LONGUEURS ET PERIMETRES

FIGURES PLANES USUELLES
I Triangles :
1°) Définitions:
On a (AB)⊥ (BC).
Le côté [AB] est appelé
HYPOTENUSE.
On a DE = DF.
Le sommet D est appelé
sommet PRINCIPAL du
triangle. [FE] est la base du
triangle.
On a IJ=IK et (IJ)⊥(IK).
Petit quizz :
On a NL = NM = LM On n'a rien !
1°) Le triangle équilatéral est-
il isocèle ?
2°) Un triangle peut-il avoir
deux angles droits ?
3°) Est-ce que le triangle
rectangle équilatéral existe ?
FAIRE exercices
n° 1 et 2 p 212.
Le triangle rectangle est
un triangle qui
possède un angle droit.
Le triangle isocèle
est un triangle qui
possède deux côtés
de même longueur.
Le triangle équilatéral
est un triangle qui
a ses trois côtés
de même longueur.
Le triangle rectangle
isocèle est un triangle
possède un angle
droit et deux côtés de
même longueur.
Le triangle quelconque
est un triangle qui
n'a aucune particularité
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.

2°) Constructions de triangles :
a) Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés.
Exemple: Construire un triangle ABC tel que AB = 6cm, AC = 3cm, BC = 4cm.
On fait une figure à main levée. On la code et on y indique les mesures et longueurs
que l'on connaît.
Programme de
construction:
➊On trace le plus grand côté,
ici le segment [AB] tel que
AB = 6 cm.
➋On trace le cercle de centre
A et de rayon 3 cm.
➌On trace le cercle de centre
B et de rayon 4 cm.
➍On place le point C à l'une
des deux d'intersections des
cercles.
➎On trace les segments
[CB] et [CA].
Remarque : Il y a à chaque fois deux solutions pour placer le point C.
A vos instruments :
Construire le triangle ABC isocèle en A tel que AB=5cm et BC= 4cm.
Construire le triangle équilatéral DEF tel que DE = 6 cm.
b) Construire un triangle connaissant les longueurs de deux côtés et la mesure d'un angle.
Exemple: Construire un triangle RST tel que RT = 4cm, TS = 3 cm,
RTS
= 50°.
On fait une figure à main levée codée :
Programme de construction:
➊On trace le segment [RT] tel RT = 4 cm
➋On trace une demi-droite [Tx) telle que
RTx
= 50°.
➌On place le point S sur [Tx] tel que TS = 3 cm.
➍On trace le segment [RS].
A vos instruments :
Construire le triangle DEF isocèle en E tel que EF = 6cm et
DEF
=120°.
Construire le triangle MNO rectangle en M tel que MN= 5cm et MO = 8cm.
Construire le triangle IJK tel que IJ = 6cm, JK = 4cm et
JIK
= 30°.
A
C
B
4
3
6
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
R
T
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
T
3
R
S
4
50°
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
A
B
6,0 cm
3,0 cm
4,0 cm
C

c) Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et la mesure de deux
angles.
Exemple: Construire un triangle EFG tel que EF = 5cm,
FEG
= 60° et
EFG
= 45°.
On fait une figure à main levée codée :
Programme de construction:
➊On trace le segment [EF] tel que EF = 5 cm.
➋On trace une demi-droite [Fx) telle que
EFx
= 45°.
➌On trace une demi-droite [Ey) telle que
FEy
= 60°
➍On place le point G à l'intersections des deux demi-droites
[Fx) et [Ey).
A vos instruments :
Construire le triangle PQR tel que PR = 7 cm ,
PRQ
= 35° et
RPQ
= 55°.
Construire le triangle IJK tel que IJ = 6cm,
JIK
= 30° et
IJK
= 30°
FAIRE exercices n° 8, 12 p 213.
d) Construire un triangle connaissant la mesure de TROIS angles.
Exemple: Construire un triangle RET tel que
RET
= 30° ,
T RE
= 50° et
ETR
= 60°.
On fait une figure
à main levée codée :
Programme de construction:
Par quel segment commence-t-on la construction ? Faisons trois programmes de construction.
➊On trace le segment [RT] de la
longueur que l'on veut.
➋On trace une demi-droite [Tx)
telle que
RTx
= 60°.
➌On trace une demi-droite [Ry)
telle que
TRy
= 50°
Le triangle est déjà fini et on n'a pas
pu construire le troisième angle.
➍On place le point E à
l'intersection des deux demi-droites
[Tx) et [Ry).
On a tracé un triangle RET dont la
mesure des 3 angles valent
50°, 60° et 70°.
➊On trace le segment [ET] de la
longueur que l'on veut.
➋On trace une demi-droite [Tx)
telle que
ETx
= 60°.
➌On trace une demi-droite [Ey)
telle que
TEy
= 30°
Le triangle est déjà fini et on n'a pas
pu construire le troisième angle.
➍On place le point R à
l'intersection des deux demi-droites
[Tx) et [Ey).
On a tracé un triangle RET dont la
mesure des 3 angles valent
30°, 60° et 90°.
➊On trace le segment [RE] de la
longueur que l'on veut.
➋On trace une demi-droite [Ex)
telle que
REx
= 30°.
➌On trace une demi-droite [Ry)
telle que
ERy
= 50°
Le triangle est déjà fini et on n'a pas
pu construire le troisième angle.
➍On place le point T à
l'intersection des deux demi-droites
[Ex) et [Ry).
On a tracé un triangle RET dont la
mesure des 3 angles valent
50°, 30° et 100°.
F5
E
G
60
°
45
°
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
RT
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
E
F
5,0 cm
x
45,0 °
y
60,0 °
G
E
T
R
30°
50° 60°
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
RT
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
R
T
x
60,0 °
y
50,0 °
E
70,0 °
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
RT
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
E
T
x
60,0 °
y
30,0 °
R
90,0 °
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
RT
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
R
E
x
30,0 °
y
50,0 °
T
100,0 °

Il est donc impossible de tracer un triangle dont les angles sont 50°,60° et 30°.
Existe-t-il des triangles que l'on peut tracer uniquement en connaissant les angles ?
Tentons notre chance, construisons le triangle EQU dont les 3 angles mesurent 60°.
Cette fois-ci, on réussit à le construire. YOUPI!!
Pourquoi ça marche ? Que peut-on remarquer sur les
angles des triangles que l'on a construits ?
Triangle
EQU
Triangle 1
ERT
Triangle 2
ERT
Triangle 3
ERT
1er angle 60° 50° 30° 50°
2ème angle 60° 60° 60° 30°
3ème angle 60° 70° 90° 100°
SOMME 180° 180° 180° 180°
On admettra le résultat suivant :
La somme des mesures des angles
d'un triangle est toujours égale à 180°.
Pour pouvoir construire un triangle connaissant ses 3 angles, il faut que leur somme fasse 180°.
3°) Propriétés des triangles :
Un triangle isocèle possède un axe de symétrie. C'est la médiatrice de la base. Or la
symétrie conserve les angles donc les deux angles de la base ont la même mesure.
Si un triangle est isocèle alors
il possède deux angles de la même mesure.
Le triangle équilatéral est en triangle isocèle en tous ses sommets donc
ses angles sont tous égaux. Comme la somme des angles d'un triangle est
égale à 180°, on a la propriété suivante :
Si un triangle est équilatéral
alors tous ses angles mesurent 60°.
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
RT
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
Q
U
x
60,0 °
y
60,0 °
E
60,0 °
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
RT
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
RT
x
60,0 °
y
50,0 °
E
70,0 °
BASE
Axe de
symétrie
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
RT
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
RT
x
60,0 °
y
50,0 °
E
70,0 °
BASE
Axe de
symétrie
60,0 °
60,0 °
60,0 °

Si un triangle est rectangle alors la somme de ses
angles aigus est égale à 90°.
II Quadrilatères :
1°) Vocabulaire :
Définition :
Le quadrilatère RAME a :
–quatre sommets : les points R, A, M et E
–quatre côtés : les segments [RA], [AM], [ME] et [ER]
–quatre angles :
MER
,
ERA
,
RAM
et
AME
–deux diagonales : les segments [RM] et [EA].
Remarque: pour nommer un quadrilatère, il suffit de citer les sommets dans l'ordre où ils
apparaissent, dans un sens ou dans l'autre.
2°) Quadrilatères particuliers :
1) Le rectangle
Définition :
Propriétés:
–Un rectangle a des côtés opposés de même longueur et parallèles.
–Un rectangle a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
Un quadrilatère est une figure qui a 4 côtés.
Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
E
R
A
M
Côtés opposés
Côtés consécutifs
C
B
A
Le triangle
ABC est
rectangle
en B.
F
E
D
Le triangle
DEF est
isocèle en D.
K
J
I
Le triangle IJK
est rectangle
isocèle en I.
N
M
L
Le triangle LMN
est équilatéral.
N
A
D
Le triangle
NAD est
quelconque.
AB
6,0 cm
3,0 cm 4,0 cm
C
RT
4,0 cm
50,0 °
x
S
3,0 cm
RT
x
60,0 °
y
50,0 °
E
70,0 °
BASE
Axe de
symétrie
60,0 °
60,0 ° 60,0 °
60,0 °
30,0 °