Examen 2

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Cycle Ingénieur 1A – janvier 2012
Examen d'optique instrumentale
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durée 3h
formulaire A4 recto-verso manuscrit et calculatrice autorisés
les exo-terres sont-elles bleues comme des oranges ?
La recherche de planètes type Terre situées hors du système solaire (exo-planètes)
est un domaine de l'astrophysique très actif. En particulier le développement de
systèmes optiques efficaces est un challenge technologique auquel les grandes
agences spatiales à travers le monde s'attellent. Le satellite européen COROT
et plus récemment le satellite américain KEPLER sont des missions en cours
de fonctionnement et donnent déjà des résultats probants concernant cette
recherche. Le 5 décembre dernier KEPLER a détecté une planète ayant de fortes
probabilités d'avoir les conditions nécessaires au développement de la vie telle qu'on la
connait sur notre Terre. Pour accélérer cette quête et identifier d'autres candidates, des
solutions de plus grande envergure sont en phase d'étude.
Le problème se propose d'étudier cette problématique et un système optique équivalent à celui
développé pour le satellite COROT.
A. Préambule à la problématique (environ 5 points)
L'étoile "Proxima Centuri" est l'étoile la plus proche de notre système solaire. Elle est située à
4,22 années lumière soit 4.1016 m. Son diamètre est estimé à 2.108 m.
1. Déterminer sous quel diamètre angulaire on voit cette étoile à l'oeil nu de la Terre.
Vous donnerez le résultat en radians et en arc-secondes.
Pour observer cette étoile, on souhaite utiliser un télescope de focale f' couplé à un capteur
matriciel de taille 5000 pixels par 5000 pixels (un pixel = 10 µm)
2. On souhaite dans un premier temps obtenir une image de l'étoile de diamètre égal au
côté du capteur. Quelle focale faut-il avoir pour notre télescope ?
3. Que devient la focale du télescope si l'image de l'étoile est égale à un seul pixel ?
4. Dans ce dernier cas, déterminer le diamètre de la pupille d'entrée du télescope pour
que la résolution du système optique ne soit pas dégradée par la diffraction. La
longueur d'onde est 500 nm. Déterminer le nombre d'ouverture N de ce télescope.

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Le flux total émis dans tout l'espace par cette étoile est de l'ordre de 1027 W. L'étoile est
considérée comme ponctuelle.
5. Calculer le flux reçu sur le capteur CCD dans le cas d'un télescope ayant la focale
déterminée à la question 3 et une ouverture déterminée à la question 4.
Cette petite étude montre qu'il est extrêmement difficile de faire de l'imagerie directe des
étoiles et donc encore plus des planètes gravitant autour. Des projets futurs s'orientant sur
cette voie seront basés sur des interféromètres géants dans l'espace (projet DARWIN de
l'agence spatiale européenne).
B. Le télescope COROT revisité (environ 15 points)
Au lieu de chercher à résoudre directement l'exo-planète, les astronomes essaient de mesurer
les effets qu'elle induit sur son étoile, en particulier les variations de flux reçu sur Terre par
cette dernière. C'est la méthode du transit. Le passage répété d’une planète devant son étoile
provoque une diminution périodique de la luminosité de l’étoile. Les satellites COROT et
KEPLER fonctionnent dans ce mode de transit photométrique. Lorsqu'une planète passe
devant son étoile, la variation relative de flux
€
ΔF / F
engendrée est simplement reliée au
rapport des deux surfaces. Pour une planète de type Terre et une étoile de type Soleil, on
trouve que
€
ΔF / F =10−6
. Il est donc nécessaire d'éviter tout flux parasite provenant
essentiellement de la Terre. Un baffle extrêmement performant doit donc être positionné à
l'entrée du système d'imagerie. Les contraintes sont de l'ordre d’un photon parasite pour 1012
photons utiles.
Nous vous proposons d'étudier un système optique dont l'architecture est équivalente à celle
développée pour le satellite COROT. Elle présente deux parties. La première partie est un
système afocal dioptrique. La seconde partie est un télescope à miroirs de type Cassegrain
permettant d'imager le ciel sur le capteur CCD. La figure ci-dessous donne un aperçu du
système total (échelle non respectée).

3
Les données connues des différents éléments sont les suivantes :
Lentille L1 focale 50 mm
Lentille L2 focale 25 mm
Pupille du système diamètre 100 mm
Miroir concave M1 rayon de courbure 100 mm
Miroir convexe M2 rayon de courbure 40 mm
Distance M2-M1 +35 mm
Capteur 26 mm par 26 mm (pixel de 13 microns de côté)
1. Quelle doit être la distance entre les 2 lentilles pour obtenir un système afocal ?
Donner le grossissement
€
GAFOCAL
et le grandissement transversal de ce système. Le
grandissement dépend-il de la conjugaison ?
2. Déterminer la focale du télescope Cassegrain
€
fCASSEGRAIN
constitué des deux miroirs M1
et M2. A quelle distance du miroir M2 se situe le capteur ?
3. Montrer que la focale
€
fTOTALE
de tout le système (L1+L2+M1+M2) s'écrit en fonction
du grossissement
€
GAFOCAL
de la partie afocale (L1+L2) et de la focale
€
fCASSEGRAIN
du
télescope Cassegrain (M1+M2).
4. Quelle est la taille de l'image d'un objet vu sous un angle de 1 seconde d'arc ?
La pupille du système total est un diaphragme circulaire situé dans le plan focal image de la
lentille L2.
5. Déterminer la position et la taille de la pupille d'entrée. En déduire le nombre
d'ouverture du système.
6. Déterminer la résolution objet du système complet pour une longueur d'onde de 500
nm.
7. On positionne la pupille du système au centre de courbure du miroir M1. Déterminer
la position et la taille de la pupille de sortie du système.
8. Sur la feuille quadrillée fournie (le foyer objet F1 de L1 et le plan de L1 sont
positionnés), réaliser un schéma à l'échelle ×1 en longitudinal et ×1/2 en transversal, et
positionner l'ensemble des éléments (lentilles, diaphragme, miroirs, foyers et centre de
courbure). Tracer deux rayons traversant l'instrument dans sa totalité et s'appuyant sur
les bords de la pupille d'entrée.

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On souhaite que le diamètre du champ de pleine lumière image soit égal à 26 mm.
9. Déterminer les valeurs numériques du champ de pleine lumière dans tous les autres
espaces.
10. Sur votre schéma, tracer deux rayons pertinents qui s'appuient sur le bord du champ de
pleine lumière image et qui traversent tout l’instrument.
11. Déterminer analytiquement les diamètres des lentilles L1 et L2 du système afocal pour
observer le champ de pleine lumière déterminé ci-dessus.
12. Déterminer analytiquement ou graphiquement les diamètres du miroir M1, du trou
percé en son centre et du miroir M2 pour observer le champ de pleine lumière
déterminé ci-dessus. En déduire le taux d'obturation du télescope.
13. Quel doit être le diamètre d'un diaphragme circulaire, positionné dans le plan focal
image de L1, pour éliminer le champ de contour ?
14. Calculer le flux reçu par un pixel du capteur pour une étoile émettant dans tout
l'espace 1027 W.
15. Exprimer le flux reçu sur un pixel pour un objet étendu supposé à l'infini de luminance
€
L=1nW / m2/sr