Révision_sur_les_fonctions

Révision sur les fonctions : diverses méthodes pour réussir
On considère une fonction f donnée.
Voici différentes procédures à suivre sur certaines questions.
I) La résolution graphique
La courbe représentant f est donnée. On l’appelle Cf.
Exemple :
y
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x
-1
-2
-3
-4
-5
1°) Image d’un nombre x par f
On regarde sur l’axe des ordonnées le nombre y qui correspond.
Exemple : « l’image de – 2 par f est 1 » ou encore « f ( - 2) = 1 »
2°) Antécédent(s) d’un nombre k par f
On trace la droite d’équation y = k.
Si cette droite ne coupe pas Cf, on dit que k n’a pas d’antécédent par f.
Ex : 3 n’a pas d’antécédent par f.
Sinon, on regarde les points d’intersection de cette droite avec Cf et on lit l’abscisse de ces points. Ce
sont les antécédents de k par f.
Rq : « chercher les antécédents de k par f » et « résoudre f (x) = k », c’est la même chose.
3°) Maximum de f
On regarde si la courbe « atteint un maximum ».
On lit alors ce maximum sur l’axe des ordonnées.
Ex : ici le maximum de la fonction f est 2.
4°) Minimum de f
On regarde si la courbe « atteint un minimum ».
On lit alors ce minimum sur l’axe des ordonnées.
Ex : ici le minimum de la fonction f est - 4.
5°) Ensemble de définition de f
Il suffit de regarder l’ensemble des points qui ont une image (le plus souvent il suffit de regarder les
extrémités de la courbe)
Ex : ici l’ensemble de définition de f est Df = [- 4; 5]
6°) Tableau de variation
On fait surtout attention à ne pas confondre ce qu’on lit en abscisse et ce qu’on lit en ordonnée.
x
-4
-2
1
0
2
2
4
5
-2
lu en abscisse
lu en ordonnée
f(x)
-2
-1
-4
7°) Résoudre f (x) < k ou f (x) ≤ k
On trace la droite d’équation y = k et on regarde l’ensemble des points de Cf qui sont en dessous de la
droite. On regarde alors les abscisses de ces points. C’est l’ensemble solution.
« Si on a < », on exclut les solutions de f (x) = k.
« Si on a ≤ », on inclut ces solutions.
Ex : f (x) ≤ 0 pour x  [- 4 ; - 3]  [- 1 ; 1]  [3 ; 5]
Et f (x) < 0 pour x  [- 4 ; - 3[  ]- 1 ; 1[  ]3 ; 5]
8°) Résoudre f (x) > k ou f (x) ≥ k
On trace la droite d’équation y = k et on regarde l’ensemble des points de Cf qui sont au dessus de la
droite. On regarde alors les abscisses de ces points. C’est l’ensemble solution.
« Si on a > », on exclut les solutions de f (x) = k.
« Si on a ≥ », on inclut ces solutions.
Ex : f (x) > 1 pour x  ]1,5 ; 2,5[ et f (x) ≥ 1 pour x  [1,5 ; 2,5]  {-2}
9°) Résoudre f (x) = g (x)
Les courbes représentant f et g étant données, on regarde les points d’intersection de leurs courbes
représentatives et on lit l’abscisse de ces points. Ce sont les solutions de l’équation.
10°) Résoudre f (x) > g (x) ou f (x) ≥ g (x)
Les courbes représentant f et g étant données, on regarde l’ensemble sur lequel la courbe
représentative de f est au dessus de celle de g. On lit les abscisses de ces points. C’est l’ensemble
solution.
« Si on a > », on exclut les solutions de f (x) = g (x).
« Si on a ≥ », on inclut ces solutions.
II) La résolution par le calcul
On connaît l’expression de f.
Exemple : f (x) = x2 +3x – 2
1°) Image d’un nombre x0 par f
Il suffit d’attribuer à de remplacer x par le nombre x0 dans l’expression de f et de calculer.
Exemple : image de 2 par f.
On écrit f (2) = 22 + 3×2 – 2 = 8.
L’image de 2 par f est 8.
2°) Antécédent(s) d’un nombre y0 par f
Il suffit de résoudre l’équation f (x) = y0.
Exemple : antécédent(s) de – 2 par f.
On résout l’équation f (x) = – 2 c’est-à-dire x2 + 3x – 2 = – 2
Ce qui devient x2 + 3x = 0 , puis en factorisant x(x + 3) = 0.
Et on obtient alors l’ensemble solution S = { - 3 ; 0 }
3°) Le point M de coordonnées (x0 , y0) appartient-il à la courbe représentative de f ?
Il suffit de vérifier si on a f (x0) = y0.
Si cette relation est vérifiée, alors le point M est sur la courbe représentative de f.
Ex : A(1 , 2) et B(0 , 1)
f (1) = 12 + 3×1 – 2 = 2.
f (1) = 2 donc A appartient à la courbe représentative de f.
f (0) = 02 + 3×0 – 2 = – 2.
f (0) = – 2 donc f(0) ≠ 1 donc B n’appartient pas à la courbe représentative de f.