Séminaire BOURBAKI 18e année, 1965/66, n Novembre 1965 LE

Séminaire BOURBAKI1
18e année, 1965/66, n◦297 Novembre 19652
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LE GROUPE DE BRAUER.4
II. THÉORIE COHOMOLOGIQUE5
ALEXANDER GROTHENDIECK6
Résumé. This file represents a L
A
T
EX transcription of Le groupe de Brauer II. Théories co-
homologiques .
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II. Théorie cohomologique.7
Nous continuons l’étude [5], cite dans la suite comme GB I.8
0. Compléments a l’expose précédent.9
Comme résultat spécifique, dans l’interprétation du groupe de Brauer d’un préschéma Xen10
termes de formes tordues des groupes linéaires G6l(n)Xsur X(GB I, no7), signalons le résultat11
suivant du essentiellement a CHEVALLEY, et qu’il convient de rapprocher de GB I 4.2, 5.1 et 8.212
(qui donnent les résultats spécifiques correspondants, pour l’interprétation du groupe de Brauer13
en termes d’Algèbres d’Azumaya, resp. en termes de schémas de Severi-Brauer) : les schémas en14
groupes Gsur X, localement isomorphes pour la topologie étale (ou pour la topologie fpqc, ce-15
la revient au même) à G6l(n), sont exactement ceux qui sont affines et lisses sur X, et dont les16
fibres géométriques sont isomorphes au groupe G6l(n). La forme infinitésimale de ce résultat s’écrit17
simplement18
H2(G,g)= 0,
où Gest un groupe G6l(n)sur un corps algébriquement clos, et gson algèbre de Lie sur laquelle G19
opère par la représentation adjointe, le H2étant celui de (SGAD I [1]). Le fait que le sous-schéma20
en groupes des composantes connexes de Aut grX(G6l(n)X)ne soit autre que le groupe GP (n)Xdes21
automorphismes intérieurs, s’interprète sous forme infinitésimale par la formule22
H1(G,g)= 0.
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Ces résultats sont en fait valables pour tous les ”schémas en groupes réductifs”, comme il a été23
établi par CHEVALLEY et DEMAZURE (SGAD XXIII et XXIV).24
Signalons un autre résultat spécifique dans l’interprétation de Br (X)en termes de formes des25
G6l(n)X, savoir un critère pour qu’une telle forme Gsoit localement triviale au sens de Zariski,26
(c’està-dire triviale, si Xest un schéma local) : il faut et il suffit pour cela que Gadmette, localement27
pour la topologie de Zariski, un tore maximal ”trivial” i.e. isomorphe à (Gm X )n. C’est également28
la un résultat valable pour tous les schémas en groupes réductifs (SGAD XXIV), mais qui se réduit29
pour des formes intérieures de G6l(n)X, à l’aide du dictionnaire donne dans GB I 7.5, à la remarque30
évident qu’une algèbre d’Azumaya Asur Xest triviale au voisinage d’un point xsi et seulement31
si elle admet au voisinage de ce point une sous-Algèbre étale maximale Ltriviale, ce qui résulte32
aussitôt de GB I 5.4 (en fait il suffit que Spec (L)admette une section).33
On a également un résultat de locale trivialité en termes de fibres de Severi-Brauer : si un tel34
fibre admet une section, il est ”banal” i.e. associe à un Module localement libre sur X, ce qui montre35
que Pest localement trivial au sens de Zariski si et seulement si il admet une section localement au36
sens de Zariski. Pour montrer quo si Padmet une section, il est banal, on note qu’une section de37
Ppeut s’interpréter comme un diviseur de Cartier relatif, de degré projectif 1 sur toutes les fibres,38
du fibre de Severi-Brauer dual POde P. Ce diviseur relatif définit un Module inversible Lsur PO,39
et si g:PO→Xest la projection, on vérifie aisément, par les techniques standard, que g∗(L)=E40
est un Module localement libre sur X, et que POest canoniquement isomorphe au fibre projectif41
P(E), donc Pest isomorphe à P˘ E. On prouve de la même façon42
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que Pest banal si et seulement si il existe sur Pun Module inversible Ltel que Linduise sur les43
fibres géométriques le fibre inversible standard de degré 1.44
Signalons que la notion et le nom de variété de Severi-Brauer sur un corps sont dus à F. CHÂ-45
TELET [3], qui a mis en évidence le lien de ces variétés avec le groupe de Brauer. Il convient46
également d’indiquer le lien du groupe de Brauer avec la théorie des représentations des groupes,47
qui a joue un rôle important dans des recherches classiques sur cette notion. Soient Gun groupe, k48
un corps, k0une extension galoisienne de k(par exemple la clôture séparable de k), Vun vectoriel49
de dimension finie sur k, donnons-nous une représentation absolument irréductible de Gpar des50
automorphismes de V0=V⊗kk0, et supposons que cette représentation soit équivalente à celles51
qu’on en déduit par des opérations du groupe de Galois de k0sur k(ce qui s’exprime simplement52
par le fait que la caractère de la représentation considérée est à valeurs dans k, lorsque kest de53
caractéristique nulle) On se demande sous quelle condition la représentation donnée est équivalence54
à la représentation déduite par extension du corps de base d’une représentation de Gpar automor-55
phismes de V. Introduisant l’algèbre Adu groupe G, à coefficients dans k, la donnée de la classe de56
la représentation linéaire absolument irréductible u équivaut, grâce au théorème de Wedderburn, à57
la donnée d’une algèbre quotient B0de A0=A⊗kk0qui soit isomorphe à une algèbre de matrices58
Mn(k0); l’hypothèse d’invariance signifie que ce quotient est stable par les opérations du groupe59
de Galois Gal (k0/k)sur A0, ou ce qui revient au même, provient d’une algèbre quotient Bde A.60
Comme B⊗kk0'B0,Best nécessairement une algèbre d’Azumaya, et on constate aussitôt que le61
problème pose a une solution si et seulement si cette dernière est62
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triviale, i.e. si sa classe dans Br (k)est nulle. Bien entendu, on pourrait se débarrasser de l’hypo-63
thèse que k0/ksoit galoisienne, et remplacer kpar une base quelconque, en reformulant le problème64
en termes de faisceaux fpqc ; on laisse ce plaisant exercice au soin du lecteur.65
1. Résultats préliminaires sur les Hi(X,Gm).66
Lemme 1.1.Soient Xun préschéma quasi-compact et quasi-sépare (par exemple un préschéma67
noethérien), x∈X,FXun faisceau sur x=Spec k(x)(au sens de la topologie étale SGAA VII68
[2]), ix:x→Xle morphisme canonique. Alors les faisceaux Rqix∗(Fx)sur Xsont des faisceaux de69
torsion pour q≥1, et les groupes Hq(X,ix∗(Fx)) sont des groupes de torsion pour q≥1.70
On utilise simplement le fait que la cohomologie du spectre d’un corps, et plus généralement71
d’un schéma dont l’espace sous-jacent est fini et discret, est de torsion en dimension ≥1. Ceci, et72
le calcul des fibres des Rqix∗(Fx)(SGAA VIII 5.2) prouve que ces faisceaux sont des faisceaux de73
torsion pour q≥1. Il s’ensuit alors que Hp(X,Rqix∗(Fx)) est un groupe de torsion pour tout p,74
compte tenu de l’hypothèse sur X(SGAA IX), et la deuxième assertion du lemme résulte alors de75
la suite spectrale de Leray76
(1) Ep,q
2=Hp(X,Rqix∗(Fx)) =⇒H∗(x,Fx)
Corollaire 1.2. Sous les conditions de 1.1 sur X,soit R∗
Xle faisceau des fonctions rationnelles77
inversibles sur X. Supposons que Xn’ait qu’un nombre fini de composantes irréductibles. Alors les78
groupes HqX,R∗
Xsont de torsion pour q≥1.79
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On applique 1.1 aux points maximaux xde X, et aux faisceaux des fonctions rationnelles inver-80
sibles sur Spec (OX,x).81
Supposons de plus que Xsoit réduit, ou noethérien et sans cycles associes immerges, de sorte82
que l’homomorphisme canonique Gm X →R∗
Xde faisceaux étales sur Xest injectif. On a donc une83
suit exacte84
(2) 0→Gm X →R∗
X→DivX→0,
où DivX(faisceau des diviseurs de Cartier) est défini comme le faisceau quotient. Alors la suite85
exacte de cohomologie et 1.2 donnent :86
Corollaire 1.3. Supposons Xnoethérien sans cycle premier immerge, ou Xquasi-compact, quasi-87
sépare, réduit et n’ayant qu’un nombre fini de composantes irréductibles. Alors pour q≥1, l’homo-88
morphisme89
Hq(X,DivX)∂ −→ Hq+1 (X,Gm X )
est un isomorphisme mod groupes de torsion.90
Proposition 1.4. Soit Xun préschéma noethérien. Supposons que les anneaux sensibilises stricts91
(SGAA VIII 4.4) des anneaux locaux de Xsoient factoriels, en d’autres termes que pour tout X0 92
étale sur X, les anneaux locaux de X0soient factoriels (hypothèse satisfaite, en vertu de Auslander-93
Buchsbaum, si Xest régulier). Alors le groupes Hq(X,Gm)sont des groupes de torsion pour q≥2.94
En vertu de 1.3 il revient au même de dire que les Hq(X,DivX)sont des groupes de torsion pour95
q≥1. Or l’hypothèse faite sur Xpeut aussi s’exprimer en disant que le faisceau DivXdes diviseurs96
de Cartier coïncide avec le faisceau Z1
Xdes diviseurs de Weil, lequel peut s’écrire97
(3) Z1=G
x∈X(1)
ix∗(ZX),
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