Séparabilité

2016-2017
Université Lille 1
M401
Algèbre
Séparabilité
Exercice 1 (Polynômes séparables).
Soit k un corps. On dit qu’un polynôme P de k[X] (non nécessairement
irréductible) est séparable si toutes ses racines dans une clôture algébrique
de k sont simples.
1. Montrer que P est séparable si et seulement si le pgcd de P et de
P 0 dans k[X] vaut 1.
2. Montrer que P est séparable si et seulement si c’est un produit de
polynômes irréductibles séparables deux à deux non associés.
3. Montrer que le pgcd et le ppcm de polynômes séparables sont séparables.
Exercice 2 (Extensions intermédiaires dans une extension monogène).
Soit K/k une extension monogène, c’est-à-dire telle qu’il existe x ∈ K tel
que K = k[x].
1. Soit K/K 0 /k une extension intermédiaire. Montrer que [K : K 0 ] =
deg Px,K 0 .
2. Soit une tour d’extensions K/K 0 /K 00 /k. Montrer que Px,K 0 divise
Px,K 00 .
3. Soit K/K 0 /k une extension intermédiaire et soit K 00 le sous corps de
K 0 engendré sur k par les coefficients de Px,K 0 . Montrer que Px,K 0 =
Px,K 00 .
4. En déduire que K 00 = K 0 .
5. Montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini d’extensions intermédiaires
K/K 0 /k.
Exercice 3 (Séparabilité et degré).
Soit k un corps de caractéristique p > 0 et K/k une extension finie.
1. Soit x ∈ K non séparable. Montrer que p divise deg x.
2. En déduire que si p ne divise pas [K : k] alors K/k est séparable.
Exercice 4 (Puissance p-ème séparable).
Soit k un corps de caractéristique p > 0 et k/k une clôture algébrique. Soit
α ∈ k.
1. Montrer qu’il existe µ ∈ N tel qu’il existe un polynôme Q ∈ k[X]
µ
irréductible vérifiant Pα,k = Q(X p ) et qu’on peut choisir µ maximal
pour cette propriété. On fixera par la suite un tel µ.
1
µ
2. Montrer que si Pα,k = Q(X p ) pour Q ∈ k[X] irréductible, alors Q
est séparable.
3. Montrer que toutes les racines de Pα,k sont de multiplicité pµ .
µ
4. Montrer que αp est séparable sur k.
5. Montrer que [k[α] : k] = pµ [k[α] : k]s .
µ
µ
µ
6. En déduire que le polynôme X p − αp est irréductible sur k[αp ].
Exercice 5 (Caractérisation des corps parfaits).
Soit k un corps. Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :
1. k est parfait,
2. Toute extension algébrique de k est séparable sur k,
3. Toute clôture algébrique de k est séparable sur k.
Exercice 6 (Extensions et perfection).
Soit k un corps de caractéristique p > 0.
1. Soit t ∈ k qui n’est pas une puissance p-ème dans k. Montrer que si
n
n ∈ N le polynôme X p − t est irréductible dans k[X].
2. En déduire que si K/k est une extension finie et K est parfait alors
k est parfait.
3. Réciproquement montrer que si K/k est une extension finie et k est
parfait alors K est parfait.
4. Reprendre la question précédente avec K/k supposée seulement algébrique.
Exercice 7 (Elément primitif).
1. Soit k un corps de caractéristique
différente de 2, et a, b des éléments
√
√
de k. Montrer
que si a + b est non nul, c’est un élément primitif
√ √
de k[ a, b] sur k.
√
√
2. Montrer que j 5 est un élément primitif de Q[j, 5] sur Q.
√ √
√
√
3. Montrer que 3 2 + 3 est un élément primitif de Q[ 3 2, 3] sur Q.
4. Déterminer un élément primitif de Q[a, j], où a est une racine de
X 3 − X + 1, et j 3 = 1, j =
6 1.
5. Déterminer un élément primitif de Q[ζn , ζm ], où l’on note ζn = e
pour n ∈ N∗ .
2iπ
n
Exercice 8 (Finitude vs degré).
Soit K/k une extension algébrique séparable et n ∈ N∗ tels que tout élément
de K soit de degré au plus n sur k. Montrer que [K : k] 6 n.
2
Exercice 9 (Extension finie non monogène).
Soit p un nombre premier et k = Fp (X, Y ) le corps des fractions de l’anneau
des polynômes à deux indéterminées Fp [X, Y ] à coefficients dans Fp . Soit
K = k[X 1/p , Y 1/p ] l’extension engendrée par des racines p-èmes de X et Y
dans une clôture algébrique de k.
1. Montrer que [K : k] = p2 .
2. Montrer que tout élément de K est de degré au plus p.
3. Conclure.
Exercice 10 (Elément primitif explicite).
Soit k un corps infini.
1. Soient a et b des éléments algébriques et séparables sur k. Montrer
qu’il existe λ ∈ k tel que a + λb soit un élément primitif de k[a, b] sur
k.
2. Soient a1 , · · · , an des éléments algébriques et séparables sur k. Montrer qu’il existe λ2 , · · · , λn ∈ k tel que a1 + λ2 a2 + · · · λn an soit un
élément primitif de k[a1 , · · · , an ] sur k.
Exercice 11 (Plus grande sous-extension séparable).
Soit k un corps de caractéristique p > 0 et K/k une extension.
1. Montrer que Ks := {x ∈ K/ x est algébrique et séparable sur k} est
une extension algébrique séparable de k.
2. Un élément x de K est dit radiciel sur k s’il existe n ∈ N tel que
n
xp ∈ k. L’extension K/k est dite radicielle sur k si tout élément de
K l’est.
(a) Montrer qu’une extension radicielle est algébrique.
(b) Soit K/k une extension radicielle finie. Montrer qu’il existe α ∈ N
tel que [K : k] = pα (utiliser l’exercice 3).
(c) Montrer que l’extension K/Ks est radicielle (utiliser l’exercice 4).
(d) Montrer que si K/k est radicielle, tout plongement de k dans une
clôture algébrique k se prolonge de manière unique à K.
3. Montrer que [Ks : k] = [K : k]s .
3