cours - Mathonautes

CHAPITRE 7
COURS :LA SYMÉTRIE AXIALE
Extrait du programme de la classe de Sixième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES
Symétrie orthogonale par rapport à une
droite (symétrie axiale)
-Construire le symétrique d’un point, d’une droite, d’un
segment, d’un cercle (que l’axe de symétrie coupe ou non
la figure).
-Construire ou compléter la figure symétrique d’une fi-
gure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à
l’aide de la règle (graduée ou non), de l’équerre, du com-
pas, du rapporteur.
1 Figures symétriques
Définition :
Deux figures seront dites symétriques par
rapport à une droite (d) si elles se super-
posent par pliage le long de la droite (d)
F1
F2
(d)
Vocabulaire :
La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale ou symétrie axiale. La droite
est appelée axe de la symétrie.
La figure F1et la figure F2se superposent par pliage le long de la droite (d). Elles sont symétriques par
rapport à la droite (d).
On dit aussi que F2est la figure symétrique de F1dans la symétrie (orthogonale) d’axe (d), ou encore
que F2est l’image de F1dans la symétrie (orthogonale) d’axe (d).
Définition :
Une droite (d) est un axe de symétrie d’une
figure si les deux parties de la figure se su-
perposent par pliage le long de cette droite.
(d)
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2 Symétrique d’un point
Naturellement, on dira qu’un point Aet un point A′sont symétriques par rapport à une droite (d) s’ils
se superposent par pliage le long de cette droite (d). Précisons cela :
Définition :
On dit que le point A′est le symétrique du point Apar rapport à une droite (d) lorsque la droite (d)
est la médiatrice du segment [A A′].
Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec l’équerre et le compas :
A
(d)
I
On trace la perpendiculaire à la
droite (d) passant par A.
A
(d)
I
Avec le compas, on pointe au
point d’intersection de cette
perpendiculaire et de l’axe (sur
le point I), on prend l’écar-
tement jusqu’au point A(dis-
tance de A à la droite (d)) et on
reporte de l’autre côté de l’axe
sur la perpendiculaire.
A
A′
B
(d)
I
Le point d’intersection est le sy-
métrique de A, on le note A′.
BDans le cas où le point
à transformer est sur l’axe, le
point se transforme en lui-
même : le symétrique de Best
B.
Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec le compas seul :
A
(d)
On prend un écartement quel-
conque de compas mais assez
grand pour que l’arc de cercle
tracé avec le compas pointé en
Arencontre (d) en deux points.
A
(d)
Ensuite on complète le tracé
comme pour faire un losange :
on garde l’écartement en on
trace deux arcs de cercle à par-
tir des points formés.
A
(d)
A′
leur intersection est le symé-
trique de Apar rapport à (d)
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Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec le compas seul (2) :
A
(d)
M
N
On prend deux points distincts
quelconques Met Nsur la
droite (d).
A
(d)
M
N
On prend le compas on trace le
cercle de centre Mpassant par
Apuis le cercle de centre Net
passant par A.
A
(d)
M
N
A′
Ces deux cercles se coupent
bien entendu en Aet aussi en
A′symétrique de Apar rapport
à (d).
3 Symétrique de figures, propriétés de conservation
3.1 Segments
Propriété :
Le symétrique d’un segment par rapport à un axe (d) est un segment de même longueur. Le symé-
trique du milieu d’un segment est le milieu du segment symétrique.
Illustration :
A
B
I
(d)
A′
B′
I′
Si le segment n’est pas sécant à l’axe, il suffit
de construire les symétriques des extrémités
de ce segment.
A
B
I
(d)
A′
B′
I′
Si le segment est sécant à l’axe, il suffit de
construire les symétriques des extrémités de
ce segment en prenant bien garde à "passer"
de l’autre côté de l’axe pour chaque point.
3.2 Droites
Propriété :
Le symétrique d’une droite par rapport à un axe (d) est une droite.
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Illustration :
A
B
(d)
A′
B′
Si la droite est sécante à l’axe,
il suffit de construire le symé-
trique de deux points de la
droite, ou alors d’un point dis-
tinct de l’intersection.
A
B
(d)
A′
B′
Si la droite est parallèle à l’axe
(d), alors la droite symétrique
le sera égaement.
A
B
(d)
A′
B′
Si la droite est perpendiculaire
à l’axe, alors la droite et sa sy-
métrique sont confondues.
3.3 Cercle
Propriété :
Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon et qui a pour centre le symétrique du centre
du premier cercle.
Illustration :
O
(d)
O′
O
(d)
O′
Il suffit de construire le symétrique O′du point O, centre du cercle, et de tracer le cercle de même rayon
et de centre O′.
3.4 Autres propriétés
Propriété :
ÏDeux figures symétriques ont la même aire et le même périmètre.
ÏDeux angles symétriques ont même mesure.
4 Construire le symétrique d’une figure
Pour construire le symétrique d’une figure, on construit les symétriques de plusieurs de ses points et on
utilise les propriétés de conservation.
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(d)
A
A′
B
B′
C
C′
D
D′
E
E′
5 Symétrie axiale et figures usuelles
5.1 Segments et angles
Propriété :
ÏLa médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.
ÏLa bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
Illustration :
A
B
C
La médiatrice d’un segment est un axe de symé-
trie de ce segment.
A
B′
( )
I
La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de
cet angle.
5.2 Cercles
Propriété :
Toutes les droites passant par le centre d’un cercle sont des axes de symétries de ce cercle.
Illustration :
0
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