Influence d’une charge électrique ponctuelle sur la surface plane d’un métal 1) Champ créé par un plan uniformément chargé On considère une surface plane de très grandes dimensions, uniformément chargée, avec la densité surfacique de charge 0, et un point M0 situé sur l’axe z’Oz normal à ce plan à la cote z0 > 0. Le point O est sur la surface chargée. a) En utilisant le théorème de Gauss et après avoir précisé les symétries et invariances, exprimer 0 le champ électrostatique E en M0 avec 0, 0 et le z z . M0 O (0) vecteur unitaire u de l’axe z’Oz. z’ b) En déduire le champ électrostatique E'0 au point M’0 de cote –z0 et la discontinuité du champ E0 – E'0 à la traversée de la surface chargée dans le sens de u z . On rappelle que ce dernier résultat reste valable pour toute forme de la surface chargée et si la densité surfacique de charge n’est pas uniforme. 2) Champ créé par un conducteur en équilibre électrique a) Un conducteur est en équilibre électrique si les charges qu’il contient ne sont soumises à aucune force électrique. Que peut-on en déduire pour le champ électrostatique à l’intérieur du conducteur en équilibre ? Que peut-on en déduire pour le potentiel électrostatique à l’intérieur de ce conducteur ? b) On considère un conducteur compris entre deux surfaces planes de grandes dimensions, de cotes 0 et –H portant chacune une densité de charge 0. Exprimer, avec 0 et u z , le champ électrostatique en un point M de cote z pour z > 0, puis pour 0 > z > –H, puis pour z < –H. Le conducteur est-il en équilibre électrique ? c) Le conducteur est au potentiel électrostatique V1. Exprimer, avec V1, 0 et 0, en fonction de z, le potentiel électrostatique en M pour z > 0, puis pour z < –H. 3) Influence d’une charge électrique ponctuelle sur la répartition de la charge d’un conducteur Une charge ponctuelle q0 > 0 z est maintenant placée en M0 de cote z0 > 0, au dessus du conducteur précédent qui est maintenant relié à q0 M 0 une prise de terre (son potentiel est O V = 0). La hauteur H du conducteur, comme ses autres dimensions sont considérées comme infiniment conducteur grandes par rapport à la distance z0. Sous l’influence de la charge q0, la surface (z = 0) du conducteur se charge électriquement. Il apparaît à l’équilibre électrique une densité z’ surfacique de charge non uniforme sur la surface . Un point quelconque sera repéré par ses coordonnées cylindriques r, et z. On note P un point de , repéré par r, et z = 0, et P’ un point infiniment voisin de P, situé à l’extérieur du conducteur, aux mêmes coordonnées r et que P, mais à la cote z avec z << z0. . z M0 y r x a) b) z u P’ u P ur Quel est le signe de ? D’où sont venues les charges accumulées sur ? Quel est le champ électrostatique à l’intérieur du conducteur en équilibre électrique ? Exprimer avec , 0 et u z , le champ électrostatique total E au point P’ (on utilisera la discontinuité du champ). c) Au point P’, le champ E peut être décomposé en E 0 créé par la charge q0, E1 créé par un petit disque, de rayon très grand devant z mais très petit devant z0, découpé sur autour de P et E 2 créé par le reste de la surface . Exprimer E 0 avec q0, 0, M0P et M 0 P , puis avec q0, 0, M0P, z0, r et les vecteurs unitaires u r et u z . d) Exprimer E1 avec , 0 et u z puis montrer que E 2 est radial, c'est-à-dire de la forme E 2 E 2 r u r e) Déduire des résultats précédents l’expression de avec q0, z0 et M0P, puis avec q0, z0 et l’angle formé par M0P et zOz’. f) Calculer la charge électrique totale de la surface , (on utilisera la variable pour faciliter l'intégration). 4) Équivalence de la répartition de charge précédente avec un dipôle Le champ créé par le plan chargé sous l'influence de la charge q0 est identique, au dessus du conducteur, à celui que créerait une charge –q0 placée en M'0 symétrique de M0 par rapport à la surface . On vérifiera ici quelques conséquences de cette identité aux questions b), c) et d) et on l'admettra pour la suite. a) Au point P' défini précédemment, exprimer le champ total E1 + E 2 créé par la surface , avec q0, 0, r, z0, , u r et u z . b) Exprimer le champ E ' 0 que créerait en ce même point P' la charge –q0 placée en M'0 et constater son identité avec le résultat précédent. c) Exprimer le champ E' créé par la surface chargée au point M0 et constater son identité avec le champ que créerait en M0 la charge –q0 placée en M'0. d) Exprimer le potentiel électrostatique V' créé par la surface chargée en M0 et vérifier son identité avec le potentiel que créerait en M0 la charge –q0 placée en M'0. e) Exprimer avec q0, z0 et 0 l'énergie potentielle U0 d'interaction électrostatique entre la surface et la charge q0. f) Exprimer le moment dipolaire µ de la distribution de charge formée par les charges ponctuelles q0 et –q0, avec z0, q0 et u z . g) En un point M situé loin au dessus de la surface du conducteur, aux coordonnées sphériques r, et (avec r >> z0), exprimer (sans démonstration), avec q0, 0, r et , le potentiel électrostatique et en déduire les coordonnées Er, E et E du champ créé par la charge ponctuelle q0 et la surface chargée du conducteur. z M M0 θ r y O φ M’0 x