I. Qu`est-ce qu`un nombre relatif ? 1. Des exemples de nombres

LES
I.
NOMBRES RELATIFS
Qu’est-ce qu’un nombre relatif ?
1.
Des exemples de nombres relatifs
Température
En hiver, les températures sont parfois négatives : -3°C ou –10°C, et parfois
positives : +2°C. Il est nécessaire de préciser s’il fait –10°C ou +10°C
(on dit généralement 10°C à la place de +10°C).
Altitude
Sur les cartes, les profondeurs des océans sont signalées par des nombres
comme : - 200 m ; - 4 000 m ; etc…
Le lieu le plus profond sur Terre est dans l’océan Pacifique, à environ – 11 000 m.
Le lieu le plus élevé est le mont Everest ; dans l’Himalaya, à + 8 850 m
(on dit généralement 8 850 m).
Date
Dans notre calendrier, la date de la fondation de Rome est notée « -732 »,
ce qui signifie « 732 avant Jésus-Christ ».
2.
Vocabulaire et écriture des nombres relatifs
Vocabulaire
•
Les nombres plus grands que 0 sont appelés des nombres positifs ;
on peut les noter avec le signe « + », mais en général on ne l’écrit pas.
Exemples : +4 ou 4 ; +8,5 ou 8,5 sont des nombres positifs.
•
Les nombres plus petits que 0 sont appelés des nombres négatifs ;
on les note avec le signe « - ».
Exemples : -25 et –7,2 sont des nombres négatifs.
•
Le nombre 0 est à la fois positif et négatif.
A savoir
Les nombres positifs et les nombres négatifs sont appelés des nombres relatifs.
Exemples
-3 et 100 sont des nombres entiers relatifs.
-5.3 et 97,25 sont des nombres décimaux relatifs.
Ecriture
On peut écrire les nombres relatifs avec ou sans parenthèses : (-732) ou –732 ; (+2) ou +2.
+ 2 peut s’écrire 2.
II.
Repérage sur une droite graduée
1.
Abscisse
Voici une droite graduée :
L’unité choisie est ici le cm, elle est
reportée régulièrement sur tout l’axe
B
-3
-2
-1
O
I
0
+1
C
A
+2
+3
+4
+5
L’origine
Pour graduer une droite, il faut choisir un sens (indiqué par une flèche), un point origine O
et une unité de longueur.
A savoir
Sur une droite graduée (ou axe), chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son
abscisse. En particulier, 0 est l’abscisse de l’origine O.
Exemples
• L’abscisse du point A est +3. On note A (+3) ou A(3).
• L’abscisse du point B est -3. On note B (-3).
• L’abscisse du point C est +5. On note C (+5) ou C(5).
2.
Distance à zéro
Exemples
Sur la droite graduée ci-dessus ;
•
Le point C d’abscisse +5 est à 5 unités de longueur de l’origine : OC = 5.
On dit que la distance à zéro du nombre relatif +5 est 5.
•
Le point B d’abscisse -3 est à 3 unités de longueur de l’origine : OB = 3.
On dit que la distance à zéro du nombre relatif -3 est 3.
A savoir
Un nombre relatif est déterminé par son signe (- ou +) et sa distance à zéro.
3.
Nombres opposés
A savoir
Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsqu’ils ont des signes contraires (l’un positif,
l’autre négatif) et des distances à zéro égales.
Exemple
Les nombres relatifs –3 et +3 sont opposés.
Sur une droite graduée, les points A d’abscisse +3 et B d’abscisse –3 sont symétriques par
rapport à l’origine O.
A savoir
On obtient l’opposé d’un nombre en changeant son signe.
Exemple à savoir faire
L’opposé de …
est …
+3
-3
-2
2
-6
6
0
0
III. Comparaison de deux nombres relatifs
Rappel
Ordre croissant (comme croître) : du plus petit au plus grand.
Ordre décroissant: du plus grand au plus petit.
Exemples
(-4)
(-3)
(-2)
(-4) < (-3)
(-1)
0
(+1)
(+2)
(+3)
(+4)
(+5)
(-1) < (+2)
(+4) < (+5)
A savoir
Pour comparer deux nombres relatifs, il y a trois cas possibles :
1er cas : les deux nombres sont positifs.
Si les deux nombres sont positifs alors le plus grand est celui qui a la plus grande
distance à zéro.
Exemples : 6,30 > 6,17
;
+ 25 < + 38
2ème cas : l’un est positif, l’autre est négatif.
Tout nombre positif est toujours plus grand que tout nombre négatif.
Exemples : - 3 < 7
;
+ 0,5 > - 14
3ème cas : les deux nombres sont négatifs.
Si les deux nombres sont négatifs alors le plus grand est celui qui a la plus petite
distance à zéro.
Exemples : - 6 < - 4
;
- 7,2 > -10,5
Applications à savoir faire
1. Comparer : a) 2,5 et 5,5
b) 1,8 et -3,2
2. Classer ces nombres dans l’ordre croissant :
(- 9,01) ;
(+ 0,19) ;
(- 1,09) ;
(+ 1,90) ;
c) -1 et -2,5
(- 9,10) ;
(+ 0,91) ;
(- 0,9) ;
1.
-4
-3
-2
-1
a) 2,5 < 5,5
0
1
2
3
b) 1,8 > -3,2
4
5
6
c) -1 > -2,5
2. (- 9,10) < (- 9,01) < (- 1,09) < (- 0,9) < (+ 0,1) < (+ 0,19) < (+ 0,91) < (+ 1,90)
IV.
Repérage dans le plan
1. Un repère orthogonal
Axe des ordonnées
2
A
C
1
D
-3
-2
O
-1
F
1
3
Axe des abscisses
4
E
-1
-2
2
B
Un repère du plan est constitué de deux droites graduées de même origine O.
On dit que O est l’origine du repère.
En général, les deux droites sont perpendiculaires, et le repère est dit orthogonal.
L’axe horizontal s’appelle l’axe des abscisses.
L’axe vertical s’appelle l’axe des ordonnées.
(+ 0,1) ;
2. Se repérer
Pour le point A :
Sur l’axe des abscisses (axe horizontal), on lit : 3
Sur l’axe des ordonnées (axe vertical), on lit : 2
L’abscisse de A est : 3
L’ordonnée de A est : 2
Les coordonnées de A sont : 3 et 2
On écrit : A ( 3 ; 2 )
On note d’abord l’abscisse ensuite l’ordonnée.
Exemples à savoir faire
1. Les coordonnées du point B sont (1 ;-2).
Les coordonnées des autres points de la figure sont : C (0 ;2) ;
D (-3 ;0) ;
2. Placer les points E (4 ;-1) et F (-2 ;-1)
V.
Addition de nombres relatifs
1. Addition de deux nombres relatifs de même signe
A savoir
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
•
on garde le signe ;
•
on additionne les distances à zéro.
Exemples : (+ 4,5) + (+ 16,9) = (+ 21,4) = 21,4
(- 11) + (- 8) = (- 19)
O (0 ;0)
2. Addition de deux nombres relatifs de signes différents
A savoir
Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents :
•
on met au résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
•
on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande .
Exemples
(+ 5) + (- 9) = (- 4)
(- 12) + (+ 23,5) = (+ 11,5)
Signe : 9 > 5 donc négatif
Signe : 23,5 > 12 donc positif
Distance à zéro : 9 – 5 = 4
Distance à zéro : 23,5 – 12 = 11,5
3. Addition de deux nombres opposés
Exemple : (+7) + (-7) = 0
A savoir
La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro.
4. Addition de plusieurs nombres relatifs
A savoir
Dans une expression où ne figurent que des additions :
•
on peut changer l’ordre des termes ;
•
on peut regrouper les termes comme l’on veut.
Exemple à savoir faire
A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9)
A = (+3) + (+9) + (-5) + (-4)
Remarque
A = (+12) + (-9)
Ici, on a d’abord regroupé les positifs et les négatifs.
A = (+3)
Cela facilite généralement les calculs
VI.
Soustraction de nombres relatifs
1.
Règle de calcul
A savoir
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
a et b désignant deux nombres relatifs, on a
a – b = a + (- b)
Exemples
(- 5) – (+ 20) = (- 5) + (- 20) = (- 25)
(- 3) – (- 18) = (- 3) + (+ 18) = (+ 15)
2.
Distance de deux points sur une droite graduée
A savoir
Pour calculer la distance AB entre deux points d’une droite graduée :
•
on compare les abscisses de A et B,
•
on calcule la différence de la plus grande abscisse et de la plus
Exemple à savoir faire
Calculer la distance entre le point A d'abscisse - 7 et le point B d'abscisse 4.
Distance entre A et B
A
0
7
1
B
4
Exemple
+ 4 > -7
Méthode
• On compare les abscisses pour trouver la plus grande.
AB = (+ 4) – (- 7)
•
Pour calculer la distance AB, on effectue la différence
entre la plus grande abscisse et la plus petite.
AB = (+ 4) + (+ 7)
•
On transforme la soustraction en addition.
AB = (+ 11)
•
On calcule
Remarques
•
Le calcul d’une distance donne TOUJOURS un résultat positif.
•
La distance entre A et B se note aussi bien AB que BA
VII. Calcul d’une expression
1.
L’expression comprend des additions et des soustractions
Pour calculer une expression où ne figurent que des additions et des soustractions, on
commence par n’écrire que des additions.
Exemple à savoir faire : Calculer B = (- 8) – (- 5) + (+ 9) – (+4) + (- 6) – (- 7) + (- 5)
Exemple
B = (- 8) – (- 5) + (+ 9) – (+4) + (- 6) – (- 7) + (- 5)
B = (-8) + (+ 5) + (+ 9) + (- 4) + (- 6) + (+ 7) + (- 5)
Méthode
• On transforme les soustractions
en additions des opposés
•
On profite du fait que la somme
de deux nombres opposés est
égale à zéro pour simplifier le
calcul
B = (+ 9) + (+ 7) + (- 8) + (- 4) + (- 6)
•
On regroupe les termes positifs
et les termes négatifs.
B = (+ 16) + (- 18)
•
On effectue la somme des
nombres positifs et la somme des
nombres négatifs
B = (- 2)
•
On termine le calcul
B = (-8) + ( + 5 )+ (+ 9) + (- 4) + (- 6) + (+ 7) + ( − 5 )
2.
Simplification d’écriture
Pour simplifier une expression, on peut supprimer les parenthèses des nombres relatifs
ainsi que le signe « + » des nombres relatifs
Exemples
•
Premier cas :
(- 100) + (+ 75) = - 100 + 75
•
Troisième cas :
•
Deuxième cas :
(+ 12) – (+ 3) = 12 – 3 = 9
•
Quatrième cas :
7 – (- 5) = 7 + (+ 5) = 7 + 5 = 12
(- 8) + (- 12) = (- 8) – (+ 12) = - 8 – 12 = -20
Soustraire (- 5), c’est ajouter (+ 5)
Ajouter (-12), c’est soustraire (+12)
3.
L’expression comprend des calculs entre parenthèses
Exemple à savoir faire : Calculer C = 8 – (6 – 9)
On commence par calculer les parenthèses :
C = 8 – (-3)
C = 8 + (+3)
C = 11
Attention ! Deux signes successifs sont séparés par une parenthèse