th´eorie alg´ebrique des nombres

Laurent Berger
TH´ EORIE ALG´ EBRIQUE DES
NOMBRES

Laurent Berger
UMPA, ENS de Lyon, UMR 5669 du CNRS, Universit´e de Lyon.
E-mail : [email protected]
Url : http://perso.ens-lyon.fr/laurent.berger/

TH´ EORIE ALG´ EBRIQUE DES NOMBRES
Laurent Berger

TABLE DES MATI` ERES
1. M´ethodes alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Entiers alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Anneaux de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Groupes de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. M´ethodes g´eom´etriques .................................................... 15
2.1. G´eom´etrie des nombres .................................................... 15
2.2. Unit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Lois de r´eciprocit´e .......................................................... 21
3.1. Correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. D´ecomposition des id´eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Lois de r´eciprocit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. M´ethodes analytiques ...................................................... 31
4.1. La fonction ζde Dedekind ................................................ 31
4.2. Fonctions Lde Dirichlet .................................................. 34
5. M´ethodes p-adiques ........................................................ 39
5.1. Corps norm´es complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. Extensions finies de Qp.................................................... 41
5.3. Ramification .............................................................. 43
5.4. Groupes de Galois des corps p-adiques .................................... 45
Bibliographie .................................................................. 49