MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013 Sommes de deux carrés Ici on classifié les nombres entiers qui sont représentables comme la somme de deux carrés parfaits et on étude d’autres problèmes relevants. Théorème 1. Considérons n ∈ N et sa factorisation à ses facteurs premiers n = pv11 · · · pvrr . Le nombre n peut être écrit comme la somme de deux carrés si et seulement si 2|vi quand pi ≡ 3 (mod 4). On va montrer ce théorème en trois étapes. On commence avec le théorème suivant, qui un cas spécial du Théorème 1. Lemme 2. Si a et b peuvent être écris comme la somme de deux carrés, alors ab est aussi la somme de deux carrés. Démonstration. On a que a = x2 + y 2 et b = z 2 + w2 , pour quelques √ x, y, z, w ∈ Z. On √ 2 + y2 = observe que la magnitude des nombres complexes x + iy et z + iw est x a et √ √ z 2 + w2 = b. Donc ab = |x+iy|2 ·|z+iw|2 = |(x+iy)(z+iw)|2 = |(xz−yw)+i(xw+yz)|2 = (xz−yw)2 +(xw+yz)2 . □ Le lemme au-dessus essentiellement réduit le théorème 1 au résultat suivant. Théorème 3. Un nombre premier p > 2 peut être écrit comme la somme de deux carrés si et seulement si p ≡ 1 mod 4. Démonstration. On a toujours que x2 ≡ 0, 1 mod 4. Donc x2 +y 2 ≡ 0, 1, 2 mod 4, qui implique que si p > 2 est représentable comme la somme de deux carrés, alors nécessairement p ≡ 1 mod 4. ( ) Réciproquement, supposons que p ≡ 1 mod 4. Donc −1 = 1, c’est-à-dire il existe r ∈ p ⌊ ⌋ √ {1, . . . , p − 1} tel que r2 ≡ −1 mod p. On pose M = p , pour que √ M < p<M +1 √ (en général, on a que ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1, mais dans ce cas on peut pas avoir que M = p parce que un nombre premier n’est pas un carré parfait). Soit X = {(a, b) ∈ Z2 : 0 ≤ a, b ≤ M }. Pour chaque (a, b) ∈ X, on considère le nombre a + br. Puisque |X| = (M + 1)2 > p, les nombres a + br ne peuvent pas être tous différents modulo p. Donc il existe deux éléments de X (a, b) et (a′ , b′ ) qui sont distincts et pour lesquels a + br ≡ a′ + b′ r mod p. C’implique que (a − a′ ) ≡ r(b′ − b) mod p et, par la suite (a − a′ )2 ≡ r2 (b′ − b)2 ≡ −(b′ − b)2 mod p. Donc le nombre m := (a − a′ )2 + (b − b′ )2 est un multiple de p qui est positif car (a, b) ̸= (a′ , b′ ). De plus, on a que −M ≤ a′ − a ≤ M et −M ≤ b′ − b ≤ M , qui implique que m ≤ 2M 2 < 2p. Mais le seul multiple de p qui est dans l’intervalle (0, 2p) est p. Donc m = p = (a − a′ )2 + (b − b′ )2 , qui est ce qu’il fallait montrer. □ 1 2 Démonstration du Théorème 1. Si n = pv11 · · · pvrr possède la propriété que 2|vi quand pi ≡ 3 (mod 4), alors on peut écrire n = d2 m, où ∏ m= pi . 1≤i≤r pi =2 ou pi ≡1 (mod 4) Du théorème 3, on trouve que pi = x2i + yi2 quand pi ≡ 1 (mod 4). Aussi, on a trivialement que 2 = 12 + 12 . Donc le Lemme 2 implique que m est aussi la somme de deux carrés, soit m = x2 + y 2 . Par la suite, n = (dx) + (dy)2 , qui est ce qu’il fallait démontrer. Réciproquement, supposons que n = x2 + y 2 . On pose d = (x, y) et on écrit x = da et y = db, où (a, b) = 1, pour que n = d2 (a2 +b2 ). Il suffit de montrer que a2 +b2 n’est pas divisé par de nombres premiers p ≡ 3 (mod 4). En effet, soit p|a2 + b2 , p > 2. Puisque (a, b) = 1, alors (ab, p) = 1. Donc ( ) −1 2 2 −1 2 a + b ≡ 0 (mod p) =⇒ (ab ) ≡ −1 (mod p) =⇒ =1 p =⇒ p ≡ 1 (mod 4), qui termine la démonstration. □ Théorème 4. Un nombre premier p > 3 peut être écrit comme x2 + 3y 2 , où x, y ∈ N, si et seulement si p ≡ 1 mod 3. Démonstration. On a toujours que x2 ≡ 0, 1 mod 3. Donc x2 + 3y 2 ≡ 0, 1 mod 3, qui implique que si p > 3 est représentable comme la somme de deux carrés, alors nécessairement p ≡ 1 mod 3. Réciproquement, supposons que p ≡ 1 mod 3. Donc ( ) ( )( ) (p) (p) (1) p−1 p−1 3−1 −3 −1 3 = = (−1) 2 (−1) 2 2 = = = 1, p p p 3 3 3 par le Lemme ?? et la loi de réciprocité quadratique. En particulier, il existe r ∈ Z tel que ⌊√ ⌋ p , pour que r2 ≡ −3 mod p. On pose M = √ M < p < M + 1. Si X = {(a, b) ∈ Z2 : 0 ≤ a, b ≤ M }, alors |X| = (M + 1)2 > p, Donc, comme avant, on trouve qu’il existe deux éléments de X (a, b) et (a′ , b′ ) qui sont distincts et pour lesquels a + br ≡ a′ + b′ r mod p. C’implique que (a − a′ ) ≡ r(b′ − b) mod p et, par la suite (a − a′ )2 ≡ r2 (b′ − b)2 ≡ −3(b′ − b)2 mod p. Donc le nombre m := (a − a′ )2 + 3(b − b′ )2 est un multiple de p qui est positif car (a, b) ̸= (a′ , b′ ). De plus, on a que −M ≤ a′ − a ≤ M et −M ≤ b′ − b ≤ M , qui implique que m ≤ 4M 2 < 4p. Donc m ∈ {p, 2p, 3p}. Si m = p, on a ce qu’il fallait montrer. Le cas m = 2p ne peut pas arriver parce que x2 + 3y 2 ≡ 0, 1, 3 mod 4 et 2p ≡ 2 mod 4. Finalement, si m = 3p, alors on trouve que 3|a − a′ . Donc a − a′ = 3u et on trouve que 9u2 + 3(b − b′ )2 = 3p, c’est-à-dire p = (b − b′ )2 + 3u2 , qui est ce qu’il fallait montrer. □