FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 CAHIER 2 ET CORRIGÉ

FORMATION INTERMÉDIAIRE
MAT 2021
CAHIER 2
ET
CORRIGÉ
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
TABLE DES
MATIÈRES
I
1.0
NOTIONS ALGÉBRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
1.2
1.3
2.0
1
Présenter le terme ?algèbre” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Définir les termes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Calculer la valeur numérique d'une expression algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
OPÉRATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1
Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Réduire des termes semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Calculer la somme de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
2.3
12
15
16
18
Soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Calculer la différence de monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Calculer la différence de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Simplifier des expressions algébriques contenant
des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
21
22
23
Multiplication
27
2.3.1 Appliquer la loi des exposants pour la multiplication . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Calculer le produit de plusieurs monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Calculer le produit d'un polynôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
30
31
33
34
35
24
26
DI-AM-91-12-06
BA-PG\98-03
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
TABLE DES
MATIÈRES
II
2.3.4 Calculer le produit d'un binôme par un binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Élever un monôme à une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 Appliquer la loi des exposants pour la division . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Calculer le quotient d'un monôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Calculer le quotient d'un polynôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
3.0
36
39
42
44
45
47
48
53
54
55
56
57
Simplifier des expressions algébriques en respectant
l'ordre des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Exercice 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
EXERCICE DE RENFORCEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
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ALGÈBRE
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2
THÉORIE
1
1.0
NOTIONS ALGÉBRIQUES
1.1
PRÉSENTER LE TERME ?ALGÈBRE”
L'algèbre est née lorsque les mathématiciens ont pris la liberté de remplacer des nombres par
des lettres ou des symboles et qu'ils ont appris à calculer sur ces objets. Naturellement, toutes
les habiletés acquises en arithmétique s'appliquent, mais l'algèbre est une ?nouvelle manière
de faire” pour résoudre des problèmes.
Expressions arithmétiques
3+3
32
2 (3) - 6
2 (3) + 3 (8)
Expressions algébriques
x + x
x2
2x - 6
2x + 3y
La connaissance de cette branche des mathématiques est essentielle dans plusieurs domaines
tels que le génie, l'exploration spatiale, la comptabilité, l'architecture et évidemment les
sciences.
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ALGÈBRE
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2
THÉORIE
2
1.2
DÉFINIR LES TERMES DE BASE
En algèbre, les nombres sont représentés par des symboles, généralement des lettres. Une
même lettre peut être utilisée dans divers problèmes, mais le nombre qu'elle remplace peut
varier. Ces lettres sont appelées des VARIABLES (une lettre peut avoir différente valeur;
elle est variable). Les nombres qui les accompagnent sont appelés des CONSTANTES (un
nombre a toujours la même valeur; il est constant). On se sert souvent de lettres telles que
x, y, z, a, b, c comme variables.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
Dans 2x, 2 est le constant,
x est la variable.
2)
Dans -ab, -1 est le constant (il est inutile d'écrire -1),
ab sont les variables. Remarques
1.
Par convention, le produit d'un constant et d'une variable ou de plusieurs variables
s'écrit sans le symbole de multiplication.
Ainsi 3 x b
s'écrit 3b
et 4 x a x y
s'écrit 4ay.
2.
On respecte l'ordre alphabétique en écrivant les variables.
Ainsi on a xyz et non yxz
et ab et non ba.
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THÉORIE
3
EXPRESSION ALGÉBRIQUE
Une expression algébrique est un ensemble de nombres et de variables réunis par l'addition,
la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation à une puissance, l'extraction déraciné.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
x2 + 2xy + y2
2)
5
a + b
3)
7x3
4)
——
%2x
TERME
Un terme est une expression composée du produit de nombres et de variables. Parfois un
terme comprend seulement un nombre. Dans le terme, on a donc une partie numérique et/ou
une partie littérale.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
x2 + 6x - 9 est une expression algébrique qui contient 3 termes.
1er terme : x2
2e terme : + 6x
3e terme : - 9
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2
THÉORIE
4
2)
a2 + a contient 2 termes.
2
3)
Dans l'expression algébrique 6a3 :
6 est la partie numérique;
a3 est la partie littérale.
POLYNÔMES
On donne souvent le nom de polynôme à une expresssion algébrique. Quelques polynômes
ont reçu des noms particuliers.
Monôme est une expression algébrique contenant un terme.
Binôme est une expression algébrique contenant deux termes.
Trinôme est une expression algébrique contenant trois termes.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
Monômes
i)
ii)
iii)
2)
2a
(a + b)
a
x+b
Binômes
i)
ii)
iii)
x=4
(6x + 7y) + 4
3x + 4a
7
5
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2
THÉORIE
5
3)
Trinômes
i)
ii)
iii)
x2 + 6x + 5
a + b + (2c + d)
x + 2y + z 4
COEFFICIENT
Dans l'expression 4 x 9 = 36 :
4 et 9 sont des facteurs;
36 est le produit.
Dans le monôme 5x :
5 et x sont des facteurs ou des coefficients;
5 est le coefficient numérique;
x est le coefficient littéral.
EXPOSANT
Un exposant est un nombre ou une lettre qui indique le nombre de fois qu'une variable est
multipliée par elle-même.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
5 x 2
TTT
* * .)))))))))))))))))))> exposant
* .)))))))))))))))))))))> variable
.))))))))))))))))))))))Q> coefficient numérique
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CAHIER
2
THÉORIE
6
2)
Dans 5x, l'exposant est 1.
3)
Dans ay, l'exposant est y.
Remarques
1.
2.
3.
On n'écrit pas les coefficients 1 et -1 devant une variable. Ainsi, 1x s'écrit x et -1x
s'écrit -x.
Dans le cas de coefficient fractionnaire de numérateur égal à 1 ou à -1, on n'écrit que
le dénominateur. Ainsi, 1a s'écrit a et -1a s'écrit -a.
4
4
4
4
On n'écrit pas l'exposant d'une variable lorsque cet exposant est 1. Ainsi, 5a1 s'écrit
5a.
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ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
1
7
1.
2.
3.
Indiquer le nombre de termes dans chacun des polynômes suivants et donner le nom
précis de chacun.
a.
3x - 5
f.
3x2 + 6x + 9
b.
4x2
g.
(2a + 3b + c)
c.
a
h.
abc
d.
1/2x + 3
i.
1/x + 2/y + 3/z
e.
x+5
y
j.
5x - (2a + b) - 8c
Soit le polynôme 2x2 - x - 4.
a.
Écrire le coefficient numérique du premier terme.
b.
Écrire le terme constant.
c.
Écrire l'exposant du premier terme.
d.
Combien de termes contient-il?
e.
Écrire le coefficient numérique du deuxième terme.
Nommer les variables dans les expressions suivantes.
a.
2x
c.
y2
b.
bh
2
d.
2 (a + b)
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ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
8
1.3
CALCULER LA VALEUR NUMÉRIQUE D'UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE
La valeur numérique d'une expression algébrique est le résultat obtenu en substituant aux
variables les valeurs qu'elles représentent et en effectuant les opérations indiquées.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
Évaluer x - y + 5 pour x = 10 et y = -2.
x - y + 5 = 10 - (-2) + 5
= 10 + 2 + 5
= 12 + 5
= 17
2)
Évaluer -3xy pour x = 2 et y = 6.
-
3)
3xy = -3 (2) (6)
= -6 (6)
= -36
Évaluer 3cd2 pour c = 1 et d = ­3.
3cd2 = 3 (1) (-3)
2
= 3 (1) (9)
= 3 (9)
= 27
4)
[priorité de l'exponentiation]
Évaluer -x2 + 5x + 6 pour x = ­3.
- 2
x + 5x + 6
=
=
=
=
=
-
(-3)2 + 5 (­3) + 6
- +
( 9) - 15 + 6
9 - 15 + 6
24 + 6
18
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ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
9
5)
Évaluer x2 - 4 pour x = ­5.
3
x2 - 4 = (-5)2 - 4
3
3
= 25 - 4
3
= 21
3
= 7
MAT 2021
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ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
2
10
1.
Évaluer les expressions suivantes.
a.
x+6
pour x = 5
b.
-
c.
50 + x pour x = -3
d.
2x - 6
pour x = 5
e.
t-2-w
pour t = 5 et w = -6
f.
25x
pour x = 4
g.
10y
pour y = -5
h.
5a
pour a = 0
i.
-
4xy
pour x = -3 et y = 6
j.
m
4
pour m = -20
k.
a
b
pour a = -1 et b = -1
l.
3x
6
pour x = 0
m.
x (x - 5)
pour x = 10
n.
-
3x2 - 6
2
pour x = ­1
o.
-
2cd3
pour c = 2 et d = ­2
p.
x2
5
pour x = 25
60 + y pour y = 6
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ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
2
11
q.
a2 + b2 - c2
pour a = 1, b = 0 et c = -3
r.
4x
3
pour x = -3
s.
5x2 - 3x + 4
pour x = 1
t.
3x - (y2 + 9)
pour x = 5 et y = -2
u.
(x - 2)(x - 3) pour x = 5
v.
6 (y - 4)2
pour y = 7
w.
(2x)3
pour x = -2
x.
2x2 - 5 pour x = 7
3
y.
2x2 - 5 pour x = -2
3
z.
-
x
5
pour x = -15
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ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
12
2.0
OPÉRATIONS
2.1
ADDITION
2.1.1 Réduire les termes semblables
TERMES SEMBLABLES
On appelle termes semblables, les termes qui sont formés des mêmes variables affectés
respectivement des mêmes exposants, quels que soient leurs coefficients numériques et les
signes.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
4x et -3x sont des termes semblables.
2)
5x2y et x2y sont des termes semblables.
3)
8m2n et 4mn2 ne sont pas des termes semblables.
RÉDUCTION DE TERMES SEMBLABLES
La réduction est l'opération par laquelle on remplace plusieurs termes semblables par un seul.
Il s'agit d'additionner les coefficients numériques : cette somme devient le coefficient d'un
terme unique semblable aux termes réduits.
Tous les principes établis pour les opérations sur les entiers, s'appliquent dans les opérations
sur les monômes.
MAT 2021
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ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
13
Cependant, on ne peut procéder à l'addition de monômes que s'ils sont semblables. L'addition
de 5a et 4b ne se fait pas plus que celle de 5 oranges et 4 autos. Dans la pratique, on groupe
tous les monômes semblables et on en fait la réduction.
TABLEAU DES LOIS DE L'ADDITION
1er cas :
La somme de deux termes positifs est toujours
un terme positif.
4x + 6x = 10x
2e cas :
La somme de deux termes négatifs est toujours
un terme négatif.
4x + (-6x) = -10x
3e cas :
La somme d'un terme positif et d'un terme
négatif est :
a)
parfois un terme positif;
4x + 6x = 2x
b)
parfois un terme négatif.
4x + (-6x) = -2x
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
14
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))-
Réduire les termes semblables suivants.
1)
14x - 2x = 12x
ÆÈÇ
8a2b - 5a2b - 13a2b + a2b - 7a2b
2)
=
=
=
=
3)
=
ÆÈÇ
3a2b - 13a2b + a2b - 7a2b
ÆÈÇ
-
ÆÈÇ
-
9a2b - 7a2b
-
16a2b
6ab - 6ab
0
-
4)
=
5)
=
10a2b + a2b - 7a2b
-
6m - m
7m
14x + a
14x + a
[-m = -1m]
MAT 2021
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ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
3
15
1.
Réduire les termes semblables.
a.
7a + 3a
h.
12y - 26y
b.
9x + 5x
i.
10x + 2x - 5y
c.
15y - 5y
j.
9x - 4x - 3x
d.
-
2a + 4y
k.
-
e.
3m - m
l.
10a2 - 13a2 + 16a2
f.
2x - 10x
m.
5ab2 + 8ab2 - 3ab2 - 6ab2
g.
6a - 12a
n.
5xy3 - 11xy3 - 2xy3
12x + x - 2x
MAT 2021
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ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
16
2.1.2 Calculer la somme de polynômes
Pour calculer la somme de polynômes, on peut disposer les expressions d'une des deux
manières suivantes.
1.
HORIZONTALEMENT : poser les termes semblables de sorte qu'ils se
suivent.
Soit à additionner :
On a :
2.
2x + 3y + 4 et 5x - 2y - 3.
2x + 3y + 4 + 5x - 2y - 3
= 2x + 5x + 3y - 2y + 4 - 3
= 7x + y + 1
VERTICALEMENT : poser les termes semblables les uns sous les autres en
formant des colonnes. Si un terme manque, on laisse un espace.
Soit à additionner :
On a :
2x + 3y + 4 et 5x - 2y -3.
2x + 3y + 4
+ 5x - 2y - 3 7x + y + 1
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))-
Calculer la somme des polynômes suivants.
1)
5x - 6y et 2x - 3y
5x - 6y
2x - 3y
7x - 9y
MAT 2021
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ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
17
2)
a2 + a - 4 et 2a - 3
a2 + a - 4
2a - 3
a2 + 3a - 7
3)
3a - 11b + 5c ; 6b - 5a et 5b - c + a
3a - 11b + 5c
5a + 6b
a + 5b - c
a
+ 4c
[-11b + 6b + 5b = 0]
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
4
18
1.
2.
Effectuer les additions suivantes.
a.
3x - 2y
5x + 3y
b.
x + 6y
x - 6y
h.
i.
-
2x2 + 3xy - 5y2
3x2 - 5xy + 4y2
8a - 6b
5a + 3b
a - b
c.
5x - 6y
-
3x - 4y
j.
x2 + y2 + 4
- 2
x + y2
d.
-
4a + 8b
a - 10b
k.
-
e.
2m2 + n2
- 2
m - n2
l.
5a2 - 3a + 2
3a2 + 4a - 3
9a2 - 3a + 5
f.
2x - 3y - 2
x - 2y + 4
m.
3a + 2b
- 2b - 5
4a + 15
g.
2x + 3y + 4z
­
x - y - z
n.
2x2 + 3x + 7
3x2 - 6x - 11
4x2 + 2x - 5
5x - 3y
7x
+ 2z
5y - 3z
Additionner horizontalement.
a.
2x + 5x + 7
e.
7x + 2 - 2x
b.
3y - y + 20
f.
3x - 2 - 2x
c.
6x - 10x + 5
g.
5x - 3 + 10x + 20
d.
15 + 4x - 20x
h.
-
2x + 3 - 25x - 3
MAT 2021
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ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
19
2.2
SOUSTRACTION
2.2.1 Calculer la différence de monômes
Auparavant, on a vu que la soustraction était l'inverse de l'addition, c'est-à-dire, pour
soustraire un nombre, on additionnne son opposé.
Soustraire un monôme revient à additionner son opposé. Comme pour l'addition, on ne peut
opérer qu'avec des monômes semblables.
SOUSTRACTION
(+3x) - (­2x)
(+3x) + (+2x)
(-7x) - (+2x)
(-7x) + (­2x)
ADDITION
= -9x
= 5x
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
Soustraire -20a2 de -16a2.
1)
-
16a2
-
20a2
Soustraire 4a de 7a.
=
16a2
S))))))>
-
2)
-
7a - (+4a)
7a + (-4a) ou 7a - 4a
[nombre à soustraire : -20a2]
+
20a
2
4a2
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
20
=
3)
3a
Soustraire le second du premier.
-
-
-
3a2bc
5a2bc S))))))>
-
+
+
3a2bc
5a2bc
2a2bc
Remarques
1.
2.
Il est possible de franchir mentalement certaines étapes.
Les parenthèses ne sont pas toujours nécessaires pour indiquer l'opposé d'un terme.
+)))))))),
*Exemple *
.))))))))­
(4xy2) - (7xy2)
= 4xy2 + (-7xy2)
= 4xy2 - 7xy2
= -3xy2
[faire mentalement cette étape]
[enlever les parenthèses]
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
5
21
1.
Soustraire.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2.
i.
g.
h.
20a2b
j.
k.
l.
3x3y de -13x3y
5x2m de -20x2m
de -40a2b
21a2 de -21a2x
16x2y3 de 19x2y3
x2y3z de -x2y3z
Soustraire le deuxième monôme du premier.
a.
b.
c.
d.
e.
3.
5x de 8x
4m de 6m
10xy de -9xy
3x de -3x
7y de 30y
3a2b de -9a2b
39b2; 12b2
12b2; 39b2
5a; 4b
5a2b; 5a2b
5a2b; -5a2b
f.
g.
h.
i.
j.
50y; 50y2
32d2; 10d2
32d2; -10d2
32d2; ­10d
4z2; ­z
Soustraire le second monôme du premier.
a.
-
b.
-
3a2bc
4a2bc
d.
a3cd2
4a3cd2
5x2y
3x2y
e.
-
- 2
c.
-
a bm
4a2bm
-
m3nx
m3nx
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
22
2.2.2 Calculer la différence de polynômes
Pour soustraire des polynômes, il faut :
1.
2.
changer les signes du polynôme à soustraire;
effectuer la réduction de termes semblables, c'est-à-dire, procéder comme dans
l'addition.
Soit à soustraire -20a2 + b de -16a2 + 2b.
-
-
-
16a2 + 2b
16a2 + 2b
20a2 + b S))))))))+>20a2 - b
4a2 + b
Remarque
L'on change tous les signes du polynôme à soustraire.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))-
Effectuer les soustractions suivantes.
1)
-
2a + 3b
2a + 3b
a + 2b S)))))))))->a - 2b
a + b
-
5x - 8
5x - 8
3x - 2 S)))))))))>3x + 2
8x - 6
2)
3)
-
4a - 2b + 3c
2a
+ 4c S))))))))>
4a - 2b + 3c
2a
- 4c
2a - 2b - c
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
6
23
1.
Effectuer les soustractions.
a.
-
7x + 2y
2x - 4y
g.
2a + 3
a -2
-
4abc + ef
11abc + 2ef
h.
4x + 6
2x + 6
12a + 7b
20a + 11b
i.
6x2 - 5x + 2
3x2 - 2x - 3
23a2 - b2
17a2 - b2
j.
2a + 3b + 5
a - 4b + 5
-
b.
c.
-
d.
-
e.
2x + 3
3x + 4
f.
4x
-
2x + 3
k.
x2 + xy + y2
x2 - xy + y2
l.
3x2 - 4xy + y2
2x2 - 3xy - 4y2
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
24
2.2.3 Simplifier des expressions algébriques contenant des parenthèses
En mathématique, on utilise souvent des parenthèses pour grouper des quantités formant un
tout.
Ainsi, (5 + 2 - 3) est le nombre positif 4.
Il existe plusieurs signes de regroupement :
1.
2.
3.
les parenthèses proprement dites
les crochets
les accolades
( )
[ ]
{ }
Pour supprimer les parenthèses, on s'appuie sur les règles suivantes.
1re règle
Si le signe (+) précède la parenthèse, on peut la supprimer sans changer
aucun signe.
+)))))))),
*Exemple *
.))))))))­
6a + (5b - 4c - 16a)
= 6a + 5b - 4c - 16a
= -10a + 5b - 4c
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
25
2e règle
Si le signe (-) précède la parenthèse, on peut la supprimer à condition de
changer tous les signes des termes à l'intérieur de la parenthèse.
+)))))))),
*Exemple *
.))))))))­
=
=
x2 + y2 - (2x2 + y2) - (-2x2 + xy)
x2 + y2 - 2x2 - y2 + 2x2 - xy
x2 - xy
3e règle
Quand une expression contient plusieurs signes de regroupement (parenthèses,
crochets, accolades) on les supprime successivement en commençant par ceux
qui se trouvent à l'intérieur.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
=
=
=
=
2x2 - 2y2 - [x2 - (2xy - 4x2)]
2x2 - 2y2 - [x2 - 2xy + 4x2]
2x2 - 2y2 - [5x2 - 2xy]
2x2 - 2y2 - 5x2 + 2xy
3x2 + 2xy - 2y2
=
=
=
10a - {4b - [2c - (4a - b - c)]}
10a - {4b - [2c - 4a + b + c]} [éliminer les ( )]
10a - {4b - [3c - 4a + b]}
10a - {4b - 3c + 4a - b}
[éliminer les [ ]]
1)
2)
[éliminer les ( )]
[éliminer les [ ]]
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
7
26
1.
=
=
=
10a - {3b - 3c + 4a}
10a - 3b + 3c - 4a
6a - 3b + 3c
Supprimer les parenthèses.
[éliminer les { }]
a.
(a2 + 2ab + b2 + a2 - 2ab + b2) + (a2 + b2)
b.
x + [(y - x) - (y - z)]
c.
(a - 6 + bc) - (2c - 2bc - 3a) - (3c - 4a + bc)
d.
-
e.
(a2x2 - 6z2) - { -(a2x2 + 6z2) - [3a2x2 - 3z2 + 4a2x2]}
f.
7ab - [abc + (ab - c2 + a2) - ab]
g.
2a - (3b + 2c) + {5b - (6c - 6b) + 5c - [2a - (c + 2b)]}
h.
x - [2x + (x - 2y) + 2y] - 3x - {4x - [(x + 2y) - y]}
i.
x - {3y + [3z - (w - y) + x] - 2a}
j.
-
k.
a - {2b + [3c - 3a - (a + b)] + [2a - (b + c)]}
l.
7a3 - (5a2x + 3ax2 - 7x3) - [8a3 - 4a2x - (ax2 - 7x3)]
[x + 3y - (3y - c) + 6]
{3b + [2b - (a - b)]}
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
27
2.3
MULTIPLICATION
2.3.1 Appliquer la loi des exposants pour la multiplication
On peut utiliser les symbloles (+), (-), (x) et (÷) entre des nombres ou des termes pour
indiquer les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. À ces
opérations s'ajoute l'exponentiation indiquant une multiplication répétée.
Ainsi, au lieu d'écrire : 5 x 5 x 5 = 125
on écrit :
53 = 125
Dans l'opération d'exponentiation, chaque nombre ou variable prend un nom bien précis.
PUISSANCE
On appelle puissance d'un nombre, le produit de plusieurs facteurs égal à ce nombre, c'est le
résultat.
BASE
La base est le nombre qui se répète dans la multiplication.
EXPOSANT
L'exposant indique combien de fois la base est répétée dans la multiplication. C'est le degré
de la puissance.
+)))))))),
*Exemple *
.))))))))­
exposant
53 = 125
base
puissance
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
28
Remarques
1.
2.
La seconde puissance d'un nombre se nomme le carré de ce nombre. Ainsi 62 se lit
: ?6 exposant 2” ou ?6 au carré”.
La troisième puissance d'un nombre se nomme le cube de ce nombre. Ainsi 63 se lit
: ?6 exposant 3” ou ?6 au cube”.
Avant de formuler la loi des exposants, il serait bon de revoir la loi des signes pour la
multiplication.
RÉSUMÉ
Loi des signes pour la multiplication.
(+)
x
(+)
=
(+)
(+)
x
(-)
=
(-)
(-)
x
(+)
=
(-)
(-)
x
(-)
=
(+)
Il est possible de découvrir la loi des exposants en observant comment s'effectue le produit
suivant.
Soit à multiplier 22 par 23.
Sachant que 22
et que 23
alors 22 x 23
mais 32
=2x2
=2x2x2
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 32
= 25
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
29
donc 22 x 23 = 22 + 3
22 x 23 = 25
= 32
Conclusion
Loi des exposants pour la multiplication.
Dans une multiplication, lorsque les bases sont
identiques, on peut additionner les exposants.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
x6 C x7 = x6 + 7
= x13
2)
a5 x ax x a-2
= a5 + x + -2
= a3 + x
Remarques
1.
Une puissance de degré pair d'un nombre négatif est un nombre positif.
(-5)2 = (-5)(­5)
= 25
2.
2 est un exposant pair.
Une puissance de degré impair d'un nombre négatif est un nombre négatif.
(-4)3 = (-4)(-4)(­4)
= -64
3 est un exposant impair.
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
8
30
1.
2.
Dans chacune des expressions suivantes, identifier la base et l'exposant.
a.
x3
c.
xy
b.
45
d.
m
Calculer les produits.
a.
x3 C x5
b.
aCaCa
c.
a6 C a10
k.
n C n3 C n5 C n7
d.
b C b5
l.
z C z8
e.
y7 C y18
m.
x C x6 C x12
f.
52 C 5
g.
42 C 43
h.
b5 C b4 C b3
i.
d3 C d2 C d7
j.
n.
o.
xCxCxCx
a3 C a2 C a0 C a20
r C r3
p.
103 C 104
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
31
2.3.2 Calculer le produit de plusieurs monômes
Dans les monômes, on définit les coefficients comme suit :
3ab
coefficient
numérique
coefficient
littéral
Puisque le produit de monômes est le résultat de la multiplication de plusieurs facteurs, on
utilise la loi de multiplication des entiers ainsi que celle des exposants.
Soit à multiplier 4a2c par -5a3c3.
Puisque 4a2c
et que -5a3c3
alors 4a2c(-5a3c3)
4CaCaCc
­
5CaCaCaCcCcCc
4 C a C a C c C ­5 C a C a C a C c C c C c
signifie
signifie
signifie
On peut changer l'ordre des facteurs pour faciliter la multiplication.
(4) (-5) C a C a C a C a C a C c C c C c C c
-
20 C
a5
C
c4
= -20a5c4
On effectue les produits en tenant compte de la loi des signes et de la loi des exposants pour
la multiplication.
Conclusion
Produit de monômes
1.
2.
Effectuer le produit des coefficients numériques en
respectant la loi des signes pour la multiplication.
Multiplier la partie littérale en appliquant la loi
des exposants.
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
32
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
-
6a2b x -5a3b6
= (-6)(-5) a2 + 3 b1 + 6
= 30a5b7
2)
(-5xy)(-4x3y)(-y3z)
= (-5)(-4)(-1) x1 + 3 y1 + 1 + 3 z
= -20x4y5z
3)
-
5(4b)
= (-5)(4)(b)
= -20b
4)
2m(3n)(4p)
= (2)(3)(4) mnp
= 24mnp
5)
x5 C -x2
= -x7
Remarques
1.
2.
Respecter l'ordre alphabétique.
Le point remplace le symbole (x) de la multiplication.
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
9
33
1.
Effectuer les multiplications suivantes.
abc C c3 C a4
a.
(ab) (ab)
j.
-
b.
(ab2) (ab)
k.
(4x3y) (3x2y) (xy2)
c.
(4a2b) (6ab2c)
l.
(2ab) (-3c2) (-b2d)
d.
(9a4b) (-4ab2)
m.
6m (2n) (3n5)
e.
(-3xy4) (-8x2y)
n.
(b3c4) (-bc) (b5c4)
f.
(11xy) (-2xy)
o.
(-5xy3) (-3x2y)
g.
(-3x2) (-4xy) (-5x2)
p.
(-3a2) (-a3)
h.
5ab (2ab) (3b)
i.
(-ab) (-3ab2)
q.
(-5xy) (9x)
r.
x5 (-x2)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
34
2.3.3 Calculer le produit d'un polynôme par un monôme
Multiplication d'un polynôme par un monôme
Multiplier chaque terme d'un polynôme par le monôme donné.
Soit à multiplier (a2 - 4b + 2c) par 7a.
On a 7a(a2 - 4b + 2c)
T T T T
/))- * *
/)))))))- *
.))))))))))))­
= (7a)(a2) - (7a)(4b) + (7a)(2c)
= 7a3 - 28ab + 14ac
la loi des exposants
— pour la multiplication �
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
5x(-3x - 4)
= (5x)(-3x) - (5x)(4)
= -15x2 - 20x
2)
y2 (y3 - 3x)
= (y2)(y3) - (y2)(3x)
= y5 - 3xy2
3)
2x(x - 5)(x)
=
=
=
=
(2x)(x)(x - 5)
2x2 (x - 5)
(2x2)(x) - (2x2)(5)
2x3 - 10x2
[changer l'ordre des termes]
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
10
35
1.
Effectuer les multiplications suivantes.
a.
x (x -6)
i.
-
b.
-
4 (x + 10)
j.
5a2b (3a2b - 2a2b5)
c.
-
5 (2x - 15)
k.
3xy4 (-x2y + xy3)
d.
-
6 (-4 - 3x)
l.
-
2a3 (-4ab2 + 3a2b)
e.
2x (5x - 1)
m.
-
x (x - 5)
f.
n2 (2n2 - 2)
n.
-
y (-y - 6)
g.
x2 (2 - 3x3)
o.
-
5x (3x - 2y)
h.
-
p.
-
2x (3x - 4y)
5x (4x - 6)
5 (4x -6) (-3)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
36
2.3.4 Calculer le produit d'un binôme par un binôme
Multiplication d'un binôme par un binôme
Multiplier chaque terme du second binôme par les termes du premier.
Soit à calculer le produit de (x + 3) par (x - 2).
On peut adopter la disposition suivante :
x + 3
1
1.
2
x C x = x2
2.
x C 3 = 3x
x - 2
x + 3
3.
-
2 C x = -2x
3
4.
-
2 C 3 = ­6
4
x - 2
Donc x + 3
x - 2
x2 + 3x
- 2x - 6
x2 + x - 6
[additionner les termes semblables]
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
37
Remarque
Pour des raisons d'ordre pratique, il est d'usage d'effectuer les quatre produits dans cet ordre.
Une autre façon très commode d'effectuer la multiplication de binômes consiste à disposer les
termes horizontalement.
Soit à multiplier x + 3 par x - 2.
+))))))))),
/)))))), *
R
R R
(x + 3) (x - 2) = x(x) - x(2) + 3(x) + 3(-2)
T T T
/))- *
= x2 - 2x + 3x - 6
.)))))­
= x2 + x - 6
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
Multiplier 2x - 3 par x + 6.
2x - 3
x +6
2x2 - 3x
12x - 18
2x2 +9x - 18
2)
(3a - 2b) (2a + 5b)
3a - 2b
2a + 5b
6a2 - 4ab
15ab - 10b2
2
6a + 11ab - 10b2
[x (2x) = 2x2]
[x ( 3) = -3x]
[6 (2x) = 12x]
[6 (-3) = -18]
-
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
38
3)
(4 - 2x) (3 - 4x) = 4(3) + 4(-4x) - 2x(3) - 2x(-4x)
= 12 - 16x - 6x + 8x2
= 12 - 22x + 8x2
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
11
39
1.
Effectuer les multiplications suivantes.
a.
(x + 2) (x + 3)
g.
(x - y) (x - 9y)
b.
(x + 7) (x - 1)
h.
(4 + x) (6 + x)
c.
(x - 3) (x + 5)
i.
(2 - x) (3 + x)
d.
(a - 2) (a - 6)
j.
(2x + 8) (x - 4)
e.
(2x - 6) (x + 3)
k.
(-3x - 10) (-x - 6)
f.
(2y + 4) (3y - 5)
l.
(x + a) (x - b)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
40
En travaillant avec le produit de deux binômes, l'on remarque qu'il existe deux cas spéciaux.
Dans chaque cas, on peut calculer mentalement le produit de ces binômes.
1er cas : le carré d'un binôme
Soit à trouver : (x + 3)2.
(x + 3) (x + 3)
= x(x + 3) + 3 (x + 3)
= x2 + 3x + 3x + 9
= x2 + 6x + 9
(x + 3)2
=
le carré de
la somme
de deux
coefficients
=
x2
le carré
du premier
terme
+
2(3x)
+
+
le double
produit
des deux
termes
+
RÉSUMÉ
Pour calculer mentalement le carré de deux binômes on fait :
1.
2.
3.
le carré du premier terme;
le double produit du premier terme par le second;
le carré du second terme.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))-
Effectuer les produits suivants.
1)
(2x + 5)2 = (2x)2 + 2(2x)(5) + (5)2
= 4x2 + 2(10x) + 25
= 4x2 + 20x + 25
9
le carré
du second
terme
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
41
2)
(x - 3)2
= (x)2 + 2(x)(-3) + (-3)2
= x2 + 2(-3x) + 9
= x2 - 6x + 9
3)
(4x - 6)2
= (4x)2 + 2(4x)(-6) + (-6)2
= 16x2 + 2(­24x) + 36
= 16x2 - 48x + 36
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
12
42
1.
Calculer mentalement les produits suivants.
a.
(x + 2)2
f.
(x - y)2
b.
(x - 3)2
g.
(3a - 2b)2
c.
(2a + 1)2
h.
(2x + 3y)2
d.
(3a - 2)2
i.
(4 + 2x)2
e.
(a + b)2
j.
(3 - x)2
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
12
43
2e cas : produit d'une somme par une différence
Soit à multiplier x + 3 par x - 3.
(x + 3) (x - 3)
(x + 3)
= x(x + 3) -3(x + 3)
= x2 + 3x - 3x - 9
= x2 - 9
(x - 3) =
x2 - 9
la somme
la différence
de deux
x de deux
=
coefficients
coefficients
la différence
des carrés
des deux coefficients
RÉSUMÉ
Le produit de la somme de deux coefficients par la différence de ces mêmes
deux coefficients est égal au carré du premier moins le carré du second.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
(x + 5) (x - 5) = (x)2 - (5)2
= x2 - 25
2)
(2x - 1) (2x + 1)
= (2x)2 - (1)2
= 4x2 - 1
3)
(3x + 6y) (3x - 6y)
= (3x)2 - (6y)2
= 9x2 - 36y2
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
13
44
1.
Calculer mentalement les produits suivants.
a.
(x - 5) (x + 5)
f.
(a + b) (a - b)
b.
(y + 3) (y - 3)
g.
(x + y) (x - y)
c.
(2x + 5) (2x - 5)
d.
(x + 1) (x - 1)
e.
(4x + 5y) (4x - 5y)
h.
i.
(2 - 5y) (2 + 5y)
(6x + 1) (6x - 1)
j.
(m - 7) (m + 7)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
45
2.3.5 Élever un monôme à une puissance
En travaillant avec les monômes, il est possible d'appliquer la loi des exposants.
1er cas : puissance d'une base affectée d'un exposant
Soit à simplifier (a3)4.
a3 C a3 C a3 C a3
Puisque (a3)4 peut s'écrire
D'après la loi des exposants
Donc (a3)4
Mais
a3 + 3 + 3 + 3
= a12
3 x 4 = 12
Alors (a3)4
(a3)4
= a3 x 4
= a12
RÉSUMÉ
Pour élever à une puissance quelconque une base affectée d'un
exposant, on fait le produit des exposants.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
(a2)3 = a2 x 3 = a6
2)
(43)2 = 43 x 2 = 46 = 4 096
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
46
2e cas : puissance d'un produit
Soit à simplifier (2a3b2)2.
Puisque (2a3b2)2 peut s'écrire
2a3b2 C 2a3b2
On peut changer l'ordre des facteurs 2 C 2 C a3 C a3 C b2 C b2
D'après la loi des exposants
22 C a3 + 3 C b2 + 2
(2a3b2)2 = 4a6b4
Donc
RÉSUMÉ
Pour élever un produit à une puissance quelconque, il suffit
d'élever chacun des facteurs à cette puissance.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
(a2b3d)5 = a2 x 5 b3 x 5 d1 x 5
= a10 b15 d5
2)
(5x4)2
= 52 C x4 x 2
= 25x8
3)
(ab)8
= a8 b8
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
14
47
1.
Simplifier les expressions suivantes.
a.
(xy)4
h.
(a2b2)5
b.
(x5)3
i.
(3x2y)4
c.
(b5)5
j.
(abc)4
d.
(a2)4
k.
(2a5b2c)3
e.
(c9)3
l.
(-2xy)3
f.
(2a)3
m.
(3a2b)2
g.
(-2x)3
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
48
2.4
DIVISION
2.4.1 Appliquer la loi des exposants pour la division
Avant d'aborder la loi des exposants, il serait utile de faire une révision.
1)
Réviser les termes de base :
DIVIDENDE : le nombre à diviser;
DIVISEUR : le nombre qui divise;
QUOTIENT : le résultat.
+)))))))),
*Exemple *
.))))))))­
dividende
56
7
= 8
quotient
diviseur
2)
Réviser la loi des signes pour la division.
RÉSUMÉ
Loi des signes pour la division
(+)
(+)
(-)
÷
÷
÷
(+)
(-)
(+)
=
=
=
(+)
(-)
(-)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
49
(-)
÷
(-)
=
(+)
Il est possible de découvrir la loi des exposants en observant comment s'effectue la division
suivante.
Soit à diviser 36 par 34.
3/ C /3 C /3 C /3 C 3 C 3
/3 C 3/ C /3 C /3
En effectuant la division, on a
= 3C3
= 32
36
34
Ce qui revient à écrire
= 36 - 4
= 32
= 9
Conclusion
Loi des exposants pour la division
Dans une division, lorsque les bases sont identiques, on peut
soustraire les exposants, c'est-à-dire l'exposant du numérateur
moins l'exposant du dénominateur.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
x7 ÷ x2 = x7 - 2 = x5
2)
a11 ÷ a10 = a11 - 10 = a
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
50
3)
53 ÷ 5 = 53 - 1 = 52 = 25
CAS PARTICULIERS
1er cas : l'exposant est nul
Soit à diviser a5 par a5.
En faisant le calcul tout au long, on a :
/a C /a C /a C /a C /a
a/ C /a C /a C /a C /a
= 1
En appliquant la loi des exposants, on a :
a5 = a5 - 5 = a0
a5
Donc a0 = 1.
Conclusion
Tout nombre (non nul) affecté de l'exposant 0 est égal à 1.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
x6 ÷ x6 = x6 - 6 = x0 = 1
2)
x3 ÷ x3 = x3 - 3 = x0 = 1
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
51
3)
25 ÷ 25 = 25 - 5 = 20 = 1
2e cas : l'exposant est négatif
Soit à diviser x3 par x5.
En faisant le calcul tout au long, on a :
/x C /x C /x
/x C /x C /x C x C x
= 1
x2
En appliquant la loi des exposants, on a :
x3 = x3 - 5 = x-2
x5
Donc x-2 = 1
x2.
Conclusion
Tout nombre affecté d'un exposant négatif est égal à son
inverse affecté du même exposant positif.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
p6 ÷ p8 = p6 - 8 = p-2 = 1
p2
2)
a ÷ a4 = a1 - 4 = a-3 = 1
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
52
a3
3)
x4 ÷ x5 = x4 - 5 = x-1 = 1
x
4)
23 ÷ 25 = 23 - 5 = 2-2 = 1 = 1
22
4
Remarque
x-1 se lit : ?x exposant moins 1” ou ?l'inverse de x”.
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
15
53
1.
Simplifier et donner la réponse avec des exposants positifs.
a.
x11 ÷ x9
i.
x5 ÷ x5
b.
y2 ÷ y
j.
23 ÷ 23
c.
x5 ÷ x2
k.
x4 ÷ x4
d.
26 ÷ 24
l.
p20 ÷ p2
e.
x12 ÷ x9
f.
54 ÷ 57
g.
x ÷ x3
h.
x6 ÷ x8
m.
n.
32 ÷ 35
o.
p.
z5 ÷ z3
x7 ÷ x7
m6 ÷ m
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
54
2.4.2 Calculer le quotient d'un monôme par un monôme
Division d'un monôme par un monôme
1.
Diviser les coefficients numériques en observant la
loi des signes dans la division.
Soustraire les exposants d'une même variable.
2.
Soit à diviser 25a8c3 par -5a6c5.
25a8c3 = 25 ÷ (-5) a8 - 6 c3 - 5
5a6c5
= -5a2c
-2
= -5a2
c2
Remarque
Au lieu d'écrire c-2 on préfère rendre l'exposant positif au dénominateur.
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
-
21x5y3z ÷ 7xy2z = -3x4y
2)
-
42ab5 ÷ 6a = -7b5
3)
6ab ÷ 12ab = 1
2
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
16
55
1.
Effectuer les divisions suivantes.
a.
3x4 ÷ (-x)
g.
36x3y2 ÷ 6xyz
b.
12x2b2c
4ab
h.
9a5b10c4 ÷ a2b10c10
c.
-
6x3y4 ÷ 2y3
i.
-
d.
12a3b4c ÷ -4a2b3
j.
125mn ÷ -5m2n2
e.
-
k.
40x2 ÷ 64x2y
f.
3abc ÷ 12abc
9x3y5 ÷ -3xy4
2ax3c ÷ (-3ax2c)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
56
2.4.3 Calculer le quotient d'un polynôme par un monôme
Division d'un polynôme par un monôme
Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise chacun
des termes du polynôme par le monôme donné.
Soit à diviser 10ax3 + 20x2 par 5x.
On écrit : 10ax3 + 20x2 = 10ax3 + 20x2
5x
5x
5x
= 2ax2 + 4x
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
(4b4 - 8b3 + 12b2) ÷ (-4b2) = -b2 + 2b - 3
2)
(4ax3 - 10x2 + 4x) ÷ (-2x) = -2ax2 + 5x - 2
Remarque
Pour vérifier le quotient obtenu, il suffit de multiplier ce quotient par le diviseur; le produit
donne le dividende.
-
2x (-2ax2 + 5x - 2) = 4ax3 - 10x2 + 4x
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
17
57
1.
Effectuer les divisions suivantes.
a.
(12x + 21y) ÷ 3
g.
(-16x3y + 8xy) ÷ (-8xy)
b.
(16x2 - 24y2) ÷ -8
h.
(4x4 - 8x3 + 12x2) ÷ (-2x2)
c.
(5x2 + 17x) ÷ x
i.
(-6x4 - 12x3 + 2x) ÷ (2x)
d.
(-9a3 + 13a4) ÷ a
j.
(-20b2 + 2b3 - 4b5) ÷ (-2b2)
e.
(8x3 - 9x5) ÷ (-x3)
k.
(5a7 + 15a5 - 10a4) ÷ (5a2)
f.
(8a5 - 12a3) ÷ (-4a3)
l.
(3x2 - 9x2 + 15x) ÷ (-3x)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
58
2.5
SIMPLIFIER DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES EN RESPECTANT L'ORDRE
DES OPÉRATIONS
Pour effectuer les opérations sur les polynômes, on suit les mêmes règles utilisées pour
effectuer les opérations sur les entiers.
ORDRE DES OPÉRATIONS
1.
Lorsqu'une expression contient différentes sortes de
parenthèses, on les élimine successivement en commençant
par celles à l'intérieur.
2.
L'exponentiation à priorité sur la multiplication et la
division.
3.
Les multiplications et les divisions ont priorité sur les
additions et les soustractions.
4.
Les multiplications et les divisions se font dans l'ordre où
elles apparaissent. (de gauche à droite)
5.
Les additions et les soustractions se font dans l'ordre où
elles apparaissent. (de gauche à droite)
+)))))))),
*Exemples*
.))))))))­
1)
[6x (x - 4) - 15 - (2x + 3) (2x - 5)] ÷ -2x
= [6x2 - 24x - 15 - (4x2 - 4x - 15)] ÷ ­2x
= [6x2 - 24x - 15 - 4x2 + 4x + 15] ÷ ­2x
= [2x2 - 20x] ÷ ­2x
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
THÉORIE
59
= -x + 10
2)
(a + 1)2 - (a2 + 2a + 1)
= a2 + 2a + 1 - a2 - 2a - 1
= 0
3)
32x2y3 ÷ 4xy + 3xy2 - y(5xy)
= 8xy2 + 3xy2 - 5xy2
= 11xy2 - 5xy
2
= 6xy2
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE
18
60
1.
Simplifier les expressions suivantes.
a.
x2 + (3x2) (x) - x3 - (5x) (2x)
b.
(3x + 5) (5x - 1) - (x + 1) (x - 3)
c.
(3x - 1)2 - 4(2x - 5)2
d.
(a + 2) (a - 5) - (2a + 1) (a - 1)
e.
c3d2 - 2c3d + 4cd 8c2 - 16a4b2c3
d
‰
8a4b2c3 �
f.
a(a - c) + b(a - c) - b(a - c)
g.
2a b3 + 3ab - ab - 8a3 ÷ 4b
‰ b �
h.
(3x - 2) (-x - 4) - 6x2b5 ÷ 3b5
i.
- -
j.
4x - (x + 3) (x - 1) - (2x - 5) (-x + 2)
k.
2x [(4x2 + y2) + (x2 - 3y2)]
l.
[18a2b (3a + 2)] ÷ 3ab
m.
2x - 4y + [6z - (x + y) + 3y] - 3x
n.
[(-12x5 - 4x4 + 5x3) - (6x5 + 2x4 - x3)] ÷ 6x3
o.
[(7x3 - 4x2 + 6x) - (-4x3 + 1)] 2xy
p.
12x2y4 - (y + 4) (y - 3)
x2y2
q.
[4x (2x + 3) - 2x (x - 3)] ÷ 6x
[ 6b2 - 6b] ÷ ­3b
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE DE
RENFORCEMENT
61
3.0
EXERCICE DE RENFORCEMENT
1.
Effectuer les additions suivantes.
a.
5a2 - 5b2
2a2 + b2
7a2 - 8b2
b.
5x2 - 6y2
4x2 + 12y2
7x2 - 2y2
-
2.
3.
a.
Soustraire 8b3 - 6a3 de 5a3 - 4b3.
b.
Soustraire 2a + 3b - c de 5a - 4b + 2c.
Effectuer les multiplications suivantes.
a.
x2 C x5
b.
(x2)3
g.
(x - 6) (x + 6)
c.
(x2y3)3
h.
(2x + 5) (3x - 6)
d.
6 (5a + b)
i.
(-4a3bc) (-9ab2c5)
e.
2x (2x2 - 3y)
f.
(x -2) (x + 9)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
EXERCICE DE
RENFORCEMENT
62
4.
5.
Effectuer les divisions suivantes.
a.
x6 ÷ x2
d.
(-18x5) ÷ (6x2)
b.
x5 ÷ x5
e.
(8x3 - 16x2 + 20x) ÷ 2x
c.
(-40x7y9) ÷ (-8x4y4)
f.
Simplifier.
a.
(x + 4) (x - 3) - (x2 - 6x - 9)
b.
3x - [y - (x + y - 3)]
c.
2x - {3x + 2 (x - 2y)}
d.
15x - {4 - [3 - 5x - (3x - 7)]}
e.
[(4x2y2 - 5xy) - (-8x2y2 + xy)] ÷ 6xy
f.
7a (a - ab + 3b) - 14a3b ÷ 7a2
x8 ÷ x20
Donner la réponse de
deux manières.
FORMATION INTERMÉDIAIRE
MAT 2021
CORRIGÉ (Cahier 2)
DI-AM-91-12-09
BA-PG\98-03
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
1
EXERCICE 1, PAGE 7
1.
a.
b.
c.
d.
e.
2 termes : binôme
1 terme : monôme
1 terme : monôme
2 termes : binôme
1 terme : monôme
f.
g.
h.
i.
j.
3 termes : trinôme
1 terme : monôme
1 terme : monôme
3 termes : trinôme
3 termes : trinôme
2.
a.
b.
c.
2
4
2
d.
e.
3
1
3.
a.
b.
x
bh
c.
d.
y
(a + b)
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
u.
v.
w.
x.
y.
z.
-
EXERCICE 2, PAGE 10
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
11
54
47
4
9
100
50
0
72
5
l
0
50
4 1/2
32
125
8
4
6
2
6
54
64
31
1
3
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
2
EXERCICE 3, PAGE 15
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
10a
14x
10y
2a + 4y
2m
8x
6a
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
-
14y
12x - 5y
2x
13x
13a2
4ab2
8xy3
EXERCICE 4, PAGE 18
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
8x + y
2x
2x - 10y
3a - 2b
m2
3x - 5y + 2
x + 2y + 3z
h.
- 2
x - 2xy - y2
i.
2a - 4b
j.
2y2 + 4
k.
5x2 - x - 9
- 2
l.
a - 2a + 4
m.
a + 10
n.
12x + 2y - z
2.
a.
b.
c.
d.
7x + 7
2y + 20
4x + 5
15 - 16x
e.
5x + 2
f.
x-2
g.
15x + 17
h.
27x
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
3
EXERCICE 5, PAGE 21
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3x
10m
19xy
6x
37y
6a2b
g.
h.
i.
j.
k.
l.
-
2.
a.
b.
c.
d.
e.
27b2
27b2
5a - 4b
10a2b
0
f.
g.
h.
i.
j.
50y - 50y2
42d2
22d2
32d2 + 10d
4z2 + z
3.
a.
b.
c.
-
d.
e.
-
g.
h.
i.
j.
k.
l.
a+5
2x
3x2 - 3x + 5
a + 7b
2xy
x2 - xy + 5y2
1.
7a2bc
8x2y
3a2bm
16x3y
25x2m
20a2b
21a2x - 21a2
3x2y3
2x2y3z
-
3a3cd2
0
EXERCICE 6, PAGE 23
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
-
5x + 6y
15abc - ef
32a - 4b
40a2
x-1
6x - 3
-
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
4
EXERCICE 7, PAGE 26
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3a2 + 3b2
z
8a - 6 + 2bc - 5c
x-c-6
9a2x2 - 3z2
7ab - abc + c2 - a2
g.
h.
i.
j.
k.
l.
10b - 2c
8x + y
4y - 3z + w + 2a
6b + a
3a - 2c
- 3
a - a2x - 2ax2
EXERCICE 8, PAGE 30
1.
2.
a.
base : x
exposant : 3
c.
base : x
exposant : y
b.
base : 4
exposant : 5
d.
base : m
exposant : 1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
x8
a3
a16
b6
y25
53
45
b12
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
d12
x4
n16
z9
x19
a25
r4
107
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
5
EXERCICE 9, PAGE 33
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
a2b2
a2b3
24a3b3c
36a5b3
24x3y5
22x2y2
60x5y
30a2b3
3a2b3
m.
o.
q.
j.
k.
l.
36mn6
n.
15x3y4
p.
45x2y
r.
- 5
a bc4
12x6y4
6ab3c2d
- 9 9
bc
3a5
- 7
x
EXERCICE 10, PAGE 35
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
x2 - 6x
4x - 40
10x + 75
24 + 18x
10x2 - 2x
2n4 - 2n2
2x2 - 3x5
20x2 + 30x
i.
60x - 90
j.
15a4b2 - 10a4b6
k.
3x3y5 + 3x2y7
l.
8a4b2 - 6a5b
- 2
m.
x + 5x
n.
y2 + 6y
o.
15x2 + 10xy
p.
6x2 + 8xy
EXERCICE 11, PAGE 39
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
x2 + 5x + 6
x2 + 6x - 7
x2 + 2x - 15
a2 - 8a + 12
2x2 - 18
6y2 + 2y - 20
l.
g.
x2 - 10xy + 9y2
h.
24 + 10x + x2
i.
6 - x - x2
j.
2x2 - 32
k.
3x2 + 28x + 60
2
x + ax - bx - ab
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
6
EXERCICE 12, PAGE 42
1.
a.
b.
c.
d.
e.
x2 + 4x + 4
x2 - 6x + 9
4a2 + 4a + 1
9a2 - 12a + 4
a2 + 2ab + b2
h.
i.
j.
f.
x2 - 2xy + y2
g.
9a2 - 12ab + 4b2
4x2 + 12xy + 9y2
16 + 16x + 4x2
9 - 6x + x2
EXERCICE 13, PAGE 44
1.
a.
b.
c.
d.
e.
x2 - 25
y2 - 9
4x2 - 25
x2 - 1
16x2 - 25y2
f.
a2 - b2
g.
h.
i.
j.
x2 - y2
4 - 25y2
36x2 - 1
m2 - 49
h.
i.
j.
k.
l.
m.
a10b10
81x8y4
a4b4c4
8a15b6c3
8x3y3
9a4b2
EXERCICE 14, PAGE 47
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
x4y4
x15
b25
a8
c27
8a3
8x3
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
7
EXERCICE 15, PAGE 53
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
x2
y
x3
22
x3
1/53
1/x2
1/x2
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
x0 ou
20 ou
x0 ou
p18
z2
1/33
m5
x0 ou
6x2y
z
9a3
c6
2x
3
25
mn
5
8y
EXERCICE 16, PAGE 55
1.
a.
-
3x3
g.
b.
3x2bc
a
3x3y
h.
d.
-
3abc
j.
e.
3x2y
k.
f.
1/4
c.
i.
1
1
1
1
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
8
EXERCICE 17, PAGE 57
1.
a.
b
c.
d.
e.
f.
4x + 7y
2x2 + 3y2
5x + 17
9a2 + 13a3
8 + 9x2
2a2 + 3
g.
h.
i.
j.
k.
l.
2x2 - 1
2x2 + 4x - 6
3x3 - 6x2 + 1
10 - b + 2b3
a5 + 3a3 - 2a2
2x - 5
EXERCICE 18, PAGE 60
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
-
9x2 + 2x3
14x2 + 24x - 2
7x2 + 74x - 99
- 2
a - 2a - 9
31c3d - 8cd
a2 - ac
2ab2 + 2ab - 2a3/b
5x2 - 10x + 8
2b - 2
k.
o.
q.
j.
7x + x2 + 13
10x3 - 4xy2
l.
18a2 + 12a
m.
2x - 2y + 6z
n.
3x2 - x + 1
4
22x y - 8x3y + 12x2y - 2xy
p.
11y2 - y + 12
x+3
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
CORRIGÉ
CAHIER 2
9
EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE 61
1.
a.
-
12b2
b.
8x2 + 4y2
2.
a.
11a3 - 12b3
b.
3a - 7b + 3c
3.
a.
b.
c.
d.
e.
x7
x6
x6y9
30a + 6b
4x3 - 6xy
f.
g.
h.
i.
x2 + 7x - 18
x2 - 36
6x2 + 3x - 30
36a4b3c6
4.
a.
b.
c.
x4
x0 ou 1
5x3y5
d.
e.
f.
-
5.
a.
b.
c.
7x - 3
4x - 3
3x + 4y
d.
e.
f.
7x + 6
2xy - 1
7a2 - 7a2b + 19ab
3x3
4x2 - 8x + 10
x-12 ou 1/x12
FORMATION INTERMÉDIAIRE
MAT 2021
DEVOIR 2
ET
CORRIGÉ
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
DEVOIR
2
1
1.
(30 pts)
2.
(40 pts)
Simplifier.
a.
x8 ÷ x2
b.
a6 ! a
g.
y20 ! y ! y2
c.
(-4a3b6)3
h.
(-3a2b)4
d.
x6 ÷ x6
e.
(23)2
f.
i.
x2 ÷ x10
y5 ÷ y5
j.
(-1)11
Effectuer les opérations demandées.
a.
Additionner : 3x2 + 14y2 - 3
7x2 - 16y2 + 7
7x2 + 10y2 - 11
b.
Soustraire :
c.
Additionner : -7x + 4y
9x + 11y
d.
Soustraire :
a+ b - c
4a - 5b + 3c
e.
Soustraire :
-
f.
(3x - 4y) (5x + y)
17x - 14c + 4
10x - 5c - 8
7x + xy + 8x2 de 6x + 4xy - 7x2
DI-AM-91-07-04
BA-PG\98-04
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
ALGÈBRE
CAHIER
2
DEVOIR
2
2
3.
(30 pts)
g.
x2y(-x2y - 3xy)
h.
Diviser :
i.
(4x - 3) (2x + 6)
j.
-
2x2 + 12x + 16 par 2x
2x(6x2 - 3x + 6)
Simplifier les expressions suivantes.
a.
2a + 5b - (a + 4b)
b.
6x + {3y - [(x + y) + 2y]}
c.
(x + 1)2 - (x2 + 2x + 1)
d.
16x2y3 ÷ 4xy + 3xy2 - y(5xy)
e.
7x(x - xy + 3y) - 14x3y
7x2
f.
12x2 - 7x(x - 3) - x(5 - 3x)
g.
10x - { - [3y - 5z - (-2x - 3y - z) + 4x] - 5y}
h.
3x2y4 ÷ x2y2 - (y + 4)(y + 3)
i.
(3 - y)(y - 2) - (y - 6)
j.
7a3 - 6a2 (a + 4) - a(3 - a2)
MAT 2021
MATHÉMATIQUES 5
DEVOIR
2
CORRIGÉ
1
1.
2.
3.
a.
x6
f.
x-8 ou 1
x8
b.
a7
g.
y23
c.
-
64a9b18
h.
81a8b4
d.
x0 ou 1
i.
y0 ou 1
e.
26 ou 64
j.
-
a.
-
b.
7x - 9c + 12
g.
- 4 2
c.
-
h.
x+6+ 8
x
d.
-
e.
13x + 3xy - 15x2
j.
-
a.
a + b
f.
8x2 + 16x
b.
5x
g.
16x + 11y - 4z
c.
0
h.
2y2 - 7y - 12
d.
2xy2
i.
4y - y2
e.
7x2 - 7x2y + 19xy
j.
2a3 - 24a2 - 3a
11x2 + 8y2 - 7
f.
16x + 15y
3a + 6b - 4c
i.
1
15x2 - 17xy - 4y2
x y - 3x3y2
8x2 + 18x - 18
12x3 + 6x2 - 12x