th´eorie alg´ebrique des nombres

Laurent Berger
THÉORIE ALGÉBRIQUE DES
NOMBRES
Laurent Berger
UMPA, ENS de Lyon, UMR 5669 du CNRS, Université de Lyon.
E-mail : [email protected]
Url : http://perso.ens-lyon.fr/laurent.berger/
THÉORIE ALGÉBRIQUE DES NOMBRES
Laurent Berger
TABLE DES MATIÈRES
1. Méthodes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Entiers algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Anneaux de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Groupes de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Méthodes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Géométrie des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Lois de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Décomposition des idéaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Lois de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
24
27
28
4. Méthodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1. La fonction ζ de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Fonctions L de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Méthodes p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Corps normés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Extensions finies de Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Groupes de Galois des corps p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
41
43
45
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
CHAPITRE 1
MÉTHODES ALGÉBRIQUES
1.1. Corps de nombres
Le point de départ de ce cours est le théorème suivant.
Théorème 1.1.1. — Le corps C est algébriquement clos.
Un nombre complexe α est dit algébrique s’il est racine d’un polynôme à coefficients
dans Q.
Proposition 1.1.2. — Si α ∈ C, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) α est algébrique ;
(2) Q[α] est de dimension finie sur Q ;
(3) Q[α] = Q(α).
Démonstration. — Montrons que (1) implique (2) ; si α est annulé par P (X), alors Q[α]
est un quotient de Q[X]/P (X) et est donc de dimension finie sur Q.
Montrons que (2) implique (3) ; si β ∈ Q[α] est non nul, alors la multiplication par β
est un endomorphisme injectif de Q[α] qui est alors surjectif comme on est en dimension
finie, ce qui fait que tout élément non nul de Q[α] a un inverse et que Q[α] est un corps.
Montrons que (3) implique (1) ; on a 1/α ∈ Q[α] et il existe donc R(X) tel que
1/α = R(α) ce qui fait que α est annulé par le polynôme P (X) = XR(X) − 1.
Le degré de α est alors défini par deg(α) = dimQ (Q[α]). On déduit de la proposition
que si α, β ∈ C sont algébriques, alors α ± β et αβ et α/β le sont aussi. En effet, ils
appartiennent tous à Q[α, β] qui est engendré par les αi β j avec 0 ≤ i ≤ deg(α) − 1 et
0 ≤ j ≤ deg(β) − 1.
Si α est algébrique, alors Iα = {P (X) ∈ Q[X] tels que P (α) = 0} est un idéal de Q[X]
dont on note Pmin,α le générateur unitaire, c’est le polynôme minimal de α. Ce polynôme
est irréductible sur Q et il est scindé à racines simples sur C. Son degré est celui de α.
8
CHAPITRE 1. MÉTHODES ALGÉBRIQUES
Définition 1.1.3. — Un corps de nombres est une extension finie K de Q. Son degré
noté [K : Q] est la dimension de K sur Q.
Le résultat ci-dessous (le théorème de l’élément primitif) va nous simplifier la vie.
Théorème 1.1.4. — Si K est un corps de nombres, alors il existe α ∈ K tel que
K = Q(α).
Démonstration. — Comme K est de dimension finie sur Q, il existe α1 , . . . , αk ∈ K tels
que K = Q(α1 , . . . , αk ) et pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que si
K = Q(x, y), alors il existe z ∈ K tel que K = Q(z). Pour cela, plaçons nous dans une
extension de K qui contient les racines x1 = x, x2 , . . . , xr de Pmin,x (X) et les racines y1 =
y, y2 , . . . , ys de Pmin,y (X). Comme Q est infini, il existe t ∈ Q tel que xi +tyj 6= x+ty pour
tout (i, j) 6= (1, 1) et on pose z = x+ty. Si on pose Q(X) = (X −z +ty1 ) · · · (X −z +tys ),
alors Q(X) est à coeffcients dans Q(z) et l’hypothèse faite sur t implique que le pgcd de
Q(X) avec Pmin,x (X) est X − x ce qui fait que x ∈ Q(z). On a de même y ∈ Q(z) et
donc on a bien Q(x, y) = Q(z).
Si L/K est une extension de corps de nombres, alors il existe α ∈ L tel que L = Q(α)
et donc a fortiori, L = K(α).
Si K est un corps de nombres, alors un plongement de K dans C est un morphisme
de corps σ : K → C. Par le théorème 1.1.4, il existe α ∈ K tel que K = Q[α] =
Q[X]/(Pmin,α (X)) et il existe donc deg(α) plongements distincts de K dans C, donnés
par σi (α) = αi où α1 , . . . , αd sont les racines de Pmin,α (X) dans C. Un plongement σ est
dit réel si σ(K) ⊂ R et complexe sinon. Dans ce dernier cas, σ et σ sont distincts. Le
corps K admet donc r1 plongements réels dans C et r2 paires de plongements complexes
conjugués, avec d = r1 +2r2 . Plus généralement, on a le résultat ci-dessous qui se démontre
de la même manière.
Proposition 1.1.5. — Si L/K est une extension de corps de nombres de degré d et si
σ : K → C est un plongement, alors il existe d plongements distincts de L dans C dont
la restriction à K est σ.
Remarquons que si x ∈ L vérifie σi (x) = σj (x) pour tous i, j alors x ∈ K.
Soit K un corps de nombres et x ∈ K et mx : K → K l’application de multiplication
par x. C’est un endomorphisme Q-linéaire et on pose TrK/Q (x) = Tr(mx ) et NK/Q (x) =
det(mx ).
Proposition 1.1.6. — Si σ1 , . . . , σd sont les plongements de K dans C, alors TrK/Q (x) =
σ1 (x) + · · · + σd (x) et NK/Q (x) = σ1 (x) · · · σd (x).
1.2. ENTIERS ALGÉBRIQUES
9
Démonstration. — Remarquons que si R(X) ∈ Q[X], alors R(mx ) = mR(x) et donc
que le polynôme minimal de l’endomorphisme mx est Pmin,x (X). On en déduit que si
K = Q(x), alors mx est diagonalisable à valeurs propres σ1 (x), . . . , σd (x) chacune étant
comptée avec multiplicité un ce qui montre la proposition dans ce cas. En général, K est
une extension de Q(x) de degré e et K est la somme de e copies de Q(x) stables par mx
ce qui fait que TrK/Q (x) = e · TrQ(x)/Q (x) et que NK/Q (x) = (NQ(x)/Q (x))e . Par ailleurs,
chaque plongement σi de Q(x) dans C s’étend en e plongements distincts de K dans C,
qui prennent la même valeur sur x. On en déduit la proposition dans le cas général.
On utilise la trace pour définir une forme bilinéaire h·, ·iK : K × K → Q donnée
par hx, yiK = TrK/Q (xy). Cette forme est non dégénérée car hx, 1/xiK = [K : Q] 6= 0. Si
α1 , . . . , αd sont d éléments de K, alors le discriminant de cette famille est disc(α1 , . . . , αd ) =
det(hαi , αj iK ). On a alors :
disc(α1 , . . . , αd ) = det(hαi , αj iK ) = det(t (σi (αj ))i,j · (σi (αj ))i,j ) = det((σi (αj ))i,j )2 .
En particulier, si (αi ) = M · (βi ) avec M ∈ Md (Q), alors disc(αi ) = det(M )2 disc(βi ).
Enfin si K = Q(α), alors :

1 σ1 (α)
σ1 (αd−1 )
..
..

disc(1, α, . . . , αd−1 ) =  ...
.
...
.
1 σd (α)
σd (αd−1 )
Y
=
(σi (α) − σj (α))2

i<j
0
= ± NK/Q Pmin,α
(α).
1.2. Entiers algébriques
Si K est un corps de nombres, alors on dit que α ∈ K est entier si Pmin,α (X) ∈ Z[X].
Proposition 1.2.1. — Si α ∈ K, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) α est entier ;
(2) il existe P ∈ Z[X] unitaire tel que P (α) = 0 ;
(3) Z[α] est un Z-module de type fini.
Démonstration. — Le fait que (1) implique (2) est évident et le fait que (2) implique (1)
suit du lemme de Gauss : si P (α) = 0, alors Pmin,α (X) divise P (X) et est donc unitaire
à coefficients dans Z[X].
Montrons que (2) implique (3) : si P (α) = 0 et si d = deg(P ), alors αd ∈ Z + Zα +
· · · + Zαd−1 et par récurrence, on trouve que Z[α] = Z + Zα + · · · + Zαd−1 ce qui montre
que Z[α] est de type fini.
10
CHAPITRE 1. MÉTHODES ALGÉBRIQUES
Montrons enfin que (3) implique (2). Soit x1 , . . . , xn une famille génératrice de Z[α]. Il
existe M ∈ Mn (Z) telle que (αxi ) = M · (xi ) ce qui fait que (α Id −M )(xi ) = (0) et donc
det(α Id −M ) = 0 ce qui fait que P (α) = 0 avec P (X) = det(X Id −M ) qui est unitaire
à coefficients entiers.
En particulier, si α, β ∈ K sont entiers, alors α ± β et αβ le sont aussi. On note OK
l’ensemble des entiers de K et c’est donc un anneau.
Théorème 1.2.2. — Si K est un corps de nombres, alors OK est un Z-module libre de
rang d = [K : Q].
Démonstration. — Commençons par remarquer que si α ∈ K, alors il existe m ∈ Z tel
que mα ∈ OK . En effet, si αn + an−1 αn−1 + · · · + a0 = 0 avec ai ∈ Q, alors en mutlipliant
cette relation par mn , on trouve (mα)n + man−1 (mα)n−1 + · · · + mn a0 = 0 et il suffit
donc de prendre m tel que mai ∈ Z pour tout i. On déduit de cela qu’il existe des entiers
P
α1 , . . . , αd qui forment une base de K/Q. Si α ∈ OK , on peut donc écrire α = di=1 xi αi
avec xi ∈ Q. En appliquant les d plongements σ1 , . . . , σd à cette relation, on trouve :
 

 
σ1 (α1 ) . . . σ1 (αd )
x1
σ1 (α)
.
.
  ...  ,
 ..  = 
..
σd (α)
σd (α1 ) . . . σd (αd )
xd
et donc :
−1 

  
σ1 (α1 ) . . . σ1 (αd )
σ1 (α)
x1
..
  ... 
 ...  = 
.
σd (α1 ) . . . σd (αd )
σd (α)
xd



σ1 (α1 ) . . . σ1 (αd )
σ1 (α)
..
  ...  .
= disc(αi )−1 det((σi (αj ))ij ) · t co 
.
σd (α1 ) . . . σd (αd )
σd (α)
On déduit de l’équation ci-dessus que disc(αi )xj appartient à OK quel que soit j et donc
à Q ∩ OK = Z ce qui fait que l’on a :
⊕dj=1 Z · αj ⊂ OK ⊂ ⊕dj=1 Z · disc(αi )−1 αj
et donc OK est bien libre de rang d.
Une famille α1 , . . . , αd de OK telle que OK = ⊕di=1 Zαi s’appelle une base entière de
K. Le discriminant de K est le discriminant d’une base entière de K. Si (αi ) et (βi ) sont
deux bases entières de K, alors on a (αi ) = M · (βi ) avec M ∈ GLd (Z) ce qui fait que
disc(αi ) = disc(βi ) et donc que le discriminant de K ne dépend pas du choix de la base
entière.
1.3. ANNEAUX DE DEDEKIND
11
Lemme 1.2.3. — Si α1 , . . . , αd est une famille libre de OK et si disc(αi ) est sans facteur
carré, alors α1 , . . . , αd est une base entière de K.
Démonstration. — Si (βi ) est une base entière de K, alors il existe M ∈ Md (Z) telle que
(αi ) = M · (βi ) et donc disc(αi ) = det(M )2 disc(βi ). Le fait que disc(αi ) est sans facteur
carré implique que det(M ) = ±1 et donc que α1 , . . . , αd est une base entière de K.
1.3. Anneaux de Dedekind
Si K est un corps de nombres, alors on cherche à étendre à OK l’arithmétique usuelle
sur Z. Cela nous amène à nous poser les questions suivantes : est-ce que OK est un anneau
principal ? Que dire de la factorisation dans OK ?
√
√
Si K = Q( −5), alors OK = Z[ −5] n’est pas factoriel car :
√
√
6 = 2 × 3 = (1 + −5) × (1 − −5),
√
alors que 2 et 3 et 1 ± −5 sont irréductibles. L’idée de Dedekind a été de remplacer les
√
éléments de OK par les idéaux de OK . Dans Z[ −5], on a alors :
√
√
√
√
6 = (2, 1 + −5) · (2, 1 − −5) · (3, 1 + −5) · (3, 1 − −5),
et chacun des idéaux ci-dessus est un idéal premier.
Un anneau de Dedekind est un anneau A qui satisfait les trois propriétés suivantes :
(1) A est intègre et noethérien ;
(2) si I est un idéal premier non nul de A, alors I est maximal ;
(3) A est intégralement clos (si K = Frac(A) est un corps de nombres, alors A est
l’anneau des entiers de K).
Proposition 1.3.1. — Si K est un corps de nombres, alors OK est un anneau de Dedekind.
Démonstration. — L’anneau OK est intègre car OK ⊂ K et il est noethérien car c’est un
Z-module libre de rang d, ce qui montre le (1). Si I est un idéal, alors il existe m ∈ Z ∩ I
non nul (par exemple la norme d’un élément de I) ce qui fait que OK /I est fini puisque
c’est un quotient de (Z/mZ)d . Si I est premier alors OK /I est intègre, et comme un
anneau intègre fini est un corps, I est maximal ce qui montre le (2). Enfin le (3) suit de
la définition de OK .
Un idéal fractionnaire de A est un A-module I ⊂ K tel qu’il existe x ∈ A vérifiant
x · I ⊂ A. Comme xI · yJ = xyIJ, le produit de deux idéaux fractionnaires est un idéal
fractionnaire. Nous allons montrer que l’ensemble des idéaux fractionnaires non nuls de
A forme un groupe.
12
CHAPITRE 1. MÉTHODES ALGÉBRIQUES
Lemme 1.3.2. — Si A est un anneau noethérien, alors tout idéal I de A contient un
produit d’idéaux premiers.
Démonstration. — Rappelons que dans un anneau noethérien A, tout ensemble non vide
d’idéaux de A admet un élément maximal. S’il existe un idéal I qui ne contient pas un
produit d’idéaux premiers, on peut donc supposer que I est maximal parmi ces idéauxlà ; en particulier, il n’est pas premier et il existe donc r, s ∈ A \ I tels que rs ∈ I. Les
idéaux (I, r) et (I, s) contiennent tous les deux un produit d’idéaux premiers et comme
(I, r) · (I, s) ⊂ I, on a une contradiction.
Lemme 1.3.3. — Si I est un idéal propre de A, alors il existe λ ∈ K \A tel que λI ⊂ A.
Démonstration. — Soient a ∈ I et p un idéal premier tel que I ⊂ p. Par le lemme
précedent appliqué à l’idéal (a), il existe des idéaux premiers p1 , . . . , pr tels que :
p1 · · · pr ⊂ (a) ⊂ I ⊂ p
et p est alors l’un des pi disons p1 . On peut supposer que r est minimal et donc que
p2 · · · pr 6⊂ (a) ce qui fait qu’il existe b ∈ p2 · · · pr tel que b ∈
/ (a), c’est-à-dire que
λ = b/a ∈ K \ A. Si x ∈ I, alors x ∈ p = p1 et donc bx ∈ p1 · · · pr ⊂ (a) ce qui revient à
λx ∈ A.
Si I est un idéal fractionnaire de A, on pose I −1 = {x ∈ K tels que xI ⊂ A}.
Proposition 1.3.4. — Si I est un idéal fractionnaire de A, alors I −1 est un idéal fractionnaire de A et I · I −1 = A.
Démonstration. — Si y ∈ I ∩A, alors yI −1 ⊂ A et donc I −1 est bien un idéal fractionnaire
de A. De plus, cela implique que I ·I −1 est un idéal de A, et il reste à montrer qu’il coı̈ncide
avec A. Si ce n’était pas le cas, alors le lemme précédent appliqué à I · I −1 nous fournirait
λ ∈ K \ A tel que λI · I −1 ⊂ A et par définition de I −1 cela impliquerait que λI −1 ⊂ I −1
et donc que pour tout n ≥ 1 on aurait λn I −1 ⊂ I −1 . Si x ∈ I −1 , on a alors λn ∈ x−1 y −1 A
et donc A[λ] est un A-module libre de type fini ce qui fait que λ ∈ A puisque A est
intégralement clos, contradiction.
Corollaire 1.3.5. — L’ensemble des idéaux fractionnaires non nuls de A forme un
groupe pour la multiplication, de neutre I = A.
Remarquons que si I et X sont deux idéaux de A, alors on peut écrire I = XY avec
Y un idéal de A si et seulement si I ⊂ X. Un sens est trivial et si I ⊂ X, alors on pose
Y = X −1 I et le fait que I ⊂ X implique que Y ⊂ A.
1.4. GROUPES DE CLASSES
13
Théorème 1.3.6. — Tout idéal de A s’écrit d’une et une seule manière comme un
produit d’idéaux premiers.
Démonstration. — Il faut montrer l’existence et l’unicité de la décomposition. Commençons par l’existence. L’ensemble des idéaux qui ne sont pas un produit d’idéaux
premiers admet un élément maximal I ; cet idéal est inclus dans un idéal maximal p et
comme I ⊂ p, on peut écrire I = pJ. Comme I ⊂ J, on peut écrire J comme produit
d’idéaux premiers J = p1 · · · pr et donc I = pp1 · · · pr .
Montrons maintenant l’unicité de la décomposition. Si l’on avait une égalité p1 · · · pr =
q1 · · · qs alors p1 · · · pr ⊂ q1 et donc il existe i (disons i = 1 quitte à renuméroter) tel que
−1
pi = q1 ce qui fait qu’en multipliant par p−1
1 = q1 on trouve que p2 · · · pr = q2 · · · qs .
Ceci permet de conclure par récurrence que r = s et que quitte à réordonner, on a pi = qi
pour tout i.
Soit p un nombre premier de Z. Par le théorème 1.3.6, l’idéal (p) se décompose en
un produit pe11 · · · perr où les pi sont des idéaux premiers distincts contenant p et ei ≥ 1.
Les idéaux p1 , . . . , pr s’appellent les idéaux premiers de OK au-dessus de p. Comme pi
est maximal, OK /pi est un corps de caractéristique p et donc de cardinal pfi où fi ≥ 1.
On dit que ei est l’indice de ramification de pi et que fi est le degré d’inertie de pi .
Réciproquement, si p est un idéal premier de OK alors p ∩ Z = pZ pour un nombre
premier p. Nous reviendrons en longueur sur tout cela dans le chapitre 3.2.
1.4. Groupes de classes
Notons IK le groupe des idéaux fractionnaires de K et PK le sous-groupe de IK
constitué des idéaux principaux. Le groupe de classes de OK est le groupe Cl(OK ) =
IK /PK . Le résultat principal de ce chapitre est le suivant :
Théorème 1.4.1. — Le groupe Cl(OK ) est un groupe fini.
Ce théorème sera démontré un peu plus tard. Avant cela, nous faisons quelques compléments
sur les idéaux de OK .
Si f : Zd → Zd est injective et si M est la matrice de f dans une base de Zd , alors
Zd /f (Zd ) est fini de cardinal |det(M )|. En appliquant cela à l’endomorphimse mx de OK
on trouve que si x ∈ OK alors |NK/Q (x)| = card(OK /(x)). Si I est un idéal de OK alors
on pose N(I) = card(OK /I).
Lemme 1.4.2. — Si I et J sont deux idéaux de OK alors N(IJ) = N(I) N(J).
14
CHAPITRE 1. MÉTHODES ALGÉBRIQUES
Démonstration. — En vertu du théorème 1.3.6, il suffit de montrer cela sous l’hypothèse
supplémentaire que I est premier (et donc maximal). Dans ce cas, J/IJ est un OK /Iespace vectoriel de dimension un et donc card(I/IJ) = N(I). Comme card(OK /IJ) =
card(OK /I) card(I/IJ), cela montre le lemme.
Si I est un idéal et si a ∈ I vérifie |NK/Q (a)| = N(I), alors I = (a) et donc I est
principal.
Proposition 1.4.3. — Il existe une constante G (qui ne dépend que de K) telle que
pour tout idéal I, il existe α ∈ I vérifiant |NK/Q (α)| ≤ G · N(I).
P
Démonstration. — Soit α1 , . . . , αd une base de OK et Gi = dj=1 |σi (αj )|. Si m ≥ 1, alors
l’ensemble {m1 α1 + · · · + md αd } où 0 ≤ mi ≤ m est de cardinal (m + 1)d et si l’on choisit
m de manière que md ≤ card(OK /I) < (m + 1)d , alors par le principe des tiroirs il existe
α = n1 α1 + · · · + nd αd ∈ I non nul avec |ni | ≤ m. On a |σi (α)| ≤ Gi · m quel que soit i
et donc |NK/Q (α)| ≤ G · N(I) avec G = G1 · · · Gd .
Une classe d’idéaux est une classe à gauche de PK dans IK . Si C est une classe d’idéaux
et I ∈ C −1 , alors par la proposition ci-dessus il existe α ∈ I tel que |NK/Q (α)| ≤ G · N(I).
Comme (α) ⊂ I, on peut écrire (α) = IJ et donc J est un idéal appartenant à C qui
vérifie N(J) ≤ G.
Démonstration du théorème 1.4.1. — Pour terminer la démonstration du théorème 1.4.1,
il faut donc montrer qu’il n’existe qu’un nombre fini d’idéaux I de OK vérifiant N(I) ≤ G
puisque les classes de ces idéaux engendrent Cl(OK ).
Si I est un tel idéal alors par le théorème 1.3.6, on peut écrire I = pn1 1 · · · pnr r et donc
N(I) = N(p1 )n1 · · · N(pr )nr . Si pi est un idéal au-dessus de pi , alors N(pi ) ≥ pi . On a donc
pi ≤ G et pour chacun de ces pi l’exposant ni de pi est borné par pni i ≤ G. Ceci achève
la démonstration.
CHAPITRE 2
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES
2.1. Géométrie des nombres
Afin de déterminer efficacement le groupe de classes d’un corps de nombres K, on a
besoin de connaı̂tre la proposition 1.4.3 avec une constante G aussi petite que possible,
c’est l’objet de la théorie de Minkowski.
Si G est un sous-groupe de Rn , on dit que G est discret si quelle que soit la partie bornée
B de Rn , l’ensemble G ∩ B est fini. Dans ce cas, il existe h1 , . . . , hr ∈ G linéairement
indépendants dans Rn tels que G = ⊕ri=1 Zhi . Rappelons en passant que si G est un sousgroupe fermé de R, alors il existe un sous-espace vectoriel V de Rn et un sous-groupe
discret H de Rn tels que G = V ⊕ H.
Un réseau de Rn est un sous-groupe discret de Rn qui est de rang r = n. Dans la
suite, on fixe la base canonique e1 , . . . , en de Rn . Si Λ = ⊕ni=1 Z`i est un réseau de Rn , le
volume de Λ est vol(Λ) = |det(M )| où M est la matrice des (`i ) dans la base (ei ) ; cette
définition ne dépend pas du choix de la base (`i ) et vol(Λ) est le volume d’un domaine
fondamental de Λ.
Lemme 2.1.1. — Si M est une partie mesurable de Rn telle que vol(M ) > vol(Λ), alors
il existe deux points distincts m1 et m2 de M tels que m1 − m2 ∈ Λ.
Démonstration. — Le tore Rn /Λ est muni d’une mesure de mesure totale vol(Λ) et si la
projection naturelle π : Rn → Rn /Λ était injective sur M , on aurait vol(M ) ≤ vol(Λ).
On déduit de cela le théorème de Minkowski ci-dessous.
Théorème 2.1.2. — Si Λ est un réseau de Rn et si C ⊂ Rn est une partie convexe
et symétrique par rapport à l’origine de volume vol(C) > 2n vol(Λ), alors il existe ` 6= 0
appartenant à C ∩ Λ.
Si on suppose en plus que C est compact, alors il suffit que vol(C) ≥ 2n vol(Λ).
16
CHAPITRE 2. MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES
Démonstration. — Le lemme 2.1.1 appliqué à M = 1/2 · C, nous donne c1 6= c2 ∈ C
tels que 1/2 · (c1 − c2 ) ∈ Λ. Comme C est convexe et symétrique par rapport à l’origine,
1/2 · (c1 − c2 ) ∈ C ce qui montre le premier résultat. Le deuxième se déduit par compacité
du premier appliqué à C + B(0, ε) avec ε → 0 (utiliser le fait que Λ \ {0} est fermé).
Revenons à présent à un corps de nombres K, dont on note σ1 , . . . , σd les plongements
dans C, ordonnés comme suit : les plongements réels sont σ1 , . . . , σr1 et les plongements
complexes sont σr1 +1 , . . . , σr1 +r2 , σ r1 +r2 +1 , . . . , σ r1 +2r2 . On identifie C à R2 et on définit
une application σ : K → Rd par :
σ(x) = (σ1 (x), . . . , σr1 (x), Re(σr1 +1 (x)), Im(σr1 +1 (x)), . . . , Re(σr1 +r2 (x)), Im(σr1 +r2 (x))) .
C’est clairement une application injective.
Lemme 2.1.3. — L’image de OK par l’application σ ci-dessus est un réseau de Rd dont
le volume est :
vol(σ(OK )) =
1 p
|disc(K)|.
2r2
Démonstration. — L’image G de OK par σ est un sous-groupe et si x ∈ G ∩ B(0, 1/2),
alors |σi (x)| < 1 pour tout i et donc |NK/Q (x)| < 1 ce qui fait que x = 0. On en déduit que
G ∩ B est fini pour toute partie bornée B et donc que G est discret. Comme σ : OK → G
est un isomorphisme, G est de rang d et est bien un réseau de Rd .
Si α1 , . . . , αd est une base de OK sur Z, alors σ(OK ) a une base dont la matrice est :


σ1 (α1 ) . . . σr1 (α1 ) Re(σr1 +1 (α1 )) Im(σr1 +1 (α1 )) . . . Im(σr1 +r2 (α1 ))
..
..
..
..
,
 ...
.
.
.
.
σ1 (αd ) . . . σr1 (αd ) Re(σr1 +1 (αd )) Im(σr1 +1 (αd )) . . . Im(σr1 +r2 (αd ))
et cette matrice s’obtient à partir de la matrice (σi (αj ))i,j en faisant r2 opérations du
type (Cj , Ck ) 7→ (1/2 · (Cj + Ck ), 1/2i · (Cj − Ck )) ce qui montre la formule puisque
det(σi (αj ))2i,j = disc(K).
Corollaire 2.1.4. — Si I est un idéal de OK , alors σ(I) est un réseau de Rd dont le
p
volume est vol(σ(I)) = 2−r2 |disc(K)| N(I).
Si v ∈ Rd , notons le v = (w1 , . . . , wr1 , x1 , y1 , . . . , xr2 , yr2 ) et notons par ailleurs N(v) =
Qr1
Qr2 2
2
|w
|
·
i
i=1
i=1 (xi + yi ) ce qui fait que si x ∈ K, alors N(σ(x)) = |NK/Q (x)|. Considérons
l’ensemble A défini par :
A = {(w1 , . . . , wr1 , x1 , y1 , . . . , xr2 , yr2 ) ∈ Rd ,
q
q
2
2
|w1 | + · · · + |wr1 | + 2 x1 + y1 + · · · + 2 x2r2 + yr22 ≤ d}.
2.1. GÉOMÉTRIE DES NOMBRES
17
Cet ensemble est manifestement un convexe compact symétrique par rapport à l’origine
et si a ∈ A, alors l’inégalité de moyennes arithmétiques-géométriques nous donne que
N(a) ≤ 1.
Proposition 2.1.5. — Si A est l’ensemble défini ci-dessus, alors on a :
dd r1 π r2
·2 ·
.
vol(A) =
d!
2
Démonstration. — La démonstration se fait par récurrence sur r1 et r2 . On note :
Ar,s = {(w1 , . . . , wr , x1 , y1 , . . . , xs , ys ) ∈ Rr+2s ,
|w1 | + · · · + |wr | + 2
q
p
x21 + y12 + · · · + 2 x2s + ys2 ≤ 1}.
Si l’on fixe t ∈ [−1; 1], alors Ar,s ∩ {w1 = t} = {(t, (1 − |t|)Ar−1,s )}. On en déduit que :
Z 1
2
vol(Ar,s ) = 2
vol(Ar−1,s )(1 − t)r+2s−1 dt =
vol(Ar−1,s ).
r + 2s
0
De même si ρ ≤ 1, alors on a :
o
n ρ
ρ
Ar,s ∩ {x21 + y12 = (ρ/2)2 } =
cos(θ), sin(θ), (1 − ρ)Ar,s−1 ,
2
2
et donc :
Z 1Z 2π
ρ
π
vol(Ar,s ) =
vol(Ar,s−1 )(1 − ρ)r+2s−2 dθdρ =
vol(Ar,s−1 ).
4
2(r + 2s)(r + 2s − 1)
0 0
Ceci permet de montrer par récurrence que vol(Ar,s ) = 2r (π/2)s /(r+2s)! et la proposition
suit alors du fait que A = d · Ar1 ,r2 .
Ceci nous permet de préciser la proposition 1.4.3.
Théorème 2.1.6. — Si K est un corps de nombres et si I est un idéal de OK , alors il
existe α ∈ I vérifiant |NK/Q (α)| ≤ G · N(I) avec :
r
d! 4 2 p
G= d
|disc(K)|.
d
π
Démonstration. — Posons :
1/d
2r1 +r2 p
· |disc(K)| · N(I)
· A,
C=
vol(A)
ce qui fait que C est un convexe compact symétrique par rapport à l’origine qui vérifie
vol(C) = 2d vol(σ(I)) par le corollaire 2.1.4. Le théorème 2.1.2 nous fournit alors x ∈
C ∩ σ(I) non nul, c’est-à-dire un élément α = σ −1 (x) ∈ I tel que :
2r1 +r2 p
N(α) ≤
· |disc(K)| · N(I) = G · N(I),
vol(A)
la dernière égalité résultant de la proposition 2.1.5.
Corollaire 2.1.7. — Si K est un corps de nombres différent de Q, alors |disc(K)| ≥ 2.
18
CHAPITRE 2. MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES
Démonstration. — On a forcément G ≥ 1 et donc :
p
dd π r2
dd π d/2
|disc(K)| ≥
≥
.
d! 4
d! 4
Il reste à montrer que cette fonction est > 1 si d ≥ 2, c’est un exercice d’analyse réelle.
2.2. Unités
Dans les deux chapitres précédents, on a donné une réponse à la question de la factorisation dans OK : tout idéal est un produit d’idéaux premiers et le groupe de classes
×
de OK est fini. Dans ce chapitre, nous déterminons OK
. Si on note µK l’ensemble des
racines de l’unité contenues dans K, alors µK est un groupe fini qui est le sous-groupe de
×
×
torsion de OK
et le théorème de Dirichlet dit que OK
/µK ' Zr1 +r2 −1 . Afin de montrer
×
ce théorème, nous utilisons l’application Log : OK
→ Rr1 +r2 donnée par la formule :
Log(x) = (log |σ1 (x)|, . . . , log |σr1 (x)|, 2 log |σr1 +1 (x)|, . . . , 2 log |σr1 +r2 (x)|),
où les plongement σi sont rangés comme au chapitre précédent.
Lemme 2.2.1. — Si x ∈ OK est un entier non nul tel que |σ(x)| ≤ 1 pour tout plongement σ : K → C, alors x est une racine de l’unité.
(k)
Démonstration. — On a |σ(xk )| ≤ 1 quel que soit k ≥ 1 et les coefficients ai
Q
(k)
lynôme P (k) (X) = σ:K→C (X − σ(xk )) qui annule xk vérifient donc |ai | ≤
du po
d
avec
k
d = [K : Q]. L’ensemble des σ(xk ) avec k ≥ 1 et σ : K → C est donc fini et il existe
donc i et j distincts tels que σ(xi ) = σ(xj ) ce qui fait que x est une racine i − j-ième de
l’unité.
Ce lemme (dû à Kronecker) implique immédiatement que le noyau de l’application Log
×
est le groupe µK . Si x ∈ OK
, alors NK/Q (x) = ±1 et donc l’image de Log est contenue
P 1 +r2
r1 +r2
dans l’hyperplan H de R
constitué des vecteurs (xi )i tels que ri=1
xi = 0.
Si c ≥ 0 et Log(x) ∈ H ∩ B(0, c), alors |σi (x)| ≤ C = exp(c) et donc il n’y a qu’un
nombre fini de possibilités pour x par le lemme 2.1.3 selon lequel σ(OK ) est un sousgroupe discret de Rd . En appliquant cela à c = 0, on trouve que µK est fini et avec c > 0
×
on trouve que l’image de OK
par Log est un sous-groupe discret de H.
Lemme 2.2.2. — Si 1 ≤ k ≤ r1 + r2 et si α ∈ OK \ {0}, alors il existe β ∈ OK \ {0}
tel que :
r2
p
2
|NK/Q (β)| ≤
|disc(K)|
π
et tel que log |σi (β)| < log |σi (α)| quel que soit i 6= k.
2.2. UNITÉS
19
Démonstration. — Soit ai = log |σi (α)| et soit Rr1 +2r2 = {(wi , xi , yi )} comme au chapitre précédent et E l’ensemble des vecteurs de Rr1 +2r2 qui vérifient |wj | ≤ exp(aj )/2
et |x2j + yj2 | ≤ exp(aj )/2 pour tout j 6= k et en j = k la valeur absolue corresponp
Q
dante est ≤ (2/π)r2 |disc(K)|/ j6=k (exp(aj )/2). L’ensemble E est un convexe compact
symétrique de volume 2d vol(σ(OK )) et par le théorème 2.1.2 il existe β non nul appartenant à σ(OK ) ∩ E.
Corollaire 2.2.3. — Si 1 ≤ k ≤ r1 +r2 alors il existe une unité uk telle que log |σi (uk )| <
0 pour tout i 6= k.
Démonstration. — On choisit α0 ∈ OK \ {0} et on applique le lemme 2.2.2 à répétition
pour trouver une suite {αi }i≥0 . Comme la norme des αj est bornée indépendamment de
j, il n’y a qu’un nombre fini de possibilités pour les idéaux (αj ) et il existe donc j ≥ 0 et
` ≥ 1 tels que αj+` /αj est une unité. On peut alors prendre uk = αj+` /αj .
×
Théorème 2.2.4. — L’image de OK
par l’application Log est un réseau de l’hyperplan
r1 +r2
H de R
.
×
Démonstration. — On a déjà vu que l’image de OK
par l’application Log est un sous-
groupe discret de H. Le corollaire 2.2.3 nous fournit r1 + r2 unités u1 , . . . , ur1 +r2 telles
que si l’on écrit la matrice des Log(ui ) on trouve les signes suivants :


⊕ ...  ⊕ . . . 
. .
.. 
 .. ..
.
... ⊕
De plus, les lignes de cette matrice sont toutes de somme nulle. C’est un exercice d’algèbre
×
linéaire de montrer qu’une telle matrice est de rang r1 + r2 − 1. Le groupe Log(OK
) est
donc un sous-groupe discret de H qui en contient une base, c’est-à-dire un réseau.
×
), alors le
Si u1 , . . . , ur1 +r2 −1 sont tels que les Log(ui ) forment une base de Log(OK
déterminant d’un mineur r1 + r2 − 1 × r1 + r2 − 1 de la matrice des Log(ui ) ne dépend
pas du choix du mineur ni de celui de la base et sa valeur absolue s’appelle le régulateur
de K noté RK .
×
Proposition 2.2.5. — On a vol(Log(OK
)) =
√
r1 + r2 · RK .
Démonstration. — Les Log(ui ) sont r1 + r2 − 1 vecteurs de somme des composantes nulle
√
√
dans Rr1 +r2 et le vecteur de composantes constantes v = (1/ r1 + r2 . . . 1/ r1 + r2 ) est
20
CHAPITRE 2. MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES
de norme 1 et orthogonal aux Log(ui ) ce qui fait que :


v
 Log(u1 ) 
×
.
vol(Log(OK
)) = |det| 
..


.
Log(ur1 +r2 −1 )
Il suffit alors de remplacer l’une des colonnes par la somme de toutes les colonnes.
CHAPITRE 3
LOIS DE RÉCIPROCITÉ
3.1. Correspondance de Galois
Soit K un corps de nombres et K une clôture algébrique de K et L une extension finie
de K ; on a vu au chapitre 1.1 qu’il existe y ∈ L tel que L = K[y]. Un automorphisme de
L au-dessus de K est un morphisme de corps K-linéaire α : L → L. Un tel morphisme
est déterminé par α(y) qui doit être l’une des racines de Pmin,y (X) et il y a donc au
plus d = [L : K] automorphismes de L au-dessus de K. On dit que l’extension L/K est
galoisienne s’il existe [L : K] automorphismes de L au-dessus de K.
Remarque 3.1.1. — Il existe d plongements K-linéaires σ : L → K et un tel plongement est un automorphisme de L si et seulement si σ(L) = L.
Si L/K est une extension de corps de nombres et si y ∈ L, alors un conjugué de y est
une racine de Pmin,y (X) dans K. On voit donc que l’extension L/K est galoisienne si et
seulement si les conjugués de tous les éléments de L sont dans toujours dans L et aussi
si et seulement si L est engendrée par des éléments dont tous les conjugués sont dans L.
Si l’extension L/K est galoisienne, alors on note Gal(L/K) le groupe des automorphismes de L au-dessus de K, et on l’appelle le groupe de Galois de L/K.
Par exemple, si P (X) ∈ K[X] est un polynôme irréductible de degré d = deg(P ), alors
le corps de décomposition de P est l’extension L de K engendrée par les racines de P dans
K. C’est une extension galoisienne et le groupe de Galois Gal(L/K) permute les racines
de P et on en déduit une injection Gal(L/K) ,→ Sd ce qui fait que [L : K] ≤ d!. En
particulier, toute extension L/K de degré d est contenue dans un corps L ⊂ M galoisien
sur K avec [M : K] ≤ d!.
Le résultat suivant est le théorème d’Artin.
Lemme 3.1.2. — Si K est un corps de nombres et si G est un groupe d’automorphismes
de K, alors K/K G est galoisienne de groupe de Galois G.
22
CHAPITRE 3. LOIS DE RÉCIPROCITÉ
Démonstration. — Par le théorème de l’élément primitif, il existe y ∈ K tel que K =
Q
K G (y). Le polynôme P (X) = g∈G (X − g(y)) est à coefficients dans K G et annule y ce
qui fait que [K : K G ] ≤ card(G). On en déduit que [K : K G ] = card(G) et donc que
K/K G est galoisienne de groupe de Galois G.
Le théorème principal de la théorie de Galois est le suivant.
Théorème 3.1.3. — Si L/K est une extension galoisienne de groupe de Galois G =
Gal(L/K), alors on a une « dualité » entre les sous-extensions K ⊂ F ⊂ L et les sousgroupes H de G, donnée par :
F 7→ Gal(L/F )
et
H 7→ LH ,
ces deux constructions étant réciproques l’une de l’autre.
De plus, l’extension LH /K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe
distingué de G.
Démonstration. — Commençons par montrer que les deux constructions sont inverses
l’une de l’autre. Si H est un sous-groupe de G et si F = LH alors le théorème d’Artin
nous dit que L/F est galoisienne de groupe de Galois H ce qui montre un sens. Si F ⊂ L et
si H = Gal(L/F ), alors l’extension L/LH est de degré card(H) par le théorème d’Artin ;
comme LH contient F on en déduit que LH = F ce qui montre l’autre sens.
−1
Ensuite, observons que si g ∈ G, alors g(LH ) = LgHg et donc que LH est stable par
tous les automorphismes K-linéaires de L si et seulement si H = gHg −1 pour tout g ∈ G
(en appliquant la première partie du théorème).
Avant de continuer, voyons ce qui se passe pour les corps finis. Un corps fini est toujours
de cardinal q = pf et si l’on travaille dans une clôture algébrique fixée Fp de Fp alors
Fq = {x ∈ Fp tels que xq = x} : il n’existe donc qu’une extension de Fp de degré f . On
a par ailleurs Fpf ⊂ Fpn si et seulement si f divise n. L’application σq : Fp → Fp est un
automorphisme de corps qui est l’identité sur Fq et qui préserve Fqf ; l’extension Fqf /Fq
admet donc f automorphismes distincts 1, σq , . . . , σqf −1 et est donc galoisienne de groupe
Z/f Z. La théorie de Galois des corps finis est donc très simple : toutes les extensions sont
galoisiennes et tous les groupes de Galois sont cycliques. Enfin, le théorème de l’élément
primitif est vrai pour les corps finis car F×
q est cyclique.
Revenons à présent aux corps de nombres. Le lemme suivant dit d’indépendance linéaire
des caractères est dû à Dedekind (on peut d’ailleurs l’utiliser pour démontrer la correspondance de Galois d’une manière un peu différente).
3.1. CORRESPONDANCE DE GALOIS
23
Lemme 3.1.4. — Si K est un corps et si G est un groupe d’automorphismes de K, alors
P
les éléments de G sont linéairement indépendants sur K, c’est-à-dire que si di=1 λi gi (x) =
0 pour tout x ∈ K, alors λi = 0 quel que soit i.
P
Démonstration. — On considère une relation de longueur minimale di=1 λi gi (x) = 0. Si
cette relation est de longueur ≥ 2 et si λj et λk sont non nuls et si y ∈ K est tel que
P
P
gj (y) 6= gk (y), alors di=1 λi gi (xy) = 0 d’une part et gj (y) di=1 λi gi (x) = 0 d’autre part.
En soustrayant ces deux relations, on trouve une relation de longueur plus petite ce qui
fait que les λi sont en fait tous nuls.
√
Si n ≥ 2 et si le corps K contient ζn = exp(2iπ/n) et si y ∈ K, alors K( n y)/K est
√
√
√
galoisienne. En effet, les conjugués de n y sont de la forme ζnj n y ∈ K( n y). En particulier,
√
√
α(σ) √
si σ ∈ Gal(K( n y)/K), alors il existe α(σ) ∈ Z/nZ tel que σ( n y) = ζn n y et on en
déduit un morphisme injectif :
√
α : Gal(K( n y)/K) ,→ Z/nZ.
Les extensions de K qui sont de cette forme sont les extensions de Kummer. On a alors
la proposition suivante (en l’appliquant à n = 2, on trouve que toutes les extensions
√
quadratiques de Q sont de la forme Q( y)).
Proposition 3.1.5. — Si ζn ∈ K et si L/K est une extension galoisienne de groupe de
√
Galois Z/nZ, alors il existe y ∈ K tel que L = K( n y).
Démonstration. — Si t ∈ L, posons z(t) = t + ζn σ(t) + · · · + ζnn−1 σ n−1 (t) où σ engendre
Gal(L/K). Par le lemme d’indépendance linéaire des caractères, il existe t ∈ L tel que
z = z(t) est non nul. On voit alors que σ(z) = ζn−1 z ce qui fait que z a n conjugués dans
√
L et vérifie z n = y ∈ K. On a donc bien L = K( n y).
Une autre classe importante de corps de nombres est donnée par les corps cyclotomiques ; ce sont les corps K = Q(ζn ) où n ≥ 3. Le n-ième polynôme cyclotomique est :
Y
Φn (X) =
(X − ζnk ).
k∈(Z/nZ)×
Lemme 3.1.6. — Le polynôme Φn (X) appartient à Z[X] est irréductible dans Q[X].
Démonstration. — Les conjugués de ζn sont de la forme ζna avec a ∧ n = 1 et comme
x 7→ ax est une bijection de (Z/nZ)× on voit que les coefficients de Φn (X) appartiennent
à Z. Soit à présent P (X) le polynôme minimal de ζn de telle sorte qu’on peut écrire
X n − 1 = P (X)Q(X). Si p est un nombre premier qui ne divise pas n, montrons que
P (ζnp ) = 0. Si ce n’est pas le cas, alors c’est que Q(ζnp ) = 0 et donc que P (X) divise
Q(X p ). Dans Fp [X], le polynôme P (X) divise alors Q(X)p et donc X n − 1 admet des
24
CHAPITRE 3. LOIS DE RÉCIPROCITÉ
racines multiples. Ceci n’est pas possible car le discriminant de X n − 1 est non nul dans
Fp si p ne divise pas n. On en déduit que P (ζnp ) = 0 pour tout p premier ne divisant pas
n et donc que P (ζna ) = 0 pour tout a premier à n ce qui fait que P (X) = Φn (X) qui est
donc irréductible.
Le polynôme Φn (X) est donc le polynôme minimal de ζn ce qui fait que [Q(ζn ) : Q] =
χ(g)
ϕ(n). Si g ∈ Gal(Q(ζn )/Q), alors il existe χ(g) ∈ (Z/nZ)× tel que g(ζn ) = ζn et on en
déduit un morphisme injectif qui est alors bijectif (comparer les cardinaux) :
χ : Gal(Q(ζn )/Q) ' (Z/nZ)× .
Les corps cyclotomiques sont des cas particuliers d’extensions abéliennes de Q, c’est-àdire de corps K tels que Gal(K/Q) est abélien. Un théorème de Kronecker et Weber
dit que toute extension abélienne de Q est contenue dans un corps cyclotomique. C’est
√
par exemple le cas pour les corps Q( d) mais même dans ce cas, le théorème n’est pas
complètement évident.
3.2. Décomposition des idéaux premiers
Dans tout ce chapitre, L/K est une extension de corps de nombres. Si p est un idéal
premier de OK alors pOL est un idéal de OL différent de OL ; en effet, si p est principal,
c’est immédiat et sinon il existe m ≥ 1 tel que pm est principal et pm OL 6= OL implique
que pOL 6= OL . Par le théorème 1.3.6, il existe donc des idéaux premiers q1 , . . . , qr de OL
et des entiers ei tels que pOL = qe11 · · · qerr . On dit que les idéaux qi sont au-dessus de p.
Réciproquement, si q est un idéal de OL alors q ∩ OK est un idéal premier p de OK et
donc tout idéal premier de OL est au-dessus d’un et un seul idéal premier de OK .
Le corps OL /qi est une extension de OK /p de degré noté fi = f (qi /p). L’entier ei est
l’indice de ramification de qi /p et fi en est le degré d’inertie. Si ei = 1 alors on dit que
qi est non-ramifié et si ei = 1 pour tout i, alors on dit que p est non-ramifié dans L. Si
ei = fi = 1 pour tout i, alors r = [L : K] et on dit que p est totalement décomposé dans
L. Si r = 1 et e = 1, alors on dit que p est inerte dans L.
P
Proposition 3.2.1. — Si pOL = qe11 · · · qerr alors ri=1 ei fi = [L : K].
Démonstration. — Si I est un idéal de OL on définit comme au §1.4 la norme de I
par N(I) = card(OL /I) et on a donc la relation N(IJ) = N(I) N(J). En particulier,
Q
N(pOL ) = ri=1 N(qi )ei et comme OL /qi est un OK /p-espace vectoriel de dimension fi
P
on a ri=1 ei fi = dimOK /p OL /pOL .
Il faut donc montrer que dimOK /p OL /pOL = [L : K] ce qui est assez compliqué (les
problèmes sont que OL n’a pas de raison d’être un OK -module libre de rang [L : K] et
3.2. DÉCOMPOSITION DES IDÉAUX PREMIERS
25
que p n’est pas nécessairement principal). Si x1 , · · · , xm est une famille d’éléments de
OL telle que leurs images dans OL /pOL en forment une base sur OK /p, alors il suffit de
montrer que x1 , · · · , xm est une base de L/K.
P
Montrons tout d’abord que les xi sont libres sur K ; si l’on a m
i=1 ai xi = 0, alors on peut
supposer que les ai sont dans OK et on note I l’idéal qu’ils engendrent. Si λ ∈ I −1 \ I −1 p,
alors les λai engendrent un idéal de OK qui n’est pas contenu dans p et on obtient une
P
contradiction en réduisant m
i=1 λai xi = 0 modulo p ; les xi sont donc libres sur K.
P
Montrons à présent que les xi engendrent L sur K. Si on pose M = m
i=1 OK · xi et
N = OL /M alors par définition des xi on a OL = M + pOL et donc pN = N . Si n1 , . . . , nt
P
est une famille génératrice de N , il existe donc des αij ∈ p tels que ni = i,j αij nj ce
qui fait que si δ = det(1 − αij ), alors δN = 0. On a δ 6= 0 puisque δ = 1 mod p et donc
δOL ⊂ M ce qui fait que les xi engendrent L sur K.
Montrons pour finir que si K est un corps de nombres, alors il n’y a qu’un nombre fini
de nombres premiers qui sont ramifiés dans OK . C’est l’occasion d’introduire une théorie
un peu générale des discriminants.
Soit A un anneau et B un anneau qui contient A et qui est un A-module libre de rang
fini. Si b ∈ B, alors on pose TrB/A (b) = Tr(mb ) comme avant. Si b1 , . . . , bd est une base
de B sur A, alors on pose disc(b1 , . . . , bd ) = det(TrB/A (bi bj )ij ). Si b01 , . . . , b0d est une autre
base de B, alors disc(b01 , . . . , b0d ) = det(M )2 disc(b1 , . . . , bd ) où M est la matrice de passage
d’une base à l’autre et l’idéal disc(B/A) = disc(b1 , . . . , bd ) · A de A est bien défini, c’est
le discriminant de B/A.
Lemme 3.2.2. — Si B1 , . . . , Bn sont comme ci-dessus et si B = B1 × · · · × Bn , alors
disc(B/A) = disc(B1 /A) · · · disc(Bn /A).
Démonstration. — Par récurrence, il suffit de le faire pour n = 2. Si (x1 , 0), . . . , (xd , 0)
est une base de B1 /A et si (0, y1 ), . . . , (0, ye ) est une base de B2 /A alors disc(B/A) est
engendré par :
TrB/A (xi xj )ij
0
det
0
TrB/A (yi yj )ij
et donc par disc(B1 /A) disc(B2 /A).
Lemme 3.2.3. — Si I est un idéal de A, alors disc((B/IB)/(A/I)) est l’image de
disc(B/A) dans A/I.
Démonstration. — Il suffit de constater que si b1 , . . . , bd est une base de B sur A, alors
leurs images dans B/IB forment une base de B/IB sur A/I.
26
CHAPITRE 3. LOIS DE RÉCIPROCITÉ
Lemme 3.2.4. — Si A est un corps de nombres ou un corps fini et si B/A est une
extension finie, alors disc(B/A) 6= (0).
Démonstration. — Dans les deux cas, on a vu que B admettait d = [B : A] plongements
A-linéaires distincts σ1 , . . . , σd de B dans sa clôture algébrique et disc(B/A) est alors
l’idéal engendré par det(σi (bj )ij )2 qui est non nul par l’indépendance linéaire des σi .
Dans le lemme ci-dessus, ce qui compte est l’existence de suffisament de plongements
distincts de B dans sa clôture algébrique. Les extensions B/A qui ont cette propriété sont
dites séparables.
On dit qu’un anneau est réduit s’il n’admet pas d’élément nilpotent non trivial.
Proposition 3.2.5. — Si A est un corps et si B est une A-algèbre de rang fini, alors
B est réduite si et seulement si B = B1 × · · · × Bn où les Bi sont des corps.
Démonstration. — Si B est un produit de corps, alors il est réduit de manière évidente.
Supposons donc que B est réduite ; les idéaux de B sont des A-espaces vectoriels et en
particulier, B est noethérien ; le lemme 1.3.2 montre que (0) contient (et donc est égal
à) un produit d’idéaux premiers pe11 · · · perr avec les pi premiers entre eux. Si x ∈ p1 · · · pr ,
alors xmax(ei ) = 0 et comme B est réduit, c’est que x = 0 et donc (0) = p1 · · · pr .
Chaque B/pi est une A-algèbre intègre de dimension finie et donc un corps ; le théorème
Q
des restes nous donne alors B = B/(0) = ri=1 B/pi .
Proposition 3.2.6. — Si A est un corps de nombres ou un corps fini et si B est une
A-algèbre de rang fini, alors B est réduite si et seulement si disc(B/A) 6= (0).
Démonstration. — Si B n’est pas réduite, alors il existe x ∈ B non nul tel que xn = 0 et
si b1 , . . . , bd est une base de B avec x = b1 , alors xbi et donc mxbi est nilpotent ce qui fait
que TrB/A (b1 bi ) = 0 quel que soit i et donc que disc(B/A) = 0.
Si B est réduite, alors par la proposition 3.2.5 on a B = B1 × · · · × Bn où les Bi sont
des corps et par les lemmes 3.2.2 et 3.2.4 on a disc(B/A) 6= 0.
Théorème 3.2.7. — Si K est un corps de nombres et si p est un nombre premier, alors
p est ramifié dans K si et seulement si p divise disc(K).
Démonstration. — On a disc(K) = disc(OK /Z) et par le lemme 3.2.3, on a p| disc(OK /Z)
si et seulement si disc((OK /pOK )/Fp ) = 0 et donc si et seulement si OK /pOK est réduit
Q
par la proposition 3.2.6. Si pOK = pe11 · · · perr alors OK /pOK = ri=1 OK /pei i est réduit si
et seulement si ei = 1 pour tout i.
Corollaire 3.2.8. — Si L/K est une extension de corps de nombres, alors il n’y a qu’un
nombre fini d’idéaux premiers de OK qui sont ramifiés dans L.
3.3. CORPS CYCLOTOMIQUES
27
Démonstration. — Les idéaux premiers de OK qui sont ramifiés dans L sont parmi ceux
qui sont au-dessus de nombres premiers ramifiés dans L et donc en nombre fini par le
théorème.
Remarquons pour terminer que le corollaire 2.1.7 nous dit que si K est un corps de
nombres diffférent de Q, alors il existe au moins un nombre premier p qui est ramifié
dans K.
3.3. Corps cyclotomiques
Dans ce chapitre, nous calculons le discriminant du corps Q(ζn ) et nous montrons que
l’anneau des entiers de Q(ζn ) est Z[ζn ]. Remarquons que ζn est annulé par X n − 1 dont
le discriminant est ±nn ce qui fait que si p est un nombre premier qui ne divise pas n,
alors p est non-ramifié dans Q(ζn ).
Proposition 3.3.1. — Si p est un nombre premier et m ≥ 1 et K = Q(ζpm ), alors
OK = Z[ζpm ] et disc(K) = ±pp
m−1 (pm−m−1)
.
Démonstration. — Le polynôme minimal de ζpm − 1 est :
m
(X + 1)p − 1
m−1
Φ (X + 1) =
= X p (p−1) + · · · ± p
m−1
p
(X + 1)
−1
pm
et donc NK/Q (ζpm −1) = ±p ce qui fait que (comme (ζpjm −1)/(ζpm −1) est une unité si p - j)
Q
m−1
l’on a (p) = (ζpm − 1)p (p−1) . Le discriminant de ζpm − 1 vaut alors i6=j (ζpi m − ζpjm ) =
m−1
m−1
±pp (pm−m−1) et on a donc pp (pm−m−1) OK ⊂ Z[ζpm ].
Le nombre premier p est totalement ramifié dans K ce qui fait que OK /(ζpm −1) = Z/pZ
et donc que si x ∈ OK alors il existe y ∈ Z tel que x − y ∈ (ζpm − 1)OK et donc que OK =
(ζpm − 1)OK + Z[ζpm ]. En itérant cette égalité, on trouve que OK = (ζpm − 1)i OK + Z[ζpm ]
quel que soit i ≥ 1 et avec i suffisamment grand on trouve que :
OK = pp
m−1 (pm−m−1)
OK + Z[ζpm ] = Z[ζpm ].
Enfin, si OK = Z[ζpm ] alors on a bien disc(K) = ±pp
m−1 (pm−m−1)
.
Lemme 3.3.2. — Soient K et L deux extensions galoisiennes de Q telles que disc(K)
et disc(L) sont premiers entre eux. Si OK = Z[a1 , . . . , ar ] et OL = Z[b1 , . . . , bs ], alors
OKL = Z[ai bj ]1≤i≤r,1≤j≤s et de plus disc(KL)1/[KL:Q] = disc(K)1/[K:Q] disc(L)1/[L:Q] .
Démonstration. — Commençons par remarquer qu’aucun nombre premier p ne peut être
ramifié dans K et L ce qui fait que K ∩ L = Q et donc que :
Gal(KL/Q) = Gal(K/Q) × Gal(L/Q)
et que Gal(K/Q) s’identifie à Gal(KL/L).
28
CHAPITRE 3. LOIS DE RÉCIPROCITÉ
P
Si x ∈ OKL alors on peut l’écrire x =
i,j xij ai bj avec xij ∈ Q. Si l’on pose ci =
P
2
j xij bj et M = (g(ai ))g∈Gal(KL/L),1≤i≤r alors det(M ) = disc(K) et en écrivant :


 
g1 (x)
c1
.
 ..  = M  ...  ,
gr (x)
cr
on trouve que disc(K)ci ∈ OL et donc que disc(K)xij ∈ Z. Le même raisonnement montre
que disc(L)xij ∈ Z et comme disc(K) et disc(L) sont premiers entre eux, on a bien xij ∈ Z
pour tous i, j.
Enfin, le fait que det(A ⊗ B) = det(A)dim(B) det(B)dim(A) et le fait que l’on vient de
montrer que OKL = OK ⊗ OL impliquent la formule sur le discriminant.
Théorème 3.3.3. — L’anneau des entiers de Q(ζn ) est Z[ζn ].
Pk
mk
mi
1
Démonstration. — Si n = pm
1 · · · pk , alors il existe des ai ∈ Z tels que
i=1 ai n/pi = 1
Q
et donc ζn = ki=1 ζpami i ce qui fait que Q(ζn ) = Q(ζpm
1 ) · · · Q(ζ mk ) et la proposition 3.3.1
pk
1
i
et le lemme 3.3.2 impliquent le résultat.
A titre d’exercice, on peut déduire de ce qui précède la formule :
disc(Q(ζn )) = (−1)
nϕ(n)
ϕ(n)
2
Q
ϕ(n)
.
p−1
p|n p
3.4. Lois de réciprocité
Si l’extension L/K est galoisienne et si q est un idéal au-dessus de p, alors pour g ∈
Gal(L/K) l’idéal g(q) est un idéal au-dessus de g(p) = p.
Proposition 3.4.1. — Si l’extension L/K est galoisienne, alors Gal(L/K) agit transitivement sur l’ensemble {q1 , . . . , qr } des idéaux au-dessus de p.
Démonstration. — Supposons que q2 6= g(q1 ) quel que soit g ∈ Gal(L/K). Dans ce
cas on a q2 + g(q1 ) = OL quel que soit g ∈ Gal(L/K) et par le théorème des restes,
il existe x ∈ OL tel que x = 0 mod q2 et x = 1 mod g(q1 ) pour tout g. Comme
x ∈ q2 on a NL/K (x) ∈ q2 ∩ OK = p et comme x = 1 mod g(q1 ) pour tout g, on a
Q
NL/K (x) = g∈Gal(L/K) g −1 (x) = 1 mod q1 et donc NL/K (x) = 1 mod p ce qui est une
contradiction.
Supposons dès lors que L/K est galoisienne ; si pOL = qe11 · · · qerr alors e1 = · · · = er
et f1 = · · · = fr et on a e · f · r = [L : K]. Si q est un idéal premier de OL on note Dq
le sous-groupe de Gal(L/K) constitué des g tels que g(q) = q : c’est le sous-groupe de
décomposition de q et c’est un groupe de cardinal [L : K]/r = ef . Si q0 est un autre idéal
3.4. LOIS DE RÉCIPROCITÉ
29
au-dessus de p alors par la proposition 3.4.1, il existe g tel que q0 = g(q) et on a alors
Dq0 = gDq g −1 . Si p est un idéal premier, notons kp = OK /p : c’est le corps résiduel de p.
Par la correspondance de Galois, on a une tour d’extensions L ⊃ LDq ⊃ K. L’idéal
q de L est au-dessus d’un idéal qD de LDq et comme Gal(L/LDq ) = Dq l’idéal q est le
seul idéal de L au-dessus de qD . On a par ailleurs e(q/qD )f (q/qD ) = e(q/p)f (q/p) et
donc e(q/p) = e(q/qD ) et f (q/p) = f (q/qD ) et donc aussi e(qD /p) = f (qD /pD ) = 1. En
particulier, kqD = kp .
Le corps kq est une extension de kp de degré f et le groupe Dq agit sur kq d’où un
morphisme Dq → Gal(kq /kp ) ' Z/f Z.
Proposition 3.4.2. — Le morphisme Dq → Gal(kq /kp ) est surjectif.
Démonstration. — Soit θ un élément de OL tel que kq = kp [θ] et A(X) ∈ kp [X] le
polynôme minimal de θ et B(X) ∈ OLDq [X] celui de θ sur LDq ce qui fait que B(X) est
scindé (à racines simples) dans OL et que A(X) | B(X). Si σ ∈ Gal(kq /kp ), alors σ(θ) est
une racine de A(X) et donc de B(X) ce qui fait qu’il existe une racine θ0 ∈ OL de B(X)
dont l’image dans kq est σ(θ). Si g est un élément de Gal(L/LDq ) = Dq tel que g(θ) = θ0
alors on voit que l’image de g dans Gal(kq /kp ) est σ.
Le noyau Iq du morphisme Dq → Gal(kq /kp ) s’appelle le sous-groupe d’inertie de Dq et
il est donc de cardinal e(q/p). Si q est non-ramifié, alors Iq = {1} et le groupe Gal(L/K)
contient le sous-groupe cyclique Dq ' Gal(kq /kp ). Le groupe Gal(kq /kp ) est engendré
par le Frobenius [x 7→ xq ] où q = card(kp ) et on appelle le Frobenius de q l’élément
σq ∈ Dq ⊂ Gal(L/K) dont l’image dans Gal(kq /kp ) est le Frobenius [x 7→ xq ]. Cet
élément est aussi noté (q, L/K) ∈ Gal(L/K).
Si g ∈ Gal(L/K), alors (g(q), L/K) = g(q, L/K)g −1 et donc si Gal(L/K) est abélien,
alors (q, L/K) ne dépent que de p et on le note alors (p, L/K) ∈ Gal(L/K). Si I =
Q n αi
pi est un idéal de OK tel qu’aucun pi n’est ramifié dans L, alors on note (I, L/K) =
Qi=1
n
αi
i=1 (pi , L/K) , et l’objet des lois de réciprocité est de décrire explicitement ces éléments
en termes de I, ce que nous allons faire pour l’extension K = Q(ζn )/Q.
Rappelons que le discriminant de cette extension divise nn et donc qu’un nombre premier p ne divisant pas n est non-ramifié dans K/Q. Rappelons aussi que l’on a construit
χ(g)
un isomorphisme canonique Gal(K/Q) → (Z/nZ)× , donné par g 7→ χ(g) où g(ζn ) = ζn .
Théorème 3.4.3. — Si a est un entier premier à n, alors χ((a, Q(ζn )/Q)) = a.
Démonstration. — Par multiplicativité, il suffit de vérifier cette formule pour un nombre
premier p ne divisant pas n. Si σp = χ−1 (p) ∈ Gal(Q(ζn )/Q), alors σp (ζn ) = ζnp et donc
Q
Q
σp agit par [x 7→ xp ] sur Z[ζn ]/p = ri=1 Z[ζn ]/qi où pZ[ζn ] = ri=1 qi .
30
CHAPITRE 3. LOIS DE RÉCIPROCITÉ
Cette loi de réciprocité nous donne en particulier des informations sur la décomposition
d’un nombre premier p dans Q(ζn ). En effet (p, Q(ζn )/Q) engendre un groupe isomorphe
à Z/f Z et donc le théorème 3.4.3 implique que f est l’ordre de p modulo n.
Corollaire 3.4.4. — Un nombre premier p - n est totalement décomposé dans Q(ζn ) si
et seulement si p = 1 mod n.
Nous allons voir à présent que le théorème 3.4.3 permet de démontrer la célèbre « loi
de réciprocité quadratique ».
Proposition 3.4.5. — Si L ⊃ K ⊃ Q est une tour d’extensions telle que L/Q est
abélienne et si q est un idéal premier de L au-dessus de p de K et de p de Q, alors :
(1) (p, K/Q) est l’image dans Gal(K/Q) de (p, L/Q) ∈ Gal(L/Q) ;
(2) (p, L/K) = (p, L/Q)f (p/p) dans Gal(L/K) ⊂ Gal(L/Q).
Démonstration. — L’image de (p, L/Q) dans Gal(kq /Fp ) est le Frobenius [x 7→ xp ] et
donc sa restriction de (p, L/Q) à K est bien (p, K/Q). Par ailleurs, l’image de (p, L/Q)f (p/p)
est l’application [x 7→ xq ] avec q = pf (p/p) et par le (1) son image dans Gal(K/Q) est
triviale ce qui fait que (p, L/Q)f (p/p) = (p, L/K) ∈ Gal(L/K).
Si p est un nombre premier impair, posons p∗ = (−1)(p−1)/2 p de telle manière que
√
√
Q( p∗ ) ⊂ Q(ζp ). On a Gal(Q(ζp )/Q) = (Z/pZ)× et Gal(Q( p∗ )/Q) = {±1}. Comme
(Z/pZ)× est cyclique, il n’existe qu’une seule application non triviale (Z/pZ)× → {±1}
et c’est donc le symbole de Legendre :
√ ∗
p−1
a
(a, Q( p )/Q) =
=a 2 .
p
√
Si q est un nombre premier impair distinct de p, on a donc (q/p) = (q, Q( p∗ )/Q).
√
√
Par ailleurs, on a (q, Q( p∗ )/Q) = ±1 selon que q est décomposé ou pas dans Q( p∗ )/Q
c’est-à-dire selon que p∗ est un carré modulo q ou pas, ce qui fait que :
∗
√ ∗
q
p
= (q, Q( p )/Q) =
p
q
et donc que :
p−1 q−1
q
p
= (−1) 2 · 2
p
q
C’est la partie la plus importante de la loi de réciprocité quadratique, démontrée par
2
Gauss. Il faut lui rajouter la formule (2/p) = (−1)(p −1)/8 qui suit de la même manière
√
du fait que 2 est décomposé dans Q( p∗ ) si et seulement si p∗ = 1 mod 8.
CHAPITRE 4
MÉTHODES ANALYTIQUES
4.1. La fonction ζ de Dedekind
Si s ∈ C vérifie Re(s) > 1, alors ζ(s) =
P
n≥1
1/ns converge et cela définit une fonction
holomorphe. On a la décomposition en produit eulérien :
Y
1
ζ(s) =
1 − p−s
p premier
qui permet de relier les propriétés de la fonction ζ à la distribution des nombres premiers
de Z. Dans ce chapitre, nous allons généraliser la définition de cette fonction à un corps
de nombres. Avant tout, nous avons besoin d’étendre son domaine de définition.
Rappelons que la fonction Γ est définie par :
Z ∞
Γ(s) =
ts−1 exp(−t)dt si Re(s) > 0,
0
et que l’on a Γ(s + 1) = sΓ(s) et que Γ(s) 6= 0 pour tout s ∈ C tel que Re(s) > 0. Par
R∞
ailleurs, on a Γ(s) = 0 ns−1 ts−1 exp(−nt)d(nt) ce qui fait que :
Z ∞
1
1
=
ts−1 exp(−nt)dt
s
n
Γ(s) 0
et donc que :
!
Z ∞
Z ∞
X
1
1
ts−1
s−1
t
exp(−nt) dt =
ζ(s) =
dt
Γ(s) 0
Γ(s) 0 exp(t) − 1
n≥1
En écrivant :
Z
Γ(s)ζ(s) =
1
s−1
t
0
1
1
−
exp(t) − 1 t
1
dt +
+
s−1
Z
0
∞
ts−1
dt,
exp(t) − 1
on voit que la fonction ζ se prolonge en une fonction méromorphe sur {s ∈ C tels que
Re(s) > 0} avec un pôle simple de résidu 1 en s = 1.
On peut montrer que la fonction ζ se prolonge en une fonction méromorphe sur C tout
entier avec pour seul pôle s = 1 et qu’elle vérifie l’équation fonctionnelle :
ζ(1 − s) = 2(2π)−s Γ(s) cos(πs/2)ζ(s).
32
CHAPITRE 4. MÉTHODES ANALYTIQUES
Dans ce cours, nous généralisons plutôt la définition de la fonction ζ à un corps de
nombres K afin d’étudier son résidu en s = 1. On pose donc :
X
1
ζK (s) =
.
N(I)s
I idéal de O
K
Si K = Q, alors on retrouve bien la fonction ζ définie ci-dessus. Pour un corps de nombres
K, nous allons montrer que la série qui définit ζK (s) converge pour Re(s) > 1 et que ζK (s)
se prolonge en une fonction méromorphe sur {s ∈ C tels que Re(s) > 1 − 1/[K : Q]}
avec un pôle simple en s = 1 de résidu :
κ=
2r1 (2π)r2 hK RK
p
,
ωK |disc(K)|
où hK = card Cl(K), RK est le régulateur et ωK est le nombre de racines de l’unité
contenues dans K.
P
Si f (n) est le nombre d’idéaux I de OK tels que N(I) = n, alors ζK (s) = n≥1 f (n)n−s
et la première étape est de comprendre comment f varie. Si C ∈ Cl(K) est une classe
d’idéaux, soit iC (t) le nombre d’idéaux I non nuls tels que I ∈ C et tels que N(I) ≤ t.
Proposition 4.1.1. — On a :
iC (t) =
2r1 (2π)r2 RK
p
· t + O(t1−1/[K:Q] ).
ωK |disc(K)|
Démonstration. — Si K = Q, alors iC (t) = btc et la proposition est immédiate. Nous
allons la démontrer pour [K : Q] = 2, le cas général étant similaire mais plus difficile
à suivre. Remarquons que si J est un idéal dont la classe est C −1 , alors l’application
« multiplication par J » donne une bijection entre {I de classe C tels que N(I) ≤ t} et
{(α) ⊂ J tels que N((α)) ≤ t N(J)}. On se ramène donc à compter des idéaux principaux
(α), c’est-à-dire des α à unité près.
√
Premier cas : K = Q( −d) est un corps quadratique imaginaire. Le plongement σ :
√
√
K → R2 défini au §2.1 est donné par σ(a + b −d) = (a, b d). Le nombre de α ∈ J
tels que |NK/Q (α)| ≤ t N(J) est égal aux nombres de σ(α) = (x, y) ∈ σ(J) tels que
p
x2 + y 2 ≤ t N(J) et c’est donc le nombre de points dans σ(J) ∩ D(0, t N(J)). Si δ est le
diamètre d’un domaine fondamental de σ(J), alors :
π(r − δ)2 ≤ vol(J) · card(D(0, r) ∩ σ(J)) ≤ π(r + δ)2 ,
et donc card(D(0, r) ∩ σ(J)) = πr2 / vol(J) + O(r) ce qui fait que le nombre de σ(α) =
(x, y) ∈ σ(J) tels que x2 + y 2 ≤ t N(J) vaut :
√
√
πt N(J)
2πt
+ O( t) = p
+ O( t).
vol(J)
|disc(K)|
4.1. LA FONCTION ζ DE DEDEKIND
33
puisque l’image de OK est un réseau de volume vol(OK ) =
p
|disc(K)|/2 et vol(J) =
N(J) vol(OK ). Reste à constater que deux α qui diffèrent par une unité engendrent le
même idéal, et donc que pour obtenir le nombre d’idéaux il faut diviser par ωK , et que
RK = 1 car r1 + r2 − 1 = 0 (voir le chapitre 2.2).
√
Deuxième cas : K = Q( d) est un corps quadratique réel. Le plongement σ : K → R2
√
√
√
est donné par σ(a + b −d) = (a + b d, a − b d) ce qui fait que si σ(α) = (x, y), alors
N(α) = xy. Par ailleurs, si l’on appelle uK l’unité fondamentale de K, alors σ(αuK ) =
(xuK , y · ±u−1
K ) et donc on peut toujours multiplier α par une puissance de uK pour que
1 ≤ |y/x| < u2K . Le volume de la région délimitée par les équations 1 ≤ |y/x| < u2K et
|xy| ≤ t N(J) (cf le dessin page 168 du livre de Marcus) vaut 4t N(J) log(uK ) ce qui fait
que comme ci-dessus, le nombre de α ∈ J qui vérifient 1 ≤ |y/x| < u2K et |N(α)| ≤ t N(J)
est égal à :
√
4t N(J) log uK
+ O( t)
vol(J)
Deux tels α engendrent le même idéal si et seulement si ils diffèrent par ±1 ce qui fait
p
que comme vol(J) = N(J) vol(OK ) avec vol(OK ) = |disc(K)| et comme ωK = 2 et
RK = log uK on trouve la bonne formule.
P
Lemme 4.1.2. — Si {ak }k≥1 est une suite de nombres complexes telle que k≤t ak =
P
O(tr ), alors n≥1 an /ns converge si Re(s) > r et définit une fonction holomorphe sur
{s ∈ C, Re(s) > r}.
Démonstration. — Posons Ak = a1 + · · · + ak de telle sorte que |Ak | ≤ Ck r . On a :
am
am+`
Am − Am−1
Am+` − Am+`−1
+ ··· +
=
+ ··· +
=
s
s
s
m
(m + `)
m
(m + `)s
Am+`
Am−1
1
1
1
1
−
+ Am
−
−
+ · · · + Am+`−1
(m + `)s
ms
ms (m + 1)s
(m + ` − 1)s (m + `)s
En utilisant le fait que |1/k s − 1/(k + 1)s | ≤ |s|/k Re(s)+1 on trouve que :
am
a
m+`
≤
+
·
·
·
+
ms
(m + `)s C
1
1
C
+
+ |s|C
+ ··· +
,
(m + `)Re(s)−r mRe(s)−r
mRe(s)−r+1
(m + ` − 1)Re(s)−r+1
qui tend vers 0 uniformément quand m → ∞ si s est dans un compact fixé de {s ∈
C, Re(s) > r}. Par les propriétés usuelles des fonctions holomorphes, cela implique le
lemme.
Théorème 4.1.3. — Si K est un corps de nombres, alors ζK (s) se prolonge en une
fonction méromorphe sur {s ∈ C tels que Re(s) > 1 − 1/[K : Q]} avec un pôle simple en
34
CHAPITRE 4. MÉTHODES ANALYTIQUES
s = 1 de résidu :
κ=
2r1 (2π)r2 hK RK
p
.
ωK |disc(K)|
Démonstration. — Si f (n) est le nombre d’idéaux I de OK tels que N(I) = n, alors
P
P
ζK (s) = n≥1 f (n)n−s et par ailleurs f (1) + · · · + f (n) = C iC (n) ce qui fait que si l’on
pose an = f (n) − κ, alors la proposition 4.1.1 nous dit que a1 + · · · + an = O(n1−1/[K:Q] ) et
P
donc par le lemme 4.1.2 que la série n≥1 (f (n) − κ)n−s définit une fonction holomorphe
sur {s ∈ C tels que Re(s) > 1−1/[K : Q]} ce qui fait que ζK (s)−κζ(s) y est holomorphe,
et cela implique le théorème étant donnés les rappels qu’on a fait au début du chapitre.
Enfin, on a toujours une décomposition de ζK (s) en produit eulérien qui reflète l’existence et l’unicité de la décomposition des idéaux en produit d’idéaux premiers :
Y
1
ζK (s) =
1 − N(p)−s
p premier
si Re(s) > 1 − 1/[K : Q].
4.2. Fonctions L de Dirichlet
Un caractère de Dirichlet mod n est un homomorphisme χ : (Z/nZ)× → C× . Il se peut
qu’il existe m divisant n tel que χ se factorise par χ : (Z/nZ)× → (Z/mZ)× → C× et le
plus petit m tel que χ se factorise par (Z/mZ)× est appelé le conducteur de χ noté fχ .
On étend χ en une fonction χ : Z → C par χ(a) = χ(a mod fχ ) si a ∧ fχ = 1 et χ(a) = 0
P
sinon. Si m ∈ Z, alors on définit la somme de Gauss G(m, χ) = a mod f χ(a)ζfam .
Proposition 4.2.1. — On a G(m, χ) = χ(m)G(1, χ) et G(1, χ)G(1, χ) = χ(−1)f .
Démonstration. — Si m ∧ f = 1 alors :
X
X
G(m, χ) =
χ(a)ζfam = χ(m)
χ(am)ζfam = χ(m)G(1, χ).
a mod f
a mod f
Si m ∧ f = d > 1, alors χ(m) = 0 et :
X
am/d
G(m, χ) =
χ(a)ζf /d =
a mod f
car
X
X
bm/d
ζf /d
b mod f /d
χ(a) = 0
a=b mod f /d
P
χ(a) = 0. Ensuite :
X
X
G(1, χ)G(1, χ) = G(1, χ)
χ(b)ζfb =
G(b, χ)ζfbm
a=1 mod f /d
b mod f
=
b mod f
X
a,b mod f
χ(a)ζfab ζfb =
X
a mod f
χ(a)
X
b mod f
b(a+1)
ζf
= χ(−1)f.
4.2. FONCTIONS L DE DIRICHLET
35
On dit que χ est un caractère quadratique si l’image de χ est incluse dans {±1}. On
dit qu’un caractère χ est pair si χ(−1) = 1 et impair si χ(−1) = −1.
Proposition 4.2.2. — Si K est un corps quadratique de discriminant D, alors on a
K ⊂ Q(ζ|D| ).
Démonstration. — Si χ est un caractère quadratique de conducteur f , alors on a G(1, χ) ∈
p
Q(ζf ) et la proposition 4.2.1 implique que G(1, χ)2 = χ(−1)f ce qui fait que Q( χ(−1)f ) ⊂
Q(ζf ). Il faut donc construire un caractère quadratique ayant le bon conducteur et la
bonne parité. Si p est un nombre premier impair, alors le symbole de Legendre (·/p) est
un caractère quadratique χp de conducteur p. On peut de même construire χ4 de conducteur 4 et deux caractères χ±
8 de conducteur 8, l’un pair et l’autre impair. Si l’on écrit
√
K = Q( d) où d = ±p1 · · · pr est sans facteur carré, alors D = 4d si d = 2, 3 mod 4 et
D = d si d = 1 mod 4. Si D est impair, alors on pose χ = χp1 · · · χpr . Si D = 4d avec d
impair, alors on pose χ = χ4 χp2 · · · χpr et sinon on pose χ = χ±
8 χp2 · · · χpr où le signe est
choisi pour que χ ait la bonne parité. Dans tous les cas, on vérifie que χ est de conducteur
|D| et a la bonne parité.
Soit K une extension quadratique de Q comme ci-dessus. Par la proposition 4.2.2, on a
un morphisme Gal(Q(ζ|D| )/Q) → Gal(K/Q) et via les identifications Gal(Q(ζ|D| )/Q) =
(Z/|D|Z)× et Gal(K/Q) = {±1} on en déduit un caractère χ : (Z/|D|Z)× → {±1} qui
est celui de la proposition 4.2.2. Par


0
χ(p) = 1

−1
les résultats du §3.4, ce caractère est donné par :
si p est ramifié dans K,
si p est décomposé dans K,
si p est inerte dans K.
Q
Corollaire 4.2.3. — Si p est premier, alors p|(p) (1−N(p)−s ) = (1−p−s )(1−χ(p)p−s ).
Démonstration. — Si p est ramifié, alors (p) = p2 et N(p) = p et χ(p) = 0. Si (p) est
décomposé, alors (p) = p1 p2 et N(pi ) = p et χ(p) = 1. Si p est inerte, alors (p) = p et
N(p) = p2 et χ(p) = −1. Dans les trois cas, on vérifie la formule.
Si χ est un caractère de Dirichlet modulo n non trivial, alors χ(1) + · · · + χ(n) = 0 et
P
donc k≤t χ(k) = O(1) ce qui fait que par le lemme 4.1.2, la série :
X χ(n)
L(s, χ) =
ns
n≥1
converge pour Re(s) > 0 et définit une fonction holomorphe dans ce demi-plan qui se
décompose en produit Eulérien :
L(s, χ) =
1
.
−s
1
−
χ(p)p
p premier
Y
36
CHAPITRE 4. MÉTHODES ANALYTIQUES
Théorème 4.2.4. — Si K est un corps quadratique et si χ est le caractère quadratique
qui lui est attaché, alors :
L(1, χ) =

2πh

p K



 ωK |disc(K)|
si K est imaginaire,


2hK log uK


p
|disc(K)|
si K est réel.
Démonstration. — Par le corollaire 4.2.3, on a ζK (s) = ζ(s)L(s, χ). En particulier, le
résidu en s = 1 de ζK (s) vaut L(1, χ) et le théorème suit du théorème 4.1.3.
√
Par exemple, si K = Q( −1) alors χ = χ4 et donc χ(a) = (−1)(a−1)/2 si a est impair
et 0 sinon ce qui fait que :
L(1, χ) = 1 −
π
1 1
+ − ··· =
3 5
4
et donc que hK = 1. On peut trouver des formules closes générales pour L(1, χ). Remarquons que par le théorème 4.2.4, on a L(1, χ) ∈ R>0 .
Proposition 4.2.5. — Si χ est un caractère quadratique de conducteur f > 1, alors :

X

π 

√ χ(a)a
si K est imaginaire,




 f f a∧f =1
L(1, χ) =


X

1
aπ 


√ χ(a) log sin
si K est réel.

 f
f a∧f =1
Démonstration. — Comme G(n, χ) = χ(n)G(1, χ), on a :
G(1, χ)L(1, χ) =
X G(n, χ)
n≥1
car
P
n≥1
n
=
X
a mod f
χ(a)
X ζfan
n≥1
n
=−
X
χ(a) log(1 − ζfa ),
a mod f
z n /n = − log(1 − z) si |z| ≤ 1 et z 6= 1, où log(r exp(iθ)) = r + iθ avec
−π/2 < θ < π/2. On a alors 1 − ζfa = − exp(iπa/f )(2i sin(πa/f )) et donc :
iπa iπ
aπ
a
−
+ log(2) + log sin
.
log(1 − ζf ) =
f
2
f
P
La proposition résulte alors du fait que a mod f χ(a) = 0 car χ est non trivial et que
P
P
χ(a)
log
sin(πa/f
)
=
0
si
χ
est
impair
et
que
a mod f
a mod f χ(a)πa/f = 0 si χ est pair
√
ainsi que du fait que |G(1, χ)| = f par la proposition 4.2.1.
Comme conséquence, on trouve des « formules analytiques de nombre de classe ».
4.2. FONCTIONS L DE DIRICHLET
37
Corollaire 4.2.6. — Si K est un corps quadratique et si χ est le caractère associé,
alors :
hK =

X

1


χ(a)a



disc(K) a∧f =1


si K est imaginaire,


X

1
aπ 


χ(a) log sin

 2 log(uK ) f si K est réel.
a∧f =1
CHAPITRE 5
MÉTHODES p-ADIQUES
5.1. Corps normés complets
Si K est un corps, alors une norme sur K est une application x 7→ |x| de K → R≥0
qui vérifie les conditions (1) |x| = 0 si et seulement si x = 0, (2) |xy| = |x| · |y| et (3)
|x + y| ≤ |x| + |y|. Une norme est dite ultramétrique si (3’) |x + y| ≤ max(|x|, |y|). La
condition (2) implique que |−x| = |x|. La norme triviale est celle pour laquelle |x| = 1
pour tout x 6= 0.
Si p est un nombre premier, alors la valuation p-adique de x ∈ Q est l’entier valp (x)
défini par x = pvalp (x) a/b où p - ab et la norme p-adique |·|p sur Q est définie par |x|p =
p−valp (x) et c’est une norme ultramétrique.
Lemme 5.1.1. — Si |·| est une norme ultramétrique et si |x| =
6 |y|, alors |x + y| =
max(|x|, |y|).
Démonstration. — On veut montrer que si |x| < |y|, alors |x + y| = |y|. Si on avait
|x + y| < |y|, alors on aurait |y| ≤ max(|x|, |x + y|) < |y| ce qui est une contradiction.
Remarquons que |·| est ultramétrique si et seulement si |x| ≤ 1 implique |1 + x| ≤ 1.
Lemme 5.1.2. — Une norme |·| sur K est ultramétrique si et seulement si |m| ≤ 1
pour tout m ∈ Z.
Démonstration. — Le fait que |m| ≤ max(|m − 1|, |1|) permet de montrer par récurrence
que |m| ≤ 1 pour tout m ∈ Z si |·| est ultramétrique. Réciproquement, si |m| ≤ 1 pour
tout m ∈ Z et si x ∈ K vérifie |x| ≤ 1, alors |(1 + x)n | ≤ 1 + |x| + · · · + |x|n ≤ 1 + n|x|
et donc |1 + x| ≤ (1 + n|x|)1/n qui tend vers 1 quand n → ∞ ce qui fait que |1 + x| ≤ 1
et donc que |·| est ultramétrique.
A partir de maintenant, on ne considère que des normes ultramétriques. Si K est un
corps normé, alors la norme définit une topologie sur K et on dit que deux normes sont
équivalentes si elles définissent la même topologie sur K.
40
CHAPITRE 5. MÉTHODES p-ADIQUES
Lemme 5.1.3. — Si |·|1 et |·|2 sont deux normes sur K, alors elles sont équivalentes si
et seulement s’il existe α > 0 tel que |·|2 = |·|α1 .
Démonstration. — S’il existe α > 0 tel que |·|2 = |·|α1 alors |·|1 et |·|2 sont manifestement
équivalentes. Supponsons à présent que |·|1 et |·|2 sont équivalentes. Si y ∈ K, alors
y n → 0 si et seulement si |y| < 1 et donc |y|1 < 1 si et seulement si |y|2 < 1. Fixons
y ∈ K tel que |y|1 6= 1 ; si x ∈ K, alors |xm y −n |1 < 1 si et seulement si |xm y −n |2 < 1 et
n/m
n/m
donc |x|1 < |y|1 si et seulement si |x|2 < |y|2 . En passant à la limite, on trouve que
|x|1 = |y|s1 si et seulement si |x|2 = |y|s2 ce qui permet de conclure que si |y|2 = |y|α1 alors
|x|2 = |x|α1 pour tout x ∈ K.
Théorème 5.1.4. — Si |·| est une norme ultramétrique non triviale sur Q, alors elle
est équivalente à |·|p pour un p premier.
Démonstration. — Par le lemme 5.1.2 on a |m| ≤ 1 pour tout m ∈ Z et comme |·| est
non triviale, il existe un nombre premier p tel que |p| < 1 et quitte à remplacer |·| par
une norme équivalente, on peut supposer que |p| = p−1 . Si m ∧ p = 1, alors on peut écrire
px + my = 1 ce qui fait que |m| = 1. En particulier, si m = pα m0 alors |m| = |pα | = |m|p
ce qui fait que |·| = |·|p .
Le complété de Q pour la topologie définie par la norme |·|∞ (qui n’est pas ultramétrique) est R et le complété de Q pour la topologie définie par la norme |·|p est le
corps Qp des nombres p-adiques.
Si K est un corps muni d’une norme ultramétrique, alors la boule unité OK = {x ∈
K, |x| ≤ 1} est un anneau et mK = {x ∈ K, |x| < 1} est l’unique idéal maximal de OK
puisque si x ∈ OK \ mK alors |x| = 1 et donc x−1 ∈ OK . Le corps résiduel de K est alors
kK = OK /mK .
Dans la suite, on suppose que K est complet pour la topologie définie par la norme et
que kK est une extension finie de Fp . La fonction v : K × → R définie par |x| = p−v(x)
est alors une valuation, et on suppose que v(K × ) est un sous-groupe discret de R. Un tel
corps sera dit p-adique ; on verra dans la suite que les extensions finies de Qp sont des
corps p-adiques. Comme v(K × ) est un sous-groupe discret de R, il existe πK ∈ OK dont
la valuation est minimale > 0. Un tel élément engendre mK et s’appelle une uniformisante
de K.
Lemme 5.1.5. — Si J est un ensemble de représentants de kK dans OK et si πK est
une uniformisante de K, alors tout x ∈ OK s’écrit d’une et une seule manière sous la
P
k
forme x = k≥0 πK
xk avec xk ∈ J.
5.2. EXTENSIONS FINIES DE Qp
41
Démonstration. — On a nécessairement x0 = x ce qui détermine x0 . Si k ≥ 1, posons
−k
k−1
y k = πK
(x − x0 − · · · − πK
xk−1 ) et soit xk ∈ J l’élément tel que xk = y k . On a alors
P
k+1
k
k
x−x0 −· · ·−πK xk ∈ πK OK ce qui permet de montrer que yk+1 ∈ OK et que nk=0 πK
xk
converge vers x dans OK . Enfin, il est clair que chaque xk est uniquement déterminé.
On se donne K un corps normé complet pour une norme ultramétrique et P (X) ∈
OK [X]. Si P admet une racine dans OK alors a fortiori il admet une racine dans kK . Le
lemme de Hensel est une réciproque partielle de cela. Le résultat ci-dessous est une forme
faible du lemme de Hensel.
Proposition 5.1.6. — Si P (X) ∈ OK [X] et si α0 ∈ OK est tel que |P (α0 )| < 1 et
|P 0 (α0 )| = 1, alors il existe α ∈ OK tel que |α − α0 | < 1 et P (α) = 0.
Démonstration. — On définit une suite {αn }n≥1 par :
αn+1 = αn −
P (αn )
.
P 0 (αn )
n
Montrons par récurrence sur n que si λ = |P (α0 )|, alors |P (αn )| ≤ λ2 et |P 0 (αn )| = 1.
Pour cela, posons hn = −P (αn )/P 0 (αn ) de sorte que αn+1 = αn + hn .
Si l’on écrit P (X) = a0 + a1 X + · · · + ad X d et si l’on pose :
k
d
1 (k)
[k]
+ · · · + ad
X d−k ,
P (x) = P (x) = ak
k
k
k!
alors P (x + h) = P (x) + hP [1] (x) + · · · + hd P [d] (x) ce qui fait que P (αn + hn ) ∈ h2n OK
n+1
et que P 0 (αn + hn ) − P 0 (αn ) ∈ hn OK . On en déduit que |P (αn + hn )| ≤ λ2
et que
0
|P (αn + hn )| = 1. La suite {αn }n≥0 converge donc vers α ∈ OK tel que P (α) = 0.
La même démonstration montre que si |P (α0 )| < |P 0 (α0 )|2 , alors P admet une racine
comme ci-dessus.
5.2. Extensions finies de Qp
Le corps Qp admet des extensions finies de tout degré (contrairement au corps R).
Dans ce chapitre, on montre que la norme |·|p se prolonge d’une et une seule manière à
toute extension finie K de Qp . On se donne donc une extension K de Qp de degré fini
d = [K : Qp ] et on note OK l’anneau des entiers de K.
Lemme 5.2.1. — L’anneau OK est un anneau de Dedekind.
Démonstration. — Il faut vérifier les trois conditions du chapitre 1.3. Le fait que OK est
intègre est évident. Un raisonnement analogue à celui du chapitre 1.2 montre que OK
est un Zp -module libre de rang d, et c’est donc un anneau noethérien. Si I est un idéal
42
CHAPITRE 5. MÉTHODES p-ADIQUES
premier non nul de OK , alors I ∩ OK est un idéal premier de Zp et est donc égal à (p).
On voit alors que OK /I est un Fp -module de rang ≤ d est est donc fini. Comme un
anneau intègre fini est un corps, l’idéal I est maximal. Enfin OK est intégralement clos
par définition.
Lemme 5.2.2. — L’anneau OK est un anneau principal.
Démonstration. — Si I est un idéal premier non nul de OK , alors I ∩ OK est un idéal
premier de Zp et est donc égal à (p). Comme OK est un anneau de Dedekind, l’idéal pOK
s’écrit comme un produit pe11 · · · perr et I est l’un des pj . L’anneau OK n’admet donc qu’un
nombre fini d’idéaux premiers. Si 1 ≤ j ≤ r, alors par le théorème des restes, il existe
un élément xj ∈ OK tel que xj ∈ pj \ p2j et xj − 1 ∈ pk pour k 6= j. L’idéal (xj ) s’écrit
comme produit des pi et on voit alors que (xj ) = pj . On a donc montré que OK est un
anneau principal qui n’admet qu’un nombre fini d’idéaux maximaux.
Théorème 5.2.3. — Si K est une extension finie de Qp alors il existe une et une seule
norme |·| sur K qui prolonge |·|p .
Démonstration. — Le corps Qp est localement compact ce qui fait que si K est une
extension finie de Qp alors toutes les normes de Qp -espace vectoriel sur K prolongeant
|·|p sont équivalentes en ce sens qu’il existe une constante C telle que |·|1 ≤ C|·|2 et
|·|2 ≤ C|·|1 . Si ces normes sont des normes de corps, alors le lemme 5.1.3 nous dit que
|·|1 = |·|2 et donc qu’il y a au plus une norme sur K prolongeant |·|p .
Montrons à présent que |·|p admet un prolongement à K. Si y ∈ OK , alors y =
×
uxa11 · · · xar r où u ∈ OK
et ai ≥ 0. Si 1 ≤ j ≤ r, alors on définit une valuation sur
OK par vj (y) = aj /ej (de telle sorte que vj (p) = 1) qui s’étend à K, et une norme |·|p,j
sur K par |y|p,j = p−vp (y) ce qui montre le théorème.
Comme la norme est unique, on a nécéssairement r = 1 et donc OK est un anneau
local. C’est bien sûr l’anneau des entiers de K pour la norme, et les notations sont donc
compatibles. La norme |·|p s’étend donc à une clôture algébrique de Qp . Si K/F est un
extension galoisienne, alors l’unicité de la norme fait que les éléments de Gal(K/F ) sont
des isométries.
Remarquons qu’un raisonnement analogue à celui du théorème 1.1.4 implique que si
K est une extension finie de Qp alors il existe α ∈ K tel que K = Qp (α).
Proposition 5.2.4. — Si K est une extension finie de Qp , alors il existe α ∈ OK tel
que OK = Zp [α].
Démonstration. — Il existe y ∈ kK tel que kK = Fp [y] et si q est le cardinal de kK ,
alors y q − y = 0. Le lemme de Hensel montre qu’il existe y ∈ OK relevant y et tel que
5.3. RAMIFICATION
43
y q − y = 0. L’ensemble {1, y, . . . , y q−1 } forme un système de représentants de kK dans
OK et la proposition 5.1.5 implique que OK = Zp [y, πK ]. Montrons que l’on peut prendre
n
α = y + πK . La suite {(y + πK )q }n≥0 converge vers y ce qui fait que y ∈ Zp [α] et donc
que πK ∈ Zp [α]. Ceci implique que OK = Zp [α].
5.3. Ramification
On définit à présent l’indice de ramification e(L/K) et l’indice d’inertie f (L/K) d’une
extension finie L/K. On pose f (L/K) = [kL : kK ] et e(L/K) est l’entier e ≥ 1 tel que
(πK ) = (πLe ).
Proposition 5.3.1. — Si k1 , . . . , kf est une famille d’éléments de OL dont les images
f
j
dans kL forment une base de kL sur kK alors OL = ⊕e−1
j=0 ⊕i=1 πL ki · OK .
Pe−1 Pf
j
πK
ki · OK ⊂ OL . Si x ∈ OL , alors la proposition
Pe−1
5.1.5 implique que l’on peut écrire x = j=0 πLj kij xj + O(πLe ) avec xj ∈ OK et donc que
OL = M + πK OL . On en déduit que M = OL .
Démonstration. — Soit M =
j=0
i=1
Montrons à présent l’unicité d’une telle écriture. On normalise la valuation sur L× de
P Pf
j
telle sorte que v(K × ) = Z ce qui fait que v(πL ) = 1/e. Si e−1
j=0
i=1 αij πL ki = 0 alors
Pf
Pe−1 j
i=1 αij ki . Si sj 6= 0, alors en divisant sj par un αij de valuation
j=0 πL sj = 0 avec sj =
minimale, on trouve un élément d’image non nulle dans kL ce qui fait que tous les sj non
nuls sont de valuation entière. Ceci implique que les sj πLj non nuls sont de valuations
distinctes, ce qui n’est pas possible si leur somme est nulle, et donc αij = 0 pour tous
i, j.
Cette proposition a pour conséquence que rgOK (OL ) = ef . Par ailleurs, les πLj ki sont
f
j
libres sur OK et donc sur K ce qui fait que L = ⊕e−1
j=0 ⊕i=1 πL ki ·K et donc que ef = [L : K]
comme pour les corps de nombres.
On dit que l’extension L/K est non ramifiée si e(L/K) = 1 et on dit que L/K est
totalement ramifiée si f (L/K) = 1.
Proposition 5.3.2. — Si L/K est une extension finie, alors il existe un unique sous
corps L0 de L tel que L/L0 est totalement ramifiée et L0 /K est non ramifiée.
Démonstration. — Si α0 ∈ kL est tel que kL = kK (α0 ) et si P (X) ∈ OK [X] est unitaire
et relève le polynôme minimal de α0 , alors par le lemme de Hensel il existe α ∈ OL tel
que P (α) = 0 et on pose L0 = K(α). L’extension L0 /K est de degré ≤ deg(P ) mais
comme [kL0 : kK ] = deg(P ) on a égalité et donc f (L0 /K) = f (L/K) et e(L0 /K) = 1 ce
qui montre l’existence de L0 .
44
CHAPITRE 5. MÉTHODES p-ADIQUES
S’il existait une autre extension L00 de K ayant les mêmes propriétés et si α00 ∈ OL00 est
un relèvement de α0 , alors par le lemme de Hensel il existe α0 ∈ OL00 tel que P (α0 ) = 0
et comme α = α0 on a α = α0 .
f
Remarquons que si l’on pose q = card(kK ), alors le polynôme P (X) = X q − X admet
q f racines dans L0 qui engendrent L0 au-dessus de K ce qui fait que toute extension non
ramifiée de K est de la forme K(ζqf −1 ).
Si L/K est à présent totalement ramifiée et si πL est une uniformisante de L, alors
on a OL = OK [πL ] et le polynôme minimal de πL sur K est une équation d’Eiseinstein. Réciproquement, si P (X) ∈ OK [X] est un polynôme d’Eisenstein, alors P (X) est
irréductible et si α ∈ Qp en est une racine, alors K(α) est une extension totalement
ramifiée de K d’uniformisante α.
Le reste de ce chapitre est consacré à la démonstration du théorème ci-dessous.
Théorème 5.3.3. — Si d ≥ 1, alors il n’y a qu’un nombre fini d’extensions de Qp de
degré d.
√
Par exemple si d = 2, alors toute extension quadratique de Qp est de la forme Qp ( y)
× 2
et il s’agit de montrer que Q×
p /(Qp ) est fini ce qui se fait sans problème. Avant de
pouvoir démontrer le théorème 5.3.3, nous avons besoin de deux résultats intermédiares ;
le premier est le « lemme de Krasner ».
Lemme 5.3.4. — Si F est une extension finie de Qp et si α, β ∈ Qp vérifient |α − β| <
|α − αi | pour i = 2, . . . , n où les αi sont les conjugués de α sur F (avec α1 = α), alors
F (α) ⊂ F (β).
Démonstration. — Soit K une extension galoisienne de F contenant α et β et soit σ ∈
Gal(K/F (β)). On a |σ(α) − α| ≤ max(|σ(α) − β|, |α − β|) = |α − β| et si σ(α) 6= α, alors
|α − β| < |σ(α) − α| ce qui est une contradiction. On a donc σ(α) = α quel que soit
σ ∈ Gal(K/F (β)) et donc α ∈ F (β).
Lemme 5.3.5. — Si P (X) ∈ F [X] est unitaire de degré d sans racine double et si ε > 0,
alors il existe δ > 0 tel que : si Q(X) ∈ F [X] est unitaire de degré d et si |P − Q|G < δ,
alors pour toute racine x de P dans Qp il existe une racine y de Q dans Qp vérifiant
|x − y| < ε.
Exercice – c’est la continuité des racines d’un polynôme en fonction des coefficients.
Démonstration du théorème 5.3.3. — Si K est une extension de Qp de degré d et si
F est la sous-extension maximale non ramifiée fournie par la proposition 5.3.2, alors
F = Qp (ζpf −1 ) avec f |d et il suffit donc de montrer que si F est une extension finie de
5.4. GROUPES DE GALOIS DES CORPS p-ADIQUES
45
Qp et si e ≥ 1, alors F n’a qu’un nombre fini d’extensions totalement ramifiées de degré
e.
On peut associer à tout e-uplet a = {a0 , . . . , ae−1 } ∈ Π = (mF \ m2F ) × me−1
les e
F
extensions de F engendrées par les racines de P (X) = X e + ae−1 X e−1 + · · · + a0 et comme
une extension totalement ramifiée de F est de la forme K = F (πK ) où πK est une racine
d’un polynôme d’Eisenstein P (X) ∈ OF [X] de degré e, on obtient toutes les extensions
totalement ramifiées de F de cette manière.
Comme un polynôme d’Eisenstein est irréductible, il est sans racine double et on peut
lui appliquer le lemme 5.3.5 avec ε < min(αi − αj ) où les {αi } sont les racines de P (X)
Si b ∈ Π est un autre e-uplet tel que |ai − bi | < δ, alors le polynôme Q(X) associé à b
admet e racines {βi } que l’on peut numéroter de telle sorte que |βi − αi | < ε. Le lemme
5.3.4 implique alors que F (βi ) = F (αi ) et donc que l’application qui à a ∈ Π associe les
e extensions de F est localement constante ; comme Π est compacte, cela entraı̂ne que F
n’a qu’un nombre fini d’extensions totalement ramifiées de degré e.
Comme corollaire, on trouve que Qp est une extension de Qp de degré dénombrable, et
ne peut donc pas être complète (par le théorème de Baire). On appelle Cp la complétion
p-adique de Qp et on peut montrer que Cp est toujours algébriquement clos ; le corps Cp
est l’analogue p-adique du corps des nombres complexes.
5.4. Groupes de Galois des corps p-adiques
A partir de maintenant, on suppose que L/K est galoisienne et on appelle valL la
valuation sur L× définie par valL (x) = e(L/Qp )valp (x) ce qui fait que valL (L× ) = Z.
Si g ∈ Gal(L/K), on pose iL (g) = inf a∈OL valL (g(a) − a). Remarquons que si x ∈ OL
est tel que OL = OK [x], alors iL (g) = valL (g(x) − x).
Proposition 5.4.1. — Si g, h ∈ Gal(L/K), alors :
(1) iL (ghg −1 ) = iL (h) ;
(2) iL (gh) ≥ min(iL (g), iL (h)) avec égalité si iL (g) 6= iL (h) ;
(3) iL (g) = iL (g −1 ).
Démonstration. — Si OL = OK [x], alors OL = OK [g −1 (x)] et donc :
iL (ghg −1 ) = valL (ghg −1 (x) − x) = valL (hg −1 (x) − g −1 (x)) = iL (h)
ce qui montre le (1). Ensuite, iL (gh) = valL (gh(x) − x) = valL (gh(x) − h(x) + h(x) − x)
ce qui implique le (2) et le (3) est immédiat.
46
CHAPITRE 5. MÉTHODES p-ADIQUES
Si G = Gal(L/K) et u ∈ Z≥−1 alors on pose Gu = {g ∈ G tels que iL (g) ≥ u + 1}. La
proposition 5.4.1 implique alors que Gu est un sous-groupe distingué de G. On voit que
G−1 = G et que si u ≥ maxg6=1 iL (g) alors Gu = {1}.
Lemme 5.4.2. — Le groupe G0 est le sous-groupe d’inertie I(L/K) de G.
Démonstration. — Par définition, I(L/K) = ker(Gal(L/K) → Gal(kL /kK )) et c’est donc
l’ensemble des g ∈ G tels que g(a) − a ∈ mL pour tout a ∈ OL c’est-à-dire G0 .
Si L0 est la sous-extension maximale non ramifiée de L/K et si πL est une uniformisante
de L, on a L = L0 [πL ] ce qui fait que iL (g) = valL (g(πL )/πL − 1) + 1 si g ∈ G0 et donc
que si u ≥ 0, alors Gu = {g ∈ G0 tels que valL (g(πL )/πL − 1) ≥ u}.
Lemme 5.4.3. — Si u ≥ 1 alors Gpu ⊂ Gu+1 .
Démonstration. — Si g ∈ Gu alors on peut écrire g(πL )/πL = 1 + α avec α ∈ muL et :
g p (πL )
g(πL ) g 2 (πL )
g p (πL )
=
· · · p−1
= (1 + α)(1 + g(α)) · · · (1 + g p−1 (α))
πL
πL g(πL )
g (πL )
Comme g ∈ Gu on a g(α) − α ∈ mu+1
et donc g p (πL )/πL = 1 + pα = 1 mod mu+1
ce qui
L
L
fait que g p ∈ Gu+1 .
Proposition 5.4.4. — Le groupe G1 est l’unique p-Sylow de G0 .
n
n
Démonstration. — Le lemme 5.4.3 ci-dessus montre que Gp1 ⊂ G1+n et donc que Gp1 =
{1} si n 0 ce qui montre que G1 est un p-groupe. Pour démontrer la proposition, il
suffit de montrer que tout élément g ∈ G0 tel que g p ∈ G1 vérifie g ∈ G1 . Si g est un tel
élément, on peut écrire g(πL )/πL = α ∈ OL× et on voit que g p (πL )/πL = 1 mod mL si et
seulement si αp = 1 mod mL c’est-à-dire si et seulement si α = 1 mod mL .
Si L/K est une extension totalement ramifiée, alors on dit qu’elle est modérément
ramifiée si p - e(L/K).
Proposition 5.4.5. — Si L/K est une extension galoisienne totalement ramifiée et si
l’on écrit e = e(L/K) = pk n avec p - n, alors il existe une unique sous-extension L1 telle
que [L1 : K] = n.
Démonstration. — Par la correspondance de Galois, on a L1 = LG1 .
Plus généralement, la correspondance de Galois nous permet de définir une suite de
sous-extensions galoisiennes K ⊂ L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ L où la ramification devient de plus
en plus compliquée.
Proposition 5.4.6. — Si u ≥ 0, alors l’application g 7→ g(πL )/πL induit un morphisme
injectif Gu /Gu+1 → 1 + muL /1 + mu+1
L .
5.4. GROUPES DE GALOIS DES CORPS p-ADIQUES
47
Démonstration. — Si g(πL )/πL = 1 + αg et h(πL )/πL = 1 + αh alors :
gh(πL )
= (1 + g(αh ))(1 + αg ) = 1 + αg + αh = (1 + αg )(1 + αh ) mod mu+1
L
πL
ce qui fait que l’application donnée est bien un morphisme de groupe. Elle est manifestement injective.
Corollaire 5.4.7. — Le groupe Gal(L/K) est hyper-résoluble.
Démonstration. — Le groupe G/G0 s’identifie à Gal(kL /kK ) ' Z/f Z, le groupe G0 /G1
s’injecte dans OL× /1+mL ' kL× par la proposition 5.4.6 et si u ≥ 1, alors 1+muL /1+mu+1
'
L
kL ce qui fait que Gu /Gu+1 s’injecte dans (Z/pZ)dimFp (kL ) .
Ce résultat est à comparer avec le fait que pour tout n ≥ 1, il existe des extensions
galoisiennes de Q de groupe de Galois Sn ou An .
BIBLIOGRAPHIE
[Bou07] N. Bourbaki – Eléments d’histoire des mathématiques, Springer-Verlag, 2007.
[Mar77] D. Marcus – Number fields, Universitext, Springer-Verlag, 1977.
[Neu99] J. Neukirch – Algebraic number theory, GMW 322. Springer-Verlag, 1999.

th´eorie alg´ebrique des nombres

Documents connexes

Produits

Soutien

th´eorie alg´ebrique des nombres

Documents connexes

Ajouter ce document à la (aux) collections

Ajouter ce document à enregistré

Suggérez-nous comment améliorer StudyLib