Cours 2

COURS 2
Version du 13 septembre 2016.
1.2. Diviseurs de z´ero, ´el´ements nilpotents, ´el´ements inver-
sibles, SUITE.
Proposition 1.2.1. Pour un anneau R, les ´enonc´es suivants sont
´equivalents :
(1) Rest un corps.
(2) Les seuls id´eaux de Rsont 0et R.
(3) Chaque morphisme de Rvers un anneau non nul est injectif.
D´emonstration. Nous avons d´ej`a mentionn´e que 1 implique 2. (Si R
est un corps, n’importe quel ´el´ement non nul de Rengendre l’id´eal
x1y.) 2 implique 3 parce que le noyau d’un morphisme est un id´eal,
donc il devrait ˆetre soit 0 (et donc le morphisme est injectif), soit tout
l’anneau, mais vu que nos morphismes envoient 1 sur 1, la seule mani`ere
pour avoir Rcomme noyau c’est si le morphisme est vers un anneau
nul. Pour d´emontrer que 3 implique 1, supposons que xPRn’est pas
inversible. Donc xxy ‰ R, et Radmet un morphisme RÑR{xxy.
Par la supposition 3, cette application est injective, et donc son noyau
xxy “ 0. Donc x“0. 
1.3. Id´eaux premiers et id´eaux maximaux.
D´efinition 1.3.1. Un id´eal Pest premier si P‰ x1yet si xy PP
implique xPPou yPP.
Remarquons que le nom premier s’applique de fa¸con un peu diff´erem-
ment que dans la th´eorie des nombres ´el´ementaire, o`u c’est des entiers
(des ´el´ements de l’anneau) qui sont premiers ou non, tandis qu’ici, c’est
des id´eaux qui peuvent ˆetre premiers.
Exemples. L’id´eal principal engendr´e par nPZest premier si et
seulement si nest ˘ppour ppremier, ou n“0. (De temps en temps,
le cas “0” est un d´etail technique qui n’a pas d’importance pratique.
Ce n’est pas le cas cette fois-ci !)
Exemple. Soit kun corps, et fun polynˆome irr´eductible dans l’an-
neau krx1, . . . , xns. Donc l’id´eal engendr´e par fest premier, `a cause du
fait que les polynˆomes sont un anneau factoriel (anneau int`egre dans
laquelle chaque ´el´ement `a une d´ecomposition comme ´el´ement inversible
1

2 COURS 2
fois un produit d’´el´ements irr´eductibles, qui est bien d´efini `a ordre et
`a multiplication par les ´el´ements inversibles pr`es). (Vous ˆetes cens´es
avoir d´ej`a vu cela dans “Th´eorie des anneaux.”)
x0yest premier si et seulement si Rest un anneau int`egre.
En g´en´eral, Pest premier si et seulement si R{Pest int`egre. (Deux
´el´ements de RzP(pas la mˆeme chose que R{P! – zc’est soustraction
d’ensembles) dont le produit est dans Pcorrespondent `a deux ´el´ements
non nuls de R{Pdont le produit est nul.
D´efinition 1.3.2. Un id´eal Mest dit “maximal” s’il n’y a aucun autre
id´eal qui le contient, `a part de x1y.
(Le nom est un peu bizarre, vu que x1yest bel et bien un id´eal. Mais
c’est standard. “Maximal” veut donc vraiment dire “Maximal parmi
les id´eaux propres, o`u l’on appelle “id´eal propre” un id´eal qui n’est pas
´egal `a l’anneau.)
Mest maximal si et seulement si R{Mest un corps, par Proposition
1.1.1 et Proposition 1.2.1.
Puisque tout corps est int`egre, tout id´eal maximal est premier. (On
peut le d´emontrer directement, mais c’est plus facile de le faire comme
cela — une fois que l’on a l’habitude !)
L’implication r´eciproque est typiquement fausse.
Exemples. Dans Z, les id´eaux xpyavec ppremier, sont maximaux.
Dans Z, l’id´eal x0yest premier, mais n’est pas maximal.
Si f:RÑSest un morphisme d’anneaux et Qest un id´eal premier
de S,P“f´1pQqest un id´eal premier de R, parce qu’il y a une
injection de R{Pdans S{Q, donc si S{Qn’a pas de diviseur de z´ero,
R{Pn’en a pas non plus.
On pourrait se poser la question pourquoi on consid`ere f´1et pas f.
Effectivement, si Iest un id´eal de R,fpIqn’est pas mˆeme forc´ement
un id´eal. Par exemple, consid´erez l’inclusion de Zdans Q. Vu que Q
n’a que x0ycomme id´eal propre, la plupart des id´eaux de Zne sont pas
envoy´es sur des id´eaux de Q.
Le mˆeme ´enonc´e n’est pas correct avec le mot premier remplac´e par
maximale. Par exemple, on peut consid´erer l’inclusion de Zdans Q.
L’image inverse de l’id´eal maximal de Qest 0 qui n’est pas maximal.
Theor`eme 1.3.1. Tout anneau non nul Ra un id´eal maximal.
Pour d´emontrer cela, il nous faut le lemme de Zorn. Je le rappelle.
Soit Xun ensemble, et soit Wun ensemble de sous-ensembles de X.
On dit que CĂWest une chaˆıne si pour tous ´el´ements A, B PC, on a
soit AĎB, soit BĎA. Pour Cune chaˆıne, on appelle la r´eunion de la

COURS 2 3
chaˆıne, la r´eunion des ensembles dans la chaˆıne, c’est-`a-dire, ŤAPCA.
Pour all´eger la notation, je le note ŤC.
Lemme 1.3.1 (Lemme de Zorn).Soient Xet Wcomme d´ej`a d´ecrits.
Si pour toute chaˆıne dans W, la r´eunion de la chaˆıne est dans Walors
il existe un ensemble maximal dans W.
Ce lemme est ´equivalent `a l’axiome du choix. (D’o`u la devinette :
qu’est-ce qui peut te couper les doigts, et est ´equivalent `a l’axiome du
choix ? – La lame de Zorn.)
On peut aussi ´enoncer le lemme de fa¸con plus g´en´erale, mais finale-
ment les diff´erentes formulations sont ´equivalentes. La formulation que
je donne c’est effectivement celle de Zorn. Comme d’habitude dans les
math´ematiques, ce n’est toutefois pas lui qui a ´et´e le premier `a ´enoncer
un tel principe.
Pour mieux comprendre le lemme de Zorn, constatons que ¸ca ne sert
`a rien quand Wne contient qu’un nombre fini de sous-ensembles, parce
que la r´eunion d’une chaˆıne finie, c’est juste l’´el´ement le plus grand de
la chaˆıne. C’est quand il y a des chaˆınes infinies que ¸ca devient sportif.
Aussi, consid´erons un cas o`u le lemme de Zorn ne s’applique pas.
Mettons X“Z, et mettons que West l’ensemble d’ensembles finis
d’entiers. On a plusieurs chaˆınes dans W, comme t1u,t1,2u,t1,2,3u, . . . .
La r´eunion de cette chaˆıne serait t1,2,3, . . .u “ Zą0. Mais Zą0n’est
pas dans W. Donc les suppositions du lemme de Zorn ne sont pas sa-
tisfaites. Ce qui est bon, parce que la conclusion n’est pas vraie non
plus : il n’y a aucun sous-ensemble fini maximal de Z– `a n’importe quel
ensemble fini de Z, on pourrait toujours en ajouter un autre ´el´ement.
D´emonstration du th´eor`eme. Mettons Rpour X, et l’ensemble d’id´eaux
propres de R, pour W. Si l’on a une chaˆıne Cdans W, et on en prend la
r´eunion, on v´erifie facilement que le r´esultat est encore un id´eal. (Par
exemple, supposons que l’on a x, y PŤC. Il faut v´erifier que x`yPŤC.
Or xPIPC, et yPJPC. Mais du fait que Cest une chaˆıne, on sait
que, soit IĎJ, soit JĎI. Donc x`yPle plus grand de deux id´eaux,
et donc c’est dans ŤC.)
Mais est-ce que c’est ´egal `a x1y? Non ! Parce que 1 n’est inclus dans
aucun des id´eaux de C, et donc ce n’est pas dans leur r´eunion non plus !
Donc on peut appliquer le lemme de Zorn pour d´eduire l’existence
d’un id´eal propre maximal. 
Normalement, si l’on s’int´eresse `a un anneau en particulier, on n’a
aucune difficult´e `a d´emontrer l’existence d’id´eaux maximaux. Ce qui
est int´eressant ici c’est que nous n’´etions pas oblig´es de supposer quoi
que ce soit `a propos de l’anneau.

4 COURS 2
Corollaire 1.3.1. Pour tout id´eal I‰ p1qde R, il y a un id´eal maximal
de Rqui contient I.
D´emonstration. On peut soit le d´emontrer de la mˆeme mani`ere que le
th´eor`eme, soit on peut appliquer le th´eor`eme `a l’anneau R{I, et utiliser
Proposition 1.1.1. 
Corollaire 1.3.2. Chaque ´el´ement non inversible de Rest contenu
dans un id´eal maximal.
D´emonstration. Un ´el´ement non inversible est contenu dans l’id´eal qu’il
engendre, qui n’est pas p1q. Maintenant, appliquez le corollaire pr´ec´edent.
Un anneau Rqui a un seul id´eal maximal Mest appel´e local. Dans
ce cas, R{Mest appel´e le corps r´esiduel.
Exemples : Les corps sont locaux. Z{xpnypour ppremier est local.
ta
b|aPZ, p fflbuest local pour ppremier.