Le corps des nombres réels

Ensembles ordonnés
Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures.
Structures Algèbriques.
Insuffisance de Q
Définition axiomatique de R
PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R
Introduction.
On suppose connus les ensembles N(des entiers naturels), Zdes
entiers relatifs et Q(des nombres rationnels). On s’est rendu compte,
depuis l’antiquité, que l’on ne peut pas tout mesurer à l’aide des
nombres rationnels. Par exemple :
la diagonale dd’un carré de côté 1 vérifie, d’après le théorème
de Pythagore, d2=12+12=2, donc d=√2, mais on verra que
√2/∈Q.
d
FIGURE :La diagonale du carré de côté 1 n’est pas un rationnel.
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Ensembles ordonnés
Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures.
Structures Algèbriques.
Insuffisance de Q
Définition axiomatique de R
PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R
De même, le périmètre Pd’un cercle de rayon 1 vaut P=2π(par
définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement !) que
π/∈Q.
FIGURE :Le périmètre du cercle de rayon 1 n’est pas un rationnel.
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D’où la nécessité d’introduire de nouveaux nombres (dits irrationnels).
La réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels forme
le corps Rdes nombres des réels. Il existe de nombreuses
constructions de R(que nous n’aborderons pas dans ce cours). Nous
nous contenterons d’étudier les propriétés essentielles des nombres
réels, lesquelles propriétés sont à la base de toute l’analyse
mathématique.

Ensembles ordonnés
Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures.
Structures Algèbriques.
Insuffisance de Q
Définition axiomatique de R
PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R
Sommaire
1Ensembles ordonnés
2Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures.
3Structures Algèbriques.
Groupes, Sous-groupes
4Insuffisance de Q
Qest insuffisant en tant que corps
Qest insuffisant qu’ensemble ordonné.
5Définition axiomatique de R
6PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R
Propriétés de corps commutatif totalement ordonné
Propriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieure
Intervalles de R.
Parties denses.
Quelques inégalités utiles
La droite numérique achevée
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Ensembles ordonnés
Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures.
Structures Algèbriques.
Insuffisance de Q
Définition axiomatique de R
PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R
Ensembles ordonnés
Définition
Soit Eun ensemble non vide et ≤une relation binaire sur E×E. On
dit que ≤est une relation d’ordre si, et seulement si, :
≤est réflexive : ∀x∈E,x≤x.
≤est antisymétrique : ∀x,y∈E,(x≤yet y≤x)⇒(x=y).
≤est transitive : ∀x,y,z∈E,(x≤yet y≤z)⇒(x≤z).
Lorsque x≤yet x6=y, on note x<y(ou y>x). Le couple (E,≤)
est appelé un ensemble ordonné.
Deux éléments xet ysont dits comparables si on a soit x≤ysoit
y≤x.(E,≤)est dit totalement ordonné si tous les éléments de E
sont 2 à 2 comparables. Sinon, on dit que (E,≤)est partiellement
ordonné.
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