Sommes de deux carrés

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Sommes de deux carrés
Ici on classifié les nombres entiers qui sont représentables comme la somme de deux carrés
parfaits et on étude d’autres problèmes relevants.
Théorème 1. Considérons n∈Net sa factorisation à ses facteurs premiers n=pv1
1···pvr
r.
Le nombre npeut être écrit comme la somme de deux carrés si et seulement si 2|viquand
pi≡3 (mod 4).
On va montrer ce théorème en trois étapes. On commence avec le théorème suivant, qui
un cas spécial du Théorème 1.
Lemme 2. Si aet bpeuvent être écris comme la somme de deux carrés, alors ab est aussi
la somme de deux carrés.
Démonstration. On a que a=x2+y2et b=z2+w2, pour quelques x, y, z, w ∈Z. On
observe que la magnitude des nombres complexes x+iy et z+iw est x2+y2=√aet
√z2+w2=√b. Donc
ab =|x+iy|2·|z+iw|2=|(x+iy)(z+iw)|2=|(xz−yw)+i(xw+yz)|2= (xz−yw)2+(xw+yz)2.
□
Le lemme au-dessus essentiellement réduit le théorème 1 au résultat suivant.
Théorème 3. Un nombre premier p > 2peut être écrit comme la somme de deux carrés si
et seulement si p≡1 mod 4.
Démonstration. On a toujours que x2≡0,1 mod 4. Donc x2+y2≡0,1,2 mod 4, qui implique
que si p > 2est représentable comme la somme de deux carrés, alors nécessairement p≡
1 mod 4.
Réciproquement, supposons que p≡1 mod 4. Donc −1
p= 1, c’est-à-dire il existe r∈
{1, . . . , p −1}tel que r2≡ −1 mod p. On pose M=√p, pour que
M < √p < M + 1
(en général, on a que ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋+ 1, mais dans ce cas on peut pas avoir que M=√p
parce que un nombre premier n’est pas un carré parfait). Soit
X={(a, b)∈Z2: 0 ≤a, b ≤M}.
Pour chaque (a, b)∈X, on considère le nombre a+br. Puisque |X|= (M+ 1)2> p, les
nombres a+br ne peuvent pas être tous différents modulo p. Donc il existe deux éléments
de X(a, b)et (a′, b′)qui sont distincts et pour lesquels a+br ≡a′+b′rmod p. C’implique
que (a−a′)≡r(b′−b) mod pet, par la suite (a−a′)2≡r2(b′−b)2≡ −(b′−b)2mod p. Donc
le nombre
m:= (a−a′)2+ (b−b′)2
est un multiple de pqui est positif car (a, b)̸= (a′, b′). De plus, on a que −M≤a′−a≤M
et −M≤b′−b≤M, qui implique que m≤2M2<2p. Mais le seul multiple de pqui
est dans l’intervalle (0,2p)est p. Donc m=p= (a−a′)2+ (b−b′)2, qui est ce qu’il fallait
montrer. □
1

2
Démonstration du Théorème 1. Si n=pv1
1···pvr
rpossède la propriété que 2|viquand pi≡
3 (mod 4), alors on peut écrire n=d2m, où
m=
1≤i≤r
pi=2 ou pi≡1 (mod 4)
pi.
Du théorème 3, on trouve que pi=x2
i+y2 iquand pi≡1 (mod 4). Aussi, on a trivialement
que 2 = 12+ 12. Donc le Lemme 2 implique que mest aussi la somme de deux carrés, soit
m=x2+y2. Par la suite, n= (dx)+(dy)2, qui est ce qu’il fallait démontrer.
Réciproquement, supposons que n=x2+y2. On pose d= (x, y)et on écrit x=da et
y=db, où (a, b) = 1, pour que n=d2(a2+b2). Il suffit de montrer que a2+b2n’est pas divisé
par de nombres premiers p≡3 (mod 4). En effet, soit p|a2+b2,p > 2. Puisque (a, b) = 1,
alors (ab, p) = 1. Donc
a2+b2≡0 (mod p) =⇒(ab−1)2≡ −1 (mod p) =⇒−1
p= 1
=⇒p≡1 (mod 4),
qui termine la démonstration. □
Théorème 4. Un nombre premier p > 3peut être écrit comme x2+ 3y2, où x, y ∈N, si et
seulement si p≡1 mod 3.
Démonstration. On a toujours que x2≡0,1 mod 3. Donc x2+ 3y2≡0,1 mod 3, qui implique
que si p > 3est représentable comme la somme de deux carrés, alors nécessairement p≡
1 mod 3.
Réciproquement, supposons que p≡1 mod 3. Donc
−3
p=−1 p3 p= (−1)p−1
2p
3(−1)p−1
2
3−1
2=p
3=1 3= 1,
par le Lemme ?? et la loi de réciprocité quadratique. En particulier, il existe r∈Ztel que
r2≡ −3 mod p. On pose M=√p, pour que
M < √p < M + 1.
Si
X={(a, b)∈Z2: 0 ≤a, b ≤M},
alors |X|= (M+ 1)2> p, Donc, comme avant, on trouve qu’il existe deux éléments de X
(a, b)et (a′, b′)qui sont distincts et pour lesquels a+br ≡a′+b′rmod p. C’implique que
(a−a′)≡r(b′−b) mod pet, par la suite (a−a′)2≡r2(b′−b)2≡ −3(b′−b)2mod p. Donc le
nombre
m:= (a−a′)2+ 3(b−b′)2
est un multiple de pqui est positif car (a, b)̸= (a′, b′). De plus, on a que −M≤a′−a≤M
et −M≤b′−b≤M, qui implique que m≤4M2<4p. Donc m∈ {p, 2p, 3p}. Si m=p, on a
ce qu’il fallait montrer. Le cas m= 2pne peut pas arriver parce que x2+ 3y2≡0,1,3 mod 4
et 2p≡2 mod 4. Finalement, si m= 3p, alors on trouve que 3|a−a′. Donc a−a′= 3uet
on trouve que 9u2+ 3(b−b′)2= 3p, c’est-à-dire p= (b−b′)2+ 3u2, qui est ce qu’il fallait
montrer. □