Approximations uniformes MP ∗ 22 janvier 2012 Table des matières 1 Préliminaires 1.1 Notion de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 2 Approximation uniforme par des fonctions en escalier 6 3 Les théorèmes de Weierstrass 8 3.1 Approximation des fonctions continues par des polynômes algébriques. . . . 8 3.2 Les polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Annexe : noyaux et unités approchées 15 5 Corrigés 18 Figure 1 – la légende ∗ Document disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom ApproximUnif.pdf 1 On regroupe dans ce mini-chapitre (qui pourrait terminer le chapitre ”suites et séries de fonctions”) les trois théorèmes d’approximation uniforme qui figurent (sans démonstration exigible) à notre programme. Nous montrons quelques unes de leurs applications au calcul intégral, à l’étude des séries de Fourier. Ces théorèmes illustrent la notion de densité. Ils sont l’occasion d’illustrer la notion de continuité uniforme qui intervient de façon cruciale dans toutes les démonstrations. 1 Préliminaires 1.1 Notion de densité Définition 1 partie dense Soit (E, || ||), un ev normé, et A une partie de E. – Un point x ∈ E est adhérent à A ssi l’une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée : – toute boule de centre x et de rayon strictement positif rencontre A : ∀r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅; – il existe une suite d’éléments de A qui converge vers x; – On appelle adhérence de A l’ensemble des points de E adhérents à A. – On dit que A est dense dans E ssi son adhérence est égale à E. Exercice 1 Démontrer que les propriétés – toute boule de centre x et de rayon strictement positif rencontre A : ∀r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅; – il existe une suite d’éléments de A qui converge vers x; sont équivalentes. Exercice 2 exemples 1. Justifier que Q est dense dans R; en va-t-il de même des décimaux ? 2. Montrer que l’ouvert des matrices inversibles GLn (K) est dense dans Mn (K) pour la norme de votre choix. Indication : le déterminant det(M − λIn ) est un polynôme en λ; 3. Les matrices diagonalisables de M2 (C) forment une partie dense de M2 (C) muni d’une norme quelconque (attention ce résultat est FAUX dans M2 (R).) Exercice 3 résultats 1. Démontrer le théorème 1 2 2. On suppose que A est une partie dense de l’evn (E, N ), que f est une fonction continue sur A, valeurs dans (F, || ||). Donner des conditions pour que f soit prolongeable en une fonction continue de E dans F. Donner aussi des contre-exemples. Théorème 1 Soient f et g deux fonctions continues sur un evn (E, N ) à valeurs dans (F, || ||). S’il existe une partie A, dense dans E sur laquelle f et g coı̈ncident, alors f et g sont égales sur E. Exercice 4 Démonstrations simples 1 par densité 1. Existe-t-il une application continue de R dans lui-même même telle que sur les rationnels, f (x) = x2 , f (x) = 0 ailleurs ? 2. Soit f une fonction continue sur R telle que f (x+y) = f (x)+f (y). On note a = f (1). Calculer f sur Q. Que vaut elle sur R? Exercice 5 la notion d’adhérence est elle comprise ? 1. Vrai ou faux ? Soit A ⊂ E une partie quelconque de l’evn E, que penser de... – A ⊂ Ā; – A bornée ⇔ Ā bornée ; – A compacte ⇔ Ā compacte ; – A bornée ⇒ Ā compacte ; – A bornée ⇔ Ā compacte ; – A fermée ssi A = Ā; – ]0, 1[ = [0, 1]; – R \ Z = R; – Z = R; 2. Soit A ⊂ E une partie non vide de l’evn E, montrer que Ā est fermée. 3. Pour une fonction u : E → F, evn, on appelle support de u l’ensemble : supp(u) = {x ∈ E; u(x) 6= 0}. – est-ce un fermé ; est-ce un compact ? – soit u telle que sur [−1, 1] u(x) = 1 − x2 , et u(x) = 0 si |x| > 1. Quel est son support, est il compact ? – Quel est le support de la fonction sinus ? 1.2 Continuité uniforme C’est la notion fondamentale pour la démonstration des théorèmes d’approximation. 1. les applications fondamentales de la densité sont, pour nous : le lemme de Riemann, les conséquences des théorèmes de Weierstrass 3 Définition 2 continuité uniforme Soit f une fonction définie sur une partie I de K = R ou C, à valeurs dans K; on dit que f est uniformément continue sur I ssi ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, ∀y ∈ I, |x − y| ≤ α ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε. On observera que la différence entre les caractérisations de la continuité sur I et de la continuité uniforme sur I tiennent à la position du quantificateur ∀x. En effet, f est continue sur I ssi : ∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀y ∈ I, |x − y| ≤ α ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε. Dans ce dernier cas, α dépend de x et de ε, dans le cas d’une continuité uniforme il ne dépend plus que de ε. Exercice 6 1. Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue ; √ 2. Montrer directement que x → x est uniformément continue et qu’elle n’est pas lipschitzienne sur [0, +∞[. 3. Montrer que → ln x n’est pas uniformément continue sur ]0, 1] mais qu’elle l’est sur [1, +∞[. Théorème 2 théorème de Heine Soit f une fonction définie sur une partie compacte I de R. Si f est continue sur I, elle est aussi uniformément continue. Démonstration procéder de la façon suivante : On suppose que f est CONTINUE sur le COMPACT I, et on raisonne par l’absurde. 1. Exprimer que f n’est pas uniformément continue ; 2. Montrer que si f n’est pas uniformément continue, il existe a > 0 et une suite double (xn , yn ) telle que |xn − yn | < 1/n et |f (xn ) − f (yn )| ≥ a. 3. Conclure avec le théorème de Bolzano-Weierstrass. Exercice 7 les fonctions affines par intervalles forment une partie dense... Considérons l’espace E = C 0 ([a, b], K), des fonctions continues sur [a, b] à valeurs dans K, équipé de la norme de la convergence uniforme : || ||∞ . 1. Soient f ∈ E et ε > 0. Justifier l’existence d’un entier n tel que ∀(x, x0 ) ∈ [a, b]2 , |x − x0 | ≤ 1/n ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε. 2. Montrer que la fonction affine par intervalles, g, associée à la subdivision t0 = a, tk = k a + (b − a), et telle que g(tk ) = f (tk ) vérifie n ||g − f ||∞ ≤ ε. 4 3. En déduire que les fonctions affines par intervalles forment une partie dense de (E, || ||∞ ). voir application à la démonstration du théorème de Weierstrass 4. Exercice 8 un exemple simple d’unité approchée On considère la suite hn des fonctions définies sur R par : hn (x) = 0, si x ≤ −1/n hn (x) = n2 (x + 1/n), si − 1/n ≤ x ≤ 0 2 (−x + 1/n), si 0 ≤ x ≤ 1/n h (x) = n n hn (x) = 0, si x ≥ 1/n. On pose alors Z 1 hn (t)f (x − t) dt. f ∗ hn (x) = −1 1. Écrire f ∗ hn (x) − f (x) comme une intégrale. 2. On suppose quef est lipschitzienne sur R, majorer |f ∗ hn (x) − f (x)|. En déduire que (f ∗ hn )n converge uniformément vers f sur R. 3. On suppose que f est continue sur R, montrer que (f ∗ hn )n converge simplement vers f sur R. 4. On suppose que f est uniformément continue sur R, montrer que (f ∗ hn )n converge uniformément vers f sur R. Voir corrigé en 5 5 2 Approximation uniforme par des fonctions en escalier Définition 3 fonctions en escalier Soit I = [a, b] un intervalle de R, on dit qu’une fonction f définie sur I à valeurs dans K est une fonction en escalier sur [a, b] s’il existe une subdivision (ti )0≤i≤n telle que, pour tout i < n, la restriction de f à ]ti , ti+1 [ soit constante. Définition 4 fonctions continues par morceaux Soit [a, b] un segment de R. On dit que f est continue par morceaux sur ce segment s’il existe une subdivision (a0 = a, a1 , ..., an = b), telle que chaque restriction de f à ]ai , ai+1 [ soit prolongeable en une fonction continue sur [ai , ai+1 ]. Dans ce cas, la fonction f admet en tout point ai une limite à droite et une limite à gauche qui sont notées : f (ai +) et f (ai −). On étend cette notion à des fonctions définies sur des intervalles quelconques : une fonction f définie sur I est continue par morceaux sur I si sa restriction à tout intervalle fermé borné est continue par morceaux. Exercice 9 Les fonctions suivantes sont continues par morceaux : 1. x → (−1)Ent(x) ; 2. x → (−1)Ent(x) x2 ; 3. ( f (x) = arctan(tan(x)) f (x) = 0 si x 6= π/2 + kπ, sinon; Théorème 3 approximation des fonctions cpm par des fonctions en escalier Pour toute application f continues par morceaux sur un intervalle [a, b] à valeurs dans K, il existe une suite de fonctions en escaliers (φn )n qui converge uniformément vers f. Remarque : Cela signifie que l’espace des fonctions en escalier est un sous-espace dense de l’espace des fonctions continues par morceaux sur [a, b] muni de la norme || ||∞ . Démonstration 1. On suppose que f est continue sur le segment [a, b]. Elle est donc aussi uniformément continue... A tout ε = 1/n, associons αn tel que |x − y| ≤ αn ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε. 6 On introduit la subdivision t0 = a, t1 = a + αn , ..., ti = a + iαn , ..., tp = b, ainsi que la fonction en escalier φn qui, pour tout i, prend la valeur f (ti ) sur [ti , ti+1 [ et vérifie φ(b) = f (b). On a, lorsque x ∈ [ti , ti+1 [, |φn (x) − f (x)| = |f (ti ) − f (x)| ≤ 1 n La suite (φn )n converge uniformément vers f sur [a, b]. 2. Considérons maintenant un entier N, et f continue par morceaux sur [a, b], attachée à une subdivision τ0 = a < τ1 < ...τp = b. Pour chaque indice i ∈ [0, p − 1], il existe une fonction continue sur [τi , τi+1 ], qui coı̈ncide avec f sur ]τi , τi+1 [, et donc une fonction en escalier φN,i telle que |f (x) − φN,i (x)| ≤ 1/N. sup x∈[ti ,ti+1 ] On considère alors ΦN , définie sur [a, b] par ΦN (τi ) = f (τi ) i ∈ {0, ..., p − 1} ΦN (x) = φN,i (x), si , x ∈]τi , τi+1 [; On a ||Φn − f ||∞ ≤ 1/N... Deux exemples fondamentaux d’applications de ce théorème : Exercice 10 cours de MPSI : l’intégrale des fonctions cpm 1. Montrer que si deux suites de fonctions en escaliers convergent uniformément vers R R la même fonction f sur [a, b], alors les suites [a,b] φN et [a,b] ψN convergent et ont la même limite. 2. Retrouver la définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Exercice 11 le lemme de Riemann 1. Soit f une fonction en escalier sur [a, b]. Montrer que Z b lim eiαt f (t) dt α→+∞ a a pour limite 0 (α désigne un réel). 2. Montrer que le même résultat est vrai pour toute fonction f, continue par morceaux sur l’intervalle [a, b]. 3. On considère maintenant f intégrable sur R. Montrer que (a) pour tout ε > 0, il existe un intervalle compact [a, b] tel que Z Z |f | ≤ ε, |f | ≤ ε, ]−∞,a] [b,+∞[ (b) En déduire que Z ∞ lim α→∞ −∞ 7 eiαt f (t) dt = 0. Voir corrigé en 5 Exercice 12 majoration d’une intégrale de fonction vectorielle Soit f~ : t ∈ I → f~(t) ∈ Rn , une fonction vectorielle d’une variable réelle, continue par morceaux sur [a, b]. 1. On suppose que les composantes de f sont des fonctions en escalier. Montrer que, pour toute norme sur Rn , on a Z b Z b ~ || f (t) dt || ≤ | ||f~(t)|| dt|. a a 2. Généraliser aux fonctions dont les composantes sont continues par morceaux . 3 Les théorèmes de Weierstrass Deux théorèmes d’approximation uniforme : le premier concerne les fonctions continues sur un compact et leur approximation par des fonctions polynomiales, le second les fonctions continues et périodiques et leur approximation par des polynômes trigonométriques. On propose pour le premier plusieurs démonstrations en exercices. Toutes utilisent la continuité uniforme d’une fonction continue sur un compact. 3.1 Approximation des fonctions continues par des polynômes algébriques. Théorème 4 théorème de Weierstrass Pour toute application f continue sur l’intervalle compact [a, b], il existe une suite de fonctions polynômes (Pn )n convergeant uniformément vers f. En d’autres termes les fonctions polynomiales forment une partie dense dans (C([a, b], || ||∞ ). Démonstration hors programme ; l’exercice 14 propose une démonstration avec des techniques de convolution qu’il est bon d’avoir rencontré avant l’écrit ; l’exercice 15 montre comment on peut construire une approximation polynomiale de la fonction racine sur [0, 1] puis de la valeur absolue, des fonctions affines et enfin des fonctions continues. Exercice 13 des gammes 1. Expliciter une fonction affine τ réalisant une bijection de [a, b] sur [0, 1]. 2. Soit (Pn )n un suite de polynômes qui converge uniformément vers f sur [0, 1]. Montrer qu’il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers f ◦ τ sur [a, b]; 3. Montrer que si les fonctions polynômes forment une partie dense dans (C([0, 1], || ||∞ ) elles forment aussi une partie dense dans (C([a, b], || ||∞ ). Exercice 14 *** une démonstration (produits de convolutions, unités approchées...) avec comme pré-requis la notion de fonction intégrable ; on fera auparavant l’exercice 8, qui est une introduction simple aux techniques employées... 1. On considère ici une suite (hN )N de fonctions de la variable réelle telles que 8 R – pour tout entier N, hN ≥ 0, est intégrable sur R, avec R hn (s) ds = 1; – pour tout α > 0, Z −α Z ∞ |hN (t)| dt + |hN (t)| dt −∞ α tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini ; (a) Montrer que t → hn (x − t) est aussi intégrable sur R, de même que t → f (t)hn (x − t) lorsque f est continue par morceaux et bornée. (b) Montrer que si f est une fonction continue et bornée sur R, les relations Z f (t)hN (x − t) dt, f ? hN (x) = R définissent une suite de fonctions qui converge simplement vers f ; indication : on pourra être amené à découper l’intervalle d’intégration. (c) Que peut on dire de plus quant à la convergence, lorsque f est uniformément continue ? 2. Exemple : on considère la suite (hn )n définie par : 2 n si |x| ≤ 1, hn (x) = an (1 − x ) hn (x) = 0, sinon, où an est choisi pour que l’intégrale soit égale à 1. (a) On suppose que f est continue et que f (x) = 0 lorsque |x| ≥ 1/2, montrer qu’alors une restriction (à préciser) de f ? hN (x) est une fonction polynomiale ; (b) En déduire le théorème d’approximation de Weierstrass. √ Exercice 15 approximation de t et de |t| par des polynômes, et une démonstration du théorème de Weierstrass algébrique √ 1. On considère la fonction u(t) = 1 − t, t ∈ [0, 1] (a) Calculer sa dérivée nième sur [0, 1[; (b) Exprimer son polynôme de Taylor ainsi que le reste-intégrale dans la formule du même nom ; (c) Montrer que ce reste vérifie Z x n 1 Y 2k − 1 |Rn (x)| ≤ u(t) dt. 2 2k 0 k=1 (d) En déduire que (Rn ) converge uniformément vers 0 sur [0, 1] et que u est limite uniforme d’une suite de polynômes. 2. Soit (Pn )n une suite de fonctions polynômes qui converge uniformément vers u sur [0, 1]. On pose Tn (x) = Pn (1 − x2 ). Montrer que (Tn )n converge uniformément vers v := x → |x| sur [−1, 1]. 9 3. Soit φ affine par intervalles et continue sur [0, 1]. (a) Montrer que φ est combinaison linéaire de fonctions x → |x − ti | où les ti sont les points de la subdivision associée. Indication : c’est de l’algèbre linéaire 2 . (b) En déduire qu’il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers φ sur [0, 1]. 4. De tout cela déduire le théorème d’approximation de Weierstrass (faire usage du résultat de l’exercice 7). , Exercice 16 application : encadrement par des polynômes Soit f une fonction continue sur I = [a, b]. Montrer que pour tout ε > 0 il existe deux polynômes P et Q tels que ( P (x) ≤ f (x) ≤ Q(x), ∀x ∈ I, Q(x) − P (x) ≤ ε. Exercice 17 application classique, à savoir faire : orthogonal de R[X] 1. Soit f une fonction continue à valeurs dans K définie sur l’intervalle compact [a, b]. On suppose que, pour tout entier naturel n, b Z f (t)tn dt = 0. a Que peut on en déduire ? 2. Quel est l’orthogonal de R[X] dans C([a, b], R) muni du produit scalaire : Z < f |g >= b f (t)g(t) dt? a l’énoncé suivant est il vrai ? Dans un préhilbertion E, pour tout sev F, on a F ⊕⊥ F = E ? sinon, corrigez le... 3. On considère f continue sur [−1, 1], telle que, pour tout entier naturel pair n = 2 p, Z 1 f (t)tn dt = 0. −1 Que peut on en déduire ? 2. avec ça, on a tout dit ! 10 Exercice 18 polynômes de Bernstein 1. On appelle polynômes de Bernstein de degré n, les polynômes Bin (u) = (ni ) ui (1 − u)n−i i = 0...n. (a) Démontrer les propriétés suivantes : i. la somme des (Bin )i est 1 ; P ii. pour tout i ∈ [0, n], nk=i (ki )Bkn (u) = (ni )ui ; iii. Les (Bin )i forment une base de polynômes de degrés n de Kn [X]; iv. Ils vérifient la formule de récurrence : n Bin+1 (u) = uBi−1 (u) + (1 − u)Bin (u); n = Bn 0 avec les conventions B−1 n+1 = 0, B0 = 1... (b) Faire un brève étude des polynômes (B03 , B13 , B23 , B33 ) et donner une représentation graphique de chacun d’eux. 2. A toute fonction f continue sur l’intervalle [0, 1], associons le polynôme : N N X X k k BN (x) = f BN (f )(x) = N N k f k=0 k=0 k N xk (1 − x)k . (3.1) (a) Vérifier que f → Bn f est linéaire, positive... (b) Calculer Bn (f )(0) et Bn (f )(1). (c) Calculer BN (X 0 ), BN (X 1 ); 3. Limite de (BN (X 2 ))N k 2 N −1 k (a) Montrer que N = k−1 N k N (b) En déduire une expression de BN (X 2 ) et montrer que la suite des polynômes (BN (X 2 )N converge uniformément vers X 2 sur l’intervalle [0, 1]. Préciser ||BN (X 2 ) − X 2 || ∞ [0,1] 4. ∗ On se propose de montrer que (Bn )f )N converge uniformément vers f sur [0, 1]... (a) Soit ε > 0, justifier qu’il existe α > 0 tel que |t − s| ≤ α ⇒ |f (t) − f (s)| ≤ ε. (b) Justifier que pour t et s dans [0, 1], on a −ε − 2||f ||∞ 2||f ||∞ (t − s)2 ≤ f (t) − f (s) ≤ ε + (t − s)2 . 2 α α2 On étudiera les deux cas : |t − s| ≤ α et |t − s| > α. (c) Encadrer le polynôme associé à t → f (t) − f (s); évaluer ce polynôme en s (on reprendra les calculs du 3˚). (d) Conclure. Voir correction en 5 11 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x Figure 2 – Polynômes de Bernstein pour N=6 1 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x –0.5 –1 Figure 3 – polynômes de Bernstein approchant cos2πx sur [0,1] 3.2 Les polynômes trigonométriques On donne ici un théorème fondamental sur les polynômes trigonométriques : attention à ne pas le confondre avec un théorème sur les séries de Fourier (voir remarque après le théorème 5). 5 On appelle polynôme trigonométrique complexe, de pulsation ω ∈ R, de 2π période T = , toute application U : R → C telle qu’il existe une suite finie (cn )−N ≤n≤N ω pour laquelle N X ∀t ∈ R, U (t) = cn einωt Définition k=−N 12 Figure 4 – Serguei Natanovitch Bernstein (5 mars 1880 [Odessa] - 26 octobre 1968 [Moscou]) Remarque : Nous pouvons aussi écrire U (t) = −1 X ck (cos(ωkt) + sin(ωkt)) + c0 + = N X ((ck + c−k ) cos(ωkt) + i(ck − c−k ) sin(ωkt)) k=1 N X a0 + 2 ck (cos(ωkt) + sin(ωkt)) (3.2) k=1 k=−N = c0 + N X (an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)) (3.3) (3.4) n=1 U (t) apparaı̂t donc comme une combinaison linéaire de fonctions trigonométriques {cos(ωnt), sin(ωnt)}, avec les formules de passage : bn = i(cn − c−n ) an = cn + c−n 1 1 cn = (an − ibn ) c−n = (an + ibn ) n ≤ 0 2 2 Théorème 5 théorème de Weierstrass trigonométrique Pour toute application f continue et T −périodique sur R, à valeurs complexes, il existe une suite de polynômes trigonométriques (Tn )n , qui converge uniformément vers f sur R. Démonstration : Hors programme. Une démonstration est proposée dans un problème Air-2003 : questions 1 à 4 et 7 à 10 (on y démontre un résultat plus précis, le théorème de 13 Féjer 3 ) Remarque et avertissement On ne confondra pas une suite de polynômes trigonométriques : (N ) PN (x) = a0 2 + dN X ) (N ) (a(N n cos(ωnt) + bn sin(ωnt)) n=1 avec les sommes partielles d’une série de la forme N SN (x) = a0 X + (an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)), 2 n=1 telles les sommes de Fourier. Le théorème de Weierstrass trigonométrique ne signifie pas que la série de Fourier d’une fonction f, continue et périodique, converge uniformément vers f. Cela est d’ailleurs faux (les premiers contre-exemples datent d’ailleurs de Weierstrass). Par contre ce théorème permet de montrer que, si f est continue, sa série de Fourier converge en moyenne quadratique vers f. La démonstration est facile, la voici : – On sait que SN (f ) somme de Fourier de f continue est la projection orthogonale de f sur PN dans l’espace préhilbertien des fonctions continues et de période 2π muni du produit scalaire usuel... – On sait que pour tout couple de fonctions continues (f, g) : Z 2π 1 2 ||f − g||2 = |f (t) − g(t)|2 dt ≤ ||f − g||2∞ ... 2π 0 – Fixons ε > 0, le théorème de Weierstrass trigonométrique nous dit qu’il existe un polynôme trigonométrique P tel que √ ||f − P ||∞ ≤ ε. Notons N son degré, comme SN est aussi de degré N, on a ||f − SN (f )||22 ≤ ||f − P ||22 ≤ ||f − P ||2∞ ≤ ε. Exercice 19 orthogonal des poly trigonométriques... 1. Soit f une fonction continue et T −périodique dur R. On suppose que pour tout entier relatif n, Z T f (t)eint dt = 0. 0 Montrer que f est nulle. 2. Montrer que si deux fonctions continues ont la même série de Fourier, elles sont égales. RT 3. Peut on conclure de la même façon lorsque ∀n ∈ N, 0 f (t)eint dt = 0? 3. les moyennes des sommes de Fourier convergent vers f, si f est continue. 14 4 Annexe : noyaux et unités approchées Issus de chapitres différents, ces exercices ont en commun... Exercice 20 noyaux de Dirichlet et de Féjer On considère une fonction f de période 2π et continue par morceaux sur R. On note SN (f ) ses sommes de Fourier définies par SN (f )(x) = N X ck (f )eikx , avec ck (f ) = k=−N 1 2π Z 2π f (t)e−ikt dt. 0 en est la fonction définie par en (t) = eint , n ∈ Z. 1. (a) Exprimer simplement en fonction des en la fonction DN telle que SN (f )(x) = 1 2π 2π Z DN (x − t)f (t) dt 0 sin (N + 12 )x . (b) Montrer que DN (x) = sin x2 2. On associe à la fonction f la moyenne de ses sommes de Fourier : σN (f ) = N −1 1 X Sn (f ). N n=0 (a) Exprimer simplement comme combinaison linéaire des en , N KN où KN est la fonction telle que Z 2π 1 σN (f )(x) = KN (x − t)f (t) dt. 2π 0 (b) Calculer R 2π 0 KN (t) dt; 3. (a) Montrer que KN est proportionnelle à sin sin !2 Nx 2 x 2 . (b) Soit δ ∈]0, π], montrer que Z lim N →+∞ δ π KN (t) dt = 0. (c) On suppose dorénavant que f est continue i. Montrer que 1 σN (f )(x) = 2π Z 0 2π 1 KN (x − t)f (t) dt = 2π Z π KN (u)f (x − u) du. −π ii. Montrer que (σN (f ))N converge uniformément versf. 15 voir corrigé dans le chapitre Séries de Fourier. Exercice 21 2 On note g la fonction définie sur R par g(x) = e−x et, pour s > 0, on pose 1 x gs (x) = √ g . s s π 1. Tracer les fonctions g1/n , pour n = 1, 2, ..5, et étudier la limite de la suite de fonctions (g1/n )n . 2. Calculer l’intégrale de gs sur R. On rappelle que Z √ 2 e−t dt = π. R 3. Pour f continue par morceaux et intégrable sur R, on pose Z Z f ? gs (x) = f (t)gs (x − t) dt = f (x − t)gs (t) dt. R R (a) Justifier l’existence et l’égalité de ces expressions. (b) On suppose que f est, de plus, continue en x0 et bornée sur R. Montrer que lim f ? gs (x0 ) − f (x0 ) = 0. s→0 On pourra observer que Z Z f ? gs (x0 ) − f (x0 ) = f (x0 − t)gs (t) dt − R f (x0 )gs (t) dt. R (c) Étudier la convergence uniforme. Exercice 22 noyau de Poisson sur le disque On considère pour r ∈ [0, 1[, la fonction définie par X X Pr (t) = r|n| eint = 1 + rn eint + e−int . n≥1 n∈Z 1. Etudier la convergence de cette série de fonctions, donner une expression simple de sa somme et représenter Pr (t) pour quelques valeurs de r; 2. A toute fonction u continue sur [0, 2π] telle que u(0) = u(2π), on associe la fonction ũ, définie sur le disque D = {z ∈ C; |z| < 1}, par la relation Z 2π 1 iθ Pr (t − θ)u(t) dt. ũ(z) = ũ(re ) = 2π 0 R 2π (a) Calculer 0 Pr (θ) dθ. Montrer que pour tout θ ∈ [0, 2π], Z 2π 1 iθ lim ũ(re ) − u(θ) = lim Pr (θ − t)(u(t) − u(θ)) dt = 0. r→1− r→1− 2π 0 16 (b) Montrer que ũ est de classe C 2 sur le disque ouvert D et que ∆(ũ) = 0. On rappelle que l’expression du laplacien en coordonnées polaires est ∆gP (r, θ) = 1 ∂ ∂2 1 ∂2 gP (r, θ) + 2 gP (r, θ) + 2 2 gP (r, θ) si r > 0. r ∂r ∂r r ∂θ Exercice 23 Soit g une fonction de classe C 2 sur R2 . On lui associe la fonction gP définie sur ]0, +∞[×R en posant gP (r, θ) = g(r cos θ, r sin θ). On rappelle que l’expression du laplacien en coordonnées polaires est 2 2 e P (r, θ) = 1 ∂ gP (r, θ) + ∂ gP (r, θ) + 1 ∂ gP (r, θ) si r > 0. ∆g r ∂r ∂r2 r2 ∂θ2 e P = 0 de la forme 1. Existe-t-il des solutions de ∆g gP (r, θ) = ∞ X Hn (θ)rn ? n=0 Il va de soi qu’établir des hypothèses raisonnables fait partie de la question... 2. On définit une fonction sur le disque unité en posant Pr (θ) = 1 + 2 ∞ X rn cos(nθ). n=1 Montrer que pour toute fonction g de période 2π , continue, la fonction définie par Z 2π 1 g̃(r, θ) = Pr ? g(θ) = Pr (θ − t) g(t) dt 2π 0 est une solution de l’équation de Laplace sur le disque ouvert de rayon 1, de centre 0. Expliciter le lien avec les coefficients de Fourier de g. 3. Montrer que, pour tout θ, lim g̃(r, θ) = g(θ). r→1− 17 5 Corrigés correction exercice 8 : un exemple simple d’unité approchée On considère la suite hn des fonctions définies sur R par : hn (x) = 0, si x ≤ −1/n 2 hn (x) = n (x + 1/n), si − 1/n ≤ x ≤ 0 2 (−x + 1/n), si 0 ≤ x ≤ 1/n h (x) = n n hn (x) = 0, si x ≥ 1/n. On pose alors Z 1 f ∗ hn (x) = hn (t)f (x − t) dt. −1 1. Observation classique et à retenir, l’intégrale de hn sur R ou sur [−1, 1] ou sur [−1/n, 1/n] vaut 1 ; c’est en effet l’aire d’un triangle de base 2/n de hauteur n. Alors : Z 1 f ∗ hn (x) − f (x) = Z 1 hn (t)f (x − t) dt − f (x) × −1 hn (t)f (x − t) dt −1 Z 1 f ∗ hn (x) − f (x) = hn (t) (f (x − t) − f (x)) dt −1 (idée déjà rencontrée : penser aux comparaisons séries exemple). P f (n) et intégrales par 2. On suppose que f est k−lipschitzienne sur R, majorons |f ∗ hn (x) − f (x)| : Z 1 |f ∗ hn (x) − f (x)| = hn (t) (f (x − t) − f (x)) dt −1 Z 1 ≤ hn (t) |f (x − t) − f (x)| dt −1 1 Z ≤ hn (t)k |(x − t) − x| dt −1 Z ≤ k 1/n hn (t)|t| dt −1/n Z 1/n ≤ k/n hn (t) dt = −1/n k n En effet, d’une part hn est nulle en dehors de l’intervalle [−1/n, 1/n], d’autre part, sur ce même intervalle, t est compris entre 0 et 1/n. Nous avons majoré |f ∗ hn (x) − f (x)| indépendamment de x il vient donc ||f ∗ hn − f ||∞ ≤ R k . n Ainsi, (f ∗ hn )n converge uniformément vers f sur R. 18 3. Supposons f continue sur R, à savoir : ∀x0 ∈ R, ∀ε > 0, ∃αx0 ,ε > 0, |x − x0 | ≤ αx0 ,ε ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε. Considérons x0 et ε > 0. Considérons αx0 ,ε > 0 comme dans la définition ci-dessus. Notre but est de majorer utilement Z 1 |f ∗ hn (x0 ) − f (x0 )| = hn (t) (f (x0 − t) − f (x0 )) dt . −1 Comme on a Z 1/n |f ∗ hn (x0 ) − f (x0 )| ≤ hn (t) |f (x0 − t) − f (x0 )| dt , −1/n 1 ≤ αx0 ,ε . n 1 Nous avons donc, puisque |(x0 − t) − x0 | = |x0 − x| = |t| ≤ dans cette dernière n intégrale, Z 1/n Z 1/n |f ∗ hn (x0 ) − f (x0 )| = hn (t) |f (x0 − t) − f (x0 )| dt ≤ hn (t)ε dt = ε. on choisit un rang à partir duquel −1/n −1/n Bilan : pour tout > 0 il existe un rang n0 (qui dépend de x!) à partir duquel |f ∗ hn (x0 ) − f (x0 )| ≤ ε. Ainsi lim f ∗ hn (x0 ) = f (x0 ) pour tout x0 ∈ R et (f ∗ hn )n converge simplement vers f sur R. 4. On suppose que f est uniformément continue sur R,à savoir : ∀ε > 0, ∃αε > 0, ∀x ∈ R, ∀x0 ∈ R, |x − x0 | ≤ αε ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε. Considérons ε > 0. Considérons αε > 0 comme dans la définition ci-dessus. Il ne dépend pas de x. Notre but est de majorer indépendamment de x |f ∗ hn (x) − f (x)|. On a Z 1 hn (t) (f (x − t) − f (x)) dt . |f ∗ hn (x) − f (x)| = −1 Comme on a Z 1/n |f ∗ hn (x) − f (x| ≤ hn (t) |f (x0 − t) − f (x0 )| dt , −1/n 1 ≤ αε . Ce rang ne dépend pas de x. n 1 Nous avons donc, puisque |(x − t) − x| = |x0 − x| = |t| ≤ dans cette dernière n intégrale, Z 1/n Z 1/n |f ∗ hn (x) − f (x)| = hn (t) |f (x0 − t) − f (x0 )| dt ≤ hn (t)ε dt = ε. on choisit un rang à partir duquel −1/n −1/n 19 Bilan : Pour tout ε > 0, il existe un rang n0 (qui ne dépend que de ε) à partir duquel pour tout x ∈ R, |(f ∗ hn )(x) − f (x)| ≤ ε. Ainsi, pour tout ε > 0, il existe un rang à partir duquel ||(f ∗ hn ) − f || ≤ ε. On a bien lim ||(f ∗ hn ) − f || = 0 et (f ∗ hn )n converge uniformément vers f sur R. 20 correction exercice 11 1. Les fonctions en escalier : si φ est une fonction en escalier attachée à la subdivision (tj )j du segment [a, b], on a n−1 Z b X Z tk+1 int int α e dt φ(t)e dt = k tk a k=0 ≤ n−1 X Z tk+1 k=0 tk int e k+1 − eintk dt ≤ 2 sup |αk ||b − a|. |αk | in n La limite est bien 0 lorsque n → +∞. 2. Considérons maintenant f continue par morceaux sur [a, b] et ε > 0. Il existe une fonction en escalier qui vérifie ||f − φ|| ∞ ≤ ε/|b − a|. Nous avons par ailleurs [a,b] Z b Z b Z b int int int f (t)e dt ≤ (f (t) − φ(t))e dt + φ(t)e dt . a a a – Le premier terme du membre de droite est majoré par ε; – Pour le second, on sait qu’il existe un rang Nε à partir duquel Z b int φ(t)e dt ≤ ε. a En conséquence, pour tout ε > 0 il existe Nε tel que Z b int n≥ε⇒ f (t)e dt ≤ 2ε. a 3. Considérons maintenant une fonction f intégrable sur R ou sur un intervalle quelconque I ⊂ R, et ε > 0. Il existe un segment [a, b] ⊂ I tel que Z Z |f | ≤ ε. |f | − I [a,b] On a : Z int f (t)e dt f (t)e dt + I\[a,b] [a,b] Z int ≤ f (t)e dt + ε. [a,b] Z Z int f (t)e dt = I int Comme dans la démonstration précédente, il existe un rang Nε à partir duquel Z b int f (t)e dt ≤ ε, a et on conclut de la même façon. 21 correction exercice 18 Bin (u) = (ni ) ui (1 − u)n−i . PN n i n−i = (u+(1−u))n = 1 : grâce à cela les polynômes B (f ) 1. (a) – N k=0 (i ) u (1−u) ci-dessous, apparaissent comme des barycentres des f (k/n) – On commence par remarquer que : k i (nk ) = n! (n − i)! n! k! = = (ni ) (k − i)!i! k!(n − k)! (n − i)!i! (k − i)!(n − k)! Vient alors : n X (ki )Bkn (u) = n X k=i = (ni ) ui n−i k−i . (ki ) (nk ) uk (1 − u)n−k k=i n X n−i k−i uk−i (1 − u)(n−i)−(k−i) = (ni ) ui ; k=i (Bin )i – Les forment une famille de n+1 éléments qui est génératrice (en effet, les vecteurs de la base canonique sont tous CL des (Bin )i ). (Bin )i est donc une base Kn [X]; – Formule de récurrence : Bkn (u) = (nk ) uk (1 − u)n−k n−1 n = (n−1 ) uk (1 − u)n−k = uBk−1 (u) + (1 − u)Bkn (u); k−1 ) + (k n = Bn 0 avec les conventions B−1 n+1 = 0, B0 = 1... (b) Brève étude : chacun de ces polynômes est positif sur [0, 1]. BkN (u)0 = (N k ) () et atteint son maximum sur [0, 1] en u = i/n. 2. A toute fonction f continue sur l’intervalle [0, 1], associons le polynôme : N N X X k k BN (x) = BN (f )(x) = f N k=0 k=0 N k f k N xk (1 − x)k . (5.1) (a) Clairement f → Bn f est linéaire, positive (ie : f ≥ 0 ⇒ BN (f ) ≥ 0 sur [0, 1]; (b) Bn (f )(0) = f (0) et Bn (f )(1) = f (1). (c) Bn (X 0 )(u) = n X 1.Bnk (u) = 1, k=0 Bn (X 1 )(u) = n X k=0 ou 1 Comme k n ( )= n k n−1 k−1 1 k n k ( ) u (1 − u)n−k . n k , il vient : Bn (X )(u) = u n X n−1 k−1 k=1 22 uk−1 (1 − u)(n−1)−(k−1) = u. 3. Limite de (Bn (X 2 ))n 2 k−1 k n−k n−1 k n−1 n (a) clairement (k ) = k−1 = k−1 + n n n − 1 n(n − 1) (b) On a donc en raisonnant comme dans la question précédente : 2 Bn (X )(u) = n 2 X k k=0 = n X n−1 k−1 k=0 n k−1 n−k + n − 1 n(n − 1) Bkn (u) uk (1 − u)n−k . Il vient donc n X 1 n − k n−1 Bn (X 2 )(u) − u2 = u (u) ≤ . Bk−1 n n(n − 1) k=0 1 . [0,1] n 4. (Bn (f ))n converge uniformément vers f sur [0, 1]... D’où enfin ||Bn (X 2 ) − X 2 || ∞ ≤ (a) La fonction f est continue donc uniformément continue sur l’intervalle [0, 1] théorème de Heine). Cela signifie que pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que |t − s| ≤ α ⇒ |f (t) − f (s)| ≤ ε. (b) ON considère ε et α comme dans la définition précédente. Pour (t, s) ∈ [0, 1]2 on distingue deux cas : 2||f ||∞ – |t − s| ≤ α, et alors |f (t) − f (s)| ≤ ε ≤ ε + (t − s)2 ; α2 2||f ||∞ 2||f ||∞ – |t − s| > α, et |f (t) − f (s)| ≤ 2||f ||∞ ≤ (t − s)2 ≤ ε + (t − s)2 ; 2 α α2 (c) Fixons s ∈ [0, 1]. Nous avons donc puisque Bn est positive : 2||f ||∞ Bn X 2 − 2sX 1 + s2 (x) 2 α On remarque alors que, par linéarité, et lorsque x = s : Bn X 2 − 2sX 1 + s2 (s) = Bn (X 2 )(s) − 2sBn (X 1 )(s) + s2 = Bn (X 2 )(s) − s2 ≤ 1 . n Cste (d) Pour tout ε > 0, ||Bn (f ) − f ||∞ ≤ ε + . On montre alors que pour tout n ε > 0, il existe un rang à partir duquel ||Bn (f ) − f ||∞ ≤ 2ε. |Bn (f )(x) − f (s)| = |Bn (f − f (s))(x)| ≤ ε + 23 correction exercice 21 1. échauffements ; plotti-plotta avec MAPLE... 2. échauffements ; 3. convolutions : |f | , intégrable ; s |f (x − t)| – la fonction t → |f (x − t)g(t)| est majorée par t → , intégrable s R R R (majorer [a,b] |f (x − t)| dt = [x−b,x−a] |f (x)| dt par R |f |. – (a) – la fonction t → |f (t)g(x − t)| est majorée par (b) On suppose que f est, de plus, continue en x0 . Estimons la quantité : Z |f ? gs (x0 ) − f (x0 )| ≤ |f (x0 − t) − f (x0 )|gs (t) dt. R Considérons ε > 0 et α > 0 tels que |x − x0 | ≤ α ⇒ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε. Un découpage de l’intervalle d’intégration permet de majorer en trois temps : Z Z |f (x0 − t) − f (x0 )|gs (t) dt ≤ ε gs = ε, [−α,α] Z Z |f (x0 − t) − f (x0 )|gs (t) dt ≤ 2||f ||∞ [−∞,−α] gs . ]−∞,−α] La dernière intégrale est Z Z Z gs ]−∞,−α] gs = [α,+∞[ 2 e−u du. [α/s,+∞[ 2 Comme e−u est intégrable, il existe s0 tel que Z 2 s > s0 ⇒ e−u du ≤ ε/2||f ||. [α/s,+∞[ correction exercice 22 1. Convergence normale pour r < 1, divergence grossière sinon. La somme est, lorsque r<1: 1 − r2 . Pr (t) = 1 − 2r cos(t) + r2 2. Les fonctions (r, θ, t) → ∂k Pr (t − θ)u(t), ∂rk (r, θ, t) → ∂k Pr (t − θ)u(t), ∂θk 24 sont continues pour k ≥ 0. On en déduit que la fonction Z Pr (t − θ)u(t) dt (r, θ) → [0,2π] admet des dérivées partielles continues à tous les ordres. REPRENDRE 3. On observe (intégration terme à terme) que Z Pr (t) dt = 1, [0,2π] puis que, pour α > 0, Z Pr (t) dt ≤ [α,2π−α] 1 − r2 1 + r2 − 2r cos α On a donc Z dt → 0. [α,2π−α] r→1− Z iθ 2π(ũ(re ) − u(θ)) = Pr (t − θ)(u(t) − u(θ)) dt [0,2π] "Z = Z + [α,2π−α] # Z Pr (s)(u(s + θ) − u(θ)) ds. + [0,α] [2π−α,2π] R La première et la troisième intégrales sont majorées par 2||u|| [α,2π−α] Pr (s) ds, et a pour limite 0 lorsque r tend vers 1 . La seconde est majorée par ωu (α) = sup |u(s) − u(t)|. |s−t|≤α 25 Index approximation des fonctions continues par des fonctions en escalier, 6 par des polynômes, 8 des fonctions cpm par des fonctions en escalier, 6 des fonctions périodiques par des poly. trigo., 13 Bernstein polynômes, 11 continuité uniforme, 4 fonction continue par morceaux, 6 en escalier, 6 fonctions affines par intervalles, 4 de convolution, 8, 16, 17 Riemann lemme de, 7 solution fondamentale du Laplacien, 17 théorème de Heine, 4 fcts égales sur A dense, 3 Weierstrass trigonométrique, 13 Weierstrass théorème (trigonométrique), 13 théorème de (polynômes algébriques), 8 harmonique fonction, 16, 17 Heine théorème de, 4 Laplacien polaire, 17 lemme de Riemann, 7 majoration intégrale vectorielle, 8 noyau de Féjer, 15 de Poisson, 17 de Poisson (disque), 16 noyau approché, 8 Poisson noyau, 16 polynômes de Bernstein, 11 produit 26