Exercice N°1 : Laser à 4 niveaux

Institut d'Optique
François BALEMBOIS
Examen de Laser 17/12/2009
Examen de Laser
Durée : 3 heures
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Problème : Bilan en puissance d'un laser continu
On s'intéresse à un laser Nd:YVO4 pompé en régime continu soit à 808 nm soit à 914 nm
selon la figure 1, avec un effet laser à 1064 nm. Avec un pompage à 808 nm, le Nd:YVO4 est un
laser à quatre niveaux. Les transitions 0-3, 0-2 et 1-2 sont purement radiatives alors que les
transitions 3-2 et 1-0 sont non radiatives (émission de chaleur).
Sans pompage, seul le niveau 0 est peuplé.
L'objectif de l’exercice est de faire un bilan des puissances émises par le laser considéré
comme une boîte noire.
Figure 1 : schéma simplifié des niveaux mis en jeu dans un laser Nd:YVO 4. A gauche, les longueurs d’onde
et les niveaux. A droite les différents débits ainsi que les densités de populations mis en jeu.
On utilise les grandeurs et les valeurs suivantes :
S : surface des faisceaux (pompe et laser) dans le milieu amplificateur,
w : rayon des faisceaux (S=w2), w=100µm,
d : longueur du milieu amplificateur, d=1cm,
pass: pertes passives de la cavité, pass=0,01,
T : transmission du miroir de sortie, T=0,05,
 : longueur d'onde du laser, =1064 nm,
p : longueur d'onde pour le pompage, p=808 nm ou 914 nm selon le cas,
A : coefficient d'Einstein pour l'émission spontanée, 1/A=100µs,
 : débit du niveau 3 vers le niveau 2 et du niveau 1 vers le niveau 0 (très grand devant tous les
autres débits),
 : section efficace à 1064 nm, =7,6 10-19 cm2,
p : section efficace à la longueur d'onde de pompe (à 808 nm ou à 914 nm),
IP: intensité de pompe (en nombre de photons/s/m2) (à 808 nm ou à 914 nm),
IS: intensité de saturation à 1064 nm,
h : constante de planck (h=6,62 10-34 Js),
n0 : densité d’inversion de population sans effet laser (supposée uniforme dans le milieu),
nseuil : densité d’inversion de population au seuil de l’effet laser (supposée uniforme dans le
milieu),
nt : densité de population totale,
Pabs : puissance de pompe absorbée. Pabs =1W dans les deux cas (808 nm et 914 nm).
On suppose que la puissance de pompe est absorbée uniformément dans le milieu de telle
sorte que les densités de populations ne dépendent pas de la position dans le milieu. Il s’agit d’un
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pompage pour lequel les faisceaux pompe et signal ont exactement la même forme (section
transverse rectangulaire) et sont parfaitement recouverts.
1) Quelle puissance laser maximale peut-on espérer avoir en sortie de l'oscillateur avec un
pompage à 808 nm et à 914 nm?
2) Donner toutes les formes possibles de sortie de la puissance, hors du laser qui est considéré
comme une boîte noire.
3) On rappelle que (TD N°1) la densité d’inversion de population dans le cas d’un système à
quatre niveaux s’écrit (à l’état stationnaire et sous un pompage continu):
avec
et
Donner l’expression de la densité d’inversion de population dans le cas d’un pompage à 914 nm (à
l’état stationnaire et sous un pompage continu). Noter que le système à 3 niveaux qui est
considéré ici est différent du système à 3 niveaux étudié dans le cours.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que p IP <<A à 808 nm et à 914 nm.
4) En absence d’effet laser, chaque photon de pompe absorbé donne un photon spontané à
1064 nm. Montrer que la relation entre n0 et Pabs s’écrit :
n0 
1 P
PAbs
ASd hc
5) Lorsque le laser oscille, que vaut l’inversion de population par rapport à nseuil ?
est valable. La cavité est une cavité linéaire dont
6) On suppose que l’approximation faibles pertes
on néglige les effets d’interférences entre les deux ondes se propageant en sens contraire.
6.1) Rappeller l’expression de l’intensité laser en sortie selon les hypothèses ci-dessus (la
démonstration n’est pas demandée).
Th
6.2) P Abs est la puissance de pompe absorbée nécessaire pour atteindre le seuil (en
watts). Donner son expression.

Pout 
6.3) Montrer que l’expression de la puissance de sortie peut se mettre sous la forme :
T
P
Th
PAbsPAbs


T pass 
6.4) Donner la valeur numérique de

Th
PAbs
pour un pompage à 808 nm et à 914 nm.
6.5) Donner la valeur numérique de Pout pour un pompage à 808 nm et à 914 nm.
7) Donner l’expression de la 
puissance (en W) émise de façon spontanée
oscille.
8) Donner l’expression de la puissance laser (en W)
cavité lorsque le laser oscille.
Ploss
Pspont lorsque le laser
perdue sur les pertes passives de la
9) Donner l’expression de la puissance (en W) Pheat perdue en chaleur dans le milieu à gain.
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10) Evaluer numériquement toutes les sorties du laser considéré comme une boite noire.
Présenter les valeurs dans un tableau. Commenter et comparer les valeurs.
11) Question supplémentaire
On cherche cette fois à avoir la plus grande densité d’inversion de population possible n0. On se
place alors dans le cas inverse des questions précédentes, avec une très forte puissance de
pompe telle que : p IP >>A (à 808 nm et à 914 nm)
11.1) Donner la valeur de n0 dans le cas d’un pompage à 808 nm et dans le cas d’un
pompage à 914 nm.
11.2) Comment expliquer physiquement les différences entre les deux ?
Exercice N°1 : Réalisation d’une inversion de population constante
On s’intéresse à un système à 4 niveaux pompé longitudinalement avec des faisceaux pompe et
signal de même taille et se propageant dans la même direction. Il s’agit d’un milieu solide.
On note, IP0, l’intensité de pompage à l’entrée du milieu.
z est l’axe de propagation des faisceaux. L’origine de l’axe est à l’entrée du milieu.
nt est la densité de population totale dans le milieu.
Les notations sont les mêmes que dans l’exercice N°1.
 est le débit du niveau 3 vers le niveau 2 et du niveau 1 vers le niveau 0 (très grand devant tous
les autres débits).
1) Questions préliminaires
1.1) Démontrer que dans un système à 4 niveaux, la densité d’inversion de population n est
approximativement égale à la densité de population du niveau du haut n2.
dIp
 An0 (z)
1.2) Montrer que dz
.
2) Dans le cas où p I p <<A,
2.1) Donner
 l’évolution de l’intensité de pompage I p (z).
2.2) Donner l’évolution de la densité d’inversion de population n0(z) sans effet laser
2.3) Les questions précédentes montrent que la quantité d’intensité de pompe déposée par

unité de longueur (d I p /dz) varie. Quelle sera la conséquence sur l’évolution le long de z de

l’échauffement dans chaque tranche de milieu coupée perpendiculairement à l’axe de pompage ?
3) Afin de réaliser à la fois une inversion de population uniforme sans effet laser et une répartition
uniforme de
l’échauffement dans le milieu, on impose un gradient de concentration à la population
totale (lors de l’élaboration du milieu) : nt (z).
On cherche la fonction nt(z) en utilisant le fait qu’on veut n0(z)=K (constante).
3.1) Donner nt(z) dans le cas p I p <<A en fonction de IP0 (l’intensité de pompe au début du
milieu)
3.2) On cherche une absorption de 90% sur une longueur d de milieu. Connaissant la
concentration du milieu au début, nt(0), donner le dopage du milieu à la fin nt(d), dans le cas

p I p <<A.
3.3) Donner nt(z) dans le cas général (sans l’hypothèse p I p <<A).

3.4) Lorsque IP0 est très grand, montrer qu’il n’y a pas besoin d’avoir un gradient de
concentration sur nt. A quoi correspond physiquement ce cas ?

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Exercice N°2 : Oscillateur monofréquence avec une cavité très courte
On considère un laser avec une cavité linéaire à deux miroirs dont les coefficients de réflection
sont R1 et R2. La longueur optique de la cavité est L.
La forme spectrale du gain G0() est une courbe en cloche centrée sur la fréquence centrale 0.
Sa largeur totale à mi-hauteur est . Le milieu possède un élargissement inhomogène.
Dans cet exercice, on cherche à donner des tendances et des ordres de grandeurs.
1) En utilisant la condition sur le gain, expliquer graphiquement comment il est possible d’avoir
une oscillation sur 4 modes longitudinaux consécutifs seulement.
2) Si le coefficient de réflexion du miroir M2 diminue, comment évolue le nombre de modes
longitudinaux qui oscillent?
3) Si la longueur de la cavité diminue, comment évolue le nombre de modes longitudinaux qui
oscillent?
4) On donne la largeur à mi-hauteur du gain G0() : =100GHz. Donner un ordre de grandeur
de la longueur optique de la cavité de telle sorte qu’un seul mode puisse osciller.
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