Résumé des cours de physique

Physique - Résumés de cours PCSI
Harold Erbin
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Version : 8 avril 2009
Table des matières
Table des matières
iii
1 Cinématique
1.1 Systèmes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vitesse, accélération, trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Dynamique
2.1 Lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Forces usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Application du PFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
3 Énergétique
3.1 Définitions et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mouvements à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
4 Mouvement libre d’un oscillateur à un degré
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Régime libre d’un oscillateur non amorti . . .
4.3 Régime libre d’un oscillateur amorti . . . . .
4.3.1 Régime pseudo-périodique (Q > 1/2) .
4.3.2 Régime apériodique (Q < 1/2) . . . .
4.3.3 Régime critique (Q = 1/2) . . . . . . .
de
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liberté
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5 Oscillateurs mécaniques en régime sinusoidal forcé
6 Théorème du moment cinétique
6.1 Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Moment cinétique d’un point matériel
6.1.2 Moment d’une force . . . . . . . . . .
6.1.3 Théorème du moment cinétique . . . .
11
11
11
12
12
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7 Mouvements à force centrale conservative
7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Etude des mouvements dans un champ de force
7.3.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Etude des trajectoires . . . . . . . . . .
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21
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iii
TABLE DES MATIÈRES
8 Changements de référentiels
25
8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.2 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9 Dynamique en référentiel non galiléen
10 Systèmes formés
10.1 Cinétique . .
10.2 Dynamique .
10.3 Système isolé
de
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deux points
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matériels
29
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11 Référentiels galiléens approchés
33
12 Statique des fluides dans le champ de pesanteur
35
12.1 Pression et force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12.2 Cinétique des fluides dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . 36
13 La lumière en
13.1 Ondes . .
13.2 Milieux .
13.3 Rayons . .
optique géométrique
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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14 Formation des images
41
14.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
15 Le prisme
43
15.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
15.2 Conditions d’émergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
16 Miroirs sphériques
45
16.1 Caractéristiques et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
16.2 Rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
17 Lentilles minces
17.1 Définitions . . . . . . . .
17.2 Foyers, plans focaux . .
17.3 Construction des images
17.4 Relations . . . . . . . .
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18 Bases de l’électrocinétique
18.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Circuit électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.3 Conventions d’étude des dipôles . . . . . . . . .
18.2.4 Grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.5 Dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.6 Association de dipôles passifs . . . . . . . . . .
18.2.7 Dipôles linéaires réels . . . . . . . . . . . . . .
18.2.8 Association de dipôles passifs et actifs linéaires
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TABLE DES MATIÈRES
19 Réponses libres et réponses à un échelon de circuits R, L, C 57
19.1 Considérations énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
19.2 Réponse à un échelon indiciel d’un circuit du premier ordre . . . 58
19.3 Réponse libre d’un circuit du second ordre . . . . . . . . . . . . . 58
19.3.1 Sans amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
19.3.2 Avec amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
19.4 Réponse à un échelon d’un circuit du second ordre . . . . . . . . 59
20 Amplificateur opérationnel idéal en fonctionnement linéaire
61
21 Régime sinusoidal forcé
63
21.1 Formalisme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
21.2 Etude de circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
22 Filtres du premier et second ordre
22.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . .
22.2.1 Caractéristiques . . . . . . .
22.3 Filtres du premier ordre . . . . . . .
22.3.1 Passe-bas du premier ordre .
22.3.2 Passe-haut du premier ordre
22.4 Filtres du second ordre . . . . . . . .
22.4.1 Passe-bas du second ordre . .
22.4.2 Passe-haut du second ordre .
22.4.3 Passe-bande du second ordre
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23 Electrostatique
23.1 Charges et champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . .
23.1.1 Champ créé par une charge ponctuelle . . . . . . . .
23.1.2 Champ créé par une distribution continue de charges
23.2 Symétries et antisymétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.3 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.4 Topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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24 Magnétostatique
77
24.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
24.2 Champ magnétique créé par un courant . . . . . . . . . . . . . . 78
25 Mouvement d’une particule chargée dans
ou magnétique
25.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.2 Particule soumise uniquement à un champ
25.2.1 Champ électrique . . . . . . . . . .
25.2.2 Champ magnétique . . . . . . . . .
25.3 Lois locales . . . . . . . . . . . . . . . . .
un champ électrique
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26 Dipôle électrostatique et dipôle magnétostatique
81
26.1 Dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
26.1.1 Interaction entre un dipôle et un champ extérieur . . . . . 82
26.2 Dipôle magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
v
TABLE DES MATIÈRES
27 Premier principe de la thermodynamique
27.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2 Transformations et transferts . . . . . . .
27.3 Energie interne . . . . . . . . . . . . . . .
27.4 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.5 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.6 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . .
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85
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28 Second principe de la thermodynamique
28.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.2 Systèmes non calorifugés : entropie d’échange
28.3 Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . .
28.3.1 Le réfrigérateur . . . . . . . . . . . . .
28.3.2 La pompe à chaleur . . . . . . . . . .
28.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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91
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29 Changements d’état : étude descriptive
en équilibre
29.1 Les changements d’état d’un corps pur .
29.1.1 Projection dans le plan(p,T) . .
29.2 Equilibre liquide-gaz . . . . . . . . . . .
29.3 Grandeurs thermodynamiques . . . . . .
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du corps pur diphasé
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93
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30 Gaz parfait monoatomique
97
30.1 Modèle du gaz parfait monoatomique . . . . . . . . . . . . . . . . 97
30.2 Coefficients thermoélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A Résoudre une équation
A.1 Premier ordre . . . .
A.2 Second ordre . . . .
A.3 Equation sinusoidale
différentielle
101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B Elements infinitésimaux
B.1 Déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
103
103
104
C Constantes et unités
C.1 Constantes . . . . . . . .
C.2 Unités . . . . . . . . . . .
C.3 Notations . . . . . . . . .
C.3.1 Mécanique . . . . .
C.3.2 Thermodynamique
C.3.3 Symboles . . . . .
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105
105
105
105
106
106
106
D Glossaire
D.1 Général . . . . . .
D.2 Mécanique . . . . .
D.3 Optique . . . . . .
D.4 Thermodynamique
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107
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107
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vi
TABLE DES MATIÈRES
Index
109
Table des figures
113
vii
TABLE DES MATIÈRES
viii
Chapitre 1
Cinématique
1.1
Systèmes de repérage
Référentiel
repère spatial (définit un espace géométrique dans lequel on
effectue des mesures) + repère temporel
Coordonnées cartésiennes
– M (x, y, z)
– −∞ < x, y, z < +∞
−−→
−
→
−
→
– OM = x.−
u→
x + y.uy + z.uz
(figure 1.1)
Fig. 1.1 – Repérage cartésien
Coordonnées cylindriques
(figure 1.2)
– M (r, θ, z)
– r>0
0 < θ < 2π
− ∞ < z < +∞
1
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
−−→
→ + z.−
→
– OM = r.−
u
u
r
z
→ disparait
– remarque : en coordonnées polaires, −
u
z
−
→
dur
−
→
– on a
= uθ
dθ
Fig. 1.2 – Repérage cylindrique
Coordonnées sphériques
(figure 1.3)
– M (r, θ, φ)
– r>0
0<θ<π
0 < θ < 2π
−−→
→
– OM = r.−
u
r
Fig. 1.3 – Repérage sphérique
1.2
Vitesse, accélération, trajectoire
Vitesse d’un point
−
: le vecteur vitesse →
v est tangent à la trajectoire de M.
−−→
dOM
→
−
v =
dt
2
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
−
Accélération d’un point
: le vecteur accélération →
a est dirigé vers la
concavité de la trajectoire de M.
−
d→
v
→
−
a =
dt
–
–
–
→
−
−
a .→
v > 0 : accélération
→
−
→
a .−
v < 0 : décélération
→
−
−
a .→
v = 0 : vitesse constante
Trajectoire
horaires.
Exemples :
– cercle :
équation obtenue en éliminant le temps à partir des équations
x(t) = R cos ωt
y(t) = R sin ωt
– parabole :
(
x(t) = v0 t
g
y(t) = − t2
2
3
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
4
Chapitre 2
Dynamique
Masse : additive et indépendante du référentiel (en kg).
→
−
−
p =m·→
v
Quantité de mouvement
2.1
Lois de Newton
−−→
−
1. Principe d’inertie si →
v = cste alors le point a un mouvement recti→
−
→
−
ligne et uniforme (si v = 0 , le point est immobile).
P→
−
→
−
−
2. Principe fondamental de la dynamique m · →
a =
F avec F les
i
i
forces appliquées au point.
3. Loi des actions réciproques soient deux points M1 et M2 en inter−−−−−−→
−−−−−−→
action, alors FM1 →M2 = −FM2 →M1 (réaction non causale).
Référentiel galiléen
2.2
référentiel où peut s’appliquer le principe d’inertie.
Forces usuelles
– gravitationnelle :
−−−−−−→
m1 m2 →
FM1 →M2 = −G 2 · −
u12
r
→
−
→
−
– électrostatique (attractive ou répulsive) : F = q E
– de rappel par un ressort :
→
−
−
F = −k(l − l0 ) · →
u
5
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE
Avec l0 , longueur à vide et k, raideur du ressort. Dans le cas d’un ressort idéal
(masse nulle, linéaire), k = cste
– exercée par un fil (attractive) : la tension est inconnue lors d’un problème : il
faut choisir une base où la force n’intervient pas. On a la relation module de
la force = tension. Elle est constante dans le cas d’un fil idéal (masse nulle,
raideur infinie).
– de frottements :
→
−
−
– visqueux : F = −h · →
v
→
−
→
−
– fluide : F = −A · v · v
→
−
−→ −→
– de liaison avec un support (réaction) : R = RN + RT
→
−
→
−
−
−
– si →
v 6= 0 : R est de même direction que →
v mais de sens opposé. On a
−→
−→
||RT || = µ||RN ||, avec µ, facteur de frottement dynamique.
−→
→
− −→
−
– si →
v = 0 : |RT || 6 µS ||RN || avec µS , facteur de frottement statique.
– il existe deux sortes : uni- et bilatérale.
2.3
Application du PFD
1. définition du système (point, objet...)
2. définition du référentiel (galiléen ou non...)
3. bilan des forces s’appliquant au système
4. application du PFD
5. choix d’une base de projection adaptée
6. résolution des équations
6
Chapitre 3
Énergétique
→
−
Soit F une force appliquée au point M.
3.1
Définitions et théorèmes
→
− −
Puissance
P = F ·→
v (en W)
→
−
– P > 0 : F motrice
→
−
– P < 0 : F résistante
→
−
– P = 0 : F ne travaille pas
→
− −−→
−−→
Travail élémentaire : δW = F · dOM = P · dt (en J) avec dOM , le déplacement
élémentaire.
Travail entre deux points
Z
M2
δW
W1→2 =
M1
Théorème de la puissance cinétique
P=
dEc
dt
Théorème de l’énergie cinétique
W1→2 = Ec1 − Ec2
Remarque : les deux théorèmes précédents ne permettent de déterminer l’équation différentielle d’un mouvement que pour les systèmes à un degré de liberté.
7
CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE
Force conservative
force dont le travail ne dépend pas du chemin emprunté.
Travail d’une force conservative
variation d’une fonction (définie à une
constante près) appelée énergie potentielle
W1→2 = Ep (M1 ) − Ep (M2 )
Exemples d’énergies potentielles :
– de pesanteur : Ep = mgz
– de rappel d’un ressort :
Ep =
1
k(x − x0 )2
2
– de gravitation :
Ep = −G
m1 m2
r
Théorème de l’énergie mécanique
Em2 − Em1 = W1→2,nc
Avec Wnc , travail des forces non conservatives. Si Wnc < 0, alors ces forces sont
dissipatives.
Système conservatif
toutes les forces appliquées sont conservatives.
Intégrale première du mouvement
Pour un système conservatif, on a
Em = cste
3.2
Mouvements à un degré de liberté
Dérivée de l’énergie potentielle :
– puit de potentiel : état lié (mouvement périodique) (figure 3.1)
– barrière de potentiel : état de diffusion (figure 3.2)
Fig. 3.1 – Barrière de potentiel
Un exemple (figure 3.3)
8
CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE
Fig. 3.2 – Puit de potentiel
Fig. 3.3 – Exemple d’énergie potentielle
– Em1 : état de diffusion
– Em2 : état lié (mouvement périodique)
Positions d’équilibre
si
dEp (x0 )
=0
dt
Alors x0 est une position d’équilibre (voir figure 3.4), cela correspond à une
tangente horizontale :
– stable : correspond à un minimum
– instable : correspond à un maximum
– indifférent
Fig. 3.4 – Positions d’équilibre
9
CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE
Approximation parabolique
donc
Au voisinnage de xeq , Ep ≈ parabole. On a
Ep (x) = Ep (xeq ) +
k(x − x0 )2
2
Si Em = cste, on applique le TEM, et on obient l’équation
ẍ +
k
k
x = xeq
m
m
Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique (solution sinusoïdale).
10
Chapitre 4
Mouvement libre d’un
oscillateur à un degré de
liberté
4.1
Introduction
Approximation parabolique
mẍ + k(x − x0 ) = 0
On pose ε = x − x0 , donc ε̈ = ẍ (valable pour de petits déplacements), et on
obtient
k
ε̈ + ε = 0
m
4.2
Régime libre d’un oscillateur non amorti
ẍ + ω02 x = 0
Solution :
x = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) = C cos(ω0 t + ϕ)
Portait de phase
ellipse (harmonique), trajectoire fermée (oscillateur).
11
CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D’UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE
LIBERTÉ
On a
1
k C2
2
Elle est constante pour des conditions initiales données.
Em =
4.3
Régime libre d’un oscillateur amorti
Forme normalisée de l’équation différentielle
ẍ + 2ξω0 ẋ + ω02 x = 0
Avec ξ, coefficient d’amortissement.
On définit le facteur de qualité Q tel que
Q=
1
2ξ
Résolution :
– Equation caractéristique
r2 + 2ξω0 r + ω 2 = 0
– Calcul du discriminant
– si ∆ > 0 (ξ > 1) : 2 racines réelles r1 et r2
x = A exp(r1 t) + B exp(r2 t)
– si ∆ < 0 (ξ <p1) : 2 racines complexes conjuguées r1 = r2 = −ξω0 + jωA
avec ωA = ω0 1 − ξ 2
x = A cos(ωA t) + B sin(ωA t) exp(−ξω0 t) = C cos(ωA t + ϕ) exp(−ξω0 t)
– si ∆ = 0 (ξ = 1) : une racine double r0 = −ω0
x = (A + Bt) exp(ω0 t)
4.3.1
Régime pseudo-périodique (Q > 1/2)
– TA : pseudo-période
– ωA : pseudo-pulsation (TA ωA = 2π)
– Enveloppe : exp(−ξω0 t)
Temps caractéristique de décroissance
τ=
1
ξω0
12
(ou temps de relaxation)
CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D’UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE
LIBERTÉ
Décrément logarithmique
x(t0 + TA )
= exp(−ξω0 TA ) = exp(−δ)
x(t0 )
δ=r
2π
2π
=p
1
4Q2 − 1
−1
ξ2
Décroissance de l’énergie mécanique
Em (t0 + TA )
= exp(−2δ)
Em (t0 )
Portrait de phase : la trajectoire contourne le point attracteur dans le sens
indirect, à t → +∞, le point retrouve une position d’équilibre stable.
4.3.2
Régime apériodique (Q < 1/2)
Allure : pas d’oscillations, x somme de deux exponentielles décroissantes. On
pose
1
1
τ2 = −
τ1 = −
r1
r2
La plus grande impose la décroissance.
Portrait de phase : le point est directement attiré malgré une tentative de
contournement.
4.3.3
Régime critique (Q = 1/2)
Allure : pas d’oscillations, il s’agit du régime pour lequel le retour à la position
d’équilibre est le plus rapide.
On définit le coefficient de frottement pour régime critique : h = 2mω
Portrait de phase : semblable à celui du régime apériodique.
13
CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D’UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE
LIBERTÉ
14
Chapitre 5
Oscillateurs mécaniques en
régime sinusoidal forcé
Equation de mouvement
mẍ + hẋ + kx = fa
Où fa correspond à la force d’excitation qui s’applique à M(a), qui peut s’exprimer ainsi
fa (t) = Fam cos(ωt)
On cherche
x(t) = Xm cos(ωt + ϕ)
Réponse en élongation : on utilise le formalisme complexe pour trouver la solution en régime permanent.
Etude de v(t)
v(t) = Vm cos(ωt + ψ)
Relations :
– V = ωX ⇒ ψ = ϕ + π/2, Vm = ωXm .
ω0
– Q=
où ∆ω est la largeur de la bande passante.
∆ω
Il y a toujours résonnance en vitesse (l’intensité dépend de ξ).
Réponse en puissance
→
− −
P(t) = fa · →
v = fa v = Fam cos(ωt)Vm cos(ωt + ψ)
Puissance moyenne
hP(t)i =
Fam Vm
cos ψ
2
15
CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ
Il y a toujours résonnance en puissance pour ω = ω0 car la puissance fournie
par fa (t) vaut
1
hPi = hVm2
2
16
Chapitre 6
Théorème du moment
cinétique
−
Soit M un point matériel de masse m, de vitesse →
v dans un référentiel R, et O
un point de l’espace.
6.1
6.1.1
Moment cinétique
Moment cinétique d’un point matériel
Par rapport à un point
Il s’agit du moment de la quantité de mouvement par rapport à O (en kg·m2 ·s−1 )
−
→ −−→
−
L0 = OM ∧ m→
v
Propriétés :
−
– Si M se déplace radialement par rapport à O ou si le support de →
v passe par
−
→
−
→ →
−
O, L0 = 0. Sinon, L0 6= 0 .
−−→
−
– Sa direction est perpendiculaire par rapport à →
v et OM .
– Son sens est donné par la règle du tire-bouchon.
−
→
−−→ −
– Son module vaut ||L0 || = OM · mv| sin(OM , →
v )|.
Le moment cinétique renseigne sur le mouvement de rotation de M autour du
point O.
17
CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE
−
→
Expression de L0 dans le cas d’un mouvement plan en coordonnées polaires
−
→
→
L0 = mr2 θ̇ · −
u
z
Où θ̇ = ω, vitesse de rotation angulaire.
Par rapport à un axe orienté
−
→
Il s’agit de la projection du moment cinétique L0 sur un axe ∆ orienté
−
→ →
L∆ = L0 · −
u∆
Propriétés :
– L∆ est indépendant du point O choisi sur l’axe.
−
−
– Si le support de →
v est parallèle à l’axe ∆ ou si les supports de →
v et ∆ sont
concourants, L∆ = 0.
Le moment cinétique renseigne sur le mouvement de rotation de M par rapport
à l’axe ∆.
6.1.2
Moment d’une force
Par rapport à un point
−→ →
−
−−→ →
−
M0 ( F ) = OM ∧ F
→
−
−→ →
−
→
−
Unité : N · m = J Si le support de F passe par O, M0 ( F ) = 0
Par rapport à un axe
→
−
−→ →
−
M∆ ( F ) = M 0 ( F ) · −
u→
∆
Il possède les mêmes propriétés que L∆ .
→
−
→
−
Calcul de M∆ ( F ) à partir du bras de levier (cas où le support de F est perpendiculaire à ∆)
→
−
|M∆ ( F )| = OH · F = b · F
→
−
→
−
M∆ ( F ) > 0 si F tend à faire tourner M autour de ∆ dans le sens positif, et
inversement.
18
CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE
6.1.3
Théorème du moment cinétique
En un point O fixe dans Rg
Théorème du moment cinétique
−
→ X
−→ →
−
dL0
=
M0 (Fi )
dt
i
Il en découle par projection sur l’axe ∆
X
→
−
dL∆
=
M ∆ ( Fi )
dt
i
19
CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE
20
Chapitre 7
Mouvements à force centrale
conservative
7.1
Définition
Mouvement à force centrale
Dans un référentiel donné, une force est dite
centrale si elle pointe en permanence vers un point fixe de ce référentiel, appelé
centre de force. La force est de la forme
Soit M soumis à la seule force centrale conservative
→
−
K→
F = 2−
ur
r
Dérivant de l’énergie potentielle
Ep =
7.2
K
r
Lois de conservation
Conséquences (théorème du moment cinétique) :
– conservation du moment cinétique ;
– le mouvement est plan et mr2 θ̇ = cste ;
– Loi des aires
Durant des intervalles de temps égaux, le rayon vecteur
−−→
L0
= C, où C est la constante des
OM balaie des surfaces égales : r2 θ̇ =
m
aires.
Rappel : On a la relation δW = −dEp
21
CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE
Exemples de forces centrales
– Force d’interaction gravitationnelle (attractive) : K = −Gm0 m
q0 q
– Force d’interaction électrostatique (attractive ou répulsive) : K = −
4πε0
Il y a conservation de l’énergie mécanique
Em =
K
1
1 L20
+
mṙ2 +
2
|2 {z } |2 mr{z r}
Ec∗
Ep∗
Où Ep∗ est l’énergie potentielle effective et Ec∗ l’énergie cinétique effective(ou
radiale).
7.3
Etude des mouvements dans un champ de
force
Etude qualitative de la trajectoire :
– Interaction attractive :
– Em < 0 (état lié) → ellipse.
– Em > 0 (état de diffusion) → hyperbole.
– Em = 0 (état de diffusion) → parabole.
– Interaction répulsive : on a forcément Em > 0 (état de diffusion) → hyperbole.
Lois
1.
2.
3.
de Kepler
ce sont des lois expérimentales
Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont un foyer est le Soleil.
Loi des aires.
Le carré de la période de révolution T des planètes autour du Soleil est
proportionnel au cube du demi grand-axe de l’ellipse qu’elle parcourt
T2
4π 2
=
= cste
a3
Gm0
7.3.1
Relations
Première vitesse cosmique
toire circulaire
Vitesse de rotation dans le cas d’une trajecr
Gm0
v=
R
Vitesse de libération
Appelée aussi deuxième vitesse cosmique, il s’agit
de la vitesse minimale que l’on doit fournir à M de masse quand il se trouve à
r = r0 de O pour qu’il se libère de son attraction
r
2Gm0
v=
r0
22
CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE
Relations énergétiques
Ep = −2Ec
7.3.2
Em = −
1 Gm0 m
= −Ec
2 a
Etude des trajectoires
Equations liant r à θ (méthode de Binet)
Où
r=
−p
1 − e cos θ
si K > 0
r=
p
1 − e cos θ
si K < 0
AL20 e=
KM 2 L p = 0 KM
Relation énergie mécanique-excentricité
Em =
−|K|
(1 − e2 )
2p
Trajectoires possibles pour K > 0
La trajectoire est une branche d’hyperbole (car e > 1 forcément) de foyer O ne
contournant pas le centre de force, avec
1
|θ| < arccos
e
Au péricentre, on a
ṙ = 0
rmin =
−p
1−e
Trajectoires possibles pour K < 0
– e > 1 : la trajectoire est une branche d’hyperbole de foyer O contournant le
centre de force, avec
−1
|θ| < arccos
e
Au péricentre, on a
ṙ = 0
rmin =
23
p
1+e
CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE
– e = 1 : la trajectoire est une parabole de foyer O. Au péricentre, on a
ṙ = 0
rmin =
p
2
– e < 1 : la trajectoire est une ellipse dont l’un des foyers est O. Si e = 0, la
trajectoire est un cercle.
Trajectoire elliptique
Fig. 7.1 – Ellipse
A : apocentre, P : péricentre, C : centre, F et F’ : foyer, O : centre de force, p :
paramètre, r : rayon, a : demi grand-axe, b : demi petit-axe, c : distance focale.
On peut montrer les relations suivantes
e=
c
a
a2 − b2 = c2
Vitesse aréolaire
OP = r(0) = a − c
dS
C
πab
=
=
dt
2
T
24
OA = r(π) = a + c
Chapitre 8
Changements de référentiels
8.1
Définitions
Décrire le mouvement de R0 par rapport à R revient à décrire le mouvement du
solide S’ par rapport à R. Pour cela, il suffit de donner :
– La vitesse d’un point quelconque de S’ (par exemple O’).
−−−−→
– La rotation de S’ par rapport à R, notée ΩR0 /R .
Torseur cinématique des vitesses d’un solide
→
−−−−→ −−−
−
−
→ 0
0
0 0
v→
R (P ) = vR (N ) + ΩR0 /R ∧ N P
Formule de Varignon
Aussi appelée formule de dérivation vectorielle
→
−!
−−−−→ →
−
dA
= ΩR0 /R ∧ A
dt
0
R
Si R0 est en translation par rapport à R, son mouvement relatif est décrit par :
−−−−→ →
−
– Une rotation nulle ΩR0 /R = 0 .
– La vitesse de n’importe laquelle de ses points.
Si R0 est en rotation pure par rapport à un axe fixe de R orienté par le vecteur
unitaire −
u→
∆ auquel appartient le point O’, son mouvement relatif est décrit par :
−−−−→
0
– Une ΩR0 /R = ω −
u→
∆ , où ω est la vitesse de rotation angulaire de R par rapport
à R.
→
−
– −
v→
R = 0.
Point coincident
On appelle point coincident avec M à l’instant t le point
P’ fixe dans R0 qui est confondu avec M à l’instant t.
25
CHAPITRE 8. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS
8.2
Lois de composition
Vitesse d’entrainement
Vitesse par rapport à R du point P’ fixe dans R0
coincidant avec M à l’instant t
−−−−→ −−0−→
→
−
0
ve = −
v→
R (O ) + ΩR0 /R ∧ O M
Loi de composition des vitesses
−
−→ 0
→
−
v→
R (M ) = vR0 (M ) + ve
Accélération d’entrainement
Accélération par rapport à R du point P’
fixe dans R0 coincidant avec M à l’instant t
−
→
dΩ −−0−→ −−−−→ −−−−→ −−0−→
→
−
−
→
0
ae = aR (O ) +
∧ O M + ΩR0 /R ∧ (ΩR0 /R ∧ O M )
dt
Accélération de Coriolis
Aussi appelée accélération complémentaire, elle
n’existe que que si le point M est mobile par rapport à R0 et si R0 est en rotation
par rapport à R
−−−−→
→
−
→0 (M )
ac = 2ΩR0 /R ∧ −
vR
Loi de composition des accélérations
−
−→ 0
→
− →
−
a→
R (M ) = aR0 (M ) + ae + ac
Cas particuliers :
– Translation pure
→
−
→0 (O0 )
ve = −
vR
– Rotation pure
→
−
→0 (O0 )
ae = −
aR
−−−−→ −−→
→
−
ve = ΩR0 /R ∧ HM
→
−
→
−
ac = 0
−−→
→
−
ae = −ω 2 HM
Où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation et ω la vitesse de
rotation angulaire. L’accélération d’entrainement est centripète.
26
Chapitre 9
Dynamique en référentiel non
galiléen
Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par
rapport aux autres.
Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen Soit
→
−
M(m) auquel s’applique F dans Rg galiléen, et soit R0 un référentiel non galiléen.
− −→
−→
→0 (M ) = →
m−
aR
F + Fie (M ) + Fic (M )
−→
−→
−
−
Avec Fie (M ) = −m→
ae (M ) la force d’inertie d’entrainement et Fic (M ) = −m→
ac (M )
la force d’inertie de Coriolis.
Ces forces d’inertie ne découlent d’aucune interaction fondamentale.
−→ →
−
Lorsque l’on s’intéresse à un équilibre, on a Fic = 0 .
Les différents théorèmes (théorème du moment cinétique, de la puissance cinétique, de l’énergie cinétique, de la puissance mécanique, de l’énergie mécanique)
peuvent être appliqués
−
→!
−−→ →
− −−→ →
−
−−→ −→
→
−
→
−
dL0
dEcR0
= MO0 ( F )+MO0 ( F ie )+MO0 (Fic )
= PR0 ( F )+PR0 ( F ie )
dt
dt
R0
0
R
1→2
∆EcR
0
=
−
→
1→2 →
1→2 −
WR
( F )+WR
(Fie )
0
0
dEm R0
dt
Remarques :
– La force de Coriolis ne travaille pas.
27
R0
−−→
= PR0 (FN C )
1→2
1→2 −−→
∆Em
R0 = Wm R0 (FN C )
CHAPITRE 9. DYNAMIQUE EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN
– Généralement, la force d’entrainement n’est pas conservative.
– Une force peuvent travailler dans un référentiel et pas dans un autre.
28
Chapitre 10
Systèmes formés de deux
points matériels
10.1
Cinétique
Quantité de mouvement totale dans R
→
−
−
−
p = m1 →
v1 + m2 →
v2 = M −
v→
G
avec
M = m1 + m2
Moment cinétique total par rapport à un point dans R
−→ −−−→ →
−−−→ −
LO = OM1 ∧ −
p1 + OM2 ∧ →
p2
Formule de changement de point pour le moment cinétique
−−→ −→ −−0→ →
LO0 = LO + O O ∧ −
p
Energie cinétique totale dans R
Ec =
1
1
m1 v12 + m2 v22
2
2
Barycentre G de deux points
−−−→
−−−→
−−→ m1 OM1 + m2 OM2
OG =
m1 + m2
−−−→
−−−→ →
−
m1 GM1 + m2 GM2 = 0
29
CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS
Référentiel barycentrique
On appelle référentiel barycentrique R∗ associé
au référentiel d’étude R, un référentiel en translation par rapport à R dans lequel
G est fixe. Il n’est pas forcément galiléen.
Quantité de mouvement totale dans R∗
→
−∗ →
−
p = 0
Moment cinétique total dans R∗ ou barycentrique
−
→
point par rapport auquel il est calculé, il est noté L∗
indépendant du
Théorème de Koenig relatif au moment cinétique
→ −−→ −
−→ −
LO = L∗ + OG ∧ →
p
Théorème de Koenig relatif à l’énergie cinétique
1
Ec = Ec∗ + M v 2 (G)
2
10.2
Dynamique
−−−→
−−−→
– Forces intérieures : forces d’interaction entre M1 et M2 : F1→2 = −F2→1
– Forces extérieures : forces exercées sur M1 et M2 n’appartenant pas au système
Théorème de la quantité de mouvement dans R galiléen
−
−−→
d→
p
= Fext
dt
Théorème du centre d’inertie (ou de masse) dans R galiléen
−−→
M−
a→
G = Fext
Théorème du moment cinétique dans R galiléen
−→
−−→ −−→
dLO
= MO (Fext )
dt
−−→
Travail des forces intérieures
δW (Fint ) = F1→2 dr. Si M1 et M2 forment
un système rigide (M1 M2 = cste), ce travail est nul. Son calcul ne dépend pas
du référentiel.
Théorème de l’énergie cinétique pour un système de deux points
−−→
−−→
∆Ec = W (Fint ) + W (Fext )
30
CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS
Théorème de la puissance cinétique pour un système de deux points
−−→
−−→
dEc
= P (Fint ) + P (Fext )
dt
avec
−−→
dr
P (Fint ) = F1→2
dt
Energie mécanique
Em = Ec + Ep,int + Ep,ext
Théorème de l’énergie mécanique
−−−−−→
−−−−−→
∆Em = W (Fint,N C ) + W (Fext,N C )
10.3
Système isolé
−
→
−−→ →
−
−−→
−
Comme Fext = 0 , R est galiléen, alors on a →
p = cste, R∗ est galiléen, L∗ =
−→
−−→
∗
= cste.
cste, et, si les forces intérieurs sont conservatives, Em
L’étude du mouvement relatif se ramène à l’étude la particule réduite :
m1 m2
– de masse µ =
m1 + m2
−−→ −
−−−−→
– situé en M tel que GM = →
r = M1 M2
→
−
−−−→
– soumise à la force centrale F = F1→2 passant par G
−
2→
→
−
d r
– répondant à l’équation µ 2 = F
dt
Les mouvements de M1 et M2 sont homothétiques (de centre G) de celui de la
particule réduite :
−−−→
GM1 = −
−−−→
GM2 =
m2 →
−
r
m1 + m2
31
m1 →
−
r
m1 + m2
CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS
32
Chapitre 11
Référentiels galiléens
approchés
Champ de gravitation
créé en M par A :
−−−→
−
→
F grav = mGa (M )
A→B
−
→
−GmA
avec Ga (M ) =
r2
Un champ extérieur et uniforme n’a aucune influence sur les mouvements de
−→
M1 et M2 dans R∗ et −
a→
G = GA .
Sinon
−−→ −−−→
m1 m2 −
m2 a∗M2 = F1→2 +
γ→
A
m1 + m2
−
→
−
→
avec −
γ→
A = Ga (M2 ) − Ga (M1 ), le terme différentiel (ou de marée). La résultante des forces de marées et d’attraction est une force centrale, et le système
(non rigide) peut se déformer.
Origine des référentiels :
– de Copernic : centre de masse du système solaire ;
– héliocentrique : centre du Soleil ;
– géocentrique : centre de la Terre.
Note : les référentiels hélio- et géocentrique sont en translation par rapport à
celui de Copernic, dont les trois directions sont données par trois étoiles "fixes"
(lointaines). Le référentiel terrestre est en rotation uniforme par rapport au
référentiel géocentrique.
Poids
En référentiel terreste, le poids est défini comme la force opposée à
celle qui le maintient en équilibre dans le référentiel terrestre et on a
→
−→
~ = m−
GT (M ) + Fie
P~ = −R
33
CHAPITRE 11. RÉFÉRENTIELS GALILÉENS APPROCHÉS
Champ de pesanteur
−
Noté →
g , il est défini tel que
→
−
−
P = m→
g
−→
→
−
−
g = GT (M ) − m→
ae
L’accélération d’entrainement fait varier g d’environ 0.3%.
Force de Coriolis
Expression dans le référentiel terrestre

 

−ω cos λ
ẋ
−→
→
− −
 ∧  ẏ 
0
Fic = −2m Ω ∧ →
v = −2m 
ω sin λ
ż
Si v = 700m.s−1 , le rapport entre la force de Coriolis et le poids vaut 1%.
−→
Première approximation : résoudre le problème (PFD) en négligeant Fic , puis
−→
on introduit le terme correctif qui correspond à Fic , et dans l’expression, on
−
remplace →
v par celle obtenue juste avant.
34
Chapitre 12
Statique des fluides dans le
champ de pesanteur
12.1
Pression et force
→
−
→
−
Pression
Elle est définie par d F = p d S , avec p en Pa, F en N et S en
m2 . La force pressante s’interprète comme la force exercée par les chocs des
molécules de fluide sur la surface. Son module est indépendant de l’orientation
de la surface.
Autres unités :
– 1 bar = 105 P a
– 1 atm = 1, 013 hP a
– mm de Hg, torr, PSI
Equivalent volumique des forces pressantes
→
−
→
−
dF
dp(z) −
→
fv =
=−
u
z
dV
dz
ZZZ
→
−
→
−
F =
fv dV
avec dV = dx dy dz
Relation fondamentale de la statique des fluides
dp
= −ρg
dz
Modèle de l’atmosphère isotherme
Pour T = T0 ∀z. On a l’équation
dp
pMair
=−
g
dz
RT0
35
CHAPITRE 12. STATIQUE DES FLUIDES DANS LE CHAMP DE PESANTEUR
Et la solution est
p = p0 exp
−Mair gz
RT0
Où Mair est la masse de l’air.
Application aux fluides incompressibles (ρ = cste)
pA − pB = −ρg(zA − zB )
Théorème de Pascal
différences de pression.
Un fluide incompressible transmet intégralement les
Théorème d’Archimède
Un corps entièrement plongé dans un fluide subit
de la part de celui-ci une force unique appelée poussée d’Archimède, qui est
−→
opposée au poids du volume déplacé, notée FA .
Notes : elle s’applique au centre d’inertie du fluide déplacé par le solide. Le fluide
déplacé et le fluide environnant doivent être à l’équilibre.
12.2
Cinétique des fluides dans le champ de pesanteur
Densité particulaire
Il s’agit du nombre de particules par unité de volume,
noté n∗ . Dans le cas du modèle de l’atmosphère isotherme, on a la relation
−Ep (z)
n∗ = n0 exp
kb T0
Avec Ep (z) = mgz, l’énergie potentielle d’une particule. Le terme kb T0 rend
compte de l’agitation thermique.
Loi de Boltzmann
Dans un système en équilibre, la probabilité de trouver
une particule dans un état d’énergie E donné est proportionnel au facteur de
Boltzmann
E
exp
kb T0
36
Chapitre 13
La lumière en optique
géométrique
13.1
Ondes
Onde électromagnétique
propager.
elle ne nécessite pas de milieu matériel pour se
Caractéristiques d’une onde monochromatique :
– longueur d’onde λ ;
– période T ;
– fréquence ν ;
– célérité v ;
– pulsation ω ;
– amplitude.
On a les relations suivantes
λ = vT =
v
ν
ν=
37
1
T
ω = 2πν
CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Spectre électromagnétique
(figure 13.1)
Fig. 13.1 – Spectre électromagnétique
13.2
Milieux
Caractéristique d’un milieu :
– homogène ;
– isotrope ;
– indice de réfraction
n=
c
v
– en changeant de milieu, v varie, mais pas ν ;
Quelques indices : nair = 1, neau = 1.33, nverre = 1.5
Milieu dispersif
n dépend de la fréquence de l’onde.
38
CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
13.3
Rayons
Fig. 13.2 – Dioptre
Lois des rayons
– indépendants : ils n’intéragissent pas entre eux ;
– ils se propagent en ligne droite.
Dioptre
13.2).
Surface de séparation entre deux milieux transparents (voir figure
Plan d’incidence
plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre.
Rayon réfracté (ou transmis)
Rayon réfléchi
rayon du second milieu.
rayon renvoyé dans le premier milieu.
Lois de Snell-Descartes
n1 sin i1 = n2 sin i2
i01 = −i1
Si n2 > n1 alors n2 est plus réfringent et |i2 | < |i1 |. Le rayon réfracté se
rapproche de la normale.
Angle limite de réfraction
i1 = π/2
n1
n2
n2
n1
|i2,lim | = arcsin
Angle de réfraction totale
i2 = π/2
|i1,lim | = arcsin
39
CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
40
Chapitre 14
Formation des images
14.1
Définitions générales
– Système optique
succession de miroirs et/ou de milieux de propagations
séparés par des dioptres.
– Stigmatisme
tous les rayons de A convergent en A’, ce dernier est le point
image de A (on dit que A et A’ sont conjugués).
– Système optique centré
système optique qui possède un axe de révolution appelé axe optique.
– Aplanétisme
l’image d’un objet perpendiculaire à l’axe l’est aussi.
– Point réel
intersection des rayons, située après la sortie pour une image,
ou avant l’entrée pour un objet.
– Point virtuel
intersection du prolongement des rayons, située avant la
sortie pour une image, ou après l’entrée pour un objet.
– Foyer image
image d’un point A situé à l’infini sur l’axe.
– Foyer objet
il a pour image un point A’ situé à l’infini sur l’axe.
– Plan focal image
l’image ϕ0 (foyer image secondaire) d’un point objet
situé à l’infini hors axe est située dans le plan focal image.
– Plan focal objet
un point ϕ (foyer objet secondaire) appartenant au plan
focal objet a pour image un point situé à l’infini hors axe.
– remarque : une image virtuelle n’est pas projetable sur un écran.
Pour déterminer l’emplacement d’un objet à partir de l’image, on utilise le
principe du retour inverse de la lumière.
Conditions de Gauss
– les rayons sont faiblement inclinés sur l’axe optique ;
– les rayons interceptent les dioptres à une hauteur faible devant les rayons de
courbure.
– remarque : les rayons sont dits paraxiaux.
41
CHAPITRE 14. FORMATION DES IMAGES
Dans ce cas, on a un système optique centré approximativement stigmatique et
aplanétique.
14.2
Relations
Relations de conjugaison
– miroir plan
HA0 = −HA
– dioptre plan
HA0
HA
=
n2
n1
Grandissements
– transversal
γ=
A0 B 0
AB
– angulaire
α0
α
– si γ > 0, l’image est droite, sinon, elle est renversée.
γa =
42
Chapitre 15
Le prisme
Fig. 15.1 – Prisme
15.1
Relations
n sin r0 = sin i0
sin i = n sin r
A = r + r0
Déviation
D = i + i0 − A
Angle limite de réfraction
ˆl = arcsin 1
n
43
CHAPITRE 15. LE PRISME
15.2
–
–
–
–
Conditions d’émergence
si A > r, A 6 r + ˆl et A 6 2ˆl
si A < r, A > r + ˆl
si A = 2ˆl, r = r0 = ˆl et i = i0 = π/2
A − ˆl 6 r 6 ˆl
Pour les petits angles
i0 = nr0
i = nr
D = A(n − 1)
44
Chapitre 16
Miroirs sphériques
16.1
Caractéristiques et relations
Le foyer objet est confondu avec le foyer image.
Vergence
v=
1
f0
exprimée en dioptrie δ
Relations de conjugaison
– origine au sommet
1
1
2
1
1
+
=
=
= 0
f
SA SA0
SC
SF 0
– origine au centre
1
1
2
1
1
+
=
=
= 0
0
f
CA CA
CS
SF
– origine aux foyers
F A · F A0 = f 02
– grandissement
γ=
16.2
A0 B 0
CA0
SA0
=
=−
AB
CA
SA
Rayons
45
CHAPITRE 16. MIROIRS SPHÉRIQUES
Fig. 16.1 – Miroir concave
Fig. 16.2 – Miroir convexe
46
Chapitre 17
Lentilles minces
17.1
Définitions
La lentille est dite mincce si
– e S1 C1 ;
– e S2 C2 ;
– e S1 C1 − S2 C2 .
Avec e = S1 S2 .
Aplanétisme et stigmatisme approchés dans les conditions de Gauss.
17.2
Foyers, plans focaux
Un rayon passant par O n’est pas dévié.
Distance focale
f 0 = OF 0 .
0
– Si f > 0, la lentille est convergente.
– Si f 0 < 0, la lentille est divergente.
Vergence
V =
1
f0
exprimée en dioptrie δ
Foyer objet
Symétrique de F’ par rapport à O (utilisation du principe du
retour inverse de la lumière).
47
CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES
17.3
Construction des images
Fig. 17.1 – Lentille convergente
Fig. 17.2 – Lentille divergente
17.4
Relations
Relations de conjugaison
– Origine au centre
1
1
1
−
= 0
0
f
OA
OA
– Origine au sommet
F 0 A0 · F A = −f 02
Grandissement
– Origine au centre
γ=
48
OA0
OA
CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES
– Origine au sommet
γ=
f0
F 0 A0
=
−f 0
FA
49
CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES
50
Chapitre 18
Bases de l’électrocinétique
18.1
Définitions générales
– Courant électrique
déplacement de porteurs de charges.
– Intensité du courant
débit de charge à travers une surface.
i(t) =
dq(t)
dt
A=
C
s
Par convention, le courant se déplace dans le sens contraire des électrons.
– Potentiel
– Tension
état électrique d’un point de l’espace.
différence de potentiels.
Approximation des régimes quasi-stationnaires
les retards dus aux
phénomènes de propagation sont négligeables par rapport à la durée d’évolution
des signaux. Cette approximation est valable si
l
18.2
18.2.1
c
=λ
f
l : longueur du circuit
Circuit électrique
Définitions
– Réseau électrique
ensemble de conducteurs reliés les uns aux autres et
dans lesquels circulent des porteurs de charge. Aussi appelé circuit.
– Dipôle
composant dont l’accès de fait par deux bornes (ou pôles).
– Multipôle
l’accès se fait par plus de deux bornes.
51
CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
– Fil de connexion
fil conducteur dont la résistance est négligeable devant
les autres résistances du montage.
– Noeud
point de jonction entre tois fils ou plus.
– Branche
tronçon de circuit compris entre deux noeuds.
– Maille
ensemble de branches formant un contour fermé (elle peut être
orientée arbitrairement).
18.2.2
Lois de Kirchhoff
– Loi des noeuds
X
ek ik = 0
k
– Loi des mailles
– on a ek = 1 si ik arrive sur le noeud, sinon, ek = −1.
X
ek uk = 0
k
– on a ek = 1 si uk est dans le sens de la maille, sinon, ek = −1.
– remarque : ces lois ne sont valables que dans l’ARQS.
18.2.3
Conventions d’étude des dipôles
– Convention récepteur
orientations opposées de u et de i.
– si p(t) > 0, fonctionnement récepteur ;
– si p(t) < 0, fonctionnement générateur.
– Convention générateur
même orientations de u et de i. Les fonctionnements sont inversés par rapport à la convention récepteur.
18.2.4
Grandeurs
– Puissance instantannée
p(t) = u(t) i(t)
– Puissance moyenne
P = < p(t) >=
Caractéristique statique
1
Tf
Z
Tf
p(t) dt
0
graphe de I = f (U ) en régime statique.
a0 I + b0 U = F
Si la caractéristique passe par l’origine, alors on a un dipôle passif.
52
CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
Remarque : en régime statique, on a u(t) = U = cste, i(t) = I = cste, f (t) =
cste
Dipôle linéaire
la relation entre u et i est une équation différentielle linéaire
à coefficients constants.
18.2.5
Dipôles
– Source de tension
une source de tension parfaite e(t) (constante ou
variable) impose la tension à ses bornes quelque soit l’intensité.
– Source de courant
une source de courant parfaite i(t) (constante ou
variable) impose le courant qui la traverse quelque soit la tension.
– Résistance (ou résistor) caractérisé par sa résistance R en ohms (Ω).
On a
u(t) = R i(t)
De plus (on suppose u(t) et i(t) constants)
P = U I = R I2 > 0
La résistance ne peut donc que recevoir de la puissance, qu’elle dissipe à son
environnement sous forme de chaleur (effet Joule). On a aussi
P =
U2
R
– Bobine
caractérisée par son inductance propre (ou autoinductance) L en
henry (H). En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil. On a
u(t) = L
di(t)
dt
– Condensateur
caractérisé par sa capacité C en farad (F). L’armature
par laquelle entre le courant porte une charge +q(t). On a
i(t) = C
18.2.6
du(t)
dq(t)
=
dt
dt
Association de dipôles passifs
Association en série
– Résistance
Req =
X
Rj
j
– Bobine
Leq =
X
j
53
Lj
CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
– Condensateur
X 1
1
=
Ceq
Cj
j
Formule du pont diviseur de tension
u1 (t)
u2 (t)
u(t)
=
=
R1
R2
R1 + R2
Cette formule n’est applicable que si i(t) = 0.
Association en série de dipôle quelconque : pour obtenir la caractéristique statique, il faut additionner les tensions à même intensité.
Association en parallèle
– Résistance
X 1
1
=
Req
Rj
j
Parfois, on travaille avec les conductances (Gj =
Geq =
X
1
). On a alors
Rj
Gj
j
– Bobine
X 1
1
=
Leq
Lj
j
– Condensateur
Ceq =
X
Cj
j
Formule du pont diviseur de courant
i2 (t)
i(t)
i1 (t)
=
=
R2
R1
R1 + R2
Association en série de dipôle quelconque : pour obtenir la caractéristique statique, il faut additionner les intensités à même tension.
54
CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
18.2.7
Dipôles linéaires réels
Fil de connexion
Un câble est résistif. Soit l sa longueur, S sa section, ρ la résistivité du métal
(en Ω · m). On a
l
R=ρ
S
Source de tension réelle
Soit r sa résistance interne. On a
u(t) = e(t) − r i(t)
En continu, on a U = E−RI. Le terme RI est appelée chute de tension ohmique.
Il ne s’agit pas d’une source de tension idéale car U dépend de I. On a
P = U I = (E − RI) I = EI − RI 2
RI 2 : puissance dissipée par effet Joule.
Source de courant réelle
Soit r sa résistance interne. On a
i(t) = i0 (t) −
u(t)
R
En continu, on a
U
R
U = R(I0 − I)
I = I0 −
De plus, on a
P = UI = U
18.2.8
U2
U
I0 −
= U I0 −
R
R
Association de dipôles passifs et actifs linéaires
Théorème de superposition
La réponse en courant ou en tension d’un
réseau linéaire contenant différentes sources indépendantes agissant simultanément est égal à la somme des réponses en tension et en intensité dues à chaque
source agissant séparément.
55
CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
Point de fonctionnement
Soient D1 et D2 deux dipôles dont on connait
les caractéristiques statiques. On connecte D1 et D2 .
I = I1 = I2
U = U1 = U2
U et I sont lus au point d’intersection des deux caractéristiques statiques. Ce
point est appelé point de fonctionnement du circuit.
Association de sources uniquement
– Sources de tension
e(t) = e1 (t) + e2 (t)
Remarque : montage en parallèle interdit si e1 (t) 6= e2 (t). De plus, le montage
fermé par un fil (e2 (t) = 0) est interdit.
– Sources de courant
i(t) = i1 (t) + i2 (t)
Remarque : montage en série interdit si i1 (t) 6= i2 (t). De plus, un circuit
ouvert (i2 (t) = 0) est interdit.
Modèles équivalents de Thévenin et de Northon
UAB = ET h − Req I
I = IN −
Théorème de Thévenin
UAB
Req
Méthode pour obtenir ET h et Req :
1. on impose I = 0 (le dipôle est à vide) et on calcule UAB = ET h ;
2. on procède à la passivation des sources du dipôle ;
3. on calcule alors la résistance équivalente entre A et B.
Méthode pour obtenir le modèle équivalent de Norton :
1. on court-circuite A et B, on calcule I = IN dans le fil (courant du courtcircuit) ;
2. passivation des sources.
56
Chapitre 19
Réponses libres et réponses à
un échelon de circuits R, L, C
19.1
Considérations énergétiques
L’énergie (en J) reçue par un dipôle entre t1 et t2 est donnée par
Z t2
E=
u(t)i(t) dt
t1
– Résistance
Z
t2
Ri2 (t) dt > 0
E=
t1
La résistance ne peut que recevoir de l’énergie de la part du reste du circuit.
Cette énergie n’est pas emmagasinée mais restituée à l’environnement sous
forme d’effet Joule.
– Condensateur
t2
Z t2
duc (t)
1
2
E=
uc (t)C
dt =
Cuc (t)
= Ec (t2 ) − Ec (t1 ) = ∆Ec
dt
2
t1
t1
Avec l’énergie du condensateur égale à
Ec =
1
1 q2
Cu2c =
2
2 C
Remarque : un condensateur ne peut avoir une tension discontinue à ses
bornes.
– Bobine
t2
Z t2
diL (t)
1 2
E=
iL (t)L
dt =
Li (t)
= EL (t2 ) − EL (t1 ) = ∆EL
dt
2 L
t1
t1
57
CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS
R, L, C
Avec l’énergie du condensateur égale à
EL =
1 2
Li
2 L
Remarque : Le courant ne peut pas subir de discontinuité.
Ec et EL peuvent être positif ou négatif : le condensateur et la bobine peuvent
donc recevoir ou donner de l’énergie au reste du circuit. Ils sont des éléments
de stockage de l’énergie.
19.2
Réponse à un échelon indiciel d’un circuit
du premier ordre
En régime libre, on a
S∞
ds(t) 1
+ s(t) =
dt
τ
τ
Avec τ : constante de temps et S∞ = lim s(t).
t→+∞
La solution est
s(t) = (S0 − S∞ ) exp
−t
τ
+ S∞
Dans le cas d’une réponse libre, on a S∞ = 0.
19.3
19.3.1
Réponse libre d’un circuit du second ordre
Sans amortissement
d2 s(t)
+ ω02 s(t) = 0
dt
Avec ω0 la pulsation propre du circuit.
La solution est
s(t) = A cos(ω0 t) + b sin(ω0 t) = C cos(ω0 t + ϕ)
58
CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS
R, L, C
19.3.2
Avec amortissement
d2 s(t)
ds(t)
+ 2ξω0
+ ω02 s(t) = 0
dt
dt
Solutions
– Si ξ < 1 : régime pseudo-périodique
s(t) = A cos(ωA t) + B sin(ωA t) exp(−ξω0 t)
p
Avec ωA = ω0 1 − ξ 2 et TA ωA = 2π.
– Si ξ = 1 : régime critique
s(t) = (At + B) exp(−ξω0 t)
– Si ξ > 1 : régime apériodique
s(t) = A exp(r1 t) + B exp(r2 t)
Avec r1 et r2 solutions de
r2 + 2ξω0 r + ω 2 = 0
19.4
Réponse à un échelon d’un circuit du second
ordre
d2 s(t)
ds(t)
+ 2ξω0
+ ω02 s(t) = ω02 S∞
dt
dt
59
CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS
R, L, C
60
Chapitre 20
Amplificateur opérationnel
idéal en fonctionnement
linéaire
Il faut toujours alimenter l’amplificateur opérationnel avant d’imposer des tensions à ses bornes d’entrée.
La caractéristique statique fait apparaitre :
– Une zone linéaire, où vs = Ad · ε et alors −Vsat < vs < +Vsat . Ad est le gain
différentiel de l’AO.
– Une zone non linéaire (fonctionnement saturé), où vs = ±Vsat .
Hypothèses de fonctionnement
– AO idéal : Ad → ∞ et i+ ≈ i− ≈ 0. Remarque : le courant de sortie est non
nul.
– Fonctionnement linéaire : ε = 0. On suppose que l’AO est en fonctionnement
linéaire dès qu’il existe une rétroaction négative sur l’entrée -.
61
CHAPITRE 20. AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL IDÉAL EN FONCTIONNEMENT
LINÉAIRE
62
Chapitre 21
Régime sinusoidal forcé
Décomposition en série de Fourier
Sous certaines conditions, un signal
périodique de pulsation ω0 et de valeur moyenne nulle peut se décomposer en
une somme infinie de sinusoides de pulsations multiples de ω0
X
f (t) =
Cn cos(nωt + ϕn )
n
21.1
Formalisme complexe
Grandeurs complexes
à un signal
f (t) = F cos(ωt + ϕ)
On peut associer son amplitude complexe
F = F exp(jϕ)
Et la fonction complexe du temps associée est
f (t) = F exp(jωt) exp(jϕu ) = F exp(jωt)
Opérations :
– Dériver une fonction revient à multiplier par jω la fonction complexe associée.
– Intégrer une fonction revient à diviser par jω la fonction complexe associée.
Impédance complexe d’un dipôle linéaire
Un dipôle est linéaire si u(t)
et i(t) sont liés par une équation différentielle du type
a0 u(t) + a1
du(t)
d2 u(t)
di(t)
+ a2
+ · · · = b0 i(t) + b1
+ ···
2
dt
dt
dt
63
CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ
En passant aux amplitudes complexes, on obtient la relation
b0 + b1 jω + b2 (jω)2 + · · ·
U=
I =ZI
a0 + a1 jω + a2 (jω)2 + · · ·
Où Z est l’impédance complexe du dipôle (en ohms Ω), et l’impédance dépend
donc de l’impédance du générateur.
On a aussi |U | = |Z||I| ⇒ U = ZI
Impédance de dipôles usuels :
– Résistance : Z = R. u(t) et i(t) sont en phase (même argument).
– Bobine : Z = jLω. i(t) est en retard de π/2 sur u(t).
1
. i(t) est en avance de π/2 sur u(t).
– Condensateur : Z =
jCω
Tous les théorèmes vu en continu avec les résistances sont valables.
21.2
Etude de circuits
Phénomène de résonnance
Pulsation pour laquelle la tension ou l’intensité aux bornes du dipôle est maximale.√
– Il y a résonnance en tension si ξ 6 1/ 2. Alors
p
ωr = ω0 1 − 2ξ 2
√
Remarque : si ξ 1/ 2, alors ωr ≈ ω et donc Udipole ≈ QUgenerateur . Q est
parfois appelé coefficient de surtension.
– Il y a toujours résonnance en courant pour ω = ω0 et on a
Imax =
U
R
– Il y a aussi toujours résonnance en puissance pour ω = ω0 .
On utilise la fonction arctan pour obtenir la valeur de la phase ϕ.
Puissance moyenne (ou active)
Puissance constante qui donnerait la
même valeur que l’énergie reçue pendant une période entière (de la tension ou
du courant)
Z
1 T
P = hp(t)i =
p(t)dt
T 0
En sinusoidal, on obtient
Um Im cos ϕ
2
cos ϕ est appelé facteur de puissance.
P =
64
CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ
I = Ia + Ir Avec Ir la partie réactive (en quadrature par rapport à U ) et Ia la
partie active du courant (en phase avec U ).
Valeur efficace
On pose
Um
Uef f = √
2
Im
Ief f = √
2
L’expression de la puissance devient alors
P = Uef f Ief f cos ϕ
65
CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ
66
Chapitre 22
Filtres du premier et second
ordre
22.1
Généralités
Fonction de transfert
Fonction, notée H ayant un effet de filtrage si elle
dépend de ω (son effet sera différent selon la fréquence d’entrée).
– en jω : isochrone - pour les signaux sinusoidaux.
– en p : symbolique - pour les signaux causaux.
La fonction de transfert est perturbée par le circuit en aval.
Remarque : on peut écrire H = H1 · H2 seulement si l’impédance de sortie du
premier quadripôle est négligeable devant celle du second.s
Ve
– calcul de Ze :
Ie
– calcul de Zs : détermination de l’impédance équivalente du générateur de
Thévenin en passivant les sources.
22.2
Diagramme de Bode
H(jω) est une fonction complexe de la pulsation ω
H(jω) = |H(jω)| exp jϕ(ω)
Représentation graphique :
– le module G = |H(jω)|est appelé
gain de la fonction de transfert.
– l’argument ϕ(ω) = arg H(jω) est appelé phase de la fonction de transfert.
67
CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE
Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes :
– la courbe de gain (en dB), défini par
GdB = 20 log G
– la courbe de phase (en rad).
On utilise une échelle logarithmique.
Le diagramme de Bode du produit de deux fonctions de transfert (H = H1 · H2 )
est obtenu par :
– la somme des courbes en gain (en dB) pour le gain : GdB,H = GdB,H1 +GdB,H2 .
– la somme des courbes de phase pour la phase, car arg(H1 · H2 ) = arg H1 +
arg H2
22.2.1
Caractéristiques
Pulsations de coupure
Les pulsations de coupures d’une fonction de transfert
correspondent
aux
pulsations
pour lesquelles son gain est réduit d’un facteur
√
2 par rapport à sa valeur maximale.
Gmax
G(ωc ) = √
2
On parle aussi de pulsation de coupure à -3 dB car −20 log
√
2 = −3.
Bande passante
Il s’agit du domaine de pulsation pour lequel le gain est
compris entre Gmax et G(ωc ).
Types de filtre :
– Un filtre passif n’est constitué que d’éléments passifs.
– Un filtre actif comporte au moins un amplificateur opérationnel.
Filtres spéciaux :
– gain pur (réel)
H(jω) = K > 0 ou < 0
– dérivateur pur (imaginaire pur)
H(jω) = j
ω
ω0
GdB = 20 log ω − 20 log ω0
Equation correspondand à une droite croissante passant par 0 dB pour ω = ω0
dont la pente est de 20 dB par décade.
ϕ = +π/2
– intégrateur pur (imaginaire pur)
H(jω) =
68
1
ω
j
ω0
CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE
GdB = 20 log ω0 − 20 log ω
Equation correspondand à une droite décroissante passant par 0 dB pour
ω = ω0 dont la pente est de -20 dB par décade.
ϕ = −π/2
22.3
Filtres du premier ordre
22.3.1
Passe-bas du premier ordre
1
H(jω) =
1+j
ω
ω0
Fig. 22.1 – Filtre passe-bas du premier ordre
22.3.2
Passe-haut du premier ordre
j
H(jω) =
ω
ω0
1+j
69
ω
ω0
CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE
Fig. 22.2 – Filtre passe-haut du premier ordre
22.4
Filtres du second ordre
22.4.1
Passe-bas du second ordre
H(jω) =
1
2ξω ω 2
− 2
1+j
ω0
ω0
Fig. 22.3 – Filtre passe-bas du second ordre
70
CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE
22.4.2
Passe-haut du second ordre
ω2
ω02
H(jω) =
2ξω ω 2
− 2
1+j
ω0
ω0
−
Fig. 22.4 – Filtre passe-haut du second ordre
22.4.3
Passe-bande du second ordre
2ξω
ω0
H(jω) =
2ξω ω 2
1+j
− 2
ω0
ω0
j
71
CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE
Fig. 22.5 – Filtre passe-bande du second ordre
72
Chapitre 23
Electrostatique
23.1
Charges et champ électrostatique
Loi de Coulomb Soient une charge qA placée en A et une charge qb placée
en B, toutes deux fixes dans le référentiel d’étude. La force exercée par A sur B
s’exprime par
−−−−→
qa qb 1 −−→
FA→V =
uAB
4πε0 εr r2
Remarque : εr est la permittivité relative du vide.
– Dans le vide : εr = 1
– Dans l’air : εr ≈ 1
23.1.1
Champ créé par une charge ponctuelle
Champ électrostatique
→
−
E (M ) =
créé par qi située en Pi
−−→
qi
Pi M
−→
4πε0 εr ||−
Pi M ||3
(V · m−1 )
Il s’agit d’une grandeur locale.
→
−
→
−
On a donc la relation F = q E
Principe de superposition
Si, dans une région de l’espace, on dispose de
n sources, alors le champ en un point M est égal à la somme des champs créés
73
CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE
séparément en M par les n sources
→
−
E (M ) =
23.1.2
−−→
n
1 X
Pi M
qi −−→
4πε0 i=1 ||Pi M ||3
Champ créé par une distribution continue de charges
Densité volumique de charges
%(P ) =
dq
dτ
(C · m−3 )
La charge totale comprise dans le volume V est
ZZZ
ZZZ
dq =
%dτ
Q=
V
V
Le champ créé par une distribution volumique est donc
ZZZ
−−→
→
−
%
Pi M
E (M ) =
−−→ 3 dτ
4πε
0 ||Pi M ||
V
Densité surfacique de charges
σ(P ) =
dq
dS
(C · m−2 )
La charge totale comprise dans le volume V est
ZZ
ZZ
Q=
dq =
σdS
S
S
Le champ créé par une distribution surfacique est donc
ZZ
−−→
→
−
σ
Pi M
E (M ) =
−
−→ dS
S 4πε0 ||Pi M ||3
Densité linéique de charges
λ(P ) =
dq
dl
(C · m−1 )
La charge totale comprise dans le volume V est
Z
Z
Q=
dq =
λdl
L
L
74
CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE
Le champ créé par une distribution surfacique est donc
Z
−−→
→
−
Pi M
λ
E (M ) =
−
−→ dl
L 4πε0 ||Pi M ||3
23.2
Symétries et antisymétries
Soient P et P’ deux points (entourés par les volumes élémentaires dτ et dτ 0 )
symétriques par rapport à un plan de symétrie géométrique Π d’une distribution
de charges.
Plan de symétrie électrostatique
Π est un plan de symétrie si pour tout
couple (P, P’), la densité de charge vérifie %(P ) = %(P 0 ). Au contraire, Π est
un plan d’antisymétrie si %(P ) = −%(P 0 ). Un plan de symétrie des charges est
aussi un plan de symétrie des champs — de même pour un plan d’antisymétrie.
Direction du champ :
→
−
– Si Π est un plan de symétrie, alors M ∈ Π ⇒ E (M ) ∈ Π.
→
−
– Si Π est un plan d’antisymétrie, alors M ∈ Π ⇒ E (M ) ⊥ Π.
Invariance
Transformation géométrique qui laisse le champ inchangé.
Exemple : si le champ est invariant par rotation, alors E(r, θ, z) = E(r, z).
23.3
Théorème de Gauss
→
−
Flux élémentaire
Le flux élémentaire dφ de E à travers l’élément de surface
orienté dS est défini par
→
→
− −
dφ = E · dS
ZZ
φ=
dφ
S
Si la surface S est fermée, on notera
I
φ=
dφ
S
→
−
Théorème de Gauss
Le flux du champ E à travers une surface fermée S
est proportionnel à la charge qint enfermée dans la surface S
φ=
qint
ε0
Méthode :
75
CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE
– Chercher les symétries et les invariances.
– Chercher une surface de Gauss fermée, perpendiculaire au champ en tout
point, et la compléter éventuellement par des morceaux de surfaces sur lesquelles le flux est nul pour la refermer.
23.4
Topographie
Equipotentielle
Une surface (ou ligne) équipotentielle est définie par l’en→
−
semble des points de même potentiel. Le champ E est perpendiculaire aux
équipotentielles en tout point.
On a
→
−
E = − grad V
Lignes de champ
Courbes tangentes au vecteur champ électrostatique.
Elles sont orientées dans la direction du champ. On obtient leur équation par
−−→ →
−
→
−
dOM ∧ E = 0
→
−
En un point où se coupent deux lignes de champ, E est soit nul, soit indéfini.
76
Chapitre 24
Magnétostatique
24.1
Définitions
La Terre est source d’un champ magnétique, appelée champ géomagnétique. Le
pôle nord magnétique correspond au pôle sud d’un aimant droit (et inversement).
Le pôle nord d’une aiguille aimantée pointe vers le pôle nord magnétique.
Champ magnétique
Le champ magnétique en un point M peut être repré→
−
senté par un vecteur B (M ), qui est caractérisé par :
– une direction (celle d’une aiguille placée en M) ;
– un sens : du pôle sud vers le pôle nord de l’aiguille ;
– une intensité (en tesla - T).
La valeur d’un champ magnétique peut être mesuré avec un teslamètre. Remarque : 1T représente un champ intense.
Principe de superposition
Si, dans une région de l’espace, on dispose de
n sources, alors le champ en un point M est égal à la somme des champs créés
séparément en M par les n sources
n
X−
−−→
→
Btot (M ) =
Bi (M )
i=1
Lignes de champ
Courbes tangentes au vecteur champ magnétique. Une
ligne de champ créée par un aimant est orientée du pôle nord vers le pôle sud.
Spectre magnétique
Ensemble des lignes de champ.
77
CHAPITRE 24. MAGNÉTOSTATIQUE
Remarque : Le spectre magnétique d’aimant courbe contient des lignes de champs
parallèles entre elles et perpendiculaires aux branches de l’aimant dans l’entrefer. Le champ a la même valeur en tout point de l’entrefer.
24.2
Champ magnétique créé par un courant
– Composants bobine
enroulement de fil conducteur protégé par une gaine
isolante.
– Composants solénoïde
bobine constituée d’un enroulement en hélice,
de spires régulièrement réparties, dont la longueur est grande (au moins 6 à
7 fois son diamètre).
Remarques sur le solénoïde :
– Les lignes de champs sortent par la face nord et entrent par la face sud.
– A l’intérieur, le champ est uniforme. Il est dirigé du sud vers le nord.
– Le sens du champ dépend de la circulation du courant.
Soit un circuit filiforme parcouru par un courant d’intensité I. A une petite
→
−
portion du circuit dl (orientée dans le sens du courant), située en P, est associée
→
−
→
−
un élément de courant d C = I · dl .
Loi de Biot et Savart Elle permet d’exprimer la contribution de l’élément
→
−
de courant d C situé en P au champ magnétique total au point M
−−→
−
→
−
PM
µ0 →
d C ∧ −−→
dB =
4π
||P M ||3
Soit Π, plan de symétrie de la distribution de courant :
→
−
– Si M ∈ Π, alors B ⊥ Π.
→
−
– Π est un plan d’antisymétrie pour B .
Soit Γ un contour fermé qui enlace un certain nombre de courant Ik .
→
−
Théorème d’Ampère
la circulation CΓ du champ magnétique B sur le
contour Γ est égaleau produit de µ0 par la somme algébrique des courants enlacés
par Γ
I
X
−
→
− →
C=
B d l = µ0
εk Ik
Γ
k
−
Avec ek = 1 si I et →
n sont dans le même sens, sinon, ek = −1.
78
Chapitre 25
Mouvement d’une particule
chargée dans un champ
électrique ou magnétique
25.1
Généralités
Le poids d’une particule chargée peut être négligée car
→
−
−−→
−−−−→
P Felec Fmagn
Force de Lorentz
Force globale que subit une particule en présence de deux
champs, l’un électrique et l’autre magnétique
→
−
−−→
→
−
−
Ftot = q E + q →
v ∧B
|{z} | {z }
−−→
−−−−→
Felec
Fmagn
Remarque : on a la relation
µ0 ε0 c2 = 1
79
CHAPITRE 25. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP
ÉLECTRIQUE OU MAGNÉTIQUE
25.2
Particule soumise uniquement à un champ
25.2.1
Champ électrique
Le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme se
fait dans un plan définit par :
– le point d’entrée O de la charge dans la zone de champ ;
−
– le vecteur vitesse initial →
v0 de la particule ;
→
−
– le vecteur champ électrique E .
L’application d’un tel champ à une particule chargée permet de faire varier sa
vitesse. Cas particuliers :
→
−
−
– Si →
v0 // E alors le mouvement est uniformément varié.
→
−
−
– Si →
v0 ⊥ E alors le mouvement est un arc de parabole.
25.2.2
Champ magnétique
La vitesse d’une particule chargée dans un champ magnétique reste constante
car la force magnétique ne travaille pas. Le mouvement est :
→
−
−
– rectiligne uniforme si →
v0 // E ;
→
−
−
– circulaire si →
v0 ⊥ E ;
– hélicoïdal sinon.
25.3
Lois locales
Vecteur densité de courant
Vecteur dont le flux est défini par l’intensité
du courant traversant une surface S à la date t
ZZ
−
→
− →
I=
j dS
(A · m−2 )
S
On a donc
X→
X
→
−
−
−
j =
jk =
nk qk →
vk
k
Loi d’Ohm
k
Interprétation microscopique
→
−
→
−
j = σE
Où σ désigne la conductivité du milieu, en S · m−1 .
80
Chapitre 26
Dipôle électrostatique et
dipôle magnétostatique
26.1
Dipôle électrostatique
Dipôle électrostatique
On appelle dipôle électrostatique un ensemble de
deux charges ponctuelles opposées, placées en deux points N (-q) et P (+q)
distants de d, et auquel on associe un moment dipolaire.
Moment dipolaire
−−→
→
−
µ = qN P
−
Remarque : parfois il est noté →
p
Propriétés (figure 26.1) :
– N O = OP
– Potentiel total créé en M
−q
Vtot (M ) = VN (M ) + VP (M ) =
4πε0
1
1
− −
+
r
r
Approximation dipolaire
d r, r+ , r−
Cette approximaion est fausse au voisinnage du dipôle.
81
CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE
Fig. 26.1 – Représentation d’un dipôle électrostatique
26.1.1
Interaction entre un dipôle et un champ extérieur
Energie potentielle d’interaction
Energie potentielle d’interaction entre
−−→
−
le dipôle de moment dipolaire →
µ et le champ électrostatique extérieur Eext
−−→
−
Ep = −→
p · Eext
Moment en O (centre du dipôle) de la force du champ extérieur exercé
−→ →
→
−
M0 = −
p ∧E
Dans un champ électrostatique, le dipôle tend à s’aligner avec le champ et à se
placer dans le même sens. Une fois aligné, dans le cas d’un champ non uniforme,
le dipôle subit une force qui l’amène vers les zones de plus fort champ.
Dans un champ extérieur uniforme, la résultante des forces est nulle.
26.2
Dipôle magnétostatique
Moment magnétique
Vecteur associé à un champ créé par une spire
−
→
−
M =I ·S·→
n
Approximation dipolaire
(A · m2 )
Elle consiste à dire que la distance r où l’on
82
CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE
calcule le champ est très supérieure aux dimensions caractéristiques de la distribution de courant
rR
Le champ créé, dans le cadre de l’approximation dipolaire, par une spire de
courant est
→
−
µ0 1
→ + M sin θ · −
→)
(2M cos θ · −
u
u
B (M ) =
r
θ
4π r3
Les lignes de champ électrostatique ont la même allure que les lignes de champ
magnétique créées par une spire de courant.
83
CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE
84
Chapitre 27
Premier principe de la
thermodynamique
27.1
Energie
Les formes d’énergie :
– énergies cinétiques macroscopique et microscopique (Ec∗ ) ;
– énergies potentielles d’interactions externes et internes.
Ainsi, à tout système on associe une énergie interne (U = Ec∗ + Ep,int ), et
une énergie mécanique (Em = Ec + Ep,ext ) : E = Em + U .
En thermodynamique, l’énergie interne est considérée comme extensive : l’énergie interne d’un système composé de deux sous-systèmes vaut la somme des
énergies internes de ces derniers.
Premier principe de la thermodynamique pour système isolé
Pour
tout système qui n’échange ni matière ni énergie avec le milieu extérieur, la
fonction énergie est une grandeur conservative.
27.2
Transformations et transferts
L’énergie d’un système ne peut varier que par transfert avec l’extérieur. Il existe
deux formes de transfert :
– le travail W ;
– le transfert thermique Q (ou chaleur).
85
CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
Premier principe de la thermodynamique pour un système macroscopique en mouvement
– Entre un instant t et un instant t + ∆t
∆(Em + U ) = W + Q
– Sous forme de différentielle
d(Em + U ) = δW + δQ
– note : W est le travail des forces extérieures qui n’ont pas été prises en compte
dans Ep,ext . W et Q dépendent du "chemin" emprunté.
– remarque : dans le cas d’un système au repos, Em = 0
Transformations particulières :
– cyclique : ∆U = 0 (mais dU 6= 0)
– adiabatique : Q = 0 et ∆U = W
– pas de travail : W = 0 et ∆U = Q
Le transfert thermique :
– par conduction : non contrôlable ; même en calorifugeant le système, on peut
ralentir le transfert thermique mais pas l’annuler, les températures finiront
toujours par s’uniformiser.
– par convection.
– par rayonnement.
Le travail est défini comme un transfert d’énergie maitrisable et/ou directement
mesurable. Il peut être de nature mécanique, électrique, électromagnétique...
27.3
Energie interne
Gaz parfait
On appelle gaz parfait tout gaz dont le comportement est décrit
par la fonction d’état
pV = nRT
A basse pression, tous les gaz ont un comportement de gaz parfait.
L’énergie interne de n moles de gaz parfait ne dépend que de sa température :
– monoatomique :
3
U = nRT
2
– diatomique :
5
U = nRT
2
Système thermoélastique
système dont l’état est décrit par les variables
p, T et V . Il est possible de lier ces trois variables par une équation d’état
86
CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
f (p, V, T ) = 0. L’énergie interne peut alors s’exprimer en fonction de deux variables, souvent T et V . Une variation infinitésimale s’écrit :
dU =
∂U
∂U
dT +
dV
∂T
∂V
Capacité thermique à volume constant
mation isochore (dV = 0). On a :
dU = Cv (V, T )dT
avec
système subissant une transfor-
Cv =
∂U
∂T
en J.K −1
Cas particuliers :
– gaz parfait, Cv est une constante (obtenue en dérivant U).
– phase condensée : la pression n’influence presque pas le volume, donc Cv ne
dépend que de T .
27.4
Enthalpie
Enthalpie
fonction d’état dont la variation ne dépend que de l’état initial
et de l’état final (et pas du chemin parcouru). On peut l’exprimer en fonction
de deux des variables d’état, souvent p et T .
H = U + pV
dH =
∂H
∂H
dT +
dp
∂T
∂p
Capacité thermique à pression constante
formation isobare (dp = 0). On a :
dU = Cp (p, T )dT
avec
Cp =
système subissant une trans∂H
∂T
en J.K −1
Relation de Mayer pour les gaz parfaits
Cp = Cv + nR. De plus, on
Cp
. Dans le cas d’un gaz parfait, l’enthalpie ne dépend
définit le coefficient γ =
Cv
que de la température (dH = Cp dT ).
Dans le cas des phases condensées, Cp = Cv = C et dU ≈ dH ≈ CdT
27.5
Travail
Transformations :
87
CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
– brutale : les variables intensives ne sont pas définies à tout instant, non mesurables, et le système n’est pas en équilibre interne. L’expression du travail
est de la forme W = −pext ∆V , avec pext à déterminer.
– quasi-statique : suite d’états d’équilibres internes. Les variables sont bien définies. Le travail élémentaire vaut : δW = −pdV (qu’il suffit d’intégrer entre
l’instant initial et l’instant final pour trouver le travail W).
– détente : V augmente, le travail reçu est négatif ;
– compression : V diminue, le travail reçu est positif.
Travail reçu par un dipôle électrique (en convention récepteur) : δW = p(t)dt
27.6
Cas particuliers
Transformations :
– isochore : W = 0
Z
∆U = Q =
Cv (T, V )dT
– monobare : W = −p∆V
Z
∆H = Q =
Cp (T, p)dT
– isotherme d’un gaz parfait : elle implique une transformation quasi-statique.
On a ∆U = 0.
Loi de Laplace
Pour une transformation quasi-statique adiabatique, on a
pV γ = cste
88
Chapitre 28
Second principe de la
thermodynamique
28.1
Définitions
Causes d’irréversibilité :
– les phénomènes dissipatifs (frottements, effet Joule...) ;
– les phénomènes de diffusion liés à la non uniformité des grandeurs intensives
(température, pression...) ;
– les réactions chimiques.
Une transformation non quasi statique est forcément irréversible.
Une transformation est réversible si à chaque instant le système est en équilibre
internet et externe.
Second principe de la thermodynamique
Pour tout système, il existe
une fonction S appelée entropie qui possède les propriétés suivantes :
– fonction d’état ;
– fonction extensive ;
– pour tout système calorifugé (pouvant échanger du travail mais pas de la
chaleur) on a
dS > 0
= 0 pour une transformation réversible
> 0 pour une transformation irréversible
Si dS < 0 alors la réaction est impossible.
L’entropie d’un système calorifugé ne peut que croitre ou rester constante.
89
CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
Généralement, on choisira d’exprimer S en fonction de U et V. On a
∂S ∂S dU +
dV
dS =
∂U ∂V V
U
Au voisinnage de l’équilibre thermodynamique, on a
1
∂S T =
p=T
∂V U
∂S ∂U V
Identité thermodynamique
dU = T dS − pdV
On a une identité semblable avec l’enthalpie
dH = T dS + V dp
28.2
Systèmes non calorifugés : entropie d’échange
Source de travail
Une source de travail n’échange pas de chaleur avec
l’extérieur et sa variation d’entropie est nulle pendant une transformation quelconque. Elle n’intervient donc pas dans un bilan d’entropie.
Source thermique
Une source thermique n’échange pas de travail avec
l’extérieur et est capable d’échanger de la chaleur sans que sa température Ts
n’évolue (source idéale) (Cv0 → ∞). On appelle aussi ces sources des thermostats.
Echange entre un système et une source thermique à température T0
– Variation d’entropie de la source
dS0 =
δQ0
δQ
=−
T0
T0
– Variation de l’entropie du système en contact avec la source
dS = δSc + δSe
Avec Sc l’entropie de création et Se l’entropie de création (ce ne sont pas des
fonctions d’état, et leur valeur dépend du "chemin" emprunté), et on a
δSe =
Et
δSc > 0
δQ
T0
= 0 pour une transformation réversible
> 0 pour une transformation irréversible
90
CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
Une système est à l’équilibre thermodynamique quand il est stationnaire et qu’il
n’y a pas de création d’entropie : δSc = 0
28.3
Machines thermiques
Une machine thermique est une machine qui :
– décrit des cycles ;
– échange du travail et de la chaleur avec le milieu extérieur.
Si la machine reçoit du travail, c’est un récepteur, sinon, c’est un moteur.
Méthode d’étude : on applique successivement
– le premier principe à la machine ;
– le deuxième principe à l’univers.
Inégalité de Clausius
X Qi
60
T
sources i
Il y a égalité dans le cas de la réversibilité.
28.3.1
Le réfrigérateur
Efficacité
ε=
Qf
Tf
6
W
Tc − Tf
Il s’agit d’une limite supérieure de l’efficacité du réfrigérateur. Elle peut être
supérieure à 1 si Tc < 2Tf . Cette limite est théorique et ne peut être atteinte
que pour une transformation réversible.
28.3.2
La pompe à chaleur
Efficacité
ε=
28.4
−Qc
Tc
6
W
Tc − Tf
Compléments
Troisième principe de la thermodynamique
Lorsque la température
absolue d’un corps pur parfait tend vers 0 K, son entropie tend vers 0.
91
CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
Nombre de complexion
nombre de micro-états qui mènent à un macroétat. Il est noté Ω. Un état final a d’autant plus de chances d’être observé que
son nombre de complexion est grand.
A chaque macro-état, on associe une entropie "statistique", liée au nombre de
complexion
S = kb ln Ω
Où kb est la constante de Boltzmann.
92
Chapitre 29
Changements d’état : étude
descriptive du corps pur
diphasé en équilibre
29.1
Les changements d’état d’un corps pur
Fig. 29.1 – Les différents changements d’état
Représentation : un corps pur à l’équilibre thermodynamique interne peut exister sous plusieurs formes : une seule phase, deux ou trois phases. L’existence de
ces phases dépend des valeurs des variables d’état p, V, T.
93
CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D’ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PUR
DIPHASÉ EN ÉQUILIBRE
Fluide hypercritique
liquide ou d’un gaz.
29.1.1
Phase où l’on ne peut distinguer s’il s’agit d’un
Projection dans le plan(p,T)
Fig. 29.2 – Diagramme (p,T)
Il n’y a équilibre entre deux phases que si le point est situé sur l’une des courbes.
Point triple
Point où le corps pur peut exister sous ses trois phases en même
temps. Il se situe à une pression et à une température bien définies caractéristiques de chaque corps pur.
Point critique
Point au-delà duquel il n’y a plus d’équilibre liquide-vapeur.
Fig. 29.3 – Diagramme (p,T) de l’eau
94
CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D’ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PUR
DIPHASÉ EN ÉQUILIBRE
Fig. 29.4 – Diagramme (p,V)
29.2
Equilibre liquide-gaz
On appelle :
– courbe de rosée le lieu des points G ;
– courbe d’ébullition le lieu des points L ;
– courbe de saturation l’ensemble des courbes de rosée et d’ébullition.
Fraction massique de vapeur
Appelée aussi "titre en vapeur", notée x
x=
mG
m
Où mG est la masse de la vapeur.
On peut définir également la fraction massique de liquide
y=
mL
= (1 − x)
m
Théorème des moments
Pour un point M sur une isotherme dans la
zone d’équilibre liquide-vapeur, les fractions massiques de vapeur et de liquide
vérifient
MG
LM
y=
x=
LG
LG
29.3
Grandeurs thermodynamiques
Enthalpie massique de changement d’état
Variation d’enthalpie massique, notée ∆h1→2 , quand le corps pur passe d’une extrémité à l’autre d’un
palier de changement d’état. Elle est aussi appelée chaleur latente.
95
CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D’ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PUR
DIPHASÉ EN ÉQUILIBRE
Entropie massique de changement d’état Variation d’entropie massique,
notée ∆s1→2 , quand le corps pur passe d’une extrémité à l’autre d’un palier de
changement d’état. Elle vérifie
∆s1→2 =
∆h1→2
T
Ces deux variations sont à considérer lorsque le changement d’état a lieu à une
température T constante et donc à la pression d’équilibre constante égale à la
pression de vapeur saturante ps (t).
Enthalpie massique
On nomme hv l’enthalpie massique au point G et hL
l’enthalpie massique au point L. L’enthalpie massique au point M est obtenue
par
h = x · hG + (1 − x)hL
h = x∆hvap + hL
Entropie massique
On nomme sv l’enthalpie massique au point G et sL
l’enthalpie massique au point L. L’enthalpie massique au point M est obtenue
par
∆hvap
+ sL
s = x · sG + (1 − x)sL
s=x
T
96
Chapitre 30
Gaz parfait monoatomique
30.1
Modèle du gaz parfait monoatomique
Soit un ensemble N de molécules monoatomiques dans un référentiel galiléen,
macroscopiquement au repos et de centre d’inertie G. On note m la masse de
→
−
−
la molécule, →
v sa vitesse précédant le choc, v 0 sa vitesse après le choc, n∗ la
densité particulaire et τ durée du choc.
Hypothèses d’étude :
– molécules assimilables à des points matériels ;
– aucune interaction à distance ;
– les interactions se limitent à des chocs élastiques entre les atomes entre eux
ou avec les parois ;
– équilibre interne : la densité moléculaire et la répartition statistique des vitesses des atomes sont homogènes et stationnaire :
– isotropie des vitesses.
Pression cinétique
La pression cinétique exercée par un fluide sur une
paroi est due aux chocs des molécules du fluide sur la paroi. Elle est liée à la
valeur moyenne des forces exercées par les molécules sur la paroi.
Etude du choc d’une molécule qui se déplace vers une surface dS, perpendiculairement à celle-ci, avant de repartir en sens inverse :
– Modèle simplifié : seules trois directions orthogonales sont possibles.
– Force exercée par la molécule sur la surface pendant le choc :
→
−
2mv
F =
τ
→
−
−
– A cause de la conservation de l’énergie cinétique, on déduit que →
v = v0 .
97
CHAPITRE 30. GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE
– Le nombre de chocs reçus pendant une durée ∆T est
N=
n∗
dS · v · ∆T
6
– Force moyenne reçue par l’élément de surface pendant la durée ∆T
→
−
1
h F i = mn∗ v 2 dS
3
– La pression exercée est
1
mn∗ v 2
3
Adaptation du modèle à la réalité : on prend la valeur moyenne de la vitesse sur
l’ensemble des molécules.
1
p = mn∗ u2
3
N
p
1 X 2
Où u = hv 2 i =
v est la vitesse quadratique moyenne d’une moléN i=1 i
cule .
p=
Température cinétique
Il s’agit de l’image macroscopique de l’agitation
thermique microscopique. Elle est liée à l’énergie cinétique moyenne d’une molécule du gaz par
3
1
hEc i = mu2 = kb T
2
2
Où kb est la constante de Boltzmann.
Energie interne
U=
30.2
3
nRT
2
Coefficients thermoélastiques
Dans un système thermoélastique, ces coefficients permettent de décrire la façon
dont varient certaines variables d’état par rapport aux autres.
Coefficient de dilatation isobare
volume quand la température varie
α=
Il permet de quantifier la variation de
1 ∂V V ∂T p
Coefficient de compressibilité isotherme
Il permet de quantifier la variation de volume quand la pression varie
1 ∂V χT = −
V ∂p T
98
CHAPITRE 30. GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE
Ces coefficients sont très faibles dans le cas de phases condensées.
99
CHAPITRE 30. GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE
100
Annexe A
Résoudre une équation
différentielle
A.1
Premier ordre
ẏ +
y
⇒ y = A exp
τ
−t
τ
ÿ + ω 2 y = 0 ⇒ y = A cos(ωt) + B sin(ωt)
A.2
Second ordre
Etapes :
1. équation sans second membre (ESSM) ;
2. solution particulière (S∞ ) ;
3. solution général : solESSM + S∞ ;
4. détermination des constantes grâce aux conditions initiales.
Equation différentielle sans second membre :
ẍ + 2ξω0 ẋ + ω02 x = 0
Résolution :
– Equation caractéristique
r2 + 2ξω0 r + ω 2 = 0
101
ANNEXE A. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
– Calcul du discriminant
– si ∆ > 0 (ξ > 1) : 2 racines réelles r1 et r2
x = A exp(r1 t) + B exp(r2 t)
– si ∆ < 0 (ξ <p1) : 2 racines complexes conjuguées r1 = r2 = −ξω0 + jωA
avec ωA = ω0 1 − ξ 2
x = A cos(ωA t) + B sin(ωA t) exp(−ξω0 t) = C cos(ωA t + ϕ) exp(−ξω0 t)
– si ∆ = 0 (ξ = 1) : une racine double r0 = −ω0
x = (A + Bt) exp(ω0 t)
A.3
Equation sinusoidale
La solution sera du type : x(t) = xESSM (t) + x
regime permanent
102
solution
particuliere
(t) = transitoire +
Annexe B
Elements infinitésimaux
B.1
Déplacement
– Cartésien


dx
−−→ 
dy 
dOM =
dz
– Cylindrique


dr
−−→
dOM =  r · dθ 
dz
– Sphérique

−−→ 
dOM =
B.2

dr

r · dθ
r · sin θ · dϕ
Surface
– Cartésien
dS1 = dx · dy
dS2 = dx · dz
dS3 = dy · dz
– Cylindrique
dS1 = r · dr · dθ
dS2 = r · dθ · dz
dS3 = dr · dz
103
ANNEXE B. ELEMENTS INFINITÉSIMAUX
– Sphérique
dS1 = r · dr · dθ
dS2 = r · sin θ · dr · dϕ
dS3 = r2 · sin θ · dθ · dϕ
B.3
Volume
– Cartésien
dτ = dx · dy · dz
– Cylindrique
dτ = r · dr · dθ · dz
– Sphérique
dτ = r2 · sin θ · dr · dθ · dϕ
104
Annexe C
Constantes et unités
C.1
Constantes
Célérité de la lumière dans le vide c = 2.998 · 108 m · s−1
Charge de l’électron e = 1.602 · 10−19 C
Charge d’une mole d’électrons F = NA · e = 96.4 · 103 C
Constante de Boltzmann kb = 1.38 · 10−23 J · K−1
Constante des gaz parfaits K = kb · NA = 8.314 J · K−1 · mol−1
Constante de gravitation universelle G = 6.67 · 1011 N · m2 · kg2
Masse de l’électron me = 9.11 · 10−31 kg
Masse du proton mp = 1836 · me
Nombre d’Avogadro NA = 6.022 · 1023 mol−1
Permittivité magnétique du vide µ0 = 4π · 10−7 H · m−1
Permittivité absolue du vide ε0 = 8.85 · 10−12 F · m−1
C.2
Unités
Coulomb 1 C = 6.25 · 1018 e où e est la charge élémentaire
Debye 1 D = 1/3 · 10−29 C · m
C.3
Notations
Il s’agit des notations généralement utilisées. Toutefois, elles peuvent être indicées ou de casse différente selon les besoins du problème ou de la définition.
105
ANNEXE C. CONSTANTES ET UNITÉS
C.3.1
Mécanique
Energie cinétique Ec
Energie potentielle Ep
Travail W
C.3.2
Thermodynamique
Energie interne U
Enthalpie H
Transfert thermique Q
Travail W
C.3.3
Symboles
Le symbole ∆ désigne une différence entre deux valeurs d’une grandeur (par
exemple, ∆U ). Pour une petite différence, l’on utilisera d (appelé aussi différentielle), à ne pas confondre avec le symbole δ, utilisé pour désigner une petite
quantité (par exemple, δQ).
106
Annexe D
Glossaire
D.1
Général
Convention récepteur En convention récepteur, est comptée comme positive
toute énergie effectivement reçue.
Homogène (milieu) Milieu dont les propriétés sont identiques en tout point.
Isotropie Autour d’un point, les propriétés sont identiques dans toutes les
directions.
D.2
Mécanique
→
−
−
Système au repos On a →
v = 0.
D.3
Optique
Réfringent Un milieu est plus réfringent qu’un autre lorsque son indice de
réfraction est supérieur.
D.4
Thermodynamique
Choc élastique Choc pour lequel il y a conservation de l’énergie cinétique.
Equilibre externe Equilibre d’une sous partie quelconque du système avec
l’extérieur.
107
ANNEXE D. GLOSSAIRE
Equilibre interne Equilibre d’une sous partie quelconque du système avec le
reste du système.
Equilibre mécanique Il n’y a pas d’échanges d’énergie mécanique.
Equilibre thermique Il n’y a pas d’échanges d’énergie thermique.
Equilibre thermodynamique Il s’agit d’un équilibre à la fois mécanique et
thermique.
Etat d’un système L’état d’un système regroupe l’ensemble de ses caractéristiques perceptibles à l’échelle macroscopique.
Etat stationnaire Etat caractérisé par des variables d’état constantes au cours
du temps.
Grandeur extensive Il s’agit d’une grandeur définie pour le système entier,
proportionnelle à la quantité de matière contenue dans le système.
Grandeur intensive Il s’agit d’une grandeur définie localement, indépendante
de la quantité de matière contenue dans le système.
Homogénéité Répartition uniforme des particules dans le volume qui leur est
offert.
Isobare La pression du système est constante pendant la transformation.
Isochore Le volume du système est constant pendant la transformation.
Isotherme La température du système est constante pendant la transformation.
Monobare La pression extéieure est constante pendant la transformation.
Monotherme La température extéieure est constante pendant la transformation.
Phase condensée Il s’agit des liquides et des solides.
Système fermé Système pouvant échanger de l’énergie, mais pas de la matière.
Système isolé Système ne pouvant échanger ni énergie et ni matière.
Système ouvert Système pouvant échanger de l’énergie et de la matière.
Thermodynamique Etude des échanges d’énergie entre les systèmes.
Transformation Evolution d’un système entre un état d’équilibre interne initial et un état d’équilibre interne final selon un certain "chemin".
Transformation adiabatique Il n’y a pas de transferts thermiques entre le
système et l’extérieur pendant la transformation.
108
Index
Complexe
Accélération, 3
amplitude, 63
d’entrainement, 26
grandeurs, 63
de Coriolis, 26
impédance, 63
Amplitude, 37
Composants
Angle
amplificateur opérationnel, 61
de réfraction totale, 39
bobine, 53, 57, 78
limite de réfraction, 39, 43
condensateur, 53, 57
Aplanétisme, 41
dipôle, 51
Approximation
dipôle linéaire, 53
des régimes quasi-stationnaires, 51
fil de connexion, 52
dipolaire, 81, 82
filtres, 68
parabolique, 10, 11
multipôle, 51
Bande passante, 68
résistance, 53, 57
Barrière de potentiel, 8
résistor, 53
Barycentre, 29
solénoïde, 78
source de courant, 53
Célérité, 37
source de tension, 53
Capacité
Conditions de Gauss, 41
thermique à pression constante, 87 Convention
thermique à volume constant, 87
générateur, 52
Caractéristique statique, 52
récepteur, 52
Centre de force, 21
Coordonnées
Chaleur latente, 95
cartésiennes, 1
Champ
cylindriques, 1
électrostatique, 73
sphériques, 2
de gravitation, 33
Courant électrique, 51
de pesanteur, 33
magnétique, 77
Décomposition en série de Fourier, 63
Circuit, 51
Décrément logarithmique, 13
branche, 52
Déplacement élémentaire, 7
Dérivateur pur, 68
maille, 52
Déviation, 43
noeud, 52
Densité
réseau électrique, 51
linéique de charges, 74
Coefficient
particulaire, 36
d’amortissement, 12
surfacique de charges, 74
de compressibilité isotherme, 98
volumique de charges, 74
de dilatation isobare, 98
Diagramme de Bode, 67
de surtension, 64
109
INDEX
Dioptre, 39
Dipôle électrostatique, 81
Distance focale, 47
Effet Joule, 57
Efficacité
d’un réfrigérateur, 91
d’une pompe à chaleur, 91
Energie
cinétique, 29
cinétique effective, 22
cinétique radiale, 22
enthalpie, 87
massique, 96
massique de changement d’état,
95
interne, 85, 98
mécanique, 31, 85
potentielle, 8, 36
potentielle d’interaction, 82
potentielle effective, 22
Entropie, 89
massique, 96
massique de changement d’état, 95
Equipotentielle, 76
Equivalent volumique des forces pressantes, 35
Etat
de diffusion, 9
lié, 9
de Lorentz, 79
de réaction, 6
de rappel par un ressort, 5
extérieure, 30
gravitationnelle, 5
intérieure, 30
magnétique, 78
Formule
de changement de point, 29
de dérivation vectorielle, 25
de Varignon, 25
du pont diviseur de courant, 54
du pont diviseur de tension, 54
Foyer
image, 41
objet, 41, 47
Fréquence, 37
Fraction massique de vapeur, 95
Gain pur, 68
Gaz parfait, 86
Indice de réfraction, 38
Intégrale première du mouvement, 8
Intégrateur pur, 68
Intensité du courant, 51
Invariance, 75
Irréversibilité, 89
Lignes de champ, 76, 77
Loi
d’Ohm, 80
Facteur
de Biot et Savart, 78
de Boltzmann, 36
de Boltzmann, 36
de puissance, 64
de composition des accélérations,
de qualité, 12
26
Fluide hypercritique, 93
de composition des vitesses, 26
Flux élémentaire, 75
de Coulomb, 73
Fonction de transfert, 67
de Kepler, 22
Fonctionnement linéaire, 61
de Kirchhoff, 52
Force
de Laplace, 88
électrostatique, 5, 22, 73
de Newton
centrale, 21
loi des actions réciproques, 5
conservative, 7
principe d’inertie, 5
d’inertie
principe fondamental de la dyd’entrainement, 27
namique, 5, 27
de Coriolis, 27, 34
de Snell-Descartes, 39
d’interaction gravitationnelle, 22
des actions réciproques, 5
de choc d’un atome sur une surdes aires, 21
face, 98
de frottements, 6
des mailles, 52
110
INDEX
des noeuds, 52
des rayons, 39
Longueur d’onde, 37
Machine thermique, 91
Milieu dispersif, 38
Modèle de l’atmosphère isotherme, 35
Moment
cinétique, 29, 30
d’un point matériel, 17
d’une force, 18
dipolaire, 81
magnétique, 82
Mouvement à force centrale, 21
Nombre de complexion, 91
Onde électromagnétique, 37
Oscillateur harmonique, 10
Période, 37
Particule réduite, 31
Permittivité relative du vide, 73
Phénomène de résonnance, 64
Plan
d’incidence, 39
de symétrie électrostatique, 75
focal image, 41
focal objet, 41
Poids, 33
Point
coincident, 25
critique, 94
de fonctionnement, 55
réel, 41
triple, 94
virtuel, 41
Portait de phase, 11
Positions d’équilibre, 9
Potentiel, 51
Pression, 35
cinétique, 97
Principe
d’inertie, 5
de superposition, 73, 77
fondamental de la dynamique, 5
premier principe de la thermodynamique, 85
second principe de la thermodynamique, 89
troisième principe de la thermodynamique, 91
Pseudo-période, 12
Pseudo-pulsation, 12
Puissance, 7
instantannée, 52
moyenne, 15, 52, 64
Puit de potentiel, 8
Pulsation, 37
de coupure, 68
propre, 58
Quantité de mouvement, 5, 29, 30
Référentiel, 1
barycentrique, 29
de Copernic, 33
géocentrique, 33
galiléen, 5
héliocentrique, 33
terrestre, 33
Résonnance, 15
Réversibilité, 89
Rayon
paraxial, 41
réfléchi, 39
réfracté, 39
transmis, 39
Relation
de conjugaison, 42, 45, 48
de Mayer pour les gaz parfaits, 87
fondamentale de la statique des fluides,
35
grandissement, 42, 48
identité thermodynamique, 90
inégalité de Clausius, 91
Source
de travail, 90
thermique, 90
Spectre électromagnétique, 38
Spectre magnétique, 77
Stigmatisme, 41
Système
conservatif, 8
optique, 41
optique centré, 41
thermoélastique, 86
Système calorifugé, 89
Température cinétique, 98
111
INDEX
Temps caractéristique de décroissance,
12
Temps de relaxation, 12
Tension, 51
Terme
de marée, 33
différentiel, 33
Théorème
de la puissance cinétique, 31
d’Ampère, 78
d’Archimède, 36
de Gauss, 75
de Koenig
relatif à l’énergie cinétique, 30
relatif au moment cinétique, 30
de l’énergie cinétique, 7, 30
de l’énergie mécanique, 8, 31
de la puissance cinétique, 7
de la quantité de mouvement, 30
de Pascal, 36
de superposition, 55
de Thévenin, 56
des moments, 95
du centre d’inertie, 30
du moment cinétique, 19, 30
Thermostats, 90
Torseur cinématique des vitesses d’un
solide, 25
Trajectoire, 3
Transfert thermique, 86
Transformation quasi-statique, 88
Travail, 86
élémentaire, 7
d’une force conservative, 8
des forces intérieures, 30
entre deux points, 7
Valeur efficace, 65
Vecteur densité de courant, 80
Vergence, 45, 47
Vitesse, 2
aréolaire, 24
d’entrainement, 26
de libération, 22
deuxième vitesse cosmique, 22
première vitesse cosmique, 22
quadratique moyenne, 98
112
Table des figures
1.1
Repérage cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Repérage cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Repérage sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.1
Barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2
Puit de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3
Exemple d’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.4
Positions d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7.1
Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
13.1 Spectre électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
13.2 Dioptre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
15.1 Prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
16.1 Miroir concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
16.2 Miroir convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
17.1 Lentille convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
113
TABLE DES FIGURES
17.2 Lentille divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
22.1 Filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
22.2 Filtre passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
22.3 Filtre passe-bas du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
22.4 Filtre passe-haut du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
22.5 Filtre passe-bande du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
26.1 Représentation d’un dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . .
82
29.1 Les différents changements d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
29.2 Diagramme (p,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
29.3 Diagramme (p,T) de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
29.4 Diagramme (p,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
114