La résolution de problèmes - Groupe des Responsables en

La résolution de problèmes
Robert Lacroix, séminaire Salésien, Sherbrooke
robert.lacroix @ globetrotter.net
Le rayon du cercle circonscrit à un triangle
est plus grand que le double de celui du cercle inscrit.
Paul Erdôs (1913 • 1996)
Introduction
Résoudre des problèmes de mathématiques et de sciences
physiques est une activité extrêmement passionnante et gra-
tifiante. Cette activité permet de prendre connaissance de
relations qui existent dans les figures géométriques, rela-
tions qui surprennent par leur beauté ou leur simplicité ;
cette activité permet de mettre en oeuvre des relations tout
aussi surprenantes entre les nombres, relations que l'on
découvre « aisément » à l'aide de l'algèbre.
Je cite en exemple la propriété géométrique suivante pour
tous les triangles. ^
Exemple no 1
figure la
figure Ib
Dans le triangle RST, les points O, G et H sont respective-
ment le centre du cercle circonscrit, le barycentre (point
de rencontre des médianes) et l'orthocentre (point de ren-
contre des hauteurs) du triangle.
Ces trois points sont sur une ligne droite et sur cette ligne,
le segment GH est 2 fois plus long que le segment OG.
Cette belle propriété est une des merveilles de la géomé-
trie.
Exemple no 2
Prenons une propriété surprenante des nombres entiers :
le produit de 4 nombres entiers consécutifs donne toujours
un de moins qu'un carré parfait.
Par exemple :2x3x4x5 = 120= 121-1 = IP -1; 5 x 6 x
7x8 = 1680= 1681 - 1 =4P-1.
Un peu d'algèbre nous permet de rendre évidente cette belle
propriété des nombres entiers.
Devenir habile en résolution de problèmes exige de possé-
der un bon bagage de stratégies, de tactiques et bien sûr de
connaissances en mathématiques. Et certains problèmes
exigent de mettre en oeuvre la magie de la logique plutôt
qu'un fort bagage de connaissances.
Les exemples no 3 et 4 vont surprendre plus d'un lecteur
et plus d'une lectrice. Ils sont un délice pour de nombreux
élèves.
Exemple no 3
--€)—e-e—e-e—€)-
Sur une ligne droite sont placés une infinité de points équi-
distants qui sont les centres de cercles isométriques. Le
diamètre de chacun est inférieur à la distance qui sépare
les centres de 2 cercles consécutifs. Supposons un magi-
cien capable de colorer l'intérieur de chaque cercle soit en
rouge, soit en bleu; à chaque cercle, le magicien choisit sa
couleur. On peut prouver qu'il existe trois cercles de même
couleur, dont les centres sont les points A, M et B, tels que
le point M est au milieu du segment AB.
Parfois un problème nous apparaît impossible à résoudre
tant ce qui nous est demandé de trouver nous paraît peu
probable..
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Exemple no 4
Christian et Linda, un couple charmant, invitent trois cou-
ples d'amis à souper. Lorsque les amis sont arrivés, on pro-
cède à un échange de poignées de mains ou on s'embrasse
(gestes équivalents pour le problême). Christian, fin ob-
servateur, remarque que certaines personnes ne se donnent
pas la main. Bien sûr, les personnes formant un couple ne
se donnent pas la main. Christian demande à chaque per-
sonne à combien de personnes elle a donné la main. Il cons-
tate que chaque personne a donné un nombre différent de
poignées de mains. À combien de personnes Linda a-t-elle
donné la main ?
C'est un problème qui nous apparaît impossible à résou-
dre après une première lecture. Pourtant, la magie de la
logique nous permet de répondre assez facilement.
Sur le contenu des programmes
On fait apprendre au secondaire les transformations géo-
métriques du plan telles : la. translation, la rotation, la sy-
métrie, la symétrie glissée et l'homothétie, mais malheu-
reusement, sans réellement utiliser des transformations géo-
métriques pour résoudre des problèmes ou soutenir l'ar-
gumentation dans une solution.
Des problèmes en apparence impossibles à faire « à pre-
mière vue » ont une solution « évidente » après une trans-
formation géométrique.
Transformer pour...
...donner du sens, pour mieux voir et, bien entendu, pour
résoudre le problème.
Résoudre un problème est passionnant, offre un défi à re-
lever, un défi à notre intelligence. Résoudre un problème
peut mettre à rude épreuve nos habiletés.
Lorsque tu résous un vrai problème, tu te sens comme l'al-
piniste qui a gravi le versant d'une montagne pour attein-
dre le sommet, tu éprouves une joie profonde.
Pour être habile à résoudre des problèmes, tous les « coups »
sont bons, c'est le domaine des tactiques. Souvent une tac-
tique va surpasser la plus belle stratégie.
Exemple no 5
Imagine que tu doives transporter un sabre de 1,5 m de
long par train. « Aucun objet dont les dimensions excè-
dent un mètre ne peut être embarqué dans ce train », t'aver-
tit le conducteur.
Imagine-toi en train de discuter avec le conducteur du train.
Rien n'y fait, le conducteur refuse catégoriquement : « rien
de ce qui dépasse un mètre ne peut être transporté dans le
train », répète le conducteur.
Après quelques instants de réflexion, ton esprit est en ébul-
lition; l'éclair de génie vient de te frapper.
Tu acceptes, en souriant, la règle du transporteur. Tu pars
quelques instants avec ton sabre, et tu reviens; le conduc-
teur te laisse entrer dans le train. Bien sûr, le sabre est avec
toi dans le train.
Comment as-tu résolu le problême tout en respectant inté-
gralement la règle ?
Pour être habile à résoudre des problèmes, il faut maîtriser
des stratégies; c'est ce que nous ont enseigné un Georges
Polya ou un Alan Schoenfeld.
Dans ce qui suit, j'invite le lecteur à transformer l'appa-
rence des choses avant de se lancer dans la recherche d'une
solution.
Je soumets aux lectrices et aux lecteurs les beaux problè-
mes suivants :
Exemple no 6
Calcule le rapport entre l'aire du carré circonscrit et celui
qui est inscrit. Calcule le rapport entre l'aire du triangle
équilatéral circonscrit et celui qui est inscrit (NB : les cô-
tés correspondants sont parallèles).
figure no 1
Dans les deux figures qui précèdent transforme la figure pour
que la réponse « saute aux yeux ».
Les problèmes ci-dessous deviennent « inoffensifs » après
avoir effectué une transformation.
Exemple no 7
Dans la figure ci-dessous, nous avons un triangle ABC sur
les côtés duquel on a tiracé des triangles équilatéraux poin-
tant vers l'extérieur du triangle. Ces triangles équilatéraux
sont AB'C, AC'B et CBA'. Montre que les segments AA' et
BB' sont isométriques.
figure 3
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Exemple no 4
La figure ci-dessous nous montre un carré ABCD. Les seg-
ments BQ, CR, DS et AP ont la même longueur. Montre
que les segments PR et SQ sont perpendiculaires.
P B
figure 4
Exemple no 9
ABCD est un carré. Les angles CDE et DCE mesurent cha-
cun 15°. Prouve que le triangle AEB est équilatéral.
figure no 5
Deux autres exemples de problèmes dont la solution sera
facile à articuler après une transformation géométrique :
Exemple no 10
Dans la figure numéro 6, CD est la bissectrice de l'angle C
du triangle ABC. Du point M, milieu de AB on a tracé
ME parallèlement à CD oîi le point E est situé sur le côté
AC. Prouve que mAE = mEC + mCB.
Exemple no 11
ABCD est un carré. Le point E à l'intérieur du carré est tel
que mDE = 1, mAE = 2 et mBE = 3. Calcule l'angle AED.
figure no 7
Après t'avoir présenté ces beaux exemples de problèmes
dont plusieurs viennent de la géométrie, je t'invite à ré-
soudre les cinq problèmes qui suivent dont quatre relèvent
du calcul.
En mathématiques au secondaire on apprend à compter.
Problèmes de premier cycle (l"^, 2' sec., 12, 13 ans)
Considérons le vendredi 22 novembre 1963, à midi et demie.
Problème no 1 (V®, 2® sec.)
Quelle était la date et le jour de la semaine 53 jours plus tard?
Quelle heure était-il 53 heures et 50 minutes plus tard?
Quel était le mois de l'année 53 mois plus tard et en quelle
année était-ce?
Et si on posàit des questions semblables mais en disant 53
jours, 53 heures, 53 mois avant?
Problème no 2 (V®, 2® sec.)
En 1963, quel était le jour de la semaine le 4 juillet?
Et le jour de Noël de cette année-là?
Problème no 3 (V®, 2® sec.)
Féhx est né le 29 février 1716. Détermine le nombre d'an-
nées écoulées depuis sa naissance, où sa date d'anniver-
saire est tombée pour la première fois le même jour de la
semaine que celui où il est né?
Problème no 4 (V®, 2®, 3® sec.)
Caroline a à effectuer quelques calculs comme 100 x 99 et
elle obtient 9900; elle fait ensuite 99 x 98 pour obtenir
9702,95 X 94 qui donne 8930 et lorsqu'elle effectue 100 x
99 X 98 X 97 X 96 X 95 elle trouve que le résultat se ter-
mine par 3 zéros. De là, elle se prend à imaginer la valeur
qu'aurait 1000 x 999 x 998 x... x 2 x 1 et se pose la ques-
tion « par combien de zéros se terminerait le résultat ? ».
Au secondaire on apprend à examiner des figures en trois
dimensions.
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Problème no 5 (fin de 3®, 4®, 5® sec.)
(Examen d'admission en 4® secondaire,
Préfecture de Tokyo, 1995)
figure no 8b
La figure 8a illustre un prisme triangulaire. Le segment
AD mesure 4 cm, le segment DE mesure 8 cm et le seg-
ment EF mesure 6 cm. Les faces ABED et BEFC sont rec-
tangulaires et l'angle FED est droit.
Maintenant la figure 8b montre qu'on a coupé le prisme le
long d'un plan qui passe par les points A, C et E.
Tous les résultats des calculs demandés ci-dessous doivent
être des valeurs exactes.
Les points L, M et N étant les milieux des segments AC,
CE et EF,
a) calcule la longueur du segment AE.
b) calcule l'aire de la section triangulaire AEC.
Si on coupe le solide par un plan qui passe par les points
c) L,
M et N, calcule l'aire de la section du solide ainsi
déterminée.
d) Si on coupe le solide par un plan perpendiculaire à la
base FED et qui passe par les points E et L, détermine le
volume du solide créé dont un sommet est le point D.
Remarque
Ce problème est un des problèmes que les jeunes de fin de
secondaire (15 ans) ont eu à résoudre lors d'un examen
d'admission en secondaire (lO'^ année) qui a été admi-
nistré à tous les élèves de la préfecture de Tokyo en 1995.
Cet examen comportait 20 questions à développer dont près
de la moitié nécessitaient peu de temps de réflexion et vé-
rifiaient la rapidité de juger les données d'un problème et
la maîtrise des techniques de calculs numériques et algé-
briques. Par exemple, on a demandé de calculer 4a -5(a-l)
et de résoudre une équation quadratique aussi simple que
- 7x + 6 = 0. Le temps alloué pour répondre à 20 ques-
tions à développement était de 50 minutes; donc, pas une
minute à perdre.
Après avoir été saisi(e) par de beaux exemples de problè-
mes dont certains sont un beau défi à relever, après avoir
calculé des intervalles de temps, tu peux passer à l'étape
de comparaison de tes solutions d'un problème (et oui tu
peux en trouver plusieurs, c'est pas défendu, c'est même
préférable) avec celle esquissée ou proposée.
Afin de ne pas allonger indément l'article, le lecteur com-
prendra la nécessité de donner seulement une esquisse de
la solution de certains problèmes.
Solution de l'exemple no 1
Ce problème a déjà été traité dans de très beaux articles.
• Un écrit par Christian Boissinotte. ENVOL, juillet 95
en utiHsant la géométrie analytique.
• Un autre article a été écrit par Maurice Garançon, En-
vol no 96, juin 96. Dans cet article monsieur Garançon
effectuait une homothétie centrée au point G et dont le
rapport est -2. J'invite le lecteur à examiner de lui-même
cette belle approche
• Un dernier article a été écrit sur le sujet par Robert Lacroix,
Envol, juin 97, en fusionnant algèbre et géométrie.
L'article de monsieur Maurice Garançon a été une vraie
révélation pour moi et m'a motivé à étudier en profon-
deur les transformations géométriques comme outil de
résolution de problèmes. Dans la bibliographie à la fin
de l'article apparaissent quelques titres de beaux livres
qui traitent du sujet.
Solution de l'exemple no 2
Si n est le plus petit de 4 nombres entiers consécutifs, alors
P - n{n- l)(n - 2)(n - 3) est leur produit.
La stratégie consiste à supposer que la proposition est vraie
{P est un carré parfaiO et montrer que n(n - l)(n - 2)(n - 3)-l-l
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est aussi un carré parfait : n{n +!)(« + 2)(n + 3) + 1 = +
+ 1 In^ + 6n + 1. Devant une telle expression, un élève
de 4® secondaire ne sait pas quoi faire. Mais il doit prou-
ver que c'est un carré. Mais le carré de quoi? Le carré
d'un polynôme du deuxième degré bien sûr; lancé sur cette
piste il peut trouver ce qu'il cherche.
Faire pratiquer la tactique : disposer les facteurs dans
un autre ordre :
n(n+3) X (n+l)(n+2) +1 = (n^ + 3n){n^ + 3n+2) + l =
(n} + 3ny + 2{n} + 3n) + 1. La dernière expression est le
carré de + 3n+ 1). Bien entendu, il faut aider la plupart
des élèves à formuler la conclusion.
Solution de l'exemple no 3
C'est la magie de la logique. On suppose que c'est le con-
traire qui est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de cercle
équidistant à deux autres cercles de même couleur que lui.
La stratégie est d'essayer de prouver qu'il existe un cas
qui ne respecte pas l'hypothèse. On arrive à une contradic-
tion. Donc la règle est vraie.
Solution de l'exemple no 4
Je trouve ce problème très beau. Il a apparu dans divers
concours de mathématiques dont celui de l'AMQ (2000)
oii 10 couples étaient invités, je crois.
Après avoir bien compris l'énoncé du problème, on part à
la chasse à l'interprétation des données.
1. Il y a 8 personnes impliquées dans le problème; ainsi,
Christian s'informe auprès de 7 personnes; ça inclut
Linda, son épouse.
2. Une personne peut donner la main à un maximum de 6
personnes.
3. Comme les nombres de poignées de mains valaient
tous d'une personne à l'autre, il y a une personne qui a
donné la main à tout le monde (sauf son conjoint bien
sûr) et une personne n'a donné la main à aucune des
personnes. Cette dernière situation déroute beaucoup
de personnes, jeunes et moins jeunes.
(Qui est-ce qui ne sait pas vivre dans le groupe!)
Là on reste déroutés, il nous semble impossible de savoir à
combien de personnes Linda a donné la main. Comme elle
est l'hôtesse, c'est elle qui a donné la main à 6 personnes.
Ah oui? Est-ce une donnée, une conclusion logique ou une
convention sociale?
Une tactique :
• Représenter par des symboles adéquats les divers
éléments du problème.
• Faire un graphique ou un dessin, un schéma qui repré-
sente la situation.
En mathématiques 514 les élèves apprennent quelques no-
tions de la théorie des graphes. À souhaiter qu'ils appren-
nent à faire des graphes quand la situation s'y prête.
Disposons aux sommets d'un heptagone les personnes
auprès desquelles Christian s'est informé.
1.
2 3
figure 4a
figure 4c
La figure 4a, illustre cette situation. Les points représen-
tent les 8 personnes. Le nombre associé à un point repré-
sente le nombre de poignées de mains qu'une personne a
donné. Le point central identifié par la lettre C représente
Christian.
Relions par un segment deux personnes lorsqu'elles se sont
donné la main. Par exemple la figure 4b nous montre que
la personne no 6 a donné la main aux personnes numéro-
tées 5, 4, 3, 2, 1 et à Christian pour faire le compte de 6
poignées de mains.
Or, la personne no 6 n'a pas donné la main à sa personne
conjointe, donc les personnes 6 et G forment un couple.
Dans la figure 4c, nous remarquons que la personne no 5 a
donné la main aux personnes no 6,4,3 et 2 et nécessairement
à Christian (pas par convention sociale, mais pour avoir le
compte juste!). EUe n'a pas donné la main à la personne no 1
car cette dernière avait donné la main à la personne no 6.
Donc les personnes 5 et 1 forment un couple.
Vous comprenez que les personnes no 4 et 2 forment un
couple. Remarquons que la personne 4 a donné bien sûr la
main à Christian et à la personne no 3. Donc les couples
sont (6, G) (5, 1) (4, 2). Il reste Christian et la personne
no 3 qui n'est autre que Linda.
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