Physique. Concours Blanc I.

¤ MPSI 1 ¤ 2006/2007. Durée : 4h. Calculatrice autorisée.
Physique. Concours Blanc I.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Une grande importance sera attachée à la rigueur, à la clarté des raisonnements et des schémas.
Tous les résultats devront être donnés sous forme littérale.
Tout résultat final non homogène ne pourra donner de points à la question.
Toute valeur numérique demandée devra être accompagnée de son unité correcte.
Exercice 1. Equilibre d’un point matériel.


Le référentiel terrestre  O, e x , e y , e z est supposé galiléen.
Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé sur un cercle fixe de centre O et de rayon r placé
verticalement dans le plan (Oxz). Il est susceptible de glisser sans frottement le long de ce guide circulaire
et est soumis au champ de pesanteur terrestre supposé uniforme. La résistance de l'air est négligeable.
Une force T  kMA tend à attirer l'anneau M vers le point A. Elle se comporte comme une force
de rappel élastique due à un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle, dont l'autre extrémité
serait fixée en A.
Etude dynamique.
1. A partir de la relation fondamentale de la dynamique ou du théorème du moment cinétique,
déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’angle   OM , OB 


2. Déterminer l’expression des angles  ie correspondants aux positions d’équilibre de la masse m.
3. En posant   e   avec   1 et en vous aidant des résultats aux questions 1 et 2, justifier le
caractère stable ou instable des positions d’équilibre.
Etude énergétique.
4. Exprimer l'énergie potentielle Ep de l'anneau en fonction de l’angle .
5. En déduire les positions d'équilibre de l'anneau.
6. Etudier la stabilité de ces positions d’équilibre.
Exercice 2. Etude de différents régimes d'un circuit.
La partie C est totalement indépendante de A et B ; la partie B est pour une grande part indépendante de
A.
A. On considère le circuit ci-dessous composé de deux branches de
même résistance R comportant en outre l'une une bobine idéale
d’inductance L et l'autre un condensateur de capacité C. Elles sont
alimentées par un générateur de tension continue de f.é.m. E et de
résistance interne négligeable.
On pose :  = RC = L/R.
Le condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t =0
l'interrupteur K.
On désignera respectivement par i1 et i2 les intensités dans la branche
contenant la bobine et dans la branche contenant le condensateur.
A.1 Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i1 (t) et tracer l'allure de la courbe
correspondante.
A.2 Déterminer de même le régime transitoire i2 (t) et tracer l'allure de la courbe correspondante.
A.3 A quel instant aura-t-on i1= i2 ?
Application numérique L = 1,0 H ; C = 1,0 F ; R = 1,0.103 
B. On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur.
K étant fermé, le régime permanent est établi. A un instant que l'on choisira comme nouvelle origine des
temps, on ouvre l'interrupteur K.
B.1 Etablir les équations différentielles du second ordre relatif à la charge q du condensateur d'une
part, à l'intensité i du courant d'autre part.
B.2 Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i.
B.3 En déduire en fonction du temps l'expression, en régime transitoire, de la charge q(t). On
discutera des différents cas possibles suivant les valeurs de R, L et C mais on ne cherchera pas à
déterminer les constantes d'intégration. Donner, dans chaque cas, l'allure de la courbe q(t).
B.4 Application numérique L = 1,0 H ; C = 1,0 F ; R = 1,0.103  ; E = 10 V.
Déterminer complètement q(t).
C. On considère toujours le même circuit, mais le générateur est remplacé par un générateur de tension
alternative de f.é.m e = Emcost dont la résistance interne est toujours négligeable. Le condensateur étant
déchargé, on ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0. On ne considérera plus maintenant que le régime
sinusoïdal forcé.
C.1 Déterminer l'expression de l'amplitude Im1 et du déphasage 1 du courant i1(t) par rapport à la
tension e(t).
C.2 Déterminer l'expression de l'amplitude Im2 et du déphasage 2 du courant i2(t) par rapport à la
tension e(t).
C.3 Quelle relation doit-on avoir entre R, L et C pour que i2 soit en quadrature avance par à i1 et
cela quelle que soit la fréquence ?
C.4 La condition établie en C.3 étant réalisée, déterminer quelle est la valeur de l'amplitude Vm de
la tension VA-VB (voir schéma).
Dépend-elle de la fréquence ?
Exercice 3. Etude d’un montage réjecteur.
On considère le montage suivant :
1.
2.
Montrer que la fonction de transfert du montage s’écrit en fonction de x = RC :
s
1
H 
. On utilisera pour cela le théorème de Millman aux points A, B et S.
e 1  4 jx
1  x2
Déterminer l’expression du gain en décibel GdB.
Déterminer le comportement asymptotique de GdB. On posera X = log x.
3. Déterminer les limites de la bande de réjection. La bande réjection est constituée de l’ensemble
H
~
des fréquences pour les quelles on a : H ( jx)  max .
2
4. Tracer la courbe de réponse en gain en fonction de X = 20 log x. On fera un schéma soigné en
précisant des valeurs remarquables.
5. Etudier les variations de l'argument de la fonction de transfert en fonction de X = 20 log x.
Tracer la courbe de réponse en phase.
Exercice IV. Microscope optique.
Un microscope optique porte les indications suivantes. Sur son objectif : x40 ; sur l'oculaire : x10. La
notice constructeur précise : ouverture numérique de l'objectif o = 0,65, intervalle optique  = 16 cm. La
signification de ces indications sera précisée dans la suite. Le microscope sera modélisé par deux lentilles
minces convergentes. Il est réglé pour donner une image à l'infini d'un objet réel AB, perpendiculaire à
l'axe optique, A étant placé sur l'axe, légèrement en avant du foyer objet de l'objectif. Cette image est
observée par un oeil emmétrope (qui voit l’image finale sans accommodation si elle se situe à l’infini)
placé au voisinage du foyer image de l'oculaire. L'oeil nu voit nettement des objets situés entre la distance
L1 ( objectif )
L2 ( oculaire )
 A ' 
A '' .
min = 25 cm et l'infini. On note d’une manière générale : A 
1. Faire un schéma du dispositif (sans respecter l'échelle) et tracer soigneusement la marche de 2
rayons lumineux issus du point B de l'objet AB, l'un émis parallèlement à l'axe optique, l'autre
passant par F1 foyer objet de la lentille L1 équivalente à l'objectif de centre optique O1.
2. L'indication portée sur l'oculaire (x10) est le grossissement commercial Goc , c'est-à-dire le
rapport de l'angle sous lequel on voit l'image à l'infini d'un objet à travers l'oculaire seul et
l'angle sous lequel on voit ce même objet à l'oeil nu lorsqu'il est situé à la distance minimale de
vision distincte . Déterminer f 2' , distance focale image de l'oculaire.
3. L'intervalle optique correspond à la distance F1' F2 . La valeur absolue  du grandissement de
l'objet AB par l'objectif est: x40. Calculer f1' , distance focale image de la lentille équivalente à
l'objectif. Calculer la distance O1A permettant de positionner l'objet.
4. Déterminer la latitude de mise au point l, c'est-à-dire la variation de la distance O1A compatible
avec une vision nette de l'image finale par l'observateur, dont l'oeil est au foyer image de
l'oculaire. On donnera dans cette question le résultat littéral en fonction de f1' , f 2' , min, et
Faire l’application numérique et interpréter le résultat obtenu.
5. Calculer dans le cas d'une image finale à l'infini le grossissement commercial du
microscope Gm .