Sommes

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Sommes
Exercice 1 [ 02062 ] [correction]
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
a)
n
X
i=1
α+ai=α+
n
X
i=1
aib)
n
X
i=1
ai+bi=
n
X
i=1
ai+
n
X
i=1
bi
c)
n
X
i=1
αai=α
n
X
i=1
aid)
n
X
i=1
aibi=
n
X
i=1
ai
n
X
i=1
bi
e)
n
X
i=1
aα
i= n
X
i=1
ai!α f)
n
X
j=1
n
X
i=1
ai,j =
n
X
i=1
n
X
j=1
ai,j ?
Exercice 2 [ 02063 ] [correction]
Etablir l’une des trois formules suivantes :
a)
n
P
k=1
k=n(n+1)
2b)
n
P
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6c)
n
P
k=1
k3=n2(n+1)2
4
Exercice 3 [ 02064 ] [correction]
A partir des valeurs connues de
n
P
k=1
ket
n
P
k=1
k2, calculer :
a)
n
P
k=1
k(k+ 1)
b) 1.n + 2.(n−1) + · · · + (n−1).2 + n.1.
Exercice 4 [ 02065 ] [correction]
Calculer n
X
k=1
(−1)kk
Exercice 5 [ 02066 ] [correction]
Montrer que la suite de terme général un=
n
P
k=1
1
n+kest strictement croissante.
Exercice 6 [ 02067 ] [correction]
Montrer
∀n∈N,
n
X
k=0
k!6(n+ 1)!
Exercice 7 [ 02068 ] [correction]
Calculer n
X
k=1
k
(k+ 1)!
Exercice 8 [ 02069 ] [correction]
a) Calculer
p
X
k=1
kk!
b) Soit p∈N. Montrer que pour tout n∈[[0,(p+ 1)! −1]], il existe un (p+ 1)
uplet (n0, n1, . . . , np)∈Np+1 tel que
∀k∈[[0, p]] ,06nk6ket n=
p
X
k=0
nkk!
c) Justifier l’unicité d’une telle suite.
Exercice 9 [ 03640 ] [correction]
Soient (x1, . . . , xn)et (y1, . . . , yn)deux suites réelles monotones. Comparer
1
n
n
X
k=1
xk! 1
n
n
X
k=1
yk!et 1
n
n
X
k=1
xkyk
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
b) c) f)
Exercice 2 : [énoncé]
Par récurrence.
Exercice 3 : [énoncé]
a) En séparant la somme
n
X
k=1
k(k+ 1) =
n
X
k=1
k2+
n
X
k=1
k=n(n+ 1)(n+ 2)
3
b) On réécrit
1.n + 2.(n−1) + · · · + (n−1).2 + n.1 =
n
X
k=1
k(n+ 1 −k)
et on réorganise
n
X
k=1
k(n+ 1 −k)=(n+ 1)
n
X
k=1
k−
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(n+ 2)
6
Exercice 4 : [énoncé]
D’une part
2p
X
k=1
(−1)kk=
p
X
`=1
(−(2`−1) + 2`) = p
et d’autre part
2p+1
X
k=1
(−1)kk=p−(2p+ 1) = −(p+ 1)
Ainsi n
X
k=1
(−1)kk=n/2si nest pair
(−1)n(n+ 1)/2si nest impair
Exercice 5 : [énoncé]
un+1 −un=
n+1
P
k=1
1
n+1+k−
n
P
k=1
1
n+k=1 2n+2 +1 2n+1 −1 n+1 =1 2n+1 −1 2n+2 >0.
Exercice 6 : [énoncé]
Par récurrence sur n∈N, sachant
(n+ 1)! + (n+ 1)! = 2.(n+ 1)! 6(n+ 2)!
Exercice 7 : [énoncé]
n
P
k=1
k
(k+1)! =
n
P
k=1
(k+1)−1
(k+1)! =
n
P
k=1 1
k!−1 (k+1)! =
n
P
k=1
1
k!−
n
P
k=1
1
(k+1)! = 1 −1 (n+1)! .
Exercice 8 : [énoncé]
a) En écrivant k= (k+ 1) −1
p
X
k=1
kk! =
p
X
k=1
(k+ 1)! −k! = (p+ 1)! −1
b) Par récurrence forte sur p>0.
Pour p= 0 : ok
Supposons la propriété établie jusqu’au rang p>0.
Soit n∈[[0,(p+ 2)! −1]].
Réalisons la division euclidienne de npar (p+ 1)! :n=q(p+ 1)! + ravec
06r < (p+ 1)!.
Puisque 06n < (p+ 2)! on a 06q6p+ 1.
Par hypothèse de récurrence, on peut écrire r=
p
P
k=0
nkk!et en prenant np+1 =q
on a n=
p+1
P
k=0
nkk!.
Récurrence établie.
c) Supposons n=
p
P
k=0
nkk! =
p
P
k=0
n0
kk!avec les conditions requises.
Si np< n0
palors
p
X
k=0
nkk!6npp! +
p−1
X
k=0
k.k!=(np+ 1)p!−1< n0
pp!6
p
X
k=0
n0
kk!
Ceci est absurde donc nécessairement np>n0
ppuis par symétrie np=n0 p.
On simplifie alors le terme npp!et on reprend le principe pour conclure à l’unicité.
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Exercice 9 : [énoncé]
Etudions la différence
1
n
n
X
k=1
xkyk− 1
n
n
X
k=1
xk! 1
n
n
X
k=1
yk!=1
n2 n
X
k=1
nxkyk−
n
X
k=1
n
X
`=1
xky`!
ce qui donne encore
1
n
n
X
k=1
xkyk− 1
n
n
X
k=1
xk! 1
n
n
X
k=1
yk!=1
n2
n
X
k=1
n
X
`=1
(xkyk−xky`)
Or
n
X
k=1
n
X
`=1
(xkyk−xky`) =
n
X
k=1
n
X
`=1
xk(yk−y`) = X
16`<k6n
xk(yk−y`)+ X
16k<`6n
xk(yk−y`)
car lorsque k=`le terme xk(yk−y`)est nul.
Par changement d’indice, on peut réécrire la dernière somme
X
16k<`6n
xk(yk−y`) = X
16`<k6n
x`(y`−yk)
et alors n
X
k=1
n
X
`=1
(xkyk−xky`) = X
16`<k6n
(xk−x`) (yk−y`)
Les termes sommés sont alors tous de même signe, à savoir positif si les suites
(xi)16i6net (yi)16i6nont même monotonie et négatifs si ces deux suites sont de
monotonies contraires.
Au final, si les deux suites ont même monotonie alors
1
n
n
X
k=1
xk! 1
n
n
X
k=1
yk!61
n
n
X
k=1
xkyk
et si les deux suites sont de monotonies contraires alors
1
n
n
X
k=1
xkyk6 1
n
n
X
k=1
xk! 1
n
n
X
k=1
yk!
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