Eléments de logique et raisonnements mathématiques

ELEMENTS DE LOGIQUE ET
RAISONNEMENTS MATHEMATIQUES
Propositions logiques
Une proposition logique est un énoncé ayant valeur de vérité.
On les note avec des lettres latines.
Il existe certaines propositions, dans certaines théories, qui n'ont pas valeur de vérité : elles sont
indécidables.
Les parenthèses ne sont pas inutiles ; dans certains cas, leur absence peut modifier le sens de la
proposition.
Propositions complexes
Une proposition complexe est constituée de deux propositions reliées par un connecteur
logique (ET, OU, NON…)
Négation
Il s'agit d'une proposition qui prend valeur de vérité V (vrai) lorsque P est fausse.
On note non P ou ¬ P.
Conjonction
Est composée de deux propositions et prend valeur de vérité V lorsque les deux
propositions sont simultanément de vérité V.
On note P et Q ou P ∧ Q.
Disjonction
Prend valeur de vérité V lorsque l'une des deux propositions la composant prend la
valeur V.
On note P ou Q ou P ∨ Q.
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Implication
Elle prend valeur de vérité F uniquement si P est vrai et Q est faux.
On dit que :
! Q est nécessaire à P
! P est une condition suffisante à Q
! P implique Q
! si P alors Q
On note P ⇒ Q ; ou (non P) ou Q.
Equivalence
Prend la valeur de vérité V lorsque P et Q ont même valeur de vérité.
On note P ⇔ Q ou P ⇒ Q et Q ⇒ P.
Négation
! d'une conjonction : (non P) ou (non Q)
! d'une disjonction : (non P) et (non Q)
! d'une implication : P et (non Q)
Contraposée d'une implication
Une implication et sa contraposée ont même valeur de vérité. Elles sont équivalentes.
Contraposée de P ⇒ Q est (non Q) ⇒ (non P)
Quantificateurs
Le quantificateur existentiel "il existe" est noté ∃ ; le quantificateur universel "pour tout" ou
"quelque soit" ∀.
L'utilisation des connecteurs logiques et des quantificateurs n'est pas une abréviation du
langage usuel.
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Raisonnements mathématiques
Raisonnement direct
La démonstration directe consiste à utiliser les diverses informations de l'énoncé et à
faire appel à des résultats connus pour construire une démonstration nous menant au résultat à
obtenir.
N.B. : pour démontrer une proposition du type "∀ x ∈ E, P(x)", on choisit arbitrairement un x
de l'ensemble E et on prouve que P(x) est vraie. Pour prouver qu'elle est fausse, il suffit de
donner un cotre-exemple ; c'est à dire de trouver l'élément y de E ne vérifiant pas P.
Démonstration directe d'une implication
La plupart des résultats à démontrer sont de la forme P ⇒ Q.
Pour le démontrer, on dit que P est l'hypothèse et Q est la conclusion ; on suppose que P est
vraie et on prouve que Q est vraie également.
Raisonnement par contraposition
On l'utilise lorsque la démonstration directe d'une implication est complexe.
Il s'agit de prouver que non Q ⇒ non P.
Raisonnement par l'absurde
Ce raisonnement est pratique lorsque les raisonnements précédents n'aboutissent pas. Il consiste
à réfuter la proposition que l'on cherche à prouver et à trouver une absurdité ; dans ce cas, la
proposition est fausse.
Raisonnement par récurrence
Il concerne les propositions ou interviennent des entiers naturels.
On initialise la récurrence en prouvant que la proposition est vraie pour un entier N (en général,
N=0 ou 1), puis on démontre que si la proposition est vraie pour un entier n alors elle l'est pour
un entier n+1.
On rédige "Soit n=xx, P est vraie pour n=xx. On suppose que P est vrai pour n, prouvons que
n+1 vérifie P."
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