Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s’est rendu compte, depuis l’antiquité, que l’on ne peut pas tout mesurer à l’aide des nombres rationnels. Par exemple : la diagonale d d’un carré de côté 1 vérifie, d’après le théorème √ 2 2 2 de Pythagore, d = 1 + 1 = 2, donc d = 2, mais on verra que √ 2∈ / Q. d Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R De même, le périmètre P d’un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement !) que π∈ / Q. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels D’où la nécessité d’introduire de nouveaux nombres (dits irrationnels). La réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels forme le corps R des nombres des réels. Il existe de nombreuses constructions de R (que nous n’aborderons pas dans ce cours). Nous nous contenterons d’étudier les propriétés essentielles des nombres réels, lesquelles propriétés sont à la base de toute l’analyse mathématique. Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Sommaire 1 2 3 4 5 6 Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Groupes, Sous-groupes Insuffisance de Q Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Ensembles ordonnés Définition Soit E un ensemble non vide et ≤ une relation binaire sur E × E. On dit que ≤ est une relation d’ordre si, et seulement si, : ≤ est réflexive : ∀x ∈ E , x ≤ x. ≤ est antisymétrique : ∀x , y ∈ E , (x ≤ y et y ≤ x ) ⇒ (x = y ). ≤ est transitive : ∀x , y , z ∈ E , (x ≤ y et y ≤ z ) ⇒ (x ≤ z ). Lorsque x ≤ y et x 6= y , on note x < y (ou y > x). Le couple (E , ≤) est appelé un ensemble ordonné. Deux éléments x et y sont dits comparables si on a soit x ≤ y soit y ≤ x. (E , ≤) est dit totalement ordonné si tous les éléments de E sont 2 à 2 comparables. Sinon, on dit que (E , ≤) est partiellement ordonné. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Exemples 1 2 3 N muni de l’ordre habituel est totalement ordonné. N muni de la relation x ≤ y ⇐⇒ x |y (x divise y ) est partiellement ordonné. Soit A un ensemble non vide et E = 2A l’ensemble des parties de A. E est partiellement ordonné par la relation d’inclusion : X ≤ Y ⇐⇒ X ⊂ Y . Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Sommaire 1 2 3 4 5 6 Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Groupes, Sous-groupes Insuffisance de Q Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Définition Soient (E , ≤) un ensemble ordonné, A ⊂ E et x ∈ E. On dit que : x majore A (ou encore x est un majorant de A) si pour tout a ∈ A, on a : a ≤ x. La partie A est dite majorée s’elle admet un majorant. x est le plus grand élément (ou encore le maximum) de A si x ∈ A et x est un majorant de A : x = max A ⇐⇒ (∀a ∈ A, a ≤ x et x ∈ A). De manière analogue, on dit que : x minore A (ou encore x est un minorant de A) si pour tout a ∈ A, on a : x ≤ a. La partie A est dite minorée s’elle admet un minorant. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R x est le plus petit élément (ou encore le minimum) de A si x ∈ A et x est un minorant de A : x = min A ⇐⇒ (∀a ∈ A, x ≤ a et x ∈ A). Une partie A ⊂ E est dite bornée s’elle est à la fois majorée et minorée. Si l’ensemble des majorants (resp. des minorants) de A admet un plus petit élément M (resp. un plus grand élément m) celui-ci s’appelle borne supérieure (resp. borne inférieure) de A. On écrit alors M = sup A et m = inf A. On a donc : M = sup A ⇐⇒ ∀a ∈ A, a ≤ M; ∀x ∈ E , x < M ⇒ ∃a ∈ A, x < a ≤ M Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Et de manière analogue : m = inf A ⇐⇒ ∀a ∈ A, m ≤ a; ∀x ∈ E , m < x ⇒ ∃a ∈ A, m ≤ a < x . On dit qu’un ensemble ordonné (E , ≤) possède la propriété de la borne supérieure (resp. de la borne inférieure) si toute partie non vide et majorée (resp. non vide et non minorée) de E possède une borne supérieure (resp. une borne inférieure) Exercice Montrer que si un ensemble totalement ordonné possède la propriété de la borne supérieure, alors il possède aussi la propriété de la borne inférieure, et vice-versa. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Remarque Si A admet un plus grand élément, alors celui-ci est unique et A admet une borne supérieure sup A = max A. De même, si A admet un plus petit élément, alors celui-ci est unique et A admet une borne inférieure inf A = min A. Mais, il se peut que A admette une borne supérieure (resp. une borne inférieure) sans admettre de maximum (resp. de minimum). Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Exemples Soit A = {1 − 1/n : n ∈ N∗ } ⊂ Q. A est minorée (par 0 ∈ A). Donc 0 = min A = inf A = 0. D’autre part, il est clair que 1 majore 1 1 A. Soit r ∈ Q, r < 1. On a : 1 − > r ⇐⇒ n > . Donc, en n 1−r 1 prenant n ∈ N vérifiant n > , on trouverait un élément 1−r a = 1 − 1/n de A vérifiant r < a. Donc 1 = sup A. Comme 1 = sup A ∈ / A, A n’admet pas de plus grand élément. n La partie A = n(−1) : n ∈ N∗ de Q est non majorée. De plus, A est minorée (par 0). Soit r ∈ Q, r > 0. En prenant un n ∈ N∗ tel 1 1 que n > ( − 1), on trouverait un élément a = 1/2n + 1 ∈ A 2 r vérifiant a < r . Donc inf A = 0, et comme 0 ∈ / A, A n’admet pas de minimum. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Théorème Toute partie finie et non vide d’un ensemble totalement ordonné admet un plus grand élément et un plus petit élément. Preuve. Soient (E , ≤) un ensemble totalement ordonné, 0/ 6= A ⊂ E une partie finie non vide de cardinal n ≥ 1. On va raisonner par récurrence sur n. si n = 1, c’est évident. Supposons que toutes les parties de E de cardinal n − 1 admettent un plus grand élément et un plus petit élément. Soit A = {a1 , · · · , an } une partie de E à n éléments. Posons A0 = {a1 , · · · , an−1 } = A\{an }, s = max A0 et m = min A0 . Si s ≤ an , alors an = max A, et si an < s, alors s = max A. De même, si m ≤ an , alors m = min A, et si an < m, alors an = min A. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Corollaire Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément. En particulier, N possède la propriété de la borne supérieure. Preuve. Car une partie majorée de N est nécessairement finie. Théorème Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Preuve. Supposons, par l’absurde, qu’il existe une partie 0/ 6= A ⊂ N n’admettant pas de minimum. Soit P (n) l’assertion suivante : “n minore A”. On a : P (0) est vraie. Supposons que P (n) soit vraie. Alors n ∈ / A (car A n’a pas de plus petit élément). Donc, pour tout a ∈ A, a > n, et par suite a ≥ n + 1 (a et n sont des entiers !). donc n + 1 minore A, Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R ou encore P (n + 1) est vraie. Ainsi P (n) ⇒ P (n + 1). Par conséquent P (n) est toujours vraie (c-a-d, tous les entiers naturels minorent A). On en déduit que A = 0/ : (sinon, il existerait m ∈ A, et d’après ce qui précéde, m minorerait A et A admettrait m comme plus petit élément). On aboutit à la contradiction A 6= 0/ et A = 0/ . Absurde. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Sommaire 1 2 3 4 5 6 Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Groupes, Sous-groupes Insuffisance de Q Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Groupes Définition Un groupe (G, ∗) est un ensemble G muni d’une loi de composition interne ∗ telle que : 1 2 3 ∗ est associative : ∀a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c ) = (a ∗ b) ∗ c. ∗ admet un élément neutre e tel que : ∀a ∈ G, a ∗ e = e ∗ a = a. Tout élément a de G admet un symétrique : ∀a ∈ G, ∃a0 ∈ G, a ∗ a0 = a0 ∗ a = e. Le groupe est dit abélien (ou commutatif ) si a ∗ b = b ∗ a, pour tous a, b ∈ G. Exemples. (Z, +) est un groupe abélien. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Sous-groupes Définition Soit (G, ∗) un groupe, et soit H une partie de G. On dit que (H , ∗) (ou tout simplement que H ) est un sous-groupe de (G, ∗) si et seulement si : H est non vide. (H , ∗) est un groupe. Exemple. Pour tout n ∈ Z, nZ = {nm : m ∈ Z} est un sous-groupe de (Z, +). A partir de cette définition, il est facile de montrer les deux propositions suivantes : Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Proposition Soit (G, ∗) un groupe, et soit H une partie non vide de G. Pour que H soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit qu’il vérifie les deux conditions suivantes : 1 2 ∀(x , y ) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H. ∀x ∈ H , x −1 ∈ H. Les deux conditions précèdentes peuvent être groupées en une seule condition : Proposition Soit (G, ∗) un groupe, et soit H une partie non vide de G. Pour que H soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit qu’il vérifie la condition suivante : ∀(x , y ) ∈ H 2 , x ∗ y −1 ∈ H . Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Sous-groupes de (Z, +) Théorème Les sous-groupes de Z sont les ensembles de la forme nZ = {nm : m ∈ Z}, où n ∈ N. Preuve. On sait que les nZ sont des sous-groupes de Z. Inversement, soit H un sous-groupe de Z. Si H = {0}, alors H = 0.Z. ∗ = {p ∈ H , : p > 0} = H ∩ N ∗ . H ∗ est une Si H 6= {0}, on pose H+ + ∗ admet un plus petit partie non vide de N (pourquoi ?). Donc H+ élément n. Puisque n ∈ H, et que H est un sous-groupe de (Z, +), on aura nZ ⊂ H (Justifier). Inversement, soit p ∈ H et soit p = qn + r la division euclidienne de p par n (q ∈ Z, r ∈ N, r < n). Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Si r > 0, on aurait r = p − qn ∈ H (différence de deux éléments de H), ∗ et r < n = min H ∗ . Contradiction. Donc r = 0, p = qn ∈ nZ. r ∈ H+ + Donc H ⊂ nZ et H = nZ. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Anneaux Définition Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes + et · telles que (A, +) est un groupe commutatif et que · est associative et distributive par rapport à +, c-a-d : ∀x , y , z ∈ A, x · (y + z ) = (x · y ) + (x · z ) A est dit commutatif si la loi · est commutative, unitaire si la loi · admet un élément neutre. Exemple. (Z, +, ·) est un anneau commuttif unitaire, 1 étant lélément neutre de ·. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Corps Définition Un corps est un anneau unitaire de cardinal ≥ 2, tel que tout élément non nul (i.e. distinct de l’élément neutre de +) admet un inverse pour la loi ·. Il revient au même de dire que (K, +, ·) est un corps si, et seulement si, (K, +, ·) est un anneau unitaire tel que (K∗ , ·) est un groupe, où K∗ : = K\{0}. Exemple. (Q, +, ·) est un corps. Définition Soient (K1 , +, .) et (K2 , +, .) deux corps et f : K1 → K2 . On dit que f est un isomorphisme de corps si f est bijective, f (1K1 ) = 1K2 , et pour tout (x , y ) ∈ K21 , on a : f (x + y ) = f (x ) + f (y ) f (x .y ) = f (x ).f (y ). Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Groupes, Sous-groupes Corps commutatif totalement ordonné. Définition Un corps commutatif totalement ordonné est la donnée d’un corps commutatif (K, +, ·) muni d’une relation d’ordre totale ≤ compatible avec l’addition + et avec la multiplication par les éléments positifs : ∀x , y ∈ K, (x ≤ y ) ⇒ (∀z ∈ K, x + z ≤ y + z ). ∀x , y ∈ K, (x ≤ y ) ⇒ (∀z ∈ K+ , x · z ≤ y · z ), où K+ : = {z ∈ K : 0 ≤ z }. Exemple. Q muni de ses lois et de son ordre habituels est un corps commutatif totalement ordonné. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Sommaire 1 2 3 4 5 6 Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Groupes, Sous-groupes Insuffisance de Q Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. En effet, il existe des polynômes à cœfficients rationnels n’admettant pas de racines rationnelles. Pour le voir, démontrons d’abord le théorème suivant : Théorème Soient n ∈ N∗ et a0 , a1 , · · · , an ∈ Z tels que a0 an 6= 0. Si l’équation : a0 + a1 x + · · · + an x n = 0 admet une racine rationnelle r écrite sous forme irréductible r = (p, q ) ∈ Z × Z∗ , p ∧ q = 1, alors p divise a0 et q divise an . Preuve. En remplaçant r par q n , on obtiendrait : p q (1) p q , dans l’équation 1 et en multipliant par Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Donc, Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. a0 q n + a1 pq n−1 + · · · + an−1 pn−1 q + an pn = 0; an pn = −q a0 q n−1 + a1 pq n−2 + · · · + an−1 pn−1 . Donc q divise an pn , et comme p et q sont sans diviseur commun, q divise an (théorème de Gauss). De même, on a : a0 q n = −p a1 q n−1 + · · · + an pn−1 . Donc, p divise a0 q n , et comme p ∧ q = 1, p divise a0 . Comme conséquence de ce théorème, on peut dire que l’équation √ x 2 − 2 = 0 n’a pas de racines rationnelles (autrement dit 2 ∈ / Q). p Sinon, soit r une telle racine, r = la forme irréductible de r . D’après q le théorème précédent, p divise −2 (donc p ∈ {±1, ±2}) et q divise 1 (et q = ±1). Donc r serait l’un des quatre nombres 2, −2, −1 ou 1. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Or aucun de ces nombres n’est solution de x 2 − 2 = 0. De même, le nombre r = (2 + 51/3 )1/2 ∈ / Q. En effet, on a r 2 = 2 + 51/3 et (r 2 − 2)3 − 5 = r 6 − 6r 4 + 12r 2 − 13 = 0. Si r ∈ Q et p r = (la forme irréductible de r ), alors p diviserait −13 et q diviserait q 1. Donc r ∈ {±13, ±1}. Or, aucun de ces nombres ne vérifie l’équation x 6 − 6x 4 + 12x 2 − 13 = 0. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Proposition Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure. Preuve. Soit A = r ∈ Q : r 2 < 2 . A est non vide ( 1 ∈ A), et majoré (par 2), mais A n’admet pas borne supérieure : sinon, il existerait M ∈ Q tel que M = sup A. On a M ≥ 1 et M 2 6= 2. Deux cas sont possibles : premier cas : M 2 < 2. Alors, on a : ∗ ∀n ∈ N , M + 1 2 n = M2 + 2 M n + 1 n2 ≤ M2 + 2M + 1 2M + 1 n . 1 , on aurait (M + )2 < 2 et n 1 1 M + ∈ A. D’où la contradiction A 3 M + > M = sup A. n n Donc, en choisissant n > 2 − M2 Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. deuxieme cas : M 2 > 2. En choisissant n > M− Or M − 1 n 2 = M2 − 2 M n + 1 n2 2M M2 − 2 ≥ M2 − 2 M n , on aurait > 2. 1 < M = sup A, donc il existe r ∈ A tel que 2 1 0 < M − < r ≤ M, et par suite, M − < r 2 < 2. n 1 n Contradiction. n En conclusion A est une partie majorée et non vide de Q qui n’admet pas de borne supérieure (dans Q). Donc Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Sommaire 1 2 3 4 5 6 Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Groupes, Sous-groupes Insuffisance de Q Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Théorème et définition (admis). Il existe un corps commutatif totalement ordonné possèdant la propriété de la borne supérieure. De plus, si deux corps commutatifs totalement ordonnés, R1 et R2 , possèdent la propriété de la borne supérieure, alors il existe un isomorphisme de corps f : R1 → R2 , tel que : f est strictement croissante : x < y ⇒ f (x ) < f (y ). si A est une partie non vide et majorée de R1 , alors f (A) est une partie non vide et majorée de R2 et f (sup A) = sup f (A). Donc, à un isomorphisme près, il existe un seul corps commutatif totalement ordonné possèdant la propriété de la borne supérieure. Ce corps s’appelle le corps des nombres réels, et on le note R. Un tel corps contient Q, et les éléments de Q sont appelés nombres rationnels et ceux de R\Q sont appelés nombres irrationnels. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Sommaire 1 2 3 4 5 6 Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Groupes, Sous-groupes Insuffisance de Q Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu’ensemble ordonné. Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée R possède des propriétés communes à tous les les corps commutatifs totalement ordonnés et des propriétés qui découlent de la propriété de la borne supérieure. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Théorème Dans R, les propriétés suivantes sont vérifiées : (x ≥ 0, y ≥ 0) ⇒ xy ≥ 0 ; ∀x ∈ R, x 2 ≥ 0. x ≤ y ⇐⇒ x − y ≤ 0 ⇐⇒ y − x ≥ 0 ⇐⇒ (−y ) ≥ (−x ). (x ≤ y , z ≤ 0) ⇒ yz ≤ xz ; x < y ⇐⇒ x − y < 0 ⇐⇒ y − x > 0 ⇐⇒ (−y ) < (−x ). x < y ⇐⇒ ∃z ∈ R, x + z < y + z ⇐⇒ ∀z ∈ R, x + z < y + z. 0 < x < y ⇐⇒ 0 < y −1 < x −1 . Si xi ≤ yi , i = 1, . . . , n, alors ∑ni=1 xi ≤ ∑ni=1 yi , avec égalité si et seulement si xi = yi , i = 1, . . . , n. Preuve. Laissée en exercice. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Caractérisation de la borne supérieure Théorème Soit A une partie non vide et majorée de R et soit s ∈ R. Alors ( ∀a ∈ A, a≤s s = sup A ⇐⇒ ∗ ∀ε ∈ R+ , ∃a ∈ A, s − ε < a ≤ s Preuve. La 1ère condition exprime le fait que s est un majorant de A. La 2eme condition veut dire que tout réel strictement plus petit que s n’est pas un majorant de A. Donc s est le plus petit majorant de A, ou encore s = sup A. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Caractérisation de la borne inférieure De manière analogue, on a : Théorème Soient A une partie non vide et minorée de R et m ∈ R. Alors ( ∀a ∈ A, m≤a m = infA ⇐⇒ ∗ ∀ε ∈ R+ , ∃a ∈ A, m ≤ a < m + ε Preuve. La 1ère condition exprime le fait que m est un minorant de A. La 2eme condition veut dire que tout réel strictement plus grand que m n’est pas un minorant de A. Donc m est le plus grand minorant de A, ou encore m = inf A. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Exercice Soit 0/ 6= A ⊂ R et soit −A = {−x : x ∈ A}. Montrer que si A est minorée alors −A est majorée et inf A = − sup(−A). Déduire le théorème 6.3 du théorème 6.2. Théorème et définition (Valeur absolue d’un nombre réel) Soit x ∈ R. La valeur absolue de x est le nombre |x | = max(x , −x ) ; La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : |x | = |x | = 0 ⇐⇒ |x | ≤ a ⇐⇒ |x · y | ||x | − |y || = ≤ Brahim Boussouis | − x | ≥ 0. x = 0. |x | × |y |. −a ≤ x ≤ a. |x ± y | ≤ |x | + |y |. Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée On définit la distance de deux réels x et y par d (x , y ) = |x − y |. d est donc une application définie sur R2 à valeurs positives et elle vérifie les propriétés suivantes : (D1) d (x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y ; (D2) d (x , y ) = d (y , x ) ; (Symétrie) (D3) d (x , y ) ≤ d (x , z ) + d (z , y ) (Inégalité triangulaire) Plus généralement, on appelle distance sur un ensemble quelconque E, toute application d : E 2 → R+ qui vérifie les propriétés (D1), (D2) et (D3). Le couple (E , d ) est alors appelé espace métrique. Exercice Montrer que l’application d : R2 → R+ définie par d (x , y ) = inf(1, |x − y |) est une distance sur R. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Théorème (Propriété d’Archimède) Pour tout x ∈ R∗+ , et pour tout y ∈ R, il existe n ∈ N tel que y < nx. Preuve. Soit A = {nx /n ∈ N} ; A est une partie non vide de R. Si A est majorée par y , il existerait s ∈ R tel que s = sup A. Comme (s − x ) < s, on pourrait trouver n ∈ N, tel que (s − x ) < nx ≤ s ; D’où s < (n + 1)x ∈ A, ce qui est absurde. Théorème (Partie entière d’un nombre réel) Pour tous x ∈ R et ε ∈ R∗+ , il existe un et un seul entier n ∈ Z, tel que nε ≤ x < (n + 1)ε. L’entier n qui correspond à ε = 1, s’appelle la partie entière de x, notée E (x ), ou encore [x ]. le nombre x − E (x ) s’appelle la partie fractionnaire de x. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Preuve. Si m et n sont deux entiers relatifs tels que : nε ≤ x < (n + 1)ε et mε ≤ x < (m + 1)ε, On aurait nε < (m + 1)ε, donc n < (m + 1) et n ≤ m. De la même manière, on obtiendrait m ≤ n, donc m = n. D’où l’unicité de n. Pour montrer l’existence de n, commençons par le cas x > 0. Soit A = {m ∈ N/x < mε} ; A est une partie non vide de N (par la propriété d’Archimède) ; Soit p le plus petit élément de A. On a p ≥ 1 et (p − 1) ∈ / A, donc nε ≤ x < (n + 1)ε, où n = (p − 1). Si x < 0, d’après ce qui précède, il existe m ∈ N, tel que mε ≤ −x < (m + 1)ε. Il suffit de poser alors n = −(m + 1) si x 6= −mε, et n = −m, si x = −mε. En fin, pour x = 0, on a 0.ε ≤ x = 0 < (0 + 1).ε, donc l’entier n = 0 répond à la question. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Il existe neuf types d’intervalles sur R : les intervalles bornés (d’extrémités a et b, où −∞ < a ≤ b < +∞) : [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (intervalle fermé borné) ; ]a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} (intervalle ouvert ) ; ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (intervalle semi-ouvert ou semi-fermé [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} (intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé Les intervalles ]a, a[ = [a, a[=]a, a] = 0/ et [a, a] = {a} sont dits triviaux. On convient que l’ensemble vide est considèré comme un intervalle ouvert borné. les intervalles non bornés (dont une extrémité est a ∈ R) : [a, +∞[ = {x ∈ R : a ≤ x } ; ]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a } ; ]−∞, a[ = {x ∈ R : x < a } ; ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x } ; ]−∞, +∞[ = R. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Caractérisation des intervalles Proposition Soit I ⊂ R. I est un intervalle si et seulement si ∀x , y ∈ I , (x ≤ y ⇒ [x , y ] ⊂ I ) (∗) Preuve. La condition est manifestement nécessaire. Inversement si (∗) est satisfaite, alors en utilisant la définition des bornes supérieure et inférieure, on peut écrire si I 6= 0/ : ]inf I , sup I [ ⊂ I ⊂ [inf I , sup I ] ⊂ R Donc I est un intervalle. Si I = 0/ , alors on peut considèrer I comme un intervalle ouvert : I = ]0, 0[. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Définition On dit qu’une partie A de R est dense dans R si entre deux réels distincts, il existe au moins un élément de A : ∀x , y ∈ R, x < y , ∃a ∈ A, x < a < y . Théorème (Densité de Q dans R) Entre deux réels distincts, il existe au moins un rationnel (ou encore, Q est dense dans R). Preuve. Soient x et y deux réels tels que x < y . Par la propriété d’Archimède, on dispose d’un entier naturel n, tel que 1 < n(y − x ). Soient m = E (nx ) et r = (m + 1)/n ; On a alors : m ≤ nx < m + 1, 1 donc m ≤ x < m+ ≤ x + n1 < x + y − x = y . Donc le rationnel r est n n compris entre x et y . Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Théorème (Densité de R\Q dans R) Entre deux réels distincts, il y a au moins un nombre irrationnel (ou encore, R\Q est dense dans R). Preuve. Soient x , y ∈ R, x < y . Par la densité de Q dans R, il√ existe r1 , r2 ∈ Q tels que x < r1 < r2 < y . On en déduit, puisque 1 < 2 < 2, que : ρ { z √}| x < r1 = (r2 − r1 ) + (2r1 − r2 ) < (r2 − r1 ) 2 + 2r1 − r2 < 2(r2 − r1 ) + 2r1 − r2 = r2 < y ρ − 2r1 + r2 √ On a ρ ∈ / Q (sinon = 2 ∈ Q ). Donc il y a au moins un r2 − r1 irrationnel entre x et y . Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Exercice Montrer qu’entre deux réels distincts, il y a une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels. Théorème (Sous-groupes de (R, +)) Soit H un sous-groupe de (R, +). Alors H est soit dense dans R, soit il est discret (i.e. H est de la forme H = aZ où a ∈ R+ ). Preuve. Si H = {0}, alors H = 0 · Z est discret. Supposons donc que ∗ = H ∩ R∗ . On a alors H ∗ H n’est pas réduit à {0} et posons H+ + + ∗ 6= 0 ∗ . Deux cas sont / (Justifier !). Soit a = inf H+ minoré par 0 et H+ possibles : 1ier cas : a > 0. Montrons que dans ce cas, H = aZ. Et pour commencer, montrons d’abord que a ∈ H. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée ∗ < 2a, on peut trouver y ∈ H ∗ tel que a ≤ y < 2a. puisque a = inf H+ + ∗ tel que a < z < y < 2a. On aurait alors Si a < y , il existerait z ∈ H+ ∈H z }| { 0 < y − z < a. D’où la contradiction. Donc y = a ∈ H et a · Z ⊂ H. Inversement, soit x ∈ H et soit m = E (x /a). Comme ∗ , on en déduit que x = ma ∈ a · Z. Donc 0 ≤ x − ma < a = inf H+ H ⊂ a · Z et H = a · Z. 2eme cas : a = 0. On va montrer que dans ce cas, H est dense dans R. ∗ < y − x, donc il Soient x , y deux réels tels que x < y . On a 0 = inf H+ existe z ∈ H tel que 0 < z < y − x. Posons m = E (x /z ). On a alors : ∈H z }| { 0 < (m + 1)z − x ≤ z < y − x ⇒ x < (m + 1)z < y ⇒]x , y [∩H 6= 0/ Donc H est dense dans R. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Existence de radicaux arithmétiques Théorème Pour tout x ∈ R∗+ , et pour tout m ∈ N∗ , il existe un et un seul y ∈ R∗+ , 1 tel que y m = x. y s’appelle la racine me de x, notée √ m x ou x m . Preuve. Si y1m = y2m , yi > 0, i = 1, 2, alors 0 = (y1 − y2 )(y1m−1 + . . . + y2m−1 ). Donc y1 = y2 . D’où l’unicité. Pour établir l’existence, on considère A = {a ∈ R+ /am ≤ x }. On a : A 6= 0/ (car 0 ∈ A), et A est majorée. En effet, soit n un entier tel que x < n (propriété d’Archimède) ; on a alors pour tout a ∈ A : am ≤ x < n ≤ n m . Donc a ≤ n et A est majoré par n. Soit y = sup A. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Supposons par l’absurde que x < y m . Soit n ∈ N∗ tel que ny > 1. On a: 1 (y − )m = y m − m y m−1 n n + m(m − 1) y m−2 1 = y m − [my m−1 − n 1 ≥ y m − [my m−1 + n 1 −...+ 2 n2 m(m − 1) y m−2 2 m(m − 1) 2 n (−1)m nm + . . .] y m−2 + . . .] = y m − [(y + 1)m − y m ] n 1 (y + 1)m − y m 1 , on aurait x < (y − )m . Or il y −x n existe a ∈ A tel que 0 < y − 1/n < a ≤ y (car y = sup A et y − 1/n < y ). On en déduit que (y − 1/n)m ≤ am < x. D’où la contradiction. Donc si n > max , ym Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Supposons maintenant que y m < x. En raisonnant comme précèdemment, on peut montrer que : 1 1 (y + )m ≤ y m + [(y + 1)m − y m ]. n n m (y + 1) − y m , on aurait (y + 1/n)m ≤ x, x − ym donc y + 1/n ∈ A, ce qui est absurde puisque y + 1/n > y = sup A. En conclusion y m = x, ce qui termine la démonstration du théorème. Donc en choisissant n > A partir de l’unicité de la racine mi ème , on peut démontrer les formules suivantes (x > o, y > 0, m, p ∈ N∗ ) : √ m xy √ m = √ mp = x x = Brahim Boussouis √ √ m x· my √ mp xp q m √ p x Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Proposition Pour tous réels x et y , on a : |xy | ≤ x2 + y2 2 . (2) Preuve. En effet, on a : x 2 + y 2 − 2 |xy | = (|x | − |y |)2 ≥ 0. D’où l’inégalité cherchée. En voici une démonstration géométrique : a+b 2 √ a ab b Brahim Boussouisde 2 Le corps des nombresest réels plus petite que leur F IGURE : La moyenne géométrique réels positifs Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Proposition (Inégalité de Bernouilli) Soit h un réel > −1 et n ∈ N∗ . Alors, on a : (1 + h)n ≥ 1 + nh. Preuve. Par récurrence (laissée en exercice). Proposition (Inégalié de Cauchy-Schwarz) Soient ai , bi , i = 1, · · · , n, des nombres réels. Alors, on a : n ∑ ai bi ≤ i =1 n ∑ ai2 i =1 Brahim Boussouis !1/2 n !1/2 ∑ bi2 i =1 Le corps des nombres réels . (3) Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Preuve. Le trinôme du second degré n n n n ∑ (ai + xbi )2 = ∑ ai2 + 2x ∑ ai bi + ∑ bi2 est toujours positif, i =1 i =1 i =1 i2=1 ! ! n n n donc son discriminant (réduit) ∆0 = ∑ ai bi − ∑ ai2 ∑ bi2 est i =1 i =1 i =1 T (x ) = négatif. D’où l’inégalité 3. Exercice Montrer que s’il y a égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz, alors soit tous les bi sont nuls, soit il existe x ∈ R tel que pour tout i ∈ {1, . . . , n}, ai = xbi . Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée Définition La droite numérique achevée R est l’ensemble obtenu par adjonction à R de deux éléments, notés +∞ et −∞, muni de la relation d’ordre total obtenue en prolongeant l’ordre de R par les conditions ∀x ∈ R, −∞ < x < +∞ Par définition, +∞ (resp. −∞) est le plus grand (resp. le plus petit) élément de R̄. Si A est une partie de R, alors on écrit : sup A = +∞ si A est non vide et majoré. inf A = −∞ si A est non vide et minoré. sup 0/ = −∞ et inf 0/ = +∞. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels Ensembles ordonnés Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures. Structures Algèbriques. Insuffisance de Q Définition axiomatique de R PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R Propriétés de corps commutatif totalement ordonné Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure Intervalles de R. Parties denses. Quelques inégalités utiles La droite numérique achevée On peut prolonger partiellement à R la structure algèbrique de R en posant : v + -∞ x ∈R +∞ -∞ -∞ -∞ ?? y ∈R -∞ x +y +∞ +∞ ?? +∞ +∞ × -∞ x ∈ R∗− 0 x ∈ R∗+ +∞ -∞ +∞ +∞ ?? -∞ -∞ y ∈ R∗− +∞ xy 0 xy -∞ 0 ?? 0 0 0 ?? y ∈ R∗+ -∞ xy 0 xy +∞ Il n’est pas possible de définir +∞ + (−∞) et 0 × (±∞) de manière que R devienne un anneau ordonné. Brahim Boussouis Le corps des nombres réels +∞ -∞ -∞ ?? +∞ +∞