Sommes

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Enoncés
Sommes
Exercice 6
Montrer
1
[ 02067 ]
Exercice 1 [ 02062 ] [correction]
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
a)
c)
n
X
i=1
n
X
α + ai = α +
αai = α
i=1
e)
n
X
aα
i
=
i=1
n
X
n
X
ai
b)
i=1
ai
i=1 !
α
n
X
ai
d)
n
X
i=1
n
X
ai bi =
n
X
n
X
i=1
ai,j =
j=1 i=1
i=1
ai
ai +
n
X
n
X
bi
i=1
Exercice 7
Calculer
Exercice 3
[ 02064 ]
a)
[correction]
n
X
i=1
n X
n
X
k=1
k
(k + 1)!
ai,j ?
[ 02069 ]
[correction]
p
X
kk!
k=1
n2 (n+1)2
4
b) Soit p ∈ N. Montrer que pour tout n ∈ [[0, (p + 1)! − 1]], il existe un (p + 1)
uplet (n0 , n1 , . . . , np ) ∈ Np+1 tel que
∀k ∈ [[0, p]] , 0 6 nk 6 k et n =
[correction]
A partir des valeurs connues de
n
P
k=1
k! 6 (n + 1)!
i=1 j=1
Exercice 2 [ 02063 ] [correction]
Etablir l’une des trois formules suivantes :
n
n
n
P
P
P
b)
c)
k 2 = n(n+1)(2n+1)
k3 =
a)
k = n(n+1)
2
6
k=1
[ 02068 ]
bi
Exercice 8
a) Calculer
k=1
n
X
k=0
i=1
i=1
f)
∀n ∈ N,
ai + bi =
n
n X
X
[correction]
n
P
k et
k=1
n
P
p
X
nk k!
k=0
k 2 , calculer :
c) Justifier l’unicité d’une telle suite.
k=1
k(k + 1)
k=1
b) 1.n + 2.(n − 1) + · · · + (n − 1).2 + n.1.
Exercice 4
Calculer
[ 02065 ]
Exercice 9 [ 03640 ] [correction]
Soient (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yn ) deux suites réelles monotones. Comparer
!
!
n
n
n
1X
1X
1X
xk
yk et
xk yk
n
n
n
[correction]
n
X
k=1
k=1
k=1
(−1)k k
k=1
Exercice 5
[ 02066 ]
[correction]
Montrer que la suite de terme général un =
n
P
k=1
1
n+k
est strictement croissante.
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Corrections
Corrections
Exercice 5 : [énoncé]
n+1
n
P
P
1
un+1 − un =
n+1+k −
Exercice 1 : [énoncé]
b) c) f)
k=1
k=1
1
n+k
=
1
2n+2
+
1
2n+1
−
1
n+1
=
1
2n+1
−
1
2n+2
> 0.
Exercice 6 : [énoncé]
Par récurrence sur n ∈ N, sachant
Exercice 2 : [énoncé]
Par récurrence.
(n + 1)! + (n + 1)! = 2.(n + 1)! 6 (n + 2)!
Exercice 7 : [énoncé]
n
n
n P
P
P
(k+1)−1
k
1
(k+1)! =
(k+1)! =
k! −
Exercice 3 : [énoncé]
a) En séparant la somme
n
X
2
k(k + 1) =
k=1
n
X
2
k +
k=1
n
X
k=1
k=1
n(n + 1)(n + 2)
k=
3
b) On réécrit
1.n + 2.(n − 1) + · · · + (n − 1).2 + n.1 =
n
X
k=1
k=1
1
(k+1)!
=
n
P
k=1
1
k!
−
n
P
k=1
1
(k+1)!
=1−
1
(n+1)! .
Exercice 8 : [énoncé]
a) En écrivant k = (k + 1) − 1
p
X
k(n + 1 − k)
kk! =
k=1
p
X
(k + 1)! − k! = (p + 1)! − 1
k=1
k=1
et on réorganise
n
X
k(n + 1 − k) = (n + 1)
k=1
n
X
k=1
k−
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(n + 2)
6
Exercice 4 : [énoncé]
D’une part
b) Par récurrence forte sur p > 0.
Pour p = 0 : ok
Supposons la propriété établie jusqu’au rang p > 0.
Soit n ∈ [[0, (p + 2)! − 1]].
Réalisons la division euclidienne de n par (p + 1)! : n = q(p + 1)! + r avec
0 6 r < (p + 1)!.
Puisque 0 6 n < (p + 2)! on a 0 6 q 6 p + 1.
p
P
Par hypothèse de récurrence, on peut écrire r =
nk k! et en prenant np+1 = q
k=0
2p
X
(−1)k k =
k=1
p
X
(−(2` − 1) + 2`) = p
`=1
nk k!.
k=0
Récurrence établie.
p
p
P
P
nk k! =
n0k k! avec les conditions requises.
c) Supposons n =
et d’autre part
2p+1
X
on a n =
p+1
P
(−1)k k = p − (2p + 1) = −(p + 1)
Si np < n0p alors
k=0
k=0
k=1
Ainsi
n
X
k=1
p
X
k
(−1) k =
n/2
(−1)n (n + 1)/2
si n est pair
si n est impair
k=0
nk k! 6 np p! +
p−1
X
k=0
k.k! = (np + 1)p! − 1 < n0p p! 6
p
X
n0k k!
k=0
Ceci est absurde donc nécessairement np > n0p puis par symétrie np = n0p .
On simplifie alors le terme np p! et on reprend le principe pour conclure à l’unicité.
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Corrections
3
Exercice 9 : [énoncé]
Etudions la différence
n
n
1X
xk
n
1X
xk yk −
n
k=1
!
n
1X
yk
n
k=1
!
k=1
n
X
1
= 2
n
nxk yk −
k=1
n X
n
X
!
xk y`
k=1 `=1
ce qui donne encore
n
n
1X
xk yk −
n
1X
xk
n
k=1
k=1
!
n
1X
yk
n
!
=
k=1
n
n
1 XX
(xk yk − xk y` )
n2
k=1 `=1
Or
n X
n
X
(xk yk − xk y` ) =
k=1 `=1
n X
n
X
X
xk (yk − y` ) =
k=1 `=1
xk (yk − y` )+
16`<k6n
X
xk (yk − y` )
16k<`6n
car lorsque k = ` le terme xk (yk − y` ) est nul.
Par changement d’indice, on peut réécrire la dernière somme
X
X
xk (yk − y` ) =
x` (y` − yk )
16k<`6n
et alors
n X
n
X
16`<k6n
X
(xk yk − xk y` ) =
k=1 `=1
(xk − x` ) (yk − y` )
16`<k6n
Les termes sommés sont alors tous de même signe, à savoir positif si les suites
(xi )16i6n et (yi )16i6n ont même monotonie et négatifs si ces deux suites sont de
monotonies contraires.
Au final, si les deux suites ont même monotonie alors
!
!
n
n
n
1X
1X
1X
xk
yk 6
xk yk
n
n
n
k=1
k=1
k=1
et si les deux suites sont de monotonies contraires alors
!
!
n
n
n
1X
1X
1X
xk yk 6
xk
yk
n
n
n
k=1
k=1
k=1
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