Les fractions

Calculs
I. Ecriture fractionnaire
1. Egalité de deux fractions :
a) Simplification d’une fraction :
On fait apparaître un diviseur commun au numérateur et au dénominateur et ensuite on
simplifie par ce diviseur.
si b0 et c0, on a :
cb ca b
a
et
b:c
a:c
b
a
Exercice 1 : Simplifie les fractions suivantes :
Error!
;
Error!
;
Error!
;
Error!
;
Error!
.
Remarque Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre alors on
obtient la même fraction.
Exemple
Error!
=
Error!
=
Error!
donc
Error!
=
Error!
b) Réduction de fractions au même dénominateur :
On détermine un multiple commun (le plus petit possible) aux dénominateurs des fractions
puis on procède comme dans l’exemple ci-dessous :
Exercice 2 : Réduis au même dénominateur
2
5
,
3
2
et
6
1
.
Remarque : Cela permet de comparer deux ou plusieurs fractions.
2. Inverse
Définition : soit x un nombre relatif non nul . On appelle inverse de x le nombre qui multiplié
par x vaut 1.
Exemples :
Error!
est l’inverse de 7 car
Error!
 7 = 1
3 est l’inverse de
Error!
car 3 
Error!
= 1
Error!
est l’inverse de
Error!
et
Error!
est l’inverse de
Error!
Exemple :
Error!
=
Error!
=
Error!
Exemple :
Error!
et
Error!
.
Le plus petit multiple commun à 15 et 6 est 30 donc le dénominateur commun à ces deux
fractions est 30 et on a alors :
3
15 3 2 15 26 30
et
7
67 5 6 5 35 30
.

1 est l’inverse de 1
0 n’a pas d’inverse.
Notation : l’inverse de x non nul est noté
Error!
ou x –1 .
Exemples : si x = 3 alors
Error!
=
Error!
ou x –1 =
Error!
si x =
Error!
alors
Error!
= 2 ou x –1 = 2
Propriété : L’inverse de
Error!
(a et b non nuls) est
Error!
3. Multiplication de deux ou plusieurs fractions :
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux. 
 ( avec c0 et d0)
4. Quotient de deux nombres en écriture fractionnaire
Rappels : Le quotient de a par b (avec b0) est le nombre x qui vérifie
axb 
.
on le note
ba
ou
b
a
.
Règle : diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse.
Pour diviser par
d
c
(avec c0 et d0) on multiplie par son inverse
c
d
.
On a donc :
d
c
b
a
d
c
b
a
avec b0, c0 et d0.
Exemples : A = 3 :
Error!
= 3 
Error!
=
Error!
B =
Error!
= 7 
Error!
=
Error!
C =
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
D =
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
5. Addition, soustraction :
a. Les dénominateurs sont les mêmes :
Exemple :
3
55 93 5 5 9 3 5 5 3 3 1 3

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire
de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on
garde le même dénominateur.
si k0, on a donc :
kba k
b
k
a
et
kba k
b
b
a
exemple :
35,6 35,6 35,07 35,0 37
b. Les dénominateurs sont différents :
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire
de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur.
exemples :
6
13
6
15
62 2
5
31
B. Puissance
Définition
Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et a un nombre relatif non nul.
 on appelle a exposant n le nombre noté         
n termes
 L'inverse du nombre  se note  
 Cas particuliers:   
 et, par convention,  
Règle de calcul
Soit a et b deux nombres relatifs non nul, et m et n deux entiers relatifs.
Exemple     
=
Exemple
=

donc  = 
Propriété:
Dans le calcul d'une expression numérique:
 en présence de parenthèses, on effectue les calculs entre
parenthèses avant les puissances;
 en l'absence de parenthèse, on effectue les puissances avant les
autres opérations.
Exemple
2,5           
Notation scientifique
Définition
On appelle notation scientifique d'un nombre relatif, l'écriture de ce nombre sous la forme
a  a est un nombre décimal s'écrivant avec un seul chiffre non nul avant la virgule,
et n est un nombre entier relatif.
Exemples