Séparabilité

2016-2017 M401
Université Lille 1 Algèbre
Séparabilité
Exercice 1 (Polynômes séparables).
Soit kun corps. On dit qu’un polynôme Pde k[X](non nécessairement
irréductible) est séparable si toutes ses racines dans une clôture algébrique
de ksont simples.
1. Montrer que Pest séparable si et seulement si le pgcd de Pet de
P0dans k[X]vaut 1.
2. Montrer que Pest séparable si et seulement si c’est un produit de
polynômes irréductibles séparables deux à deux non associés.
3. Montrer que le pgcd et le ppcm de polynômes séparables sont sépa-
rables.
Exercice 2 (Extensions intermédiaires dans une extension monogène).
Soit K/k une extension monogène, c’est-à-dire telle qu’il existe x∈Ktel
que K=k[x].
1. Soit K/K0/k une extension intermédiaire. Montrer que [K:K0] =
deg Px,K0.
2. Soit une tour d’extensions K/K0/K00/k. Montrer que Px,K0divise
Px,K00 .
3. Soit K/K0/k une extension intermédiaire et soit K00 le sous corps de
K0engendré sur kpar les coefficients de Px,K0. Montrer que Px,K0=
Px,K00 .
4. En déduire que K00 =K0.
5. Montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini d’extensions intermédiaires
K/K0/k.
Exercice 3 (Séparabilité et degré).
Soit kun corps de caractéristique p > 0et K/k une extension finie.
1. Soit x∈Knon séparable. Montrer que pdivise deg x.
2. En déduire que si pne divise pas [K:k]alors K/k est séparable.
Exercice 4 (Puissance p-ème séparable).
Soit kun corps de caractéristique p > 0et k/k une clôture algébrique. Soit
α∈k.
1. Montrer qu’il existe µ∈Ntel qu’il existe un polynôme Q∈k[X]
irréductible vérifiant Pα,k =Q(Xpµ)et qu’on peut choisir µmaximal
pour cette propriété. On fixera par la suite un tel µ.
1

2. Montrer que si Pα,k =Q(Xpµ)pour Q∈k[X]irréductible, alors Q
est séparable.
3. Montrer que toutes les racines de Pα,k sont de multiplicité pµ.
4. Montrer que αpµest séparable sur k.
5. Montrer que [k[α] : k] = pµ[k[α] : k]s.
6. En déduire que le polynôme Xpµ−αpµest irréductible sur k[αpµ].
Exercice 5 (Caractérisation des corps parfaits).
Soit kun corps. Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :
1. kest parfait,
2. Toute extension algébrique de kest séparable sur k,
3. Toute clôture algébrique de kest séparable sur k.
Exercice 6 (Extensions et perfection).
Soit kun corps de caractéristique p > 0.
1. Soit t∈kqui n’est pas une puissance p-ème dans k. Montrer que si
n∈Nle polynôme Xpn−test irréductible dans k[X].
2. En déduire que si K/k est une extension finie et Kest parfait alors
kest parfait.
3. Réciproquement montrer que si K/k est une extension finie et kest
parfait alors Kest parfait.
4. Reprendre la question précédente avec K/k supposée seulement algé-
brique.
Exercice 7 (Elément primitif).
1. Soit kun corps de caractéristique différente de 2, et a,bdes éléments
de k. Montrer que si √a+√best non nul, c’est un élément primitif
de k[√a, √b]sur k.
2. Montrer que j√5est un élément primitif de Q[j, √5] sur Q.
3. Montrer que 3
√2 + √3est un élément primitif de Q[3 √2,√3] sur Q.
4. Déterminer un élément primitif de Q[a, j], où aest une racine de
X3−X+ 1, et j3= 1,j6= 1.
5. Déterminer un élément primitif de Q[ζn, ζm], où l’on note ζn=e2iπ
n
pour n∈N∗.
Exercice 8 (Finitude vs degré).
Soit K/k une extension algébrique séparable et n∈N∗tels que tout élément
de Ksoit de degré au plus nsur k. Montrer que [K:k]6n.
2

Exercice 9 (Extension finie non monogène).
Soit pun nombre premier et k=Fp(X, Y )le corps des fractions de l’anneau
des polynômes à deux indéterminées Fp[X, Y ]à coefficients dans Fp. Soit
K=k[X1/p, Y 1/p]l’extension engendrée par des racines p-èmes de Xet Y
dans une clôture algébrique de k.
1. Montrer que [K:k] = p2.
2. Montrer que tout élément de Kest de degré au plus p.
3. Conclure.
Exercice 10 (Elément primitif explicite).
Soit kun corps infini.
1. Soient aet bdes éléments algébriques et séparables sur k. Montrer
qu’il existe λ∈ktel que a+λb soit un élément primitif de k[a, b]sur
k.
2. Soient a1,··· , andes éléments algébriques et séparables sur k. Mon-
trer qu’il existe λ2,··· , λn∈ktel que a1+λ2a2+···λnansoit un
élément primitif de k[a1,··· , an]sur k.
Exercice 11 (Plus grande sous-extension séparable).
Soit kun corps de caractéristique p > 0et K/k une extension.
1. Montrer que Ks:= {x∈K/ x est algébrique et séparable sur k}est
une extension algébrique séparable de k.
2. Un élément xde Kest dit radiciel sur ks’il existe n∈Ntel que
xpn∈k. L’extension K/k est dite radicielle sur ksi tout élément de
Kl’est.
(a) Montrer qu’une extension radicielle est algébrique.
(b) Soit K/k une extension radicielle finie. Montrer qu’il existe α∈N
tel que [K:k] = pα(utiliser l’exercice 3).
(c) Montrer que l’extension K/Ksest radicielle (utiliser l’exercice 4).
(d) Montrer que si K/k est radicielle, tout plongement de kdans une
clôture algébrique kse prolonge de manière unique àK.
3. Montrer que [Ks:k]=[K:k]s.
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