Mathématiques Discrètes 2

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Mathématiques Discrètes 2
ESIAL 1ere année
Rappels de cours et méthodes pratiques
Tony Bourdier alias GlanDyL
Version 3.0−décembre 2005
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ESIAL −Mathématiques Discrètes 2 −Version 3.0−Bourdier Tony alias GlanDyL c 2005

TABLE DES MATIÈRES 2
Table des matières
I Préambule 4
II Logique des propositions 5
I Rappels & définitions 5
I.1 Définitionsyntaxique................................. 5
I.2 Sémantique d’une formule du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . 5
I.3 Systèmes formels, déduction syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3.1 Systèmesformels............................... 6
I.3.2 Utilisation des systèmes formels en logique . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II La Méthode de Résolution 7
II.1 Clauses, forme clausale d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.2 Méthodederésolution ................................ 7
III Méthodes pratiques 8
III.1 Montrer qu’une formule est une tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.1.1 Algorithme de mise sous forme clausale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.1.2 Exemple.................................... 9
III Calcul des prédicats du premier ordre 11
IV Rappels & définitions 11
IV.1 Introduction à la GlanDyL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.1.1 Langage du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.1.2 Termes..................................... 11
IV.1.3 Atomes..................................... 12
IV.1.4 Liberté..................................... 12
IV.1.5 Formulepolie................................. 13
IV.2Procéduresdebase .................................. 13
V Interpretation et sémantique des formules d’un langage L13
V.1 Définition d’une interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
V.2 Caspratiqueetexemple ............................... 14
V.3 Modèled’uneformule ................................ 15
VI Vers les méthodes de déduction syntaxique 15
VI.1 Système formel de déduction en logique du premier ordre . . . . . . . . . . . 15
VI.2 Transformation de Skolem - Skolemisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
VI.2.1Formesprénexes ............................... 16
VI.2.2Skolémisation................................. 17
VI.3Laméthodederésolution .............................. 17
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TABLE DES MATIÈRES 3
VIIMéthodes pratiques 18
VII.1 Montrer qu’une formule est ou non un théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
VII.1.1Méthodegénérale............................... 18
IV Compléments sur les langages algébriques, analyse syntaxique 20
VIIIRappels et notations 20
IX Réduction des grammaires algébriques 20
IX.1 Réduites inférieures et supérieures d’une grammaire algébrique . . . . . . . . 20
IX.1.1 Algorithme de la réduction supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
IX.1.2 Algorithme de la réduction inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
X Analyse syntaxique 21
X.1 A quoi sert l’analyse syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
X.1.1 Automateàpile................................ 21
X.1.2 Les arbres syntaxiques et leur représentation postfixée . . . . . . . . . 22
X.1.3 Principes de l’analyse syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
X.2 Méthodes descendantes d’analyse syntaxique (indeterministes) . . . . . . . . 23
X.2.1 Première version indeterministe de l’algorithme d’analyse syntaxique 23
X.2.2 Seconde version indeterministe avec factorisation des choix . . . . . . 25
X.2.3 Méthodes descendantes avec réduction de l’indeterminisme . . . . . . 27
X.2.4 Cas des grammaire avec ∧.......................... 29
X.2.5 Dérécursivation à gauche d’une grammaire algébrique . . . . . . . . . 29
X.2.6 Les langages LL(1) et LL(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
X.3 Méthodes ascendantes d’analyse syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
X.3.1 Version indéterministe de l’algorithme ascendant d’analyse syntaxique 31
X.3.2 Principe des méthodes utilisant des automates . . . . . . . . . . . . . . 32
X.3.3 Méthodes de réduction de l’indeterminisme . . . . . . . . . . . . . . . 33
X.3.4 LaméthodeSLR(1).............................. 33
X.3.5 LaméthodeLR(1)............................... 36
X.3.6 LaméthodeLALR(1)............................. 38
V Remarques d’ordre général sur ce poly 39
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Première partie
Préambule
Ce document a été écrit dans le but de faciliter les révisions des étudiants en Mathéma-
tiques Discrètes et d’apporter quelques explications supplémentaires sur certains points. Il
a été très largement "pompé" sur l’ouvrage de Pierre Marchand (Mathématiques Discrètes -
Dunod) et n’a pas la prétention d’en dispenser la lecture.
Je tiens à remercier Pierre Marchand pour les corrections qu’il a apportées à la précédente
version de ce document et pour l’indulgence dont il a fait preuve lors de cet exercice ;)
Enfin, je suis ouvert à toutes suggestions concernant ce poly et suis prêt à répondre à
toutes les questions que le lecteur sera amené à se poser au cours de sa lecture.
ESIALement,
Tony Bourdier alias GlanDyL
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I RAPPELS & DÉFINITIONS 5
Deuxième partie
Logique des propositions
I Rappels & définitions
I.1 Définition syntaxique
Définition : Soit P un ensemble quelconque, on appelle formule du calcul des propositions
sur P et l’on note Prop(P) l’ensemble des mots engendrés par la grammaire suivante :
Y→V|F|a| ¬Y| ⇒ YY où a est un élément quelconque de P
I.2 Sémantique d’une formule du calcul des propositions
Définition : Soit δ:P→ {0,1}une application qui donne à chaque variable propositionnelle
une valeur de vérité (0 ou 1). On dit que δest une valuation des variables propositionnelles
de P. Pour tout αde Prop(P), on appelle valeur de la sémantique de αsur la valuation δet l’on
note [α](δ) la valeur obtenue en remplaçant dans αchaque symbole par son interprétation.
Pour simplifier les notations, on écrit δ(α) à la place de [α](δ)
Remarque : αest donc une écriture et δ(α) est sa sémantique.
Définition : Soit αune formule du calcul des propositions
(1) on dit que δ:P→ {0,1}est un modèle de αssi [α](δ)=1
(2) on dit que αest une tautologie ssi tout δ:P→ {0,1}est un modèle de α
(3) on dit que αest non-contradictoire ssi il existe un modèle de α
Remarque :
(1) ∀A ⊂ Prop(P), δ:P→ {0,1}est un modèle de Assi ∀α∈ A,δest un modèle de α
(2) ∀A ⊂ Prop(P), on dit que Aest non-contradictoire ssi il existe un modèle de A
Définition : Soit A ⊂ Prop(P) et αune formule du calcul des propositions, on dit que de A
on déduit sémantiquement αet on note A |=αssi tout modèle de Aest un modèle de α:
∀δ:P→ {0,1},(∀β∈ A,[β](δ)=1) ⇒([α](δ)=1)
Remarque :
(1) A |=αssi A ∪ {¬α}est contradictoire.
(2) A∪{α} |=βssi A |=(α⇒β)
Théorème : (de finitude ou de compacité) Soit A ⊂ prop(P)
(1) Aadmet un modèle ssi tout sous-ensemble de Aadmet un modèle
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