de la forme :
)
2
1
ˆ
(
ˆ AAH
Relations de commutation
1
ˆ
],[  AA
AAH ˆ ],[