Approximations uniformes MP

Approximations uniformes ∗
MP
22 janvier 2012
Table des mati`eres
1 Pr´eliminaires 2
1.1 Notiondedensit´e................................. 2
1.2 Continuit´euniforme ............................... 3
2 Approximation uniforme par des fonctions en escalier 6
3 Les th´eor`emes de Weierstrass 8
3.1 Approximation des fonctions continues par des polynˆomes alg´ebriques. . . . 8
3.2 Les polynˆomes trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Annexe : noyaux et unit´es approch´ees 15
5 Corrig´es 18
Figure 1 – la l´egende
∗Document disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom ApproximUnif.pdf
1

On regroupe dans ce mini-chapitre (qui pourrait terminer le chapitre ”suites et s´eries de
fonctions”) les trois th´eor`emes d’approximation uniforme qui figurent (sans d´emonstration
exigible) `a notre programme. Nous montrons quelques unes de leurs applications au calcul
int´egral, `a l’´etude des s´eries de Fourier.
Ces th´eor`emes illustrent la notion de densit´e.
Ils sont l’occasion d’illustrer la notion de continuit´e uniforme qui intervient de fa¸con cru-
ciale dans toutes les d´emonstrations.
1 Pr´eliminaires
1.1 Notion de densit´e
D´efinition 1 partie dense
Soit (E, ||||),un ev norm´e, et Aune partie de E.
– Un point x∈Eest adh´erent `a Assi l’une des propri´et´es ´equivalentes suivantes est
v´erifi´ee :
– toute boule de centre xet de rayon strictement positif rencontre A:
∀r > 0, B(x, r)∩A6=∅;
– il existe une suite d’´el´ements de Aqui converge vers x;
– On appelle adh´erence de Al’ensemble des points de Eadh´erents `a A.
– On dit que Aest dense dans Essi son adh´erence est ´egale `a E.
Exercice 1
D´emontrer que les propri´et´es
– toute boule de centre xet de rayon strictement positif rencontre A:
∀r > 0, B(x, r)∩A6=∅;
– il existe une suite d’´el´ements de Aqui converge vers x;
sont ´equivalentes.
Exercice 2 exemples
1. Justifier que Qest dense dans R; en va-t-il de mˆeme des d´ecimaux ?
2. Montrer que l’ouvert des matrices inversibles GLn(K) est dense dans Mn(K) pour
la norme de votre choix.
Indication : le d´eterminant det(M−λIn)est un polynˆome en λ;
3. Les matrices diagonalisables de M2(C) forment une partie dense de M2(C) muni
d’une norme quelconque (attention ce r´esultat est FAUX dans M2(R).)
Exercice 3 r´esultats
1. D´emontrer le th´eor`eme 1
2

2. On suppose que Aest une partie dense de l’evn (E, N),que fest une fonction conti-
nue sur A, valeurs dans (F, || ||).Donner des conditions pour que fsoit prolongeable
en une fonction continue de Edans F. Donner aussi des contre-exemples.
Th´eor`eme 1
Soient fet gdeux fonctions continues sur un evn (E, N) `a valeurs dans (F, || ||).S’il
existe une partie A, dense dans E sur laquelle fet gco¨ıncident, alors fet gsont ´egales
sur E.
Exercice 4 D´emonstrations simples 1par densit´e
1. Existe-t-il une application continue de Rdans lui-mˆeme mˆeme telle que sur les
rationnels, f(x) = x2, f(x) = 0 ailleurs ?
2. Soit fune fonction continue sur Rtelle que f(x+y) = f(x)+f(y).On note a=f(1).
Calculer fsur Q.Que vaut elle sur R?
Exercice 5 la notion d’adh´erence est elle comprise ?
1. Vrai ou faux ? Soit A⊂Eune partie quelconque de l’evn E, que penser de...
–A⊂¯ A;
–Aborn´ee ⇔¯ Aborn´ee ;
–Acompacte ⇔¯ Acompacte ;
–Aborn´ee ⇒¯ Acompacte ;
–Aborn´ee ⇔¯ Acompacte ;
–Aferm´ee ssi A=¯ A;
– ]0,1[ = [0,1];
–R\Z=R;
–Z=R;
2. Soit A⊂Eune partie non vide de l’evn E, montrer que ¯ Aest ferm´ee.
3. Pour une fonction u:E→F, evn, on appelle support de ul’ensemble : supp(u) =
{x∈E;u(x)6= 0}.
– est-ce un ferm´e ; est-ce un compact ?
– soit utelle que sur [−1,1] u(x)=1−x2,et u(x) = 0 si |x|>1.Quel est son
support, est il compact ?
– Quel est le support de la fonction sinus ?
1.2 Continuit´e uniforme
C’est la notion fondamentale pour la d´emonstration des th´eor`emes d’approximation.
1. les applications fondamentales de la densit´e sont, pour nous : le lemme de Riemann, les cons´equences
des th´eor`emes de Weierstrass
3

D´efinition 2 continuit´e uniforme
Soit fune fonction d´efinie sur une partie I de K=Rou C,`a valeurs dans K; on dit que
fest uniform´ement continue sur I ssi
∀ε > 0,∃α > 0,∀x∈I, ∀y∈I, |x−y| ≤ α⇒ |f(x)−f(y)| ≤ ε.
On observera que la diff´erence entre les caract´erisations de la continuit´e sur I
et de la continuit´e uniforme sur Itiennent `a la position du quantificateur ∀x.
En effet, fest continue sur Issi :
∀x∈I, ∀ε > 0,∃α > 0,∀y∈I, |x−y| ≤ α⇒ |f(x)−f(y)| ≤ ε.
Dans ce dernier cas, αd´epend de xet de ε, dans le cas d’une continuit´e uniforme
il ne d´epend plus que de ε.
Exercice 6
1. Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniform´ement continue ;
2. Montrer directement que x→√xest uniform´ement continue et qu’elle n’est pas
lipschitzienne sur [0,+∞[.
3. Montrer que →ln xn’est pas uniform´ement continue sur ]0,1] mais qu’elle l’est sur
[1,+∞[.
Th´eor`eme 2 th´eor`eme de Heine
Soit fune fonction d´efinie sur une partie compacte I de R.Si fest continue sur I, elle
est aussi uniform´ement continue.
D´emonstration proc´eder de la fa¸con suivante :
On suppose que fest CONTINUE sur le COMPACT I, et on raisonne par l’absurde.
1. Exprimer que fn’est pas uniform´ement continue ;
2. Montrer que si fn’est pas uniform´ement continue, il existe a > 0 et une suite double
(xn, yn) telle que
|xn−yn|<1/n et |f(xn)−f(yn)| ≥ a.
3. Conclure avec le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
Exercice 7 les fonctions affines par intervalles forment une partie dense...
Consid´erons l’espace E=C0([a, b],K),des fonctions continues sur [a, b] `a valeurs dans
K,´equip´e de la norme de la convergence uniforme : || ||∞.
1. Soient f∈Eet ε > 0.Justifier l’existence d’un entier ntel que
∀(x, x0)∈[a, b]2,|x−x0| ≤ 1/n ⇒ |f(x)−f(x0)| ≤ ε.
2. Montrer que la fonction affine par intervalles, g, associ´ee `a la subdivision t0=a, tk=
a+k
n(b−a),et telle que g(tk) = f(tk) v´erifie
||g−f||∞≤ε.
4

3. En d´eduire que les fonctions affines par intervalles forment une partie dense de
(E, || ||∞).
voir application `a la d´emonstration du th´eor`eme de Weierstrass 4.
Exercice 8 un exemple simple d’unit´e approch´ee
On consid`ere la suite hndes fonctions d´efinies sur Rpar :
hn(x)=0,si x≤ −1/n
hn(x) = n2(x+ 1/n),si −1/n ≤x≤0
hn(x) = n2(−x+ 1/n),si 0 ≤x≤1/n
hn(x)=0,si x≥1/n.
On pose alors
f∗hn(x) = Z1
−1
hn(t)f(x−t)dt.
1. ´ Ecrire f∗hn(x)−f(x) comme une int´egrale.
2. On suppose quefest lipschitzienne sur R,majorer |f∗hn(x)−f(x)|.En d´eduire que
(f∗hn)nconverge uniform´ement vers fsur R.
3. On suppose que fest continue sur R,montrer que (f∗hn)nconverge simplement
vers fsur R.
4. On suppose que fest uniform´ement continue sur R,montrer que (f∗hn)nconverge
uniform´ement vers fsur R.
Voir corrig´e en 5
5